Ecuaciones Exponenciales Logaritmicas

Respuesta correcta: A) $x = 3$

• A) $x = 3$Correcto. Como $81 = 3^4$, igualando exponentes $x + 1 = 4$, de donde $x = 3$.
• B) $x = 4$Incorrecto. Se igualó $x = 4$ olvidando el $+1$ del exponente: $3^{4+1} = 243 \ne 81$.
• C) $x = 26$Incorrecto. Se dividió $81 : 3 = 27$ y se restó $1$; la incógnita está en el exponente, así que hay que escribir $81$ como potencia de $3$.
• D) $x = 2$Incorrecto. Se tomó $81 = 3^3$, pero $3^3 = 27$; en realidad $81 = 3^4$.

Respuesta correcta: C) $x = 10$

• A) $x = 7$Incorrecto. Se calculó $3\cdot 2 + 1$; pasar del logaritmo a la potencia exige elevar: $x - 1 = 3^2$.
• B) $x = 9$Incorrecto. Se obtuvo $x - 1 = 9$ pero faltó sumar $1$ para despejar $x$.
• C) $x = 10$Correcto. Por definición, $x - 1 = 3^2 = 9$, y entonces $x = 10$.
• D) $x = 5$Incorrecto. Se sumó la base y el resultado, $3 + 2$; el logaritmo dice que $3$ elevado a $2$ es el argumento.

Respuesta correcta: D) $x = \frac{\log 12}{\log 5}$

• A) $x = \frac{12}{5}$Incorrecto. Se dividió $12$ por la base; $5^{12/5} \approx 47{,}6$, así que no cumple la ecuación.
• B) $x = \log\frac{12}{5}$Incorrecto. Se aplicó el logaritmo al cociente; la propiedad correcta lleva a un cociente de logaritmos, no al logaritmo de un cociente.
• C) $x = \log 12 - \log 5$Incorrecto. Esa resta es $\log\frac{12}{5} \approx 0{,}38$; despejar $x\log 5 = \log 12$ requiere dividir, no restar.
• D) $x = \frac{\log 12}{\log 5}$Correcto. Tomando logaritmo en ambos miembros, $x\log 5 = \log 12$, y se despeja dividiendo por $\log 5$.

Respuesta correcta: A) $x = \frac{3}{2}$

• A) $x = \frac{3}{2}$Correcto. Escribiendo $4^x = 2^{2x}$ y $8 = 2^3$, queda $2x = 3$, y entonces $x = \frac{3}{2}$.
• B) $x = 2$Incorrecto. Se dividió $8 : 4$; con $x = 2$ resulta $4^2 = 16 \ne 8$.
• C) $x = \frac{2}{3}$Incorrecto. Se invirtió el cociente: de $2x = 3$ sale $x = \frac{3}{2}$, no $\frac{2}{3}$.
• D) $x = 3$Incorrecto. Se igualó $x = 3$ olvidando que $4^x = 2^{2x}$; hay que dividir por $2$.

Respuesta correcta: C) $\{1, 2\}$

• A) $\{2, 4\}$Incorrecto. Esos son los valores de $u = 2^x$; faltó volver a la variable original: $2^x = 2$ y $2^x = 4$.
• B) $\{1\}$Incorrecto. Se perdió la raíz $u = 4$ de la cuadrática, que aporta $x = 2$.
• C) $\{1, 2\}$Correcto. Con $u = 2^x$ queda $u^2 - 6u + 8 = 0$, con raíces $u = 2$ y $u = 4$; entonces $2^x = 2$ da $x = 1$ y $2^x = 4$ da $x = 2$.
• D) $\{1, 3\}$Incorrecto. Se usó el término independiente $8 = 2^3$ como si fuera una raíz; las raíces de $u^2 - 6u + 8$ son $2$ y $4$.

Respuesta correcta: D) $\{5\}$

• A) $\{5, -2\}$Incorrecto. Con $x = -2$ aparece $\log(-2)$, que no existe; hay que descartar las soluciones fuera del dominio.
• B) $\{-2\}$Incorrecto. Se descartó la solución válida y se conservó la que da logaritmos de negativos.
• C) $\left\{\frac{13}{2}\right\}$Incorrecto. Se escribió $\log(x + x - 3)$; la suma de logaritmos es el logaritmo del producto, no de la suma.
• D) $\{5\}$Correcto. De $x(x - 3) = 10$ salen $x = 5$ y $x = -2$; solo $x = 5$ cumple $x > 3$, que es el dominio de la ecuación.

