Pregunta 1 Pregunta 1 · D4 Bloom: Remember Estudio del nivel del mar en Puerto Madryn.
Dada la función
h ( t ) = 3 sin ( π 6 t ) + 4 h(t) = 3 \sin\left(\frac{\pi}{6} t\right) + 4 h ( t ) = 3 sin ( 6 π t ) + 4 , ¿cuál es el valor máximo que alcanza la marea?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) 3 metros 3\text{ metros} 3 metros B) 4 metros 4\text{ metros} 4 metros C) 12 metros 12\text{ metros} 12 metros D) 7 metros 7\text{ metros} 7 metros
Respuesta correcta: D) 7 metros 7\text{ metros} 7 metros
💡 Explicación
Para
h ( t ) = A sin ( ω t ) + C h(t) = A \sin(\omega t) + C h ( t ) = A sin ( ω t ) + C , la imagen de la función es
[ C − A , C + A ] [C - A, C + A] [ C − A , C + A ] . El máximo es
4 + 3 = 7 m 4 + 3 = 7\text{ m} 4 + 3 = 7 m .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: D) 7 metros 7\text{ metros} 7 metros
A) 3 metros 3\text{ metros} 3 metros Incorrecto. 3 m 3\text{ m} 3 m B) 4 metros 4\text{ metros} 4 metros Incorrecto. 4 m 4\text{ m} 4 m C) 12 metros 12\text{ metros} 12 metros Incorrecto. 12 12 12 D) 7 metros 7\text{ metros} 7 metros Correcto. El máximo es la amplitud más el desplazamiento vertical: 3 + 4 = 7 m 3 + 4 = 7\text{ m} 3 + 4 = 7 m 💡 Explicación
Para
h ( t ) = A sin ( ω t ) + C h(t) = A \sin(\omega t) + C h ( t ) = A sin ( ω t ) + C , la imagen de la función es
[ C − A , C + A ] [C - A, C + A] [ C − A , C + A ] . El máximo es
4 + 3 = 7 m 4 + 3 = 7\text{ m} 4 + 3 = 7 m .
Pregunta 2 Pregunta 2 · D4 Bloom: Remember Señal de voltaje alterno en la red eléctrica de Córdoba.
¿Cuál es el período fundamental
T T T de la función
V ( t ) = 311 cos ( 100 π t ) V(t) = 311 \cos(100\pi t) V ( t ) = 311 cos ( 100 π t ) ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) 50 segundos 50\text{ segundos} 50 segundos B) 0 , 02 segundos 0,02\text{ segundos} 0 , 02 segundos C) 100 segundos 100\text{ segundos} 100 segundos D) 0 , 01 segundos 0,01\text{ segundos} 0 , 01 segundos
Respuesta correcta: B) 0 , 02 segundos 0,02\text{ segundos} 0 , 02 segundos
💡 Explicación
El período
T T T se determina como
T = 2 π ω T = \frac{2\pi}{\omega} T = ω 2 π . Con
ω = 100 π \omega = 100\pi ω = 100 π , obtenemos
T = 2 π 100 π = 1 50 = 0 , 02 s T = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50} = 0,02\text{ s} T = 100 π 2 π = 50 1 = 0 , 02 s .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: B) 0 , 02 segundos 0,02\text{ segundos} 0 , 02 segundos
A) 50 segundos 50\text{ segundos} 50 segundos Incorrecto. 50 Hz 50\text{ Hz} 50 Hz B) 0 , 02 segundos 0,02\text{ segundos} 0 , 02 segundos Correcto. T = 2 π ω = 2 π 100 π = 0 , 02 s T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{100\pi} = 0,02\text{ s} T = ω 2 π = 100 π 2 π = 0 , 02 s C) 100 segundos 100\text{ segundos} 100 segundos Incorrecto. Confundió la velocidad angular con el período. D) 0 , 01 segundos 0,01\text{ segundos} 0 , 01 segundos Incorrecto. Se dividió por 200 π 200\pi 200 π 100 π 100\pi 100 π 💡 Explicación
El período
T T T se determina como
T = 2 π ω T = \frac{2\pi}{\omega} T = ω 2 π . Con
ω = 100 π \omega = 100\pi ω = 100 π , obtenemos
T = 2 π 100 π = 1 50 = 0 , 02 s T = \frac{2\pi}{100\pi} = \frac{1}{50} = 0,02\text{ s} T = 100 π 2 π = 50 1 = 0 , 02 s .
Pregunta 3 Pregunta 3 · D4 Bloom: Understand Análisis de oscilación de una rueda gigante en Quilmes.
¿Cuál es la imagen (rango) de la función
f ( x ) = − 2 cos ( x ) + 5 f(x) = -2 \cos(x) + 5 f ( x ) = − 2 cos ( x ) + 5 ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) [ − 2 , 2 ] [-2, 2] [ − 2 , 2 ] B) [ 5 , 7 ] [5, 7] [ 5 , 7 ] C) [ − 7 , − 3 ] [-7, -3] [ − 7 , − 3 ] D) [ 3 , 7 ] [3, 7] [ 3 , 7 ]
Respuesta correcta: D) [ 3 , 7 ] [3, 7] [ 3 , 7 ]
💡 Explicación
Como
− 1 ≤ cos ( x ) ≤ 1 -1 \le \cos(x) \le 1 − 1 ≤ cos ( x ) ≤ 1 , al multiplicar por
− 2 -2 − 2 se obtiene
− 2 ≤ − 2 cos ( x ) ≤ 2 -2 \le -2\cos(x) \le 2 − 2 ≤ − 2 cos ( x ) ≤ 2 . Sumando
5 5 5 , la imagen resulta
[ 3 , 7 ] [3, 7] [ 3 , 7 ] .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: D) [ 3 , 7 ] [3, 7] [ 3 , 7 ]
A) [ − 2 , 2 ] [-2, 2] [ − 2 , 2 ] Incorrecto. No consideró el desplazamiento vertical + 5 +5 + 5 B) [ 5 , 7 ] [5, 7] [ 5 , 7 ] Incorrecto. El mínimo no ocurre en 5 5 5 cos ( x ) = 1 \cos(x) = 1 cos ( x ) = 1 C) [ − 7 , − 3 ] [-7, -3] [ − 7 , − 3 ] Incorrecto. Invirtió los signos del rango. D) [ 3 , 7 ] [3, 7] [ 3 , 7 ] Correcto. El coseno oscila entre − 1 -1 − 1 1 1 1 − 2 ( 1 ) + 5 = 3 -2(1)+5 = 3 − 2 ( 1 ) + 5 = 3 − 2 ( − 1 ) + 5 = 7 -2(-1)+5 = 7 − 2 ( − 1 ) + 5 = 7 💡 Explicación
Como
− 1 ≤ cos ( x ) ≤ 1 -1 \le \cos(x) \le 1 − 1 ≤ cos ( x ) ≤ 1 , al multiplicar por
− 2 -2 − 2 se obtiene
− 2 ≤ − 2 cos ( x ) ≤ 2 -2 \le -2\cos(x) \le 2 − 2 ≤ − 2 cos ( x ) ≤ 2 . Sumando
5 5 5 , la imagen resulta
[ 3 , 7 ] [3, 7] [ 3 , 7 ] .
