Funcion Exponencial

Respuesta correcta: A) $f(x) = 3\cdot 2^x$

• A) $f(x) = 3\cdot 2^x$Correcto. La variable está en el exponente y la base $2$ es positiva y distinta de $1$: es de la forma $a\cdot b^x$.
• B) $g(x) = 3x^2$Incorrecto. Aquí la variable es la base y el exponente es fijo: es una función cuadrática, no exponencial.
• C) $h(x) = 2x + 3$Incorrecto. Es una función lineal: aumenta siempre $2$ unidades por cada unidad de $x$, no se multiplica por un factor constante.
• D) $k(x) = x^3$Incorrecto. Es una función potencia (cúbica) porque el exponente $3$ es constante y la variable está en la base.

Respuesta correcta: A) Un decrecimiento del $20\,\%$ por año

• A) Un decrecimiento del $20\,\%$ por añoCorrecto. Cada año el valor se multiplica por $0{,}8 = 1 - 0{,}2$, es decir, conserva el $80\,\%$ y pierde el $20\,\%$.
• B) Un crecimiento del $80\,\%$ por añoIncorrecto. Como $0 < 0{,}8 < 1$ la función decrece; un crecimiento del $80\,\%$ exigiría el factor $1{,}8$.
• C) Un decrecimiento del $80\,\%$ por añoIncorrecto. Perder el $80\,\%$ dejaría el $20\,\%$, es decir, factor $0{,}2$; el factor $0{,}8$ indica lo que se conserva.
• D) Un crecimiento del $20\,\%$ por añoIncorrecto. Un crecimiento del $20\,\%$ corresponde al factor $1{,}2$; con base menor que $1$ el valor baja.

Respuesta correcta: C) Ordenada al origen $(0, 4)$; asíntota $y = 3$

• A) Ordenada al origen $(0, 3)$; asíntota $y = 0$Incorrecto. Se tomó $2^0 = 0$; en realidad $2^0 = 1$, y el $+3$ desplaza la asíntota de $y = 0$ a $y = 3$.
• B) Ordenada al origen $(0, 5)$; asíntota $y = 3$Incorrecto. Se calculó $2^0$ como $2$; todo número no nulo elevado a $0$ vale $1$, así que $f(0) = 4$.
• C) Ordenada al origen $(0, 4)$; asíntota $y = 3$Correcto. Con $f(0) = 2^0 + 3 = 1 + 3 = 4$, y cuando $x \to -\infty$, $2^x \to 0$, así que $f(x) \to 3$.
• D) Ordenada al origen $(0, 4)$; asíntota $y = 0$Incorrecto. La ordenada es correcta, pero el $+3$ traslada todo el gráfico, incluida la asíntota, $3$ unidades hacia arriba.

Respuesta correcta: B) $f(x) = 3\cdot 2^x$

• A) $f(x) = 3\cdot 3^x$Incorrecto. Se tomó $b = 6 - 3 = 3$ como si fuera una diferencia; en un modelo exponencial $b$ es el cociente $\frac{f(1)}{f(0)} = 2$.
• B) $f(x) = 3\cdot 2^x$Correcto. De $f(0) = a = 3$ y $f(1) = 3b = 6$ sale $b = 2$.
• C) $f(x) = 2\cdot 3^x$Incorrecto. Se intercambiaron los parámetros: con esa fórmula $f(0) = 2$, pero el dato inicial es $3$.
• D) $f(x) = 6\cdot 2^x$Incorrecto. Se usó $f(1)$ como valor inicial; el coeficiente $a$ es $f(0)$, porque $b^0 = 1$.

Respuesta correcta: D) 597.026,15 pesos

• A) 590.000 pesosIncorrecto. Ese es el interés simple, $500\,000\cdot(1 + 0{,}03\cdot 6)$; con capitalización los intereses también generan intereses.
• B) 579.637,04 pesosIncorrecto. Se usó el exponente $5$: $500\,000\cdot 1{,}03^5$; son $6$ capitalizaciones, una por mes.
• C) 97.026,15 pesosIncorrecto. Ese número es solo el interés ganado, $597\,026{,}15 - 500\,000$, no el monto final.
• D) 597.026,15 pesosCorrecto. El monto es $500\,000\cdot 1{,}03^6 \approx 597\,026{,}15$, porque cada mes se aplica el $3\,\%$ sobre el saldo acumulado.

Respuesta correcta: B) 19.212,39 pesos

• A) 17.760 pesosIncorrecto. Se sumó $12\cdot 4\,\% = 48\,\%$ como si los aumentos no se acumularan; eso es crecimiento lineal, no exponencial.
• B) 19.212,39 pesosCorrecto. El cálculo es $12\,000\cdot 1{,}04^{12} \approx 12\,000\cdot 1{,}601032 \approx 19\,212{,}39$, porque cada aumento se aplica sobre el precio ya aumentado.
• C) 149.760 pesosIncorrecto. Se multiplicó $12\,000\cdot 1{,}04\cdot 12$; el $12$ es el exponente, no un factor.
• D) 18.473,45 pesosIncorrecto. Se usó $1{,}04^{11}$; en $12$ meses hay $12$ aumentos, así que el exponente es $12$.