Respuesta correcta: D) $18$ meses

• A) $25$ mesesIncorrecto. Se usó interés simple: $\frac{100\,000}{4\,000} = 25$; con capitalización el capital se duplica antes.
• B) $17$ mesesIncorrecto. Se redondeó $17{,}67$ hacia abajo; $100\,000\cdot 1{,}04^{17} \approx 194\,790$, que no alcanza.
• C) $50$ mesesIncorrecto. Se calculó $\frac{2}{0{,}04}$, que no tiene sentido en el modelo; hay que resolver $1{,}04^t = 2$ con logaritmos.
• D) $18$ mesesCorrecto. De $1{,}04^t = 2$ sale $t = \frac{\ln 2}{\ln 1{,}04} \approx 17{,}67$; como en el mes $17$ todavía no se llega, hacen falta $18$.

Respuesta correcta: C) $x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}973$

• A) $x = \ln 14 \approx 2{,}639$Incorrecto. Se multiplicó $2\cdot 7$ dentro del logaritmo; el $2$ multiplica a $x$ en el exponente, no al $7$.
• B) $x = \frac{7}{2}$Incorrecto. Se dividió $7$ por $2$ sin tomar logaritmo; con $x = 3{,}5$ resulta $e^{7} \approx 1097$.
• C) $x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}973$Correcto. Aplicando $\ln$: $2x = \ln 7$, y dividiendo por $2$ queda $x = \frac{\ln 7}{2} \approx 0{,}973$.
• D) $x = 2\ln 7 \approx 3{,}892$Incorrecto. Se multiplicó por $2$ en lugar de dividir al despejar $2x = \ln 7$.

Respuesta correcta: A) $x = \frac{5}{3}$

• A) $x = \frac{5}{3}$Correcto. De $\frac{x + 1}{x - 1} = 2^2 = 4$ sale $x + 1 = 4x - 4$, o sea, $x = \frac{5}{3}$, que cumple $x > 1$.
• B) No tiene soluciónIncorrecto. Se restaron los argumentos, $(x + 1) - (x - 1) = 2$, y se llegó a $\log_2 2 = 1 \ne 2$; la resta de logaritmos es el logaritmo del cociente.
• C) $x = 3$Incorrecto. Se igualó el cociente a $2$ en lugar de a $2^2 = 4$: el logaritmo $2$ indica el exponente.
• D) $x = -\frac{5}{3}$Incorrecto. Error de signo al despejar; además ese valor da $x - 1 < 0$ y queda fuera del dominio.

Respuesta correcta: D) Unos $9953$ años

• A) Unos $1719$ añosIncorrecto. Se multiplicó $5730\cdot 0{,}3$, como si la desintegración fuera proporcional; hay que resolver una ecuación exponencial.
• B) Unos $4011$ añosIncorrecto. Se multiplicó $5730\cdot 0{,}7$, una relación lineal; además, con menos de una vida media quedaría más del $50\,\%$.
• C) Unos $2949$ añosIncorrecto. Se usó $0{,}7$ en lugar de $0{,}3$: se planteó lo que se perdió y no lo que se conserva.
• D) Unos $9953$ añosCorrecto. De $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0{,}3$ sale $t = 5730\cdot\frac{\ln 0{,}3}{\ln 0{,}5} \approx 9953$ años.

Respuesta correcta: D) Tiene una única solución, $x = 2$, porque $3^x = -6$ es imposible

• A) Tiene dos soluciones: $x = 2$ y $x = \log_3(-6)$Incorrecto. El logaritmo de un número negativo no existe: ninguna potencia de $3$ da $-6$.
• B) Sus soluciones son $x = 9$ y $x = -6$Incorrecto. Esos son los valores de $u = 3^x$; faltó volver a la variable $x$ y descartar $u < 0$.
• C) No tiene solución, porque una de las raíces es negativaIncorrecto. Que una raíz en $u$ sea negativa no anula la otra: $u = 9$ da $x = 2$, y $81 - 27 - 54 = 0$.
• D) Tiene una única solución, $x = 2$, porque $3^x = -6$ es imposibleCorrecto. Con $u = 3^x$: $u^2 - 3u - 54 = 0$, con raíces $u = 9$ y $u = -6$; como $3^x > 0$, solo vale $3^x = 9$, es decir, $x = 2$.

