Polinomios Factorizacion

Respuesta correcta: D) Grado 5 y coeficiente principal $2$

• A) Grado 4 y coeficiente principal $-3$Incorrecto. Se tomó el primer término escrito, $-3x^4$, como término principal; el grado lo da el mayor exponente, que es 5 en $2x^5$.
• B) Grado 5 y coeficiente principal $-3$Incorrecto. El grado 5 es correcto, pero el coeficiente principal es el que acompaña a $x^5$, es decir 2, no el del primer término escrito.
• C) Grado 4 y coeficiente principal $2$Incorrecto. El coeficiente 2 corresponde a $x^5$, así que el grado no puede ser 4: el mayor exponente presente es 5.
• D) Grado 5 y coeficiente principal $2$Correcto. El término de mayor exponente es $2x^5$; su exponente 5 define el grado y su coeficiente 2 es el coeficiente principal.

Respuesta correcta: D) $6$

• A) $-30$Incorrecto. Ese número es $P(-2) = -8 - 8 - 10 - 4$: se evaluó en $-2$ en lugar de en la raíz de $x - 2$, que es $x = 2$.
• B) $0$Incorrecto. El resto sería 0 solo si $x = 2$ fuera raíz de $P$; como $P(2) = 6 \neq 0$, $(x - 2)$ no es factor.
• C) $-4$Incorrecto. $-4$ es el término independiente, que coincide con $P(0)$, no con $P(2)$; el resto se obtiene evaluando en $x = 2$.
• D) $6$Correcto. Por el teorema del resto, el resto es $P(2) = 8 - 8 + 10 - 4 = 6$.

Respuesta correcta: C) $(x - 3)$ es un factor de $P(x)$.

• A) $(x + 3)$ es un factor de $P(x)$.Incorrecto. Si $P(3)=0$ el factor asociado es $(x - 3)$; el factor $(x + 3)$ correspondería a $P(-3) = 0$.
• B) El término independiente de $P(x)$ es 3.Incorrecto. El término independiente es $P(0)$, que no tiene relación directa con que 3 sea raíz.
• C) $(x - 3)$ es un factor de $P(x)$.Correcto. Por el teorema del factor, $P(a) = 0$ equivale a que $(x - a)$ divide a $P(x)$; con $a = 3$ el factor es $(x - 3)$.
• D) $P(x)$ es de grado 3.Incorrecto. Que 3 sea raíz no informa el grado: polinomios de cualquier grado mayor o igual a 1 pueden anularse en $x = 3$.

Respuesta correcta: B) $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$

• A) $\pm 1, \pm 2, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{2}{3}$Incorrecto. Se invirtieron los roles: los numeradores deben ser divisores del término independiente $-3$ y los denominadores divisores del coeficiente principal 2.
• B) $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$Correcto. Las candidatas son $\frac{p}{q}$ con $p$ divisor de $-3$ ($\pm 1, \pm 3$) y $q$ divisor de 2 ($1, 2$).
• C) Solo $\pm 1, \pm 3$Incorrecto. Esas son las candidatas enteras; como el coeficiente principal es 2, también hay que dividir por 2 y aparecen $\pm \frac{1}{2}$ y $\pm \frac{3}{2}$.
• D) $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$Incorrecto. Se usaron los divisores de 6 (producto $2 \cdot 3$), pero Gauss pide cocientes $\frac{p}{q}$, no divisores del producto de los coeficientes.

Respuesta correcta: A) $2x^3 - 7x^2 + 5x - 1$

• A) $2x^3 - 7x^2 + 5x - 1$Correcto. Distribuyendo: $2x^3 - x^2 - 6x^2 + 3x + 2x - 1 = 2x^3 - 7x^2 + 5x - 1$.
• B) $2x^3 - 7x^2 + 5x + 1$Incorrecto. El término independiente es $1 \cdot (-1) = -1$; se cometió un error de signo al multiplicar las constantes.
• C) $2x^3 - 6x^2 + 5x - 1$Incorrecto. Se olvidó el producto $x^2 \cdot (-1) = -x^2$, que sumado a $-6x^2$ da $-7x^2$.
• D) $2x^3 - 7x^2 + x - 1$Incorrecto. En el término lineal hay que sumar $(-3x)(-1) = 3x$ y $1 \cdot 2x = 2x$, que dan $5x$; se restaron en vez de sumarse.