Respuesta correcta: A) $10$ mg

• A) $10$ mgCorrecto. En $24$ días hay $\frac{24}{8} = 3$ vidas medias: $80\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 10$ mg.
• B) $20$ mgIncorrecto. Se aplicaron solo dos vidas medias, $80\cdot\frac{1}{4}$; en $24$ días caben tres períodos de $8$ días.
• C) $26{,}7$ mgIncorrecto. Se dividió $80$ por $3$; cada vida media divide la cantidad por $2$, no se reparte en partes iguales.
• D) $5$ mgIncorrecto. Se aplicaron cuatro vidas medias, $80\cdot\frac{1}{16}$, una de más: $\frac{24}{8} = 3$.

Respuesta correcta: D) Trasladándolo $3$ unidades hacia la derecha

• A) Trasladándolo $3$ unidades hacia la izquierdaIncorrecto. Restar $3$ dentro del exponente retrasa el gráfico; la izquierda correspondería a $2^{x+3}$.
• B) Trasladándolo $3$ unidades hacia arribaIncorrecto. Un desplazamiento vertical se escribe fuera del exponente, $2^x + 3$; aquí el $-3$ afecta a la variable.
• C) Trasladándolo $3$ unidades hacia abajoIncorrecto. Eso sería $2^x - 3$, que cambia la asíntota a $y = -3$; en $2^{x-3}$ la asíntota sigue siendo $y = 0$.
• D) Trasladándolo $3$ unidades hacia la derechaCorrecto. Como $g(x) = f(x - 3)$, el valor que $f$ toma en $x$ lo toma $g$ en $x + 3$: por ejemplo, $g(3) = 2^0 = 1 = f(0)$.

Respuesta correcta: C) $32\,000$

• A) $6\,000$Incorrecto. Se calculó $500\cdot 2\cdot 6$; las duplicaciones se encadenan, así que el factor es $2^6 = 64$, no $12$.
• B) $16\,000$Incorrecto. Se contaron $5$ duplicaciones en lugar de $6$: $\frac{120}{20} = 6$.
• C) $32\,000$Correcto. En $120$ minutos hay $\frac{120}{20} = 6$ duplicaciones: $500\cdot 2^6 = 500\cdot 64 = 32\,000$.
• D) $64\,000$Incorrecto. Ese es $500\cdot 2^7$; se agregó una duplicación de más respecto de las $6$ que ocurren en $2$ horas.

Respuesta correcta: B) $20\,\%$

• A) $36\,\%$Incorrecto. Esa es la pérdida total en los dos años, $1 - 0{,}64$; la tasa anual sale de $b = \sqrt{0{,}64}$.
• B) $20\,\%$Correcto. De $b^2 = \frac{12\,800\,000}{20\,000\,000} = 0{,}64$ sale $b = 0{,}8$: el auto pierde el $20\,\%$ por año.
• C) $18\,\%$Incorrecto. Se dividió $36\,\%$ por $2$, como si la depreciación fuera lineal; en un modelo exponencial se toma raíz cuadrada.
• D) $64\,\%$Incorrecto. El valor $0{,}64$ es lo que se conserva en dos años, no lo que se pierde por año.

Respuesta correcta: C) El plan A: termina con unos 1.795.856 pesos frente a 1.720.000 del B

• A) El plan B: el A termina con 1.600.000 pesosIncorrecto. Para el plan A se sumó $12\cdot 5\,\% = 60\,\%$ como interés simple; al capitalizar, el factor es $1{,}05^{12} \approx 1{,}796$.
• B) El plan B: el A termina con 1.050.000 pesosIncorrecto. Se aplicó el $5\,\%$ una sola vez; el plan A capitaliza durante $12$ meses, con exponente $12$.
• C) El plan A: termina con unos 1.795.856 pesos frente a 1.720.000 del BCorrecto. A da $1\,000\,000\cdot 1{,}05^{12} \approx 1\,795\,856$ y B da $1\,000\,000 + 12\cdot 60\,000 = 1\,720\,000$.
• D) El plan A: termina con 1.795.856 pesos frente a 1.060.000 del BIncorrecto. El monto del A está bien, pero el B paga $60\,000$ durante $12$ meses, no uno: $1\,000\,000 + 720\,000$.

Respuesta correcta: B) Es decreciente y su imagen es $(-\infty, 1)$

• A) Es creciente y su imagen es $(1, +\infty)$Incorrecto. Se ignoró el coeficiente $-2$, que refleja el gráfico respecto del eje horizontal y lo vuelve decreciente.
• B) Es decreciente y su imagen es $(-\infty, 1)$Correcto. Como $3^x > 0$, $-2\cdot 3^x < 0$ y $f(x) < 1$; además $-2\cdot 3^x$ disminuye cuando $x$ aumenta.
• C) Es decreciente y su imagen es $(-\infty, -1)$Incorrecto. Se confundió $f(0) = -1$ con la asíntota; la asíntota es $y = 1$, y valores como $f(-1) = \frac{1}{3}$ superan a $-1$.
• D) Corta al eje $x$ en $x = 0$Incorrecto. En $x = 0$: $f(0) = -2 + 1 = -1 \ne 0$; el cero está en $3^x = \frac{1}{2}$, un $x$ negativo.

