Geometria Analitica Recta

Respuesta correcta: A) $3$

• A) $3$Correcto. $m = \frac{11 - 2}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3$.
• B) $\frac{1}{3}$Incorrecto. Se invirtió el cociente: la pendiente es $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, no $\frac{\Delta x}{\Delta y}$.
• C) $-3$Incorrecto. Se restó en distinto orden arriba y abajo, $\frac{11 - 2}{1 - 4}$; ambas diferencias deben tomarse en el mismo orden.
• D) $9$Incorrecto. 9 es solo la variación vertical $\Delta y$; falta dividir por la variación horizontal $\Delta x = 3$.

Respuesta correcta: D) Pendiente $-2$ y ordenada al origen $5$

• A) Pendiente $5$ y ordenada al origen $-2$Incorrecto. Se intercambiaron los roles: en $y = mx + b$ la pendiente es el coeficiente de $x$, que es $-2$.
• B) Pendiente $2$ y ordenada al origen $5$Incorrecto. El signo de la pendiente es parte del coeficiente: es $-2$, lo que indica que la batería disminuye.
• C) Pendiente $-2$ y ordenada al origen $\frac{5}{2}$Incorrecto. $\frac{5}{2}$ es la abscisa al origen (donde $y = 0$); la ordenada al origen es el valor de $y$ cuando $x = 0$, que es 5.
• D) Pendiente $-2$ y ordenada al origen $5$Correcto. En la forma explícita $y = mx + b$, $m = -2$ y $b = 5$.

Respuesta correcta: C) $-\frac{3}{2}$

• A) $\frac{2}{3}$Incorrecto. $\frac{2}{3}$ es la pendiente de la recta dada; una perpendicular necesita la inversa opuesta.
• B) $\frac{3}{2}$Incorrecto. Se invirtió la pendiente pero no se cambió el signo; el producto $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$, no $-1$.
• C) $-\frac{3}{2}$Correcto. Despejando, $y = \frac{2}{3}x + 2$, y la perpendicular tiene pendiente $-\frac{1}{m} = -\frac{3}{2}$.
• D) $-\frac{2}{3}$Incorrecto. Se cambió el signo sin invertir; el producto $\frac{2}{3} \cdot (-\frac{2}{3}) = -\frac{4}{9}$ no es $-1$.

Respuesta correcta: B) $x = 4$

• A) $y = 4$Incorrecto. $y = 4$ es una recta horizontal; aquí lo que se mantiene constante es la coordenada $x$.
• B) $x = 4$Correcto. Ambos puntos tienen abscisa 4, así que la recta es vertical y su ecuación es $x = 4$.
• C) $y = x - 5$Incorrecto. Contiene a $(4, -1)$, pero en $x = 4$ da $y = -1$ y nunca $y = 7$; no pasa por el segundo poste.
• D) $y = -1$Incorrecto. Esa recta horizontal pasa por el primer poste, pero el segundo tiene ordenada 7.

Respuesta correcta: D) $y = 4x + 11$

• A) $y = 4x - 5$Incorrecto. Se usó $(x - 2)$ en lugar de $(x + 2)$: el punto tiene abscisa $-2$, así que la forma punto-pendiente lleva $x - (-2)$.
• B) $y = 4x + 5$Incorrecto. Se usó $y + 3$ en lugar de $y - 3$: el punto tiene ordenada $+3$; con ese error la recta pasa por $(-2, -3)$.
• C) $y = 4x - 11$Incorrecto. En $x = -2$ esa recta da $y = -19$; se cambió el signo de la ordenada al origen al despejar.
• D) $y = 4x + 11$Correcto. $y - 3 = 4(x + 2)$ da $y = 4x + 8 + 3 = 4x + 11$.

Respuesta correcta: C) $C(d) = 900d + 1800$

• A) $C(d) = 1500d$Incorrecto. Cumple el dato de 3 km, pero para 8 km da 12.000 ARS y no 9.000; se ignoró la bajada de bandera fija.
• B) $C(d) = 900d + 4500$Incorrecto. La pendiente 900 es correcta, pero 4.500 es el costo a 3 km, no a 0 km; con este modelo 3 km costarían 7.200 ARS.
• C) $C(d) = 900d + 1800$Correcto. Pendiente $\frac{9000 - 4500}{8 - 3} = 900$ ARS/km y $4500 - 900 \cdot 3 = 1800$.
• D) $C(d) = 1125d$Incorrecto. Se dividió $9000 : 8$ como si no hubiera costo fijo; entonces 3 km costarían 3.375 ARS, no 4.500.

Respuesta correcta: B) $3x - y - 5 = 0$

• A) $3x + y - 5 = 0$Incorrecto. Equivale a $y = -3x + 5$, de pendiente $-3$; el signo de $y$ al pasar al otro miembro quedó mal.
• B) $3x - y - 5 = 0$Correcto. La pendiente es $\frac{4 - (-2)}{3 - 1} = 3$ y $y = 3x - 5$ equivale a $3x - y - 5 = 0$.
• C) $x - 3y - 7 = 0$Incorrecto. Pasa por $(1, -2)$, pero en $(3, 4)$ da $3 - 12 - 7 = -16 \neq 0$; se usó la pendiente invertida $\frac{1}{3}$.
• D) $3x - y + 5 = 0$Incorrecto. En $(1, -2)$ da $3 + 2 + 5 = 10 \neq 0$; el término independiente tiene el signo cambiado.

Respuesta correcta: B) $(3, 1)$

• A) $(1, 3)$Incorrecto. Se intercambiaron las coordenadas: $(1, 3)$ no cumple $x - y = 2$, ya que $1 - 3 = -2$.
• B) $(3, 1)$Correcto. Sumando las ecuaciones, $3x = 9$, $x = 3$, y luego $y = 3 - 2 = 1$.
• C) $(\frac{5}{3}, \frac{11}{3})$Incorrecto. Cumple $2x + y = 7$ pero $\frac{5}{3} - \frac{11}{3} = -2 \neq 2$; hubo un error de signo al eliminar $y$.
• D) $(3, -1)$Incorrecto. Con $y = -1$, $2 \cdot 3 - 1 = 5 \neq 7$; el signo de $y$ se tomó mal al despejar de $x - y = 2$.

Respuesta correcta: C) $2$ km

• A) $10$ kmIncorrecto. 10 es el valor absoluto del numerador $|3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 - 20|$; falta dividir por $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
• B) $-2$ kmIncorrecto. Una distancia no puede ser negativa: la fórmula usa el valor absoluto del numerador.
• C) $2$ kmCorrecto. $d = \frac{|6 + 4 - 20|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$.
• D) $\frac{10}{7}$ kmIncorrecto. Se dividió por $3 + 4 = 7$; el denominador es $\sqrt{A^2 + B^2} = 5$, no $A + B$.

Respuesta correcta: B) $y = -\frac{1}{2}x + 6$

• A) $y = 2x + 1$Incorrecto. Pendiente 2 corresponde a una recta perpendicular (inversa opuesta de $-\frac{1}{2}$), no a una paralela.
• B) $y = -\frac{1}{2}x + 6$Correcto. Paralela significa igual pendiente: $y - 5 = -\frac{1}{2}(x - 2)$, de donde $y = -\frac{1}{2}x + 6$.
• C) $y = -\frac{1}{2}x + 5$Incorrecto. Se tomó la ordenada de la fuente como ordenada al origen; en $x = 2$ esta recta da $y = 4$, no 5.
• D) $y = -\frac{1}{2}x + 4$Incorrecto. Se usó $(x + 2)$ en lugar de $(x - 2)$ en la forma punto-pendiente; la recta pasa por $(-2, 5)$.

Respuesta correcta: C) Para más de 60 minutos

• A) Para más de 40 minutosIncorrecto. Con 50 minutos, A cuesta 14.500 ARS y B cuesta 13.500 ARS: B sigue siendo más barata.
• B) Para menos de 60 minutosIncorrecto. Con pocos minutos domina el costo fijo, que es menor en B; por ejemplo con 0 minutos B cuesta 6.000 y A 12.000.
• C) Para más de 60 minutosCorrecto. $12000 + 50m = 6000 + 150m$ da $m = 60$; después, B crece más rápido (pendiente 150) y A resulta más barata.
• D) Para más de 120 minutosIncorrecto. A ya es más barata a partir de 60 minutos: con 100 minutos A cuesta 17.000 y B 21.000.

Respuesta correcta: A) Sí, porque $m_{AB} = m_{BC} = 2$.

• A) Sí, porque $m_{AB} = m_{BC} = 2$.Correcto. $m_{AB} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = 2$ y $m_{BC} = \frac{12 - 6}{6 - 3} = 2$; con un punto en común y la misma pendiente, están en la misma recta.
• B) No, porque $m_{AB} = 2$ y $m_{BC} = 3$.Incorrecto. Se calculó $m_{BC} = \frac{6}{2}$ dividiendo por una diferencia equivocada; $\Delta x = 6 - 3 = 3$, así que $m_{BC} = 2$.
• C) Sí, porque todas las coordