Identidades Trigonometricas

Respuesta correcta: D) $\frac{5}{2}$

• A) $\frac{2}{5}$Incorrecto. Ese es el propio $\cos\theta$; la secante es su recíproco, no el mismo valor.
• B) $-\frac{5}{2}$Incorrecto. Invertir no cambia el signo: si $\cos\theta > 0$, entonces $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ también es positiva.
• C) $\frac{\sqrt{21}}{5}$Incorrecto. Ese valor es $\sin\theta = \sqrt{1 - \frac{4}{25}}$; confundiste la secante con el seno.
• D) $\frac{5}{2}$Correcto. La secante es la recíproca del coseno: $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1}{2/5} = \frac{5}{2}$.

Respuesta correcta: C) $\sin x$

• A) $\frac{\sin x}{\cos^2 x}$Incorrecto. Ese resultado sale de dividir por $\cos x$ en lugar de multiplicar; $\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x$ cancela el coseno.
• B) $1$Incorrecto. Se confundió con la identidad pitagórica; el producto $\tan x\cos x$ no es constante, por ejemplo en $x=0$ vale $0$.
• C) $\sin x$Correcto. Por la identidad de cociente, $\tan x \cdot \cos x = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot\cos x = \sin x$.
• D) $\sec x$Incorrecto. La secante es $\frac{1}{\cos x}$; al multiplicar la tangente por el coseno el coseno desaparece y queda el seno.

Respuesta correcta: C) $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$

• A) $1 + \sec^2 x = \tan^2 x$Incorrecto. Los términos están intercambiados: en $x=0$ queda $1 + 1 = 0$, que es falso.
• B) $\sin x + \cos x = 1$Incorrecto. La identidad pitagórica usa cuadrados; en $x = \frac{\pi}{4}$ la suma vale $\sqrt{2} \ne 1$.
• C) $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$Correcto. Dividiendo $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ por $\cos^2 x$ se obtiene $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$.
• D) $1 + \cot^2 x = \sec^2 x$Incorrecto. Con la cotangente la identidad correcta es $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$; se mezcló la cosecante con la secante.

Respuesta correcta: B) $-\frac{4}{5}$

• A) $\frac{4}{5}$Incorrecto. El módulo es correcto, pero se ignoró que en el segundo cuadrante el coseno es negativo.
• B) $-\frac{4}{5}$Correcto. De $\cos^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ sale $|\cos\theta| = \frac{4}{5}$, y en el segundo cuadrante el coseno es negativo.
• C) $-\frac{3}{4}$Incorrecto. Ese es el valor de $\tan\theta = \frac{3/5}{-4/5}$, no el del coseno.
• D) $\frac{2}{5}$Incorrecto. Se restó $1 - \frac{3}{5}$ sin elevar al cuadrado; la identidad es $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.

Respuesta correcta: C) $\sin x$

• A) $\cos x$Incorrecto. Se reemplazó $1-\cos^2 x$ por $\sin x\cos x$; la identidad correcta da $\sin^2 x$.
• B) $1$Incorrecto. Se simplificó como si $1-\cos^2 x = \sin x$; falta el cuadrado, porque $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.
• C) $\sin x$Correcto. Como $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$, queda $\frac{\sin^2 x}{\sin x} = \sin x$.
• D) $\frac{1}{\sin x} - \cos x$Incorrecto. Se separó mal la fracción: $\frac{\cos^2 x}{\sin x}$ no es $\cos x$, porque el denominador es $\sin x$.

Respuesta correcta: A) $1 + \sin 2x$

• A) $1 + \sin 2x$Correcto. Desarrollando: $\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x\cos x = 1 + \sin 2x$.
• B) $1$Incorrecto. Se olvidó el doble producto del binomio: $(p+q)^2 = p^2 + 2pq + q^2$, y $2\sin x\cos x$ no se anula.
• C) $1 + \cos 2x$Incorrecto. El doble producto $2\sin x\cos x$ es $\sin 2x$; $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ es otra fórmula.
• D) $2 + \sin 2x$Incorrecto. Se tomó $\sin^2 x + \cos^2 x = 2$; la identidad pitagórica dice que esa suma es $1$.