Pregunta 4 Pregunta 4 · D4 Bloom: Understand Monitoreo de ondas sonoras en un estudio de grabación en Rosario.
¿Cuál es la frecuencia angular
ω \omega ω de la función sinusoidal
y ( t ) = 5 sin ( 4 π t + π ) y(t) = 5 \sin(4\pi t + \pi) y ( t ) = 5 sin ( 4 π t + π ) ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) 5 rad/s 5\text{ rad/s} 5 rad/s B) π rad/s \pi\text{ rad/s} π rad/s C) 2 rad/s 2\text{ rad/s} 2 rad/s D) 4 π rad/s 4\pi\text{ rad/s} 4 π rad/s
Respuesta correcta: D) 4 π rad/s 4\pi\text{ rad/s} 4 π rad/s
💡 Explicación
En la expresión general
A sin ( ω t + ϕ ) A \sin(\omega t + \phi) A sin ( ω t + ϕ ) , la frecuencia angular
ω \omega ω es la constante multiplicativa de
t t t , es decir,
4 π rad/s 4\pi\text{ rad/s} 4 π rad/s .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: D) 4 π rad/s 4\pi\text{ rad/s} 4 π rad/s
A) 5 rad/s 5\text{ rad/s} 5 rad/s Incorrecto. 5 5 5 B) π rad/s \pi\text{ rad/s} π rad/s Incorrecto. π \pi π C) 2 rad/s 2\text{ rad/s} 2 rad/s Incorrecto. 2 Hz 2\text{ Hz} 2 Hz D) 4 π rad/s 4\pi\text{ rad/s} 4 π rad/s Correcto. La frecuencia angular es el coeficiente de la variable temporal t t t 4 π 4\pi 4 π 💡 Explicación
En la expresión general
A sin ( ω t + ϕ ) A \sin(\omega t + \phi) A sin ( ω t + ϕ ) , la frecuencia angular
ω \omega ω es la constante multiplicativa de
t t t , es decir,
4 π rad/s 4\pi\text{ rad/s} 4 π rad/s .
Pregunta 5 Pregunta 5 · D6 Bloom: Understand Comportamiento de la función tangente en CABA.
¿En cuáles de los siguientes valores de
x x x la función
f ( x ) = tan ( x ) f(x) = \tan(x) f ( x ) = tan ( x ) NO está definida?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) x = k π x = k\pi x = k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z B) x = 2 k π x = 2k\pi x = 2 k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z C) x = π 2 + k π x = \frac{\pi}{2} + k\pi x = 2 π + k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z D) x = π 4 + k π x = \frac{\pi}{4} + k\pi x = 4 π + k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z
Respuesta correcta: C) x = π 2 + k π x = \frac{\pi}{2} + k\pi x = 2 π + k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z
💡 Explicación
Por definición
tan ( x ) = sin ( x ) cos ( x ) \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} tan ( x ) = c o s ( x ) s i n ( x ) . No está definida cuando el denominador es nulo:
cos ( x ) = 0 ⇒ x = π 2 + k π \cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi cos ( x ) = 0 ⇒ x = 2 π + k π .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: C) x = π 2 + k π x = \frac{\pi}{2} + k\pi x = 2 π + k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z
A) x = k π x = k\pi x = k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z Incorrecto. En los múltiplos de π \pi π 0 0 0 B) x = 2 k π x = 2k\pi x = 2 k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z Incorrecto. En esos puntos la tangente está perfectamente definida y vale 0 0 0 C) x = π 2 + k π x = \frac{\pi}{2} + k\pi x = 2 π + k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z Correcto. La tangente es sin ( x ) cos ( x ) \frac{\sin(x)}{\cos(x)} c o s ( x ) s i n ( x ) cos ( x ) = 0 \cos(x) = 0 cos ( x ) = 0 D) x = π 4 + k π x = \frac{\pi}{4} + k\pi x = 4 π + k π k ∈ Z k \in \mathbb{Z} k ∈ Z Incorrecto. En esos puntos la tangente vale 1 1 1 − 1 -1 − 1 💡 Explicación
Por definición
tan ( x ) = sin ( x ) cos ( x ) \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} tan ( x ) = c o s ( x ) s i n ( x ) . No está definida cuando el denominador es nulo:
cos ( x ) = 0 ⇒ x = π 2 + k π \cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi cos ( x ) = 0 ⇒ x = 2 π + k π .
Pregunta 6 Pregunta 6 · D6 Bloom: Apply Modelo de temperatura media mensual en Mendoza.
La temperatura en
∘ C ^{\circ}\text{C} ∘ C viene dada por
T ( m ) = 18 + 10 cos ( π 6 ( m − 1 ) ) T(m) = 18 + 10 \cos\left(\frac{\pi}{6} (m - 1)\right) T ( m ) = 18 + 10 cos ( 6 π ( m − 1 ) ) , donde
m = 1 m=1 m = 1 es enero. ¿Qué temperatura se registra en el mes de julio (
m = 7 m=7 m = 7 )?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) 28 ∘ C 28^{\circ}\text{C} 2 8 ∘ C B) 18 ∘ C 18^{\circ}\text{C} 1 8 ∘ C C) 10 ∘ C 10^{\circ}\text{C} 1 0 ∘ C D) 8 ∘ C 8^{\circ}\text{C} 8 ∘ C
Respuesta correcta: D) 8 ∘ C 8^{\circ}\text{C} 8 ∘ C
💡 Explicación
Para
m = 7 m = 7 m = 7 :
π 6 ( 7 − 1 ) = 6 π 6 = π \frac{\pi}{6}(7 - 1) = \frac{6\pi}{6} = \pi 6 π ( 7 − 1 ) = 6 6 π = π . Como
cos ( π ) = − 1 \cos(\pi) = -1 cos ( π ) = − 1 , calculamos
T ( 7 ) = 18 + 10 ( − 1 ) = 8 ∘ C T(7) = 18 + 10(-1) = 8^{\circ}\text{C} T ( 7 ) = 18 + 10 ( − 1 ) = 8 ∘ C .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: D) 8 ∘ C 8^{\circ}\text{C} 8 ∘ C
A) 28 ∘ C 28^{\circ}\text{C} 2 8 ∘ C Incorrecto. 28 ∘ C 28^{\circ}\text{C} 2 8 ∘ C 1 1 1 B) 18 ∘ C 18^{\circ}\text{C} 1 8 ∘ C Incorrecto. 18 ∘ C 18^{\circ}\text{C} 1 8 ∘ C C) 10 ∘ C 10^{\circ}\text{C} 1 0 ∘ C Incorrecto. Confundió la amplitud con la temperatura mínima. D) 8 ∘ C 8^{\circ}\text{C} 8 ∘ C Correcto. T ( 7 ) = 18 + 10 cos ( π ) = 18 + 10 ( − 1 ) = 8 ∘ C T(7) = 18 + 10 \cos(\pi) = 18 + 10(-1) = 8^{\circ}\text{C} T ( 7 ) = 18 + 10 cos ( π ) = 18 + 10 ( − 1 ) = 8 ∘ C 💡 Explicación
Para
m = 7 m = 7 m = 7 :
π 6 ( 7 − 1 ) = 6 π 6 = π \frac{\pi}{6}(7 - 1) = \frac{6\pi}{6} = \pi 6 π ( 7 − 1 ) = 6 6 π = π . Como
cos ( π ) = − 1 \cos(\pi) = -1 cos ( π ) = − 1 , calculamos
T ( 7 ) = 18 + 10 ( − 1 ) = 8 ∘ C T(7) = 18 + 10(-1) = 8^{\circ}\text{C} T ( 7 ) = 18 + 10 ( − 1 ) = 8 ∘ C .
Pregunta 7 Pregunta 7 · D6 Bloom: Apply Fase de un péndulo de laboratorio en La Plata.
Dada la función
y = sin ( 2 x − π 2 ) y = \sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) y = sin ( 2 x − 2 π ) , ¿cuál es su desfase de fase horizontal?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) Desplazamiento de π 2 \frac{\pi}{2} 2 π B) Desplazamiento de π 4 \frac{\pi}{4} 4 π C) Desplazamiento de π 4 \frac{\pi}{4} 4 π D) Desplazamiento de π \pi π
Respuesta correcta: B) Desplazamiento de π 4 \frac{\pi}{4} 4 π
💡 Explicación
Igualando el argumento a cero:
2 x − π 2 = 0 ⇒ 2 x = π 2 ⇒ x = π 4 2x - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} 2 x − 2 π = 0 ⇒ 2 x = 2 π ⇒ x = 4 π . Se desplaza
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π unidades a la derecha.
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: B) Desplazamiento de π 4 \frac{\pi}{4} 4 π
A) Desplazamiento de π 2 \frac{\pi}{2} 2 π Incorrecto. No dividió el término constante por el coeficiente ω = 2 \omega = 2 ω = 2 B) Desplazamiento de π 4 \frac{\pi}{4} 4 π Correcto. Factorizando: sin ( 2 ( x − π 4 ) ) \sin\left(2\left(x - \frac{\pi}{4}\right)\right) sin ( 2 ( x − 4 π ) ) π 4 \frac{\pi}{4} 4 π C) Desplazamiento de π 4 \frac{\pi}{4} 4 π Incorrecto. El signo negativo indica desplazamiento a la derecha. D) Desplazamiento de π \pi π Incorrecto. Error en la factorización del argumento. 💡 Explicación
Igualando el argumento a cero:
2 x − π 2 = 0 ⇒ 2 x = π 2 ⇒ x = π 4 2x - \frac{\pi}{2} = 0 \Rightarrow 2x = \frac{\pi}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} 2 x − 2 π = 0 ⇒ 2 x = 2 π ⇒ x = 4 π . Se desplaza
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π unidades a la derecha.
Pregunta 8 Pregunta 8 · D6 Bloom: Apply Diseño de reflectores parabólicos en San Juan.
¿Cuál es la amplitud equivalente
R R R de la combinación armónica
y = 6 sin ( θ ) + 8 cos ( θ ) y = 6 \sin(\theta) + 8 \cos(\theta) y = 6 sin ( θ ) + 8 cos ( θ ) ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) 14 14 14 B) 48 48 48 C) 10 10 10 D) 2 2 2
Respuesta correcta: C) 10 10 10
💡 Explicación
La suma
a sin ( θ ) + b cos ( θ ) a \sin(\theta) + b \cos(\theta) a sin ( θ ) + b cos ( θ ) es equivalente a
R sin ( θ + ϕ ) R \sin(\theta + \phi) R sin ( θ + ϕ ) con
R = a 2 + b 2 = 6 2 + 8 2 = 10 R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 R = a 2 + b 2 = 6 2 + 8 2 = 10 .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: C) 10 10 10
A) 14 14 14 Incorrecto. Sumó directamente los coeficientes 6 + 8 6 + 8 6 + 8 B) 48 48 48 Incorrecto. Multiplicó los dos coeficientes. C) 10 10 10 Correcto. R = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 R = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 R = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 = 10 D) 2 2 2 Incorrecto. Restó los coeficientes. 💡 Explicación
La suma
a sin ( θ ) + b cos ( θ ) a \sin(\theta) + b \cos(\theta) a sin ( θ ) + b cos ( θ ) es equivalente a
R sin ( θ + ϕ ) R \sin(\theta + \phi) R sin ( θ + ϕ ) con
R = a 2 + b 2 = 6 2 + 8 2 = 10 R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 R = a 2 + b 2 = 6 2 + 8 2 = 10 .
Pregunta 9 Pregunta 9 · D6 Bloom: Apply Cálculo de valores exactos en trigonometría circular.
¿Cuál es el valor exacto de
sin ( 5 π 4 ) \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) sin ( 4 5 π ) ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) − 2 2 -\frac{\sqrt{2}}{2} − 2 2 B) 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 2 2 C) − 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 D) − 3 2 -\frac{\sqrt{3}}{2} − 2 3
Respuesta correcta: A) − 2 2 -\frac{\sqrt{2}}{2} − 2 2
💡 Explicación
5 π 4 = π + π 4 \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} 4 5 π = π + 4 π pertenece al III cuadrante.
sin ( 5 π 4 ) = − sin ( π 4 ) = − 2 2 \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} sin ( 4 5 π ) = − sin ( 4 π ) = − 2 2 .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: A) − 2 2 -\frac{\sqrt{2}}{2} − 2 2
A) − 2 2 -\frac{\sqrt{2}}{2} − 2 2 Correcto. El ángulo está en el III cuadrante donde el seno es negativo, con ángulo de referencia π / 4 \pi/4 π /4 B) 2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 2 2 Incorrecto. En el III cuadrante el seno es negativo. C) − 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 Incorrecto. Confundió el ángulo de referencia con π / 6 \pi/6 π /6 D) − 3 2 -\frac{\sqrt{3}}{2} − 2 3 Incorrecto. Confundió el ángulo de referencia con π / 3 \pi/3 π /3 💡 Explicación
5 π 4 = π + π 4 \frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} 4 5 π = π + 4 π pertenece al III cuadrante.
sin ( 5 π 4 ) = − sin ( π 4 ) = − 2 2 \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} sin ( 4 5 π ) = − sin ( 4 π ) = − 2 2 .
Pregunta 10 Pregunta 10 · D6 Bloom: Apply Determinación de posición en un circuito circular en Mar del Plata.
Si
cos ( x ) = − 3 5 \cos(x) = -\frac{3}{5} cos ( x ) = − 5 3 y
x ∈ ( π , 3 π 2 ) x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) x ∈ ( π , 2 3 π ) , ¿cuál es el valor de
tan ( x ) \tan(x) tan ( x ) ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) − 4 3 -\frac{4}{3} − 3 4 B) 4 3 \frac{4}{3} 3 4 C) 3 4 \frac{3}{4} 4 3 D) − 3 4 -\frac{3}{4} − 4 3
Respuesta correcta: B) 4 3 \frac{4}{3} 3 4
💡 Explicación
sin 2 ( x ) = 1 − cos 2 ( x ) = 1 − 9 25 = 16 25 \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} sin 2 ( x ) = 1 − cos 2 ( x ) = 1 − 25 9 = 25 16 . En el III cuadrante
sin ( x ) = − 4 5 \sin(x) = -\frac{4}{5} sin ( x ) = − 5 4 . Luego
tan ( x ) = sin ( x ) cos ( x ) = − 4 / 5 − 3 / 5 = 4 3 \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3} tan ( x ) = c o s ( x ) s i n ( x ) = − 3/5 − 4/5 = 3 4 .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: B) 4 3 \frac{4}{3} 3 4
A) − 4 3 -\frac{4}{3} − 3 4 Incorrecto. En el III cuadrante la tangente es positiva. B) 4 3 \frac{4}{3} 3 4 Correcto. En el III cuadrante sin ( x ) = − 4 5 \sin(x) = -\frac{4}{5} sin ( x ) = − 5 4 tan ( x ) = − 4 / 5 − 3 / 5 = 4 3 \tan(x) = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3} tan ( x ) = − 3/5 − 4/5 = 3 4 C) 3 4 \frac{3}{4} 4 3 Incorrecto. Invertió el orden de la relación tangente (cotangente). D) − 3 4 -\frac{3}{4} − 4 3 Incorrecto. Confundió el signo y la relación entre lados. 💡 Explicación
sin 2 ( x ) = 1 − cos 2 ( x ) = 1 − 9 25 = 16 25 \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} sin 2 ( x ) = 1 − cos 2 ( x ) = 1 − 25 9 = 25 16 . En el III cuadrante
sin ( x ) = − 4 5 \sin(x) = -\frac{4}{5} sin ( x ) = − 5 4 . Luego
tan ( x ) = sin ( x ) cos ( x ) = − 4 / 5 − 3 / 5 = 4 3 \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3} tan ( x ) = c o s ( x ) s i n ( x ) = − 3/5 − 4/5 = 3 4 .
Pregunta 11 Pregunta 11 · D8 Bloom: Analyze Ecuación de onda armónica en un resorte industrial.
En la función
f ( x ) = 3 sin ( 2 x ) + 4 cos ( 2 x ) f(x) = 3 \sin(2x) + 4 \cos(2x) f ( x ) = 3 sin ( 2 x ) + 4 cos ( 2 x ) , ¿cuál es el valor máximo de
f ( x ) f(x) f ( x ) ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C) 5 5 5
💡 Explicación
Expresando
a sin ( 2 x ) + b cos ( 2 x ) a \sin(2x) + b \cos(2x) a sin ( 2 x ) + b cos ( 2 x ) como
R sin ( 2 x + ϕ ) R \sin(2x + \phi) R sin ( 2 x + ϕ ) , el valor máximo es la amplitud
R = 3 2 + 4 2 = 5 R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 R = 3 2 + 4 2 = 5 .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: C) 5 5 5
A) 7 7 7 Incorrecto. Sumó los coeficientes directamente. B) 1 1 1 Incorrecto. Restó los coeficientes. C) 5 5 5 Correcto. La amplitud máxima resultante es 3 2 + 4 2 = 5 \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 3 2 + 4 2 = 5 D) 25 25 25 Incorrecto. Olvidó la raíz cuadrada en la suma de cuadrados. 💡 Explicación
Expresando
a sin ( 2 x ) + b cos ( 2 x ) a \sin(2x) + b \cos(2x) a sin ( 2 x ) + b cos ( 2 x ) como
R sin ( 2 x + ϕ ) R \sin(2x + \phi) R sin ( 2 x + ϕ ) , el valor máximo es la amplitud
R = 3 2 + 4 2 = 5 R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 R = 3 2 + 4 2 = 5 .
Pregunta 12 Pregunta 12 · D8 Bloom: Analyze Análisis de frecuencias en señales de telecomunicación.
¿Cuál es el período de la función
g ( x ) = sin ( 3 x ) + sin ( 5 x ) g(x) = \sin(3x) + \sin(5x) g ( x ) = sin ( 3 x ) + sin ( 5 x ) ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) 2 π 15 \frac{2\pi}{15} 15 2 π B) 2 π 8 \frac{2\pi}{8} 8 2 π C) 2 π 2\pi 2 π D) π \pi π
Respuesta correcta: C) 2 π 2\pi 2 π
💡 Explicación
Los períodos individuales son
T 1 = 2 π 3 T_1 = \frac{2\pi}{3} T 1 = 3 2 π y
T 2 = 2 π 5 T_2 = \frac{2\pi}{5} T 2 = 5 2 π . El período común es el mínimo múltiplo común de ambos, que equivale a
2 π 2\pi 2 π .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: C) 2 π 2\pi 2 π
A) 2 π 15 \frac{2\pi}{15} 15 2 π Incorrecto. Dividió 2 π 2\pi 2 π B) 2 π 8 \frac{2\pi}{8} 8 2 π Incorrecto. Sumó las frecuencias en el denominador. C) 2 π 2\pi 2 π Correcto. El período de sin ( 3 x ) \sin(3x) sin ( 3 x ) 2 π / 3 2\pi/3 2 π /3 sin ( 5 x ) \sin(5x) sin ( 5 x ) 2 π / 5 2\pi/5 2 π /5 2 π 2\pi 2 π D) π \pi π Incorrecto. 2 π 2\pi 2 π 💡 Explicación
Los períodos individuales son
T 1 = 2 π 3 T_1 = \frac{2\pi}{3} T 1 = 3 2 π y
T 2 = 2 π 5 T_2 = \frac{2\pi}{5} T 2 = 5 2 π . El período común es el mínimo múltiplo común de ambos, que equivale a
2 π 2\pi 2 π .
Pregunta 13 Pregunta 13 · D8 Bloom: Analyze Simulación de turbina eólica en Comodoro Rivadavia.
Si
f ( x ) = tan ( 2 x ) f(x) = \tan(2x) f ( x ) = tan ( 2 x ) , ¿dónde presenta asíntotas en el intervalo
[ 0 , π ] [0, \pi] [ 0 , π ] ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) x = π 4 x = \frac{\pi}{4} x = 4 π x = 3 π 4 x = \frac{3\pi}{4} x = 4 3 π B) x = π 2 x = \frac{\pi}{2} x = 2 π C) x = 0 x = 0 x = 0 x = π x = \pi x = π D) No tiene asíntotas en dicho intervalo.
Respuesta correcta: A) x = π 4 x = \frac{\pi}{4} x = 4 π x = 3 π 4 x = \frac{3\pi}{4} x = 4 3 π
💡 Explicación
tan ( 2 x ) \tan(2x) tan ( 2 x ) no está definida cuando
2 x = π 2 + k π ⇒ x = π 4 + k π 2 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} 2 x = 2 π + k π ⇒ x = 4 π + k 2 π . Para
k = 0 , 1 k=0,1 k = 0 , 1 , tenemos
x = π 4 x = \frac{\pi}{4} x = 4 π y
x = 3 π 4 x = \frac{3\pi}{4} x = 4 3 π .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: A) x = π 4 x = \frac{\pi}{4} x = 4 π x = 3 π 4 x = \frac{3\pi}{4} x = 4 3 π
A) x = π 4 x = \frac{\pi}{4} x = 4 π x = 3 π 4 x = \frac{3\pi}{4} x = 4 3 π Correcto. Hay asíntotas donde 2 x = π 2 + k π ⇒ x = π 4 + k π 2 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} 2 x = 2 π + k π ⇒ x = 4 π + k 2 π [ 0 , π ] [0, \pi] [ 0 , π ] π / 4 \pi/4 π /4 3 π / 4 3\pi/4 3 π /4 B) x = π 2 x = \frac{\pi}{2} x = 2 π Incorrecto. En x = π / 2 x = \pi/2 x = π /2 2 x = π 2x = \pi 2 x = π 0 0 0 C) x = 0 x = 0 x = 0 x = π x = \pi x = π Incorrecto. En esos puntos la función vale 0 0 0 D) No tiene asíntotas en dicho intervalo. Incorrecto. Presenta asíntotas en dos puntos del intervalo. 💡 Explicación
tan ( 2 x ) \tan(2x) tan ( 2 x ) no está definida cuando
2 x = π 2 + k π ⇒ x = π 4 + k π 2 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} 2 x = 2 π + k π ⇒ x = 4 π + k 2 π . Para
k = 0 , 1 k=0,1 k = 0 , 1 , tenemos
x = π 4 x = \frac{\pi}{4} x = 4 π y
x = 3 π 4 x = \frac{3\pi}{4} x = 4 3 π .
Pregunta 14 Pregunta 14 · D8 Bloom: Analyze Estudio de paridad en funciones trigonométricas compuestas.
¿Cómo se clasifica la función
h ( x ) = x ⋅ sin ( x ) h(x) = x \cdot \sin(x) h ( x ) = x ⋅ sin ( x ) según su simetría?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) Es una función impar B) No es par ni impar C) Es una función par D) Es periódica con período π \pi π
Respuesta correcta: C) Es una función par
💡 Explicación
Evaluando
h ( − x ) = ( − x ) sin ( − x ) h(-x) = (-x) \sin(-x) h ( − x ) = ( − x ) sin ( − x ) . Como
sin ( − x ) = − sin ( x ) \sin(-x) = -\sin(x) sin ( − x ) = − sin ( x ) , tenemos
h ( − x ) = ( − x ) ( − sin ( x ) ) = x sin ( x ) = h ( x ) h(-x) = (-x)(-\sin(x)) = x \sin(x) = h(x) h ( − x ) = ( − x ) ( − sin ( x )) = x sin ( x ) = h ( x ) . Por ende, es una función par.
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: C) Es una función par
A) Es una función impar Incorrecto. El producto de dos funciones impares resulta en una función par. B) No es par ni impar Incorrecto. Cumple la condición de paridad h ( − x ) = h ( x ) h(-x) = h(x) h ( − x ) = h ( x ) C) Es una función par Correcto. h ( − x ) = ( − x ) ⋅ sin ( − x ) = ( − x ) ⋅ ( − sin ( x ) ) = x sin ( x ) = h ( x ) h(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = (-x) \cdot (-\sin(x)) = x \sin(x) = h(x) h ( − x ) = ( − x ) ⋅ sin ( − x ) = ( − x ) ⋅ ( − sin ( x )) = x sin ( x ) = h ( x ) D) Es periódica con período π \pi π Incorrecto. x sin ( x ) x \sin(x) x sin ( x ) x x x 💡 Explicación
Evaluando
h ( − x ) = ( − x ) sin ( − x ) h(-x) = (-x) \sin(-x) h ( − x ) = ( − x ) sin ( − x ) . Como
sin ( − x ) = − sin ( x ) \sin(-x) = -\sin(x) sin ( − x ) = − sin ( x ) , tenemos
h ( − x ) = ( − x ) ( − sin ( x ) ) = x sin ( x ) = h ( x ) h(-x) = (-x)(-\sin(x)) = x \sin(x) = h(x) h ( − x ) = ( − x ) ( − sin ( x )) = x sin ( x ) = h ( x ) . Por ende, es una función par.
Pregunta 15 Pregunta 15 · D8 Bloom: Apply Desfasaje de señal en antenas de telecomunicación en Neuquén.
¿Para qué valor de
x ∈ [ 0 , 2 π ] x \in [0, 2\pi] x ∈ [ 0 , 2 π ] la función
f ( x ) = cos ( x − π 3 ) f(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right) f ( x ) = cos ( x − 3 π ) alcanza su valor máximo?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) x = 0 x = 0 x = 0 B) x = 2 π 3 x = \frac{2\pi}{3} x = 3 2 π C) x = π x = \pi x = π D) x = π 3 x = \frac{\pi}{3} x = 3 π
Respuesta correcta: D) x = π 3 x = \frac{\pi}{3} x = 3 π
💡 Explicación
La función
A cos ( θ ) A \cos(\theta) A cos ( θ ) es máxima cuando
θ = 0 \theta = 0 θ = 0 (o múltiplo de
2 π 2\pi 2 π ). Igualando
x − π 3 = 0 x - \frac{\pi}{3} = 0 x − 3 π = 0 , resulta
x = π 3 x = \frac{\pi}{3} x = 3 π .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: D) x = π 3 x = \frac{\pi}{3} x = 3 π
A) x = 0 x = 0 x = 0 Incorrecto. Para x = 0 x=0 x = 0 cos ( − π / 3 ) = 1 / 2 \cos(-\pi/3) = 1/2 cos ( − π /3 ) = 1/2 B) x = 2 π 3 x = \frac{2\pi}{3} x = 3 2 π Incorrecto. Para x = 2 π / 3 x=2\pi/3 x = 2 π /3 cos ( π / 3 ) = 1 / 2 \cos(\pi/3) = 1/2 cos ( π /3 ) = 1/2 C) x = π x = \pi x = π Incorrecto. Para x = π x=\pi x = π cos ( 2 π / 3 ) = − 1 / 2 \cos(2\pi/3) = -1/2 cos ( 2 π /3 ) = − 1/2 D) x = π 3 x = \frac{\pi}{3} x = 3 π Correcto. El coseno alcanza su máximo 1 1 1 x − π 3 = 0 ⇒ x = π 3 x - \frac{\pi}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} x − 3 π = 0 ⇒ x = 3 π 💡 Explicación
La función
A cos ( θ ) A \cos(\theta) A cos ( θ ) es máxima cuando
θ = 0 \theta = 0 θ = 0 (o múltiplo de
2 π 2\pi 2 π ). Igualando
x − π 3 = 0 x - \frac{\pi}{3} = 0 x − 3 π = 0 , resulta
x = π 3 x = \frac{\pi}{3} x = 3 π .
Pregunta 16 Pregunta 16 · D8 Bloom: Analyze Variación de la cota de agua en el Embalse El Chocón.
Si
f ( x ) = 2 sin 2 ( x ) + 3 f(x) = 2 \sin^2(x) + 3 f ( x ) = 2 sin 2 ( x ) + 3 , ¿cuáles son los valores mínimo y máximo de la función?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) Mínimo = 1 1 1 5 5 5 B) Mínimo = 3 3 3 7 7 7 C) Mínimo = 0 0 0 5 5 5 D) Mínimo = 3 3 3 5 5 5
Respuesta correcta: D) Mínimo = 3 3 3 5 5 5
💡 Explicación
El cuadrado del seno satisface
0 ≤ sin 2 ( x ) ≤ 1 0 \le \sin^2(x) \le 1 0 ≤ sin 2 ( x ) ≤ 1 . Multiplicando por
2 2 2 :
0 ≤ 2 sin 2 ( x ) ≤ 2 0 \le 2\sin^2(x) \le 2 0 ≤ 2 sin 2 ( x ) ≤ 2 . Sumando
3 3 3 :
3 ≤ 2 sin 2 ( x ) + 3 ≤ 5 3 \le 2\sin^2(x)+3 \le 5 3 ≤ 2 sin 2 ( x ) + 3 ≤ 5 .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: D) Mínimo = 3 3 3 5 5 5
A) Mínimo = 1 1 1 5 5 5 Incorrecto. Confundió sin ( x ) \sin(x) sin ( x ) sin 2 ( x ) \sin^2(x) sin 2 ( x ) B) Mínimo = 3 3 3 7 7 7 Incorrecto. Calculó 2 ( 2 ) + 3 = 7 2(2)+3 = 7 2 ( 2 ) + 3 = 7 C) Mínimo = 0 0 0 5 5 5 Incorrecto. Olvidó sumar el término constante + 3 +3 + 3 D) Mínimo = 3 3 3 5 5 5 Correcto. Como 0 ≤ sin 2 ( x ) ≤ 1 0 \le \sin^2(x) \le 1 0 ≤ sin 2 ( x ) ≤ 1 2 ( 0 ) + 3 = 3 2(0)+3 = 3 2 ( 0 ) + 3 = 3 2 ( 1 ) + 3 = 5 2(1)+3 = 5 2 ( 1 ) + 3 = 5 💡 Explicación
El cuadrado del seno satisface
0 ≤ sin 2 ( x ) ≤ 1 0 \le \sin^2(x) \le 1 0 ≤ sin 2 ( x ) ≤ 1 . Multiplicando por
2 2 2 :
0 ≤ 2 sin 2 ( x ) ≤ 2 0 \le 2\sin^2(x) \le 2 0 ≤ 2 sin 2 ( x ) ≤ 2 . Sumando
3 3 3 :
3 ≤ 2 sin 2 ( x ) + 3 ≤ 5 3 \le 2\sin^2(x)+3 \le 5 3 ≤ 2 sin 2 ( x ) + 3 ≤ 5 .