Respuesta correcta: A) $4;\ 6;\ 9;\ 13{,}5$

• A) $4;\ 6;\ 9;\ 13{,}5$Correcto. El cociente entre valores consecutivos es constante: $\frac{6}{4} = \frac{9}{6} = \frac{13{,}5}{9} = 1{,}5$.
• B) $4;\ 6;\ 8;\ 10$Incorrecto. Aquí la diferencia es constante ($+2$), lo que corresponde a una función lineal, no exponencial.
• C) $4;\ 6;\ 9;\ 12$Incorrecto. Los primeros cocientes valen $1{,}5$, pero $\frac{12}{9} \approx 1{,}33$; el factor no es constante.
• D) $4;\ 5;\ 8;\ 13$Incorrecto. Las diferencias $1, 3, 5$ crecen de a $2$: es un patrón cuadrático, y los cocientes no son iguales.

Respuesta correcta: C) $42{,}6\,\%$

• A) $36\,\%$Incorrecto. Se sumaron los porcentajes, $12\cdot 3\,\%$; cada aumento se aplica sobre precios que ya subieron, por eso el total es mayor.
• B) $3\,\%$Incorrecto. El $3\,\%$ es la tasa de un mes; en el año hay $12$ aumentos sucesivos.
• C) $42{,}6\,\%$Correcto. Los aumentos se encadenan: $1{,}03^{12} \approx 1{,}4258$, es decir, un aumento acumulado del $42{,}6\,\%$.
• D) $142{,}6\,\%$Incorrecto. El factor $1{,}426$ indica que el precio final es el $142{,}6\,\%$ del inicial, pero el aumento es $142{,}6 - 100 = 42{,}6\,\%$.

Respuesta correcta: D) $10$ años

• A) $15$ añosIncorrecto. Se contaron solo dos mitades en $30$ años; con vida media de $15$ años quedarían $120\cdot\frac{1}{4} = 30$ g, no $15$ g.
• B) $7{,}5$ añosIncorrecto. Con vida media de $7{,}5$ años habría $4$ semividas en $30$ años y quedarían $120\cdot\frac{1}{16} = 7{,}5$ g, no $15$ g.
• C) $3{,}75$ añosIncorrecto. Se dividió $30$ por el factor $8$; hay que contar cuántas mitades hay en $\frac{1}{8}$, que son $3$, y dividir $30$ por $3$.
• D) $10$ añosCorrecto. De $120$ a $15$ el factor es $\frac{15}{120} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^3$: tres vidas medias en $30$ años, cada una de $10$ años.

Respuesta correcta: D) Para todo $x > 4$ se cumple $2^x > x^2$

• A) Para todo $x > 0$ se cumple $x^2 > 2^x$Incorrecto. Falla en $x = 1$: $1^2 = 1 < 2^1 = 2$, y también para todo $x > 4$.
• B) Los gráficos se cortan solo en $x = 2$Incorrecto. También se cortan en $x = 4$, pues $2^4 = 16 = 4^2$, y en un valor negativo cercano a $x \approx -0{,}77$.
• C) Para todo número real $x$ se cumple $2^x > x^2$Incorrecto. Falla en $x = 3$: $2^3 = 8 < 3^2 = 9$; entre $2$ y $4$ la cuadrática es mayor.
• D) Para todo $x > 4$ se cumple $2^x > x^2$Correcto. Las curvas se cortan en $x = 2$ y $x = 4$ (y en un $x$ negativo); a partir de $x = 4$ la exponencial supera siempre a la cuadrática, por ejemplo $2^5 = 32 > 25$.

Respuesta correcta: B) Es incorrecta: $\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{2^x} = 2^{-x}$, así que son la misma función

• A) Es correcta: $f$ decrece y $g$ creceIncorrecto. Ambas decrecen: $g(x) = 2^{-x}$ baja al aumentar $x$, por ejemplo $g(1) = \frac{1}{2}$ y $g(2) = \frac{1}{4}$.
• B) Es incorrecta: $\left(\frac{1}{2}\right)^x = \frac{1}{2^x} = 2^{-x}$, así que son la misma funciónCorrecto. Por las propiedades de las potencias, $\left(\frac{1}{2}\right)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$ para todo $x$ real.
• C) Es correcta: $g$ es la reflexión de $f$ respecto del eje $y$Incorrecto. La reflexión de $f$ respecto del eje $y$ es $f(-x) = 2^x$, que no es $g$; $g$ coincide con $f$.
• D) Es correcta: difieren en $x = 0$Incorrecto. En $x = 0$ ambas valen $1$, porque toda base positiva elevada a $0$ da $1$.