Respuesta correcta: D) $0{,}96$

• A) $1{,}2$Incorrecto. Se calculó $2\sin\theta$; el ángulo doble no duplica el seno, y además un seno nunca supera $1$.
• B) $0{,}48$Incorrecto. Se calculó $\sin\theta\cos\theta = 0{,}6\cdot 0{,}8$ y faltó el factor $2$ de $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$.
• C) $0{,}28$Incorrecto. Ese es $\cos 2\theta = 1 - 2\cdot 0{,}36$; se usó la fórmula del coseno del ángulo doble en lugar de la del seno.
• D) $0{,}96$Correcto. Con $\cos\theta = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$: $\sin 2\theta = 2\cdot 0{,}6\cdot 0{,}8 = 0{,}96$.

Respuesta correcta: A) $-\frac{7}{9}$

• A) $-\frac{7}{9}$Correcto. Con $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2\cdot\frac{1}{9} - 1 = -\frac{7}{9}$.
• B) $\frac{2}{3}$Incorrecto. Se calculó $2\cos x$; el coseno del ángulo doble no es el doble del coseno.
• C) $\frac{7}{9}$Incorrecto. Se usó $1 - 2\cos^2 x$, que tiene el signo invertido; la fórmula es $2\cos^2 x - 1$ (o $1 - 2\sin^2 x$).
• D) $\frac{1}{9}$Incorrecto. Ese es $\cos^2 x$; faltó multiplicar por $2$ y restar $1$ en $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Respuesta correcta: D) $\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}$

• A) $\left\{\frac{\pi}{6}\right\}$Incorrecto. Falta la solución del segundo cuadrante: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ también cumple la ecuación.
• B) $\left\{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right\}$Incorrecto. Se confundió el seno con el coseno: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, no $\frac{1}{2}$.
• C) $\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right\}$Incorrecto. En $\frac{11\pi}{6}$ (cuarto cuadrante) el seno vale $-\frac{1}{2}$; esa simetría corresponde al coseno.
• D) $\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right\}$Correcto. De $\sin x = \frac{1}{2}$, el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante: $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Respuesta correcta: C) $\left\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$

• A) $\left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$Incorrecto. Se olvidó el factor $\cos x - 1 = 0$, que aporta la solución $x = 0$.
• B) $\left\{0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right\}$Incorrecto. Se tomó $\cos x = \frac{1}{2}$ por un error de signo; la raíz de $2u^2 - u - 1 = 0$ es $u = -\frac{1}{2}$.
• C) $\left\{0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$Correcto. Factorizando $(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$: $\cos x = 1$ da $x = 0$, y $\cos x = -\frac{1}{2}$ da $\frac{2\pi}{3}$ y $\frac{4\pi}{3}$.
• D) $\left\{\pi, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}\right\}$Incorrecto. Se factorizó como $(2\cos x - 1)(\cos x + 1)$, que da $2\cos^2 x + \cos x - 1$; los dos signos quedaron invertidos.

Respuesta correcta: B) Multiplicar numerador y denominador del lado izquierdo por $1 + \cos x$ y usar $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$

• A) Elevar al cuadrado ambos lados y comprobar que los cuadrados coincidenIncorrecto. Que los cuadrados sean iguales no prueba la igualdad: $p^2 = q^2$ también se cumple si $p = -q$.
• B) Multiplicar numerador y denominador del lado izquierdo por $1 + \cos x$ y usar $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$Correcto. Queda $\frac{\sin x(1+\cos x)}{1 - \cos^2 x} = \frac{\sin x(1+\cos x)}{\sin^2 x} = \frac{1+\cos x}{\sin x}$, que es el lado derecho.
• C) Reemplazar $\cos x$ por $1 - \sin x$ en ambos ladosIncorrecto. La relación $\cos x = 1 - \sin x$ es falsa; la identidad pitagórica relaciona los cuadrados, no las razones.
• D) Verificar la igualdad en $x = \frac{\pi}{2}$ y concluir que vale siempreIncorrecto. Un solo valor que cumple la igualdad no la demuestra para todos los $x$; se necesita un argumento general.

Respuesta correcta: D) Dividió por $\sin x$, que puede ser $0$; perdió $x = \pi$ y la respuesta es $\{0, \pi\}$

• A) No hay error; la única solución es $x = 0$Incorrecto. En $x = \pi$: $\sin\pi\cos\pi = 0 = \sin\pi$, así que $\pi$ también es solución y se perdió al dividir.
• B) Dividió por $\sin x$; la respuesta es $\left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\right\}$Incorrecto. En $x = \frac{\pi}{2}$ queda $1\cdot 0 = 0 \ne 1$; esos valores anulan el coseno, no el seno.
• C) Debía dividir por $\cos x$; la respuesta es $\{0, 2\pi\}$Incorrecto. Dividir por $\cos x$ no resuelve nada y $2\pi$ no pertenece a $[0, 2\pi)$ porque el intervalo es abierto a la derecha.
• D) Dividió por $\sin x$, que puede ser $0$; perdió $x = \pi$ y la respuesta es $\{0, \pi\}$Correcto. Al factorizar $\sin x(\cos x - 1) = 0$ aparece $\sin x = 0$, que da $x = 0$ y $x = \pi$; $\cos x = 1$ solo repite $x = 0$.

Respuesta correcta: C) $4$

• A) $2$Incorrecto. Se dividió por $\cos x$ y quedaron solo $\frac{\pi}{6}$ y $\frac{5\pi}{6}$; se perdieron los ceros de $\cos x$.
• B) $3$Incorrecto. Del factor $\cos x = 0$ salen dos soluciones en $[0, 2\pi)$, $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{3\pi}{2}$, no una.
• C) $4$Correcto. Con $2\sin x\cos x - \cos x = \cos x(2\sin x - 1) = 0$: $\cos x = 0$ da $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ y $\sin x = \frac{1}{2}$ da $\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
• D) $6$Incorrecto. Se contaron también $\frac{7\pi}{6}$ y $\frac{11\pi}{6}$, donde $\sin x = -\frac{1}{2}$, que no cumplen $2\sin x - 1 = 0$.

Respuesta correcta: A) Para todo real salvo $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, con $k$ entero

• A) Para todo real salvo $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, con $k$ enteroCorrecto. La identidad $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ da $f(x) = 1$, pero solo donde $\cos x \ne 0$, porque en $\frac{\pi}{2} + k\pi$ ni la secante ni la tangente existen.
• B) Para todo número real $x$Incorrecto. En $x = \frac{\pi}{2}$ el coseno vale $0$ y $\sec x$ no está definida, así que $f$ no existe allí.
• C) Solo para $x$ en $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$Incorrecto. La identidad vale en cualquier $x$ con $\cos x \ne 0$, por ejemplo en $x = \pi$: $1 - 0 = 1$.
• D) Para ningún $x$, porque $\sec^2 x - \tan^2 x = -1$Incorrecto. Se restó en el orden contrario: $\tan^2 x - \sec^2 x = -1$, pero $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$.

Respuesta correcta: A) $45^\circ$

• A) $45^\circ$Correcto. Con $\tan(\alpha+\beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}} = \frac{5/6}{5/6} = 1$, y siendo $\alpha+\beta$ agudo, vale $45^\circ$.
• B) $\arctan\left(\frac{5}{6}\right)$Incorrecto. Se sumaron las tangentes sin dividir por $1 - \tan\alpha\tan\beta$; la tangente no es aditiva.
• C) $\arctan\left(\frac{1}{6}\right)$Incorrecto. Se multiplicaron las tangentes; la fórmula de la suma usa $\tan\alpha + \tan\beta$ en el numerador.
• D) $\arctan\left(\frac{5}{7}\right)$Incorrecto. Se puso $1 + \tan\alpha\tan\beta = \frac{7}{6}$ en el denominador; para la suma corresponde el signo menos.