Respuesta correcta: B) Solo $x = 3$ es solución: con $x = -2$ aparece $\log(-2)$ en la ecuación original

• A) Ambas son soluciones, porque $(-2)^2 = 4 > 0$Incorrecto. Se verificó en $\log(x^2)$, pero la ecuación original tiene $2\log x$, que exige $x > 0$.
• B) Solo $x = 3$ es solución: con $x = -2$ aparece $\log(-2)$ en la ecuación originalCorrecto. La ecuación original exige $x > 0$ y $x + 6 > 0$; la raíz $-2$ surge al pasar a $x^2$, que amplía el dominio.
• C) Solo $x = -2$ es soluciónIncorrecto. Para $x = 3$: $2\log 3 = \log 9 = \log(3 + 6)$, así que $3$ sí es solución; y $-2$ no está en el dominio.
• D) Ninguna es solución, porque la ecuación es absurdaIncorrecto. La ecuación tiene solución: $x = 3$ verifica $\log 9 = \log 9$.

Respuesta correcta: B) En unos $14$ años

• A) En unos $25$ añosIncorrecto. Se usó crecimiento lineal ($1000$ y $600$ habitantes por año); el enunciado describe crecimiento porcentual compuesto.
• B) En unos $14$ añosCorrecto. De $20\,000\cdot 1{,}05^t = 30\,000\cdot 1{,}02^t$ sale $\left(\frac{1{,}05}{1{,}02}\right)^t = 1{,}5$ y $t = \frac{\ln 1{,}5}{\ln(1{,}05/1{,}02)} \approx 13{,}99$.
• C) En unos $8{,}3$ añosIncorrecto. Se ignoró que B también crece: $\frac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}05} \approx 8{,}3$ es el tiempo para que A llegue a $30\,000$.
• D) En unos $50$ añosIncorrecto. Se dividió $1{,}5$ por la diferencia de tasas $0{,}03$; hay que igualar los dos modelos y tomar logaritmos.

Respuesta correcta: A) Exactamente una, $x = 2$, porque un miembro es creciente y el otro decreciente

• A) Exactamente una, $x = 2$, porque un miembro es creciente y el otro decrecienteCorrecto. El gráfico de $\log_2 x$ (creciente) y el de $3 - x$ (decreciente) se cortan a lo sumo una vez, y en $x = 2$: $\log_2 2 = 1 = 3 - 2$.
• B) Dos soluciones, como en una ecuación cuadráticaIncorrecto. No es cuadrática: una función creciente y una decreciente no pueden cortarse dos veces.
• C) Ninguna, porque no se puede despejar $x$Incorrecto. Que no haya despeje algebraico no impide la solución: $x = 2$ verifica la igualdad.
• D) Infinitas, porque ambos miembros toman todos los valores realesIncorrecto. Que dos funciones tengan la misma imagen no significa que coincidan en infinitos puntos; aquí solo coinciden en $x = 2$.

Respuesta correcta: C) $x = \frac{\ln 2}{\ln 3 - \ln 2} \approx 1{,}71$

• A) $x = \frac{\ln 2}{\ln 3 + \ln 2} \approx 0{,}39$Incorrecto. Error de signo al agrupar: al pasar $x\ln 2$ al primer miembro se resta, no se suma.
• B) $x = \frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0{,}63$Incorrecto. Se olvidó el término $x\ln 2$ que aparece al distribuir $(x + 1)\ln 2$.
• C) $x = \frac{\ln 2}{\ln 3 - \ln 2} \approx 1{,}71$Correcto. Con logaritmos: $x\ln 3 = (x + 1)\ln 2$, así que $x(\ln 3 - \ln 2) = \ln 2$.
• D) $x = \frac{\ln 3}{\ln 3 - \ln 2} \approx 2{,}71$Incorrecto. El numerador debe ser $\ln 2$, el término sin $x$; con $\ln 3$ no se cumple $3^x = 2^{x+1}$.

Respuesta correcta: A) $8{,}05$ horas

• A) $8{,}05$ horasCorrecto. De $e^{-0{,}2t} = \frac{10}{50} = 0{,}2$ sale $-0{,}2t = \ln 0{,}2$, es decir, $t = \frac{\ln 5}{0{,}2} \approx 8{,}05$.
• B) $0{,}32$ horasIncorrecto. Se multiplicó $\ln 5$ por $0{,}2$ en lugar de dividir al despejar $t$.
• C) $11{,}51$ horasIncorrecto. Se usó $\ln 10$; el cociente que hay que despejar es $\frac{50}{10} = 5$, no el $10$ final.
• D) $-8{,}05$ horasIncorrecto. Se perdió un signo: como $\ln 0{,}2 < 0$ y se divide por $-0{,}2$, el tiempo resulta positivo.