Funcion Logaritmica

Respuesta correcta: A) $5$

• A) $5$Correcto. Como $2^5 = 32$, el logaritmo en base $2$ de $32$ es el exponente $5$.
• B) $16$Incorrecto. Se dividió $32 : 2$; el logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base, no un cociente.
• C) $30$Incorrecto. Se restó $32 - 2$; el logaritmo responde a qué potencia de $2$ da $32$.
• D) $\frac{1}{5}$Incorrecto. Se invirtió el resultado: $2^{1/5} = \sqrt[5]{2} \approx 1{,}15$, no $32$.

Respuesta correcta: C) $(3, +\infty)$

• A) $[3, +\infty)$Incorrecto. En $x = 3$ el argumento vale $0$ y $\log 0$ no está definido; el extremo debe quedar abierto.
• B) $(0, +\infty)$Incorrecto. Ese es el dominio de $\log x$; el $-3$ desplaza el dominio $3$ unidades hacia la derecha.
• C) $(3, +\infty)$Correcto. El argumento de un logaritmo debe ser positivo: $x - 3 > 0$, o sea, $x > 3$.
• D) $(-3, +\infty)$Incorrecto. Error de signo al despejar: $x - 3 > 0$ da $x > 3$, no $x > -3$.

Respuesta correcta: A) $f^{-1}(x) = \log_3 x$

• A) $f^{-1}(x) = \log_3 x$Correcto. El logaritmo en base $3$ deshace la potencia de base $3$: $\log_3(3^x) = x$ y $3^{\log_3 x} = x$.
• B) $f^{-1}(x) = x^{1/3}$Incorrecto. La raíz cúbica es la inversa de $x^3$, donde la variable está en la base; aquí la variable está en el exponente.
• C) $f^{-1}(x) = \frac{1}{3^x}$Incorrecto. Ese es el recíproco $3^{-x}$, no la inversa; por ejemplo, no devuelve $x$ al componer con $3^x$.
• D) $f^{-1}(x) = \frac{x}{3}$Incorrecto. Dividir por $3$ deshace multiplicar por $3$; la inversa de elevar a la $x$ es tomar logaritmo.

Respuesta correcta: C) $\log(ab) = \log a + \log b$

• A) $\log(a + b) = \log a + \log b$Incorrecto. No existe una regla para el logaritmo de una suma; con $a = b = 1$: $\log 2 \ne 0$.
• B) $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{\log a}{\log b}$Incorrecto. El logaritmo de un cociente es una resta, $\log a - \log b$, no un cociente de logaritmos.
• C) $\log(ab) = \log a + \log b$Correcto. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, porque al multiplicar potencias de igual base se suman exponentes.
• D) $\log(a^n) = (\log a)^n$Incorrecto. El exponente baja multiplicando: $\log(a^n) = n\log a$; por ejemplo, $\log 100 = 2$ y $(\log 10)^2 = 1$.

Respuesta correcta: B) $2{,}70$

• A) $3{,}30$Incorrecto. Se sumó $\log 2$ en lugar de restarlo: $-\log(2\cdot 10^{-3}) = 3 - 0{,}30$.
• B) $2{,}70$Correcto. Con $\text{pH} = -(\log 2 + \log 10^{-3}) = -(0{,}30 - 3) = 2{,}70$.
• C) $-2{,}70$Incorrecto. Se olvidó el signo menos de la definición de pH; $\log(2\cdot 10^{-3})$ es negativo y el pH queda positivo.
• D) $0{,}30$Incorrecto. Se tomó solo $\log 2$ y se ignoró el factor $10^{-3}$, que aporta $-3$ al logaritmo.

Respuesta correcta: D) $110$ dB

• A) $11$ dBIncorrecto. Se calculó $\log 10^{11} = 11$ pero se olvidó multiplicar por $10$ en la fórmula de decibeles.
• B) $130$ dBIncorrecto. Se sumaron los exponentes $1 + 12$; al dividir potencias de igual base se restan: $-1 - (-12) = 11$.
• C) $-110$ dBIncorrecto. Se invirtió el cociente, $\frac{I_0}{I}$; la fórmula usa $\frac{I}{I_0}$, que aquí es mayor que $1$.
• D) $110$ dBCorrecto. Con $\frac{I}{I_0} = \frac{10^{-1}}{10^{-12}} = 10^{11}$, se obtiene $L = 10\cdot 11 = 110$ dB.