Respuesta correcta: A) Cociente $x^2 - 2x - 3$ y resto $0$

• A) Cociente $x^2 - 2x - 3$ y resto $0$Correcto. Con coeficientes $1, -4, 1, 6$ y el valor 2 se obtienen $1, -2, -3$ y resto $0$.
• B) Cociente $x^2 - 6x + 13$ y resto $-20$Incorrecto. Ese resultado sale de usar $-2$ en Ruffini, que corresponde a dividir por $(x + 2)$, no por $(x - 2)$.
• C) Cociente $x^2 - 2x - 3$ y resto $6$Incorrecto. El cociente es correcto, pero el resto es $6 + 2 \cdot (-3) = 0$; se copió el término independiente sin operar.
• D) Cociente $x^3 - 2x^2 - 3x$ y resto $0$Incorrecto. Al dividir un polinomio de grado 3 por uno de grado 1, el cociente es de grado 2; se subió un grado a cada término.

Respuesta correcta: B) $k = -6$

• A) $k = 6$Incorrecto. Al despejar $k + 6 = 0$ se perdió el signo: la solución es $k = -6$, no $6$.
• B) $k = -6$Correcto. Se necesita $P(-1) = 0$: $-2 + k + 5 + 3 = k + 6 = 0$, luego $k = -6$.
• C) $k = 4$Incorrecto. Se evaluó mal $-5x$ en $x = -1$: $-5 \cdot (-1) = +5$, no $-5$; con el signo correcto queda $k + 6 = 0$.
• D) $k = 0$Incorrecto. Ese valor sale de imponer $P(1) = 0$, que corresponde al factor $(x - 1)$, no a $(x + 1)$.

Respuesta correcta: C) $x(x - 3)(x + 3)$

• A) $x(x - 3)^2$Incorrecto. $x(x - 3)^2 = x^3 - 6x^2 + 9x$; se confundió la diferencia de cuadrados con un trinomio cuadrado perfecto.
• B) $(x - 3)(x + 3)$Incorrecto. Falta el factor común $x$: $(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$, que es de grado 2 y no de grado 3.
• C) $x(x - 3)(x + 3)$Correcto. Primero se saca factor común $x$: $x(x^2 - 9)$, y luego $x^2 - 9$ es diferencia de cuadrados $(x - 3)(x + 3)$.
• D) $x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$Incorrecto. Ese producto da $x(x^2 - 3)$; la raíz cuadrada de 9 es 3, no $\sqrt{3}$.

Respuesta correcta: D) $(2x - 3)^2$

• A) $(4x - 3)^2$Incorrecto. $(4x - 3)^2 = 16x^2 - 24x + 9$; la base del primer cuadrado es $\sqrt{4x^2} = 2x$, no $4x$.
• B) $(2x + 3)^2$Incorrecto. $(2x + 3)^2 = 4x^2 + 12x + 9$; el doble producto es negativo, así que el binomio lleva signo menos.
• C) $(2x - 3)(2x + 3)$Incorrecto. Ese producto es una diferencia de cuadrados, $4x^2 - 9$, y no tiene término lineal.
• D) $(2x - 3)^2$Correcto. Es un trinomio cuadrado perfecto: $(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$.

Respuesta correcta: C) $(x + 2)^2(x - 2)$

• A) $(x + 2)(x^2 + 4)$Incorrecto. Al agrupar, el segundo grupo es $-4(x + 2)$, por eso queda $(x + 2)(x^2 - 4)$; se cambió el signo de $-4$.
• B) $(x - 2)^2(x + 2)$Incorrecto. $(x - 2)^2(x + 2) = x^3 - 2x^2 - 4x + 8$; se intercambiaron las multiplicidades de las raíces $2$ y $-2$.
• C) $(x + 2)^2(x - 2)$Correcto. $x^2(x + 2) - 4(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 4) = (x + 2)(x + 2)(x - 2)$.
• D) $(x + 2)(x - 2)(x + 4)$Incorrecto. Ese producto da $x^3 + 4x^2 - 4x - 16$; el tercer factor no sale de ningún agrupamiento correcto.

Respuesta correcta: D) En $x = -2$ el gráfico toca el eje sin atravesarlo y en $x = 1$ lo atraviesa.

• A) $P$ tiene 6 raíces reales distintas.Incorrecto. El grado es $3 + 2 + 1 = 6$, pero las raíces distintas son solo tres: $1$, $-2$ y $4$; las demás son repeticiones por multiplicidad.
• B) En $x = -2$ el gráfico atraviesa el eje $x$.Incorrecto. La raíz $-2$ tiene multiplicidad 2 (par), así que el factor $(x + 2)^2$ no cambia de signo y el gráfico solo toca el eje.
• C) En $x = 1$ el gráfico toca el eje sin atravesarlo.Incorrecto. La multiplicidad de $x = 1$ es 3 (impar), por lo que $(x - 1)^3$ sí cambia de signo y el gráfico atraviesa el eje.
• D) En $x = -2$ el gráfico toca el eje sin atravesarlo y en $x = 1$ lo atraviesa.Correcto. Multiplicidad par (2 en $x = -2$) implica rebote sin cambio de signo; multiplicidad impar (3 en $x = 1$) implica cruce.

Respuesta correcta: B) $1$, $-2$ y $3$

• A) $1$, $2$ y $-3$Incorrecto. $P(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4 \neq 0$, así que 2 no es raíz; se invirtieron los signos de las raíces $-2$ y $3$.
• B) $1$, $-2$ y $3$Correcto. $P(1) = 0$; con Ruffini queda $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$, que da las raíces $3$ y $-2$.
• C) $-1$, $2$ y $-3$Incorrecto. $P(-1) = -1 - 2 + 5 + 6 = 8 \neq 0$; esos valores son los opuestos de las raíces verdaderas.
• D) $1$, $2$ y $3$Incorrecto. El producto de las raíces debe ser $-6$ (opuesto del término independiente); $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$ tiene el signo equivocado.

Respuesta correcta: B) $(-\infty, -1) \cup (2, 5)$

• A) $(-1, 2) \cup (5, \infty)$Incorrecto. Esos son los intervalos donde $G > 0$: por ejemplo $G(0) = 1 \cdot (-2) \cdot (-5) = 10 > 0$.
• B) $(-\infty, -1) \cup (2, 5)$Correcto. Con raíces simples $-1$, $2$ y $5$ y coeficiente principal positivo, el signo es $-, +, -, +$; es negativo en $(-\infty, -1)$ y en $(2, 5)$.
• C) Solo $(2, 5)$Incorrecto. Falta el intervalo $(-\infty, -1)$: allí los tres factores son negativos y su producto también, por ejemplo $G(-2) = -28$.
• D) Solo $(-\infty, -1)$Incorrecto. Falta el intervalo $(2, 5)$: por ejemplo $G(3) = 4 \cdot 1 \cdot (-2) = -8 < 0$.

Respuesta correcta: A) Omitió el coeficiente 0 del término $x^2$; el cociente correcto es $x^2 + x + 3$.

• A) Omitió el coeficiente 0 del término $x^2$; el cociente correcto es $x^2 + x + 3$.Correcto. Ruffini exige todos los coeficientes en orden: $1, 0, 2, -1$; así se obtiene $1, 1, 3$ y resto 2.
• B) Debía usar $-1$ en Ruffini porque el divisor es $(x - 1)$.Incorrecto. Para dividir por $(x - a)$ se usa $a$; con $(x - 1)$ el número que va en Ruffini es $1$, no $-1$.
• C) El resto debería ser 0 porque se divide por un binomio.Incorrecto. El resto es $P(1) = 1 + 2 - 1 = 2$; solo es 0 cuando 1 es raíz, y no lo es.
• D) No cometió ningún error: el cociente y el resto son correctos.Incorrecto. Un cociente de grado 1 no puede salir de dividir un polinomio de grado 3 por uno de grado 1: el grado del cociente debe ser 2.