Pregunta 17 Pregunta 17 · D10 Bloom: Evaluate Resolución de ecuaciones trigonométricas en ingeniería de vías.
¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación
sin ( 2 x ) = cos ( x ) \sin(2x) = \cos(x) sin ( 2 x ) = cos ( x ) en el intervalo
[ 0 , 2 π ) [0, 2\pi) [ 0 , 2 π ) ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) 2 2 2 B) 3 3 3 C) 4 4 4 D) 1 1 1
Respuesta correcta: C) 4 4 4
💡 Explicación
sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) . La ecuación es
2 sin ( x ) cos ( x ) − cos ( x ) = 0 ⇒ cos ( x ) ( 2 sin ( x ) − 1 ) = 0 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0 \Rightarrow \cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0 2 sin ( x ) cos ( x ) − cos ( x ) = 0 ⇒ cos ( x ) ( 2 sin ( x ) − 1 ) = 0 . Casos: 1)
cos ( x ) = 0 ⇒ x = π 2 , 3 π 2 \cos(x)=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} cos ( x ) = 0 ⇒ x = 2 π , 2 3 π . 2)
sin ( x ) = 1 2 ⇒ x = π 6 , 5 π 6 \sin(x)=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} sin ( x ) = 2 1 ⇒ x = 6 π , 6 5 π . Total 4 soluciones.
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: C) 4 4 4
A) 2 2 2 Incorrecto. Omitió las soluciones provenientes del factor sin ( x ) = 1 / 2 \sin(x) = 1/2 sin ( x ) = 1/2 B) 3 3 3 Incorrecto. Omitió una de las soluciones del círculo trigonométrico. C) 4 4 4 Correcto. 2 sin ( x ) cos ( x ) = cos ( x ) ⇒ cos ( x ) ( 2 sin ( x ) − 1 ) = 0 2\sin(x)\cos(x) = \cos(x) \Rightarrow \cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0 2 sin ( x ) cos ( x ) = cos ( x ) ⇒ cos ( x ) ( 2 sin ( x ) − 1 ) = 0 cos ( x ) = 0 ⇒ π / 2 , 3 π / 2 \cos(x)=0 \Rightarrow \pi/2, 3\pi/2 cos ( x ) = 0 ⇒ π /2 , 3 π /2 sin ( x ) = 1 / 2 ⇒ π / 6 , 5 π / 6 \sin(x)=1/2 \Rightarrow \pi/6, 5\pi/6 sin ( x ) = 1/2 ⇒ π /6 , 5 π /6 D) 1 1 1 Incorrecto. Canceló cos ( x ) \cos(x) cos ( x ) 💡 Explicación
sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) . La ecuación es
2 sin ( x ) cos ( x ) − cos ( x ) = 0 ⇒ cos ( x ) ( 2 sin ( x ) − 1 ) = 0 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x) = 0 \Rightarrow \cos(x)(2\sin(x) - 1) = 0 2 sin ( x ) cos ( x ) − cos ( x ) = 0 ⇒ cos ( x ) ( 2 sin ( x ) − 1 ) = 0 . Casos: 1)
cos ( x ) = 0 ⇒ x = π 2 , 3 π 2 \cos(x)=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} cos ( x ) = 0 ⇒ x = 2 π , 2 3 π . 2)
sin ( x ) = 1 2 ⇒ x = π 6 , 5 π 6 \sin(x)=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} sin ( x ) = 2 1 ⇒ x = 6 π , 6 5 π . Total 4 soluciones.
Pregunta 18 Pregunta 18 · D10 Bloom: Evaluate Análisis de oscilaciones acopladas en física teórica de Bariloche.
¿Cuál es la forma simplificada equivalente de
f ( x ) = 1 + cos ( 2 x ) sin ( 2 x ) f(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{\sin(2x)} f ( x ) = s i n ( 2 x ) 1 + c o s ( 2 x ) para
x ≠ k π 2 x \neq \frac{k\pi}{2} x = 2 k π ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) tan ( x ) \tan(x) tan ( x ) B) cot ( x ) \cot(x) cot ( x ) C) sin ( x ) \sin(x) sin ( x ) D) csc ( x ) \csc(x) csc ( x )
Respuesta correcta: B) cot ( x ) \cot(x) cot ( x )
💡 Explicación
Usando ángulo doble:
1 + cos ( 2 x ) = 2 cos 2 ( x ) 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) 1 + cos ( 2 x ) = 2 cos 2 ( x ) y
sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) . Sustituyendo:
2 cos 2 ( x ) 2 sin ( x ) cos ( x ) = cos ( x ) sin ( x ) = cot ( x ) \frac{2\cos^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) 2 s i n ( x ) c o s ( x ) 2 c o s 2 ( x ) = s i n ( x ) c o s ( x ) = cot ( x ) .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: B) cot ( x ) \cot(x) cot ( x )
A) tan ( x ) \tan(x) tan ( x ) Incorrecto. Invirtió la relación seno/coseno. B) cot ( x ) \cot(x) cot ( x ) Correcto. 1 + cos ( 2 x ) = 2 cos 2 ( x ) 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) 1 + cos ( 2 x ) = 2 cos 2 ( x ) sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) 2 cos 2 ( x ) 2 sin ( x ) cos ( x ) = cot ( x ) \frac{2\cos^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)} = \cot(x) 2 s i n ( x ) c o s ( x ) 2 c o s 2 ( x ) = cot ( x ) C) sin ( x ) \sin(x) sin ( x ) Incorrecto. Error en la aplicación de las identidades del ángulo doble. D) csc ( x ) \csc(x) csc ( x ) Incorrecto. Se omitió la simplificación del coseno. 💡 Explicación
Usando ángulo doble:
1 + cos ( 2 x ) = 2 cos 2 ( x ) 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) 1 + cos ( 2 x ) = 2 cos 2 ( x ) y
sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) sin ( 2 x ) = 2 sin ( x ) cos ( x ) . Sustituyendo:
2 cos 2 ( x ) 2 sin ( x ) cos ( x ) = cos ( x ) sin ( x ) = cot ( x ) \frac{2\cos^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \cot(x) 2 s i n ( x ) c o s ( x ) 2 c o s 2 ( x ) = s i n ( x ) c o s ( x ) = cot ( x ) .
Pregunta 19 Pregunta 19 · D10 Bloom: Evaluate Modelado del batimiento de ondas acústicas en acústica musical.
Dada la suma de ondas
f ( t ) = sin ( 10 t ) + sin ( 12 t ) f(t) = \sin(10t) + \sin(12t) f ( t ) = sin ( 10 t ) + sin ( 12 t ) , exprésela como producto de funciones trigonométricas.
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) 2 cos ( 11 t ) sin ( t ) 2 \cos(11t) \sin(t) 2 cos ( 11 t ) sin ( t ) B) 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) 2 \sin(11t) \cos(t) 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) C) sin ( 22 t ) cos ( 2 t ) \sin(22t) \cos(2t) sin ( 22 t ) cos ( 2 t ) D) 2 sin ( 22 t ) 2 \sin(22t) 2 sin ( 22 t )
Respuesta correcta: B) 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) 2 \sin(11t) \cos(t) 2 sin ( 11 t ) cos ( t )
💡 Explicación
La identidad de suma a producto es
sin ( A ) + sin ( B ) = 2 sin ( A + B 2 ) cos ( A − B 2 ) \sin(A) + \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) sin ( A ) + sin ( B ) = 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) . Con
A = 10 t , B = 12 t A=10t, B=12t A = 10 t , B = 12 t :
2 sin ( 11 t ) cos ( − t ) = 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) 2 \sin(11t) \cos(-t) = 2 \sin(11t) \cos(t) 2 sin ( 11 t ) cos ( − t ) = 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: B) 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) 2 \sin(11t) \cos(t) 2 sin ( 11 t ) cos ( t )
A) 2 cos ( 11 t ) sin ( t ) 2 \cos(11t) \sin(t) 2 cos ( 11 t ) sin ( t ) Incorrecto. Invirtió las funciones seno y coseno en los promedios. B) 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) 2 \sin(11t) \cos(t) 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) Correcto. Identidad de suma a producto: sin ( A ) + sin ( B ) = 2 sin ( A + B 2 ) cos ( A − B 2 ) = 2 sin ( 11 t ) cos ( − t ) = 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) \sin(A) + \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) = 2 \sin(11t) \cos(-t) = 2 \sin(11t) \cos(t) sin ( A ) + sin ( B ) = 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) = 2 sin ( 11 t ) cos ( − t ) = 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) C) sin ( 22 t ) cos ( 2 t ) \sin(22t) \cos(2t) sin ( 22 t ) cos ( 2 t ) Incorrecto. No dividió la suma ni la diferencia de ángulos por 2. D) 2 sin ( 22 t ) 2 \sin(22t) 2 sin ( 22 t ) Incorrecto. No corresponde a la transformación de suma a producto. 💡 Explicación
La identidad de suma a producto es
sin ( A ) + sin ( B ) = 2 sin ( A + B 2 ) cos ( A − B 2 ) \sin(A) + \sin(B) = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) sin ( A ) + sin ( B ) = 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) . Con
A = 10 t , B = 12 t A=10t, B=12t A = 10 t , B = 12 t :
2 sin ( 11 t ) cos ( − t ) = 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) 2 \sin(11t) \cos(-t) = 2 \sin(11t) \cos(t) 2 sin ( 11 t ) cos ( − t ) = 2 sin ( 11 t ) cos ( t ) .
Pregunta 20 Pregunta 20 · D10 Bloom: Evaluate Evaluación del área bajo una curva armónica en cálculo avanzado.
¿Cuál es el valor medio de la función
f ( x ) = sin 2 ( x ) f(x) = \sin^2(x) f ( x ) = sin 2 ( x ) a lo largo de un período completo
[ 0 , 2 π ] [0, 2\pi] [ 0 , 2 π ] ?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
A) 1 1 1 B) 0 0 0 C) 1 2 \frac{1}{2} 2 1 D) π 2 \frac{\pi}{2} 2 π
Respuesta correcta: C) 1 2 \frac{1}{2} 2 1
💡 Explicación
Utilizando la identidad de reducción de potencia
sin 2 ( x ) = 1 2 − cos ( 2 x ) 2 \sin^2(x) = \frac{1}{2} - \frac{\cos(2x)}{2} sin 2 ( x ) = 2 1 − 2 c o s ( 2 x ) . Dado que el valor medio de
cos ( 2 x ) \cos(2x) cos ( 2 x ) en un período es
0 0 0 , el valor medio de
sin 2 ( x ) \sin^2(x) sin 2 ( x ) es
1 2 \frac{1}{2} 2 1 .
Intentar de nuevo Ver respuesta Respuesta correcta: C) 1 2 \frac{1}{2} 2 1
A) 1 1 1 Incorrecto. 1 1 1 B) 0 0 0 Incorrecto. 0 0 0 sin ( x ) \sin(x) sin ( x ) sin 2 ( x ) \sin^2(x) sin 2 ( x ) C) 1 2 \frac{1}{2} 2 1 Correcto. Usando sin 2 ( x ) = 1 − cos ( 2 x ) 2 \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} sin 2 ( x ) = 2 1 − c o s ( 2 x ) 0 0 0 1 / 2 1/2 1/2 D) π 2 \frac{\pi}{2} 2 π Incorrecto. Confundió el valor de la integral con el promedio. 💡 Explicación
Utilizando la identidad de reducción de potencia
sin 2 ( x ) = 1 2 − cos ( 2 x ) 2 \sin^2(x) = \frac{1}{2} - \frac{\cos(2x)}{2} sin 2 ( x ) = 2 1 − 2 c o s ( 2 x ) . Dado que el valor medio de
cos ( 2 x ) \cos(2x) cos ( 2 x ) en un período es
0 0 0 , el valor medio de
sin 2 ( x ) \sin^2(x) sin 2 ( x ) es
1 2 \frac{1}{2} 2 1 .
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