Sucesiones Aritmeticas Geometricas

Respuesta correcta: B) Geométrica de razón $3$

• A) Aritmética de diferencia $10$Incorrecto. Solo la primera diferencia es $10$; las siguientes son $30$ y $90$, así que no hay diferencia constante.
• B) Geométrica de razón $3$Correcto. Cada término es el anterior multiplicado por $3$: $\frac{15}{5} = \frac{45}{15} = \frac{135}{45} = 3$.
• C) Geométrica de razón $10$Incorrecto. Se tomó la primera diferencia como razón; la razón es el cociente $\frac{15}{5} = 3$.
• D) Aritmética de diferencia $3$Incorrecto. El $3$ es un factor multiplicativo, no una cantidad que se suma: $5 + 3 = 8 \ne 15$.

Respuesta correcta: B) $a_n = 4n + 3$

• A) $a_n = 7 + 4n$Incorrecto. Con esa fórmula $a_1 = 11$; en el término general aritmético se suma $(n - 1)d$, no $nd$.
• B) $a_n = 4n + 3$Correcto. Es aritmética con $a_1 = 7$ y $d = 4$: $a_n = 7 + 4(n - 1) = 4n + 3$; por ejemplo, $a_1 = 7$ y $a_4 = 19$.
• C) $a_n = 7\cdot 4^{n-1}$Incorrecto. Esa fórmula es geométrica y da $7, 28, 112$; aquí se suma $4$ en cada paso, no se multiplica.
• D) $a_n = 3n + 4$Incorrecto. Se intercambiaron coeficientes: da $7, 10, 13$, con diferencia $3$ en lugar de $4$.

Respuesta correcta: A) $162$

• A) $162$Correcto. Por la fórmula $a_n = a_1 r^{n-1}$: $a_5 = 2\cdot 3^4 = 2\cdot 81 = 162$.
• B) $486$Incorrecto. Se usó el exponente $5$: $2\cdot 3^5$; del primer al quinto término hay $4$ multiplicaciones.
• C) $14$Incorrecto. Se trató como aritmética: $2 + 4\cdot 3$; en una geométrica se multiplica por la razón.
• D) $30$Incorrecto. Se calculó $2\cdot 3\cdot 5$; la razón se eleva al exponente $n - 1$, no se multiplica por $n$.

Respuesta correcta: D) $-15$

• A) $-18$Incorrecto. Se usó $10d$ en lugar de $9d$: $12 - 30$; del término $1$ al $10$ hay $9$ saltos.
• B) $39$Incorrecto. Se sumó $27$ en lugar de restarlo: la diferencia es negativa, así que la sucesión decrece.
• C) $15$Incorrecto. El cálculo $12 - 27$ da $-15$; se perdió el signo del resultado.
• D) $-15$Correcto. Con $a_{10} = 12 + 9\cdot(-3) = 12 - 27 = -15$.

Respuesta correcta: B) 45.000 pesos

• A) 6.500 pesosIncorrecto. Ese es el ahorro del mes $12$, $a_{12} = 1000 + 11\cdot 500$, no el total acumulado.
• B) 45.000 pesosCorrecto. Es una suma aritmética: $S_{12} = \frac{12}{2}(2\cdot 1000 + 11\cdot 500) = 6\cdot 7500 = 45\,000$.
• C) 48.000 pesosIncorrecto. Se usó $12\cdot 500$ en lugar de $11\cdot 500$: el último término es $a_{12} = a_1 + 11d$.
• D) 12.000 pesosIncorrecto. Se multiplicó $12\cdot 1000$ ignorando que cada mes ahorra $500$ pesos más.

Respuesta correcta: D) $363$

• A) $243$Incorrecto. Esa es la cantidad del quinto nivel, $3^5$; se pide el total de los cinco niveles.
• B) $15$Incorrecto. Se calculó $3\cdot 5$, como si cada nivel tuviera $3$ personas; la cantidad se triplica en cada nivel.
• C) $729$Incorrecto. Ese es $3^6$, que no corresponde a ningún nivel ni a la suma; la suma geométrica es $\frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$.
• D) $363$Correcto. Con $S_5 = \frac{3(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{3\cdot 242}{2} = 363$, que es $3 + 9 + 27 + 81 + 243$.

Respuesta correcta: D) $8$ m

• A) $5$ mIncorrecto. Ese es $\frac{2}{1 - 0{,}6}$, que solo cuenta las bajadas; después de cada rebote la pelota también sube.
• B) $3{,}2$ mIncorrecto. Se sumaron solo la caída inicial y el primer rebote, $2 + 1{,}2$; hay infinitos rebotes.
• C) $6$ mIncorrecto. Se contaron las subidas y bajadas de los rebotes, $2\cdot 3$, pero se olvidó la caída inicial de $2$ m.
• D) $8$ mCorrecto. Baja $2$ m y luego sube y baja en cada rebote: $2 + 2\cdot\frac{1{,}2}{1 - 0{,}6} = 2 + 2\cdot 3 = 8$ m.

Respuesta correcta: A) El término $50$

• A) El término $50$Correcto. Con $a_n = 4 + 5(n - 1) = 249$ queda $5(n - 1) = 245$, es decir, $n - 1 = 49$ y $n = 50$.
• B) El término $49$Incorrecto. Se obtuvo $n - 1 = 49$ y faltó sumar $1$ para hallar $n$.
• C) El término $51$Incorrecto. Se sumó $1$ de más; con $n = 51$ resulta $a_{51} = 4 + 250 = 254$.
• D) El término $245$Incorrecto. Se restó $249 - 4$ sin dividir por la diferencia $5$; ese número es $(n - 1)d$, no $n$.

Respuesta correcta: A) $a_1 = 2$ y $r = 3$

• A) $a_1 = 2$ y $r = 3$Correcto. De $\frac{a_5}{a_2} = r^3 = \frac{162}{6} = 27$ sale $r = 3$, y $a_1 = \frac{a_2}{r} = 2$.
• B) $a_1 = 6$ y $r = 3$Incorrecto. Se tomó $a_2$ como primer término; con $a_1 = 6$ el segundo sería $18$.
• C) $a_1 = 2$ y $r = 52$Incorrecto. Se trató como aritmética: $\frac{162 - 6}{3} = 52$ es una diferencia, no una razón.
• D) $a_1 = -2$ y $r = -3$Incorrecto. Con esos valores $a_2 = 6$, pero $a_5 = -2\cdot(-3)^4 = -162$; $r^3 = 27$ solo tiene la raíz real $3$.

Respuesta correcta: C) $15$ meses

• A) $24$ mesesIncorrecto. Las raíces de $n^2 + 9n - 360 = 0$ son $15$ y $-24$; se tomó el valor absoluto de la raíz negativa, que no tiene sentido.
• B) $36$ mesesIncorrecto. Se dividió $360\,000 : 10\,000$, como si todas las cuotas fueran iguales; las cuotas aumentan $2000$ por mes.
• C) $15$ mesesCorrecto. Con $S_n = \frac{n}{2}(20\,000 + 2000(n - 1)) = 1000n(n + 9) = 360\,000$ queda $n^2 + 9n - 360 = 0$, con raíz positiva $n = 15$.
• D) $180$ mesesIncorrecto. Se dividió la deuda por el aumento mensual, $360\,000 : 2000$; hay que plantear la suma aritmética.

Respuesta correcta: C) $8 + 4 + 2 + 1 + \ldots$ converge a $16$

• A) $5 + 5 + 5 + \ldots$ converge a $5$Incorrecto. Sumar infinitas veces $5$ crece sin límite: tras $n$ términos la suma parcial es $5n$.
• B) $1 - 2 + 4 - 8 + \ldots$ converge a $\frac{1}{3}$Incorrecto. Se aplicó $\frac{a_1}{1 - r}$ con $r = -2$, pero esa fórmula solo vale si $|r| < 1$; las sumas parciales oscilan sin acotarse.
• C) $8 + 4 + 2 + 1 + \ldots$ converge a $16$Correcto. Es geométrica con $a_1 = 8$ y $r = \frac{1}{2}$; como $|r| < 1$, su suma es $\frac{8}{1 - 1/2} = 16$.
• D) $1 + 1{,}1 + 1{,}21 + \ldots$ converge a $10$Incorrecto. Con $r = 1{,}1 > 1$ los términos crecen; la fórmula $\frac{1}{1 - 1{,}1} = -10$ no se aplica.

Respuesta correcta: B) 1.419.203 pesos

• A) 1.200.000 pesosIncorrecto. Se sumaron los $12$ depósitos sin intereses; cada depósito anterior al último sí gana intereses.
• B) 1.419.203 pesosCorrecto. Es una suma geométrica: $100\,000\cdot\frac{1{,}03^{12} - 1}{0{,}03} \approx 1\,419\,203$, porque cada depósito capitaliza durante distinta cantidad de meses.
• C) 1.710.913 pesosIncorrecto. Se capitalizó todo como si los 1.200.000 se hubieran depositado el primer día: $1\,200\,000\cdot 1{,}03^{12}$.
• D) 1.461.779 pesosIncorrecto. Ese valor multiplica por $1{,}03$ una vez más: corresponde a depósitos al inicio de cada mes, no al final.

Respuesta correcta: B) $175$

• A) $310$Incorrecto. Se calculó $10\cdot a_{10}$, como si todos los términos valieran $31$; hay que promediar el primero y el último.
• B) $175$Correcto. De $a_7 - a_3 = 4d = 12$ sale $d = 3$ y $a_1 = 4$; entonces $a_{10} = 31$ y $S_{10} = \frac{10(4 + 31)}{2} = 175$.
• C) $235$Incorrecto. Se tomó $a_1 = 10$, que es el tercer término; con $d = 3$ el primero es $10 - 2\cdot 3 = 4$.
• D) $350$Incorrecto. Se calculó $10(a_1 + a_{10})$ y se olvidó dividir por $2$ en la fórmula de la suma aritmética.

Respuesta correcta: C) $\frac{4}{11}$

• A) $\frac{9}{25}$Incorrecto. Esa fracción es $0{,}36$ exacto: se tomó solo el primer término y se ignoraron las infinitas repeticiones.
• B) $\frac{2}{5}$Incorrecto. Se usó razón $r = 0{,}1$; el período tiene dos cifras, así que cada bloque es $\frac{1}{100}$ del anterior.
• C) $\frac{4}{11}$Correcto. Como serie geométrica, $0{,}36 + 0{,}0036 + \ldots = \frac{0{,}36}{1 - 0{,}01} = \frac{36}{99} = \frac{4}{11}$.
• D) $\frac{400}{11}$Incorrecto. Se tomó $a_1 = 36$ en lugar de $0{,}36$; esa fracción vale más de $36$, no menos de $1$.

Respuesta correcta: D) 1.591.713 pesos

• A) 1.200.000 pesosIncorrecto. Se supuso un gasto constante de 100.000 pesos, ignorando el aumento mensual del $5\,\%$.
• B) 1.530.000 pesosIncorrecto. Se sumó un aumento fijo de 5.000 pesos por mes (modelo aritmético); el $5\,\%$ se aplica sobre el gasto ya aumentado.
• C) 171.034 pesosIncorrecto. Ese es el gasto del mes $12$, $100\,000\cdot 1{,}05^{11}$, no la suma de los doce meses.
• D) 1.591.713 pesosCorrecto. Los gastos forman una geométrica con $r = 1{,}05$: $S_{12} = 100\,000\cdot\frac{1{,}05^{12} - 1}{0{,}05} \approx 1\,591\,713$.

Respuesta correcta: C) $a_n = 2n + 1$; es aritmética de diferencia $2$

• A) $a_n = n^2 + 2n$; no es aritmética ni geométricaIncorrecto. Se confundió la suma acumulada $S_n$ con el término $a_n$; los envíos de un día son la diferencia entre sumas consecutivas.
• B) $a_n = 2n + 2$; es aritmética de diferencia $2$Incorrecto. Se derivó $S_n$ como si fuera continua; con $a_n = 2n + 2$ resultaría $a_1 = 4 \ne S_1 = 3$.
• C) $a_n = 2n + 1$; es aritmética de diferencia $2$Correcto. Con $a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 + 2n - [(n - 1)^2 + 2(n - 1)] = 2n + 1$, y además $a_1 = S_1 = 3$.
• D) $a_n = 2n - 1$; es aritmética de diferencia $2$Incorrecto. Error de signo al desarrollar $S_{n-1}$; con esa fórmula $a_1 = 1$, pero $S_1 = 3$.

Respuesta correcta: A) Es falsa: es geométrica con $r = -\frac{1}{2}$, $|r| < 1$, y converge a $\frac{3}{1 + 1/2} = 2$

• A) Es falsa: es geométrica con $r = -\frac{1}{2}$, $|r| < 1$, y converge a $\frac{3}{1 + 1/2} = 2$Correcto. La convergencia depende de $|r|$, no del signo; $\frac{a_1}{1 - r} = \frac{3}{3/2} = 2$.
• B) Es verdadera: una serie con signos alternados nunca convergeIncorrecto. Los signos alternados no impiden la convergencia; las sumas parciales $3;\ 1{,}5;\ 2{,}25;\ 1{,}875$ se acercan a $2$.
• C) Es falsa: converge a $6$Incorrecto. Se usó $r = \frac{1}{2}$ y no $-\frac{1}{2}$: $\frac{3}{1 - 1/2} = 6$ es la suma de la serie sin signos alternados.
• D) Es falsa: converge a $0$, porque los términos tienden a $0$Incorrecto. Que los términos tiendan a $0$ no significa que la suma sea $0$; la suma es el límite de las sumas parciales, $2$.