Respuesta correcta: C) $100$ veces

• A) $2$ vecesIncorrecto. Se tomó la diferencia de magnitudes como cociente de amplitudes; cada punto de magnitud multiplica la amplitud por $10$.
• B) $1{,}5$ vecesIncorrecto. Se dividieron las magnitudes, $\frac{6}{4}$; la escala es logarítmica y hay que restar magnitudes y elevar $10$ a esa diferencia.
• C) $100$ vecesCorrecto. La diferencia de magnitudes es $6 - 4 = 2$, y en escala logarítmica de base $10$ eso significa un cociente $10^2 = 100$.
• D) $20$ vecesIncorrecto. Se calculó $10\cdot 2$; la diferencia $2$ es un exponente: $10^2 = 100$.

Respuesta correcta: B) $4$

• A) $\log_2 45$Incorrecto. Se restaron los argumentos; la resta de logaritmos corresponde al cociente de los argumentos, no a su diferencia.
• B) $4$Correcto. Por la propiedad del cociente, $\log_2 48 - \log_2 3 = \log_2\frac{48}{3} = \log_2 16 = 4$.
• C) $16$Incorrecto. Se llegó a $\frac{48}{3} = 16$ pero faltó tomar $\log_2 16 = 4$.
• D) $\frac{\log_2 48}{\log_2 3}$Incorrecto. Se confundió la resta de logaritmos con un cociente de logaritmos, que es otra cantidad ($\approx 3{,}52$).

Respuesta correcta: A) Asíntota $x = -4$; corta al eje $x$ en $x = -3$

• A) Asíntota $x = -4$; corta al eje $x$ en $x = -3$Correcto. El argumento se anula en $x = -4$ (asíntota), y $\log_2(x + 4) = 0$ exige $x + 4 = 1$, o sea, $x = -3$.
• B) Asíntota $x = -4$; corta al eje $x$ en $x = 1$Incorrecto. Se usó $\log_2 1 = 0$ sin el desplazamiento: hay que pedir $x + 4 = 1$, no $x = 1$.
• C) Asíntota $x = 4$; corta al eje $x$ en $x = 5$Incorrecto. Error de signo: $x + 4 = 0$ da $x = -4$, y el gráfico se traslada hacia la izquierda.
• D) Asíntota $y = -4$; corta al eje $x$ en $x = -3$Incorrecto. La asíntota de un logaritmo es vertical; una recta $y = -4$ sería horizontal, y $f$ no la tiene.

Respuesta correcta: C) $2{,}113$

• A) $6$Incorrecto. Se dividió $30 : 5$; el logaritmo busca el exponente con $5^c = 30$, y $5^6$ es mucho mayor.
• B) $0{,}473$Incorrecto. Se invirtió el cambio de base, $\frac{\ln 5}{\ln 30}$; el logaritmo del argumento va en el numerador.
• C) $2{,}113$Correcto. Por cambio de base, $\log_5 30 = \frac{\ln 30}{\ln 5} \approx \frac{3{,}401}{1{,}609} \approx 2{,}113$; además $5^2 = 25$ y $5^3 = 125$ lo ubican entre $2$ y $3$.
• D) $1{,}477$Incorrecto. Ese es $\log 30$ en base $10$; faltó dividir por $\log 5$ para pasar a base $5$.

Respuesta correcta: B) Es decreciente y $f(4) = -2$

• A) Es creciente, porque todos los logaritmos crecenIncorrecto. Solo crecen los de base mayor que $1$; con base $\frac{1}{2}$, $f(2) = -1 < f(1) = 0$.
• B) Es decreciente y $f(4) = -2$Correcto. Con base entre $0$ y $1$ el logaritmo decrece, y $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$, así que $f(4) = -2$.
• C) Es decreciente y $f(4) = 2$Incorrecto. Se calculó $\log_2 4$; en base $\frac{1}{2}$ hay que resolver $\left(\frac{1}{2}\right)^c = 4$, cuyo exponente es $-2$.
• D) Su dominio es el conjunto de todos los realesIncorrecto. El dominio de todo logaritmo es $(0, +\infty)$; el conjunto de todos los reales es su imagen.

Respuesta correcta: D) $83$ dB

• A) $160$ dBIncorrecto. Se sumaron los decibeles; lo que se suma son intensidades, y en la escala logarítmica eso agrega solo $10\log 2$.
• B) $80$ dBIncorrecto. Se supuso que el nivel no cambia, pero la intensidad total es el doble y $\log$ es creciente.
• C) $90$ dBIncorrecto. Sumar $10$ dB corresponde a multiplicar la intensidad por $10$, no por $2$.
• D) $83$ dBCorrecto. Duplicar la intensidad suma $10\log 2 \approx 3{,}01$ dB: $80 + 3 = 83$ dB.

Respuesta correcta: A) $(20{,}09;\ 3)$

• A) $(20{,}09;\ 3)$Correcto. Como $\ln x$ es la inversa de $e^x$, sus gráficos son simétricos respecto de $y = x$: se intercambian las coordenadas, y $\ln 20{,}09 \approx 3$.
• B) $(-3;\ 20{,}09)$Incorrecto. Eso refleja respecto del eje $y$; la inversa se obtiene reflejando respecto de la recta $y = x$.
• C) $(3;\ -20{,}09)$Incorrecto. Eso refleja respecto del eje $x$; además $\ln 3 \approx 1{,}10$, no $-20{,}09$.
• D) $(20{,}09;\ -3)$Incorrecto. Se intercambiaron las coordenadas pero se cambió el signo; $\ln 20{,}09$ es positivo porque $20{,}09 > 1$.

Respuesta correcta: B) Coinciden solo para $x > 0$: $f$ está definida para todo $x \ne 0$, y $g$ solo para $x > 0$

• A) Son la misma función en todos los realesIncorrecto. Ninguna de las dos está definida en $x = 0$, y $g$ tampoco lo está para $x < 0$.
• B) Coinciden solo para $x > 0$: $f$ está definida para todo $x \ne 0$, y $g$ solo para $x > 0$Correcto. La propiedad $\log(a^n) = n\log a$ exige $a > 0$; para $x < 0$, $f(x)$ existe (por ejemplo, $f(-10) = 2$) y $g(x)$ no.
• C) Coinciden para todo $x \ne 0$Incorrecto. Para $x = -10$, $f(-10) = \log 100 = 2$, pero $g(-10) = 2\log(-10)$ no existe.
• D) No coinciden en ningún puntoIncorrecto. Para $x > 0$ la propiedad vale: por ejemplo, $f(10) = g(10) = 2$.

Respuesta correcta: C) Por $31{,}6$

• A) Por $10$Incorrecto. Ese factor corresponde a la amplitud ($M = \log\frac{A}{A_0}$); para la energía el coeficiente es $1{,}5$, y $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$.
• B) Por $1{,}5$Incorrecto. El $1{,}5$ es lo que aumenta $\log E$, no $E$; hay que elevar $10$ a esa diferencia.
• C) Por $31{,}6$Correcto. Al aumentar $M$ en $1$, $\log E$ aumenta $1{,}5$, y entonces $E$ se multiplica por $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$.
• D) Por $15$Incorrecto. Se multiplicó $10\cdot 1{,}5$; la diferencia de logaritmos $1{,}5$ se traduce en un factor $10^{1{,}5}$, no en un producto.

Respuesta correcta: D) $(0, 8)$

• A) $(-\infty, 8)$Incorrecto. Se olvidó la condición de dominio: el logaritmo solo existe para $x > 0$.
• B) $(0, 6)$Incorrecto. Se calculó $2\cdot 3 = 6$; para despejar hay que elevar: $x < 2^3 = 8$.
• C) $(8, +\infty)$Incorrecto. Se invirtió el sentido de la desigualdad; eso solo ocurre con bases entre $0$ y $1$, y aquí la base es $2$.
• D) $(0, 8)$Correcto. Como $\log_2$ es creciente, $\log_2 x < 3$ equivale a $x < 2^3 = 8$, y el dominio exige $x > 0$.

Respuesta correcta: A) Es verdadera solo para $x > 1$; en $x = 1$ son iguales y para $0 < x < 1$ ocurre lo contrario

• A) Es verdadera solo para $x > 1$; en $x = 1$ son iguales y para $0 < x < 1$ ocurre lo contrarioCorrecto. Con $\log_3 x = \frac{\ln x}{\ln 3}$ y $\log_5 x = \frac{\ln x}{\ln 5}$, como $\ln 3 < \ln 5$, el orden depende del signo de $\ln x$.
• B) Es verdadera para todo $x > 0$, porque $3 < 5$Incorrecto. Falla para $x < 1$: $\log_3\frac{1}{9} = -2$, mientras que $\log_5\frac{1}{9} \approx -1{,}37$, que es mayor.
• C) Es falsa para todo $x > 0$, porque la base mayor da logaritmos mayoresIncorrecto. Para $x = 9$: $\log_3 9 = 2$ y $\log_5 9 \approx 1{,}37$, así que la base menor da el valor mayor.
• D) Es verdadera solo para $0 < x < 1$Incorrecto. Es al revés: $\log_3\frac{1}{9} = -2 < \log_5\frac{1}{9} \approx -1{,}37$; en ese intervalo gana la base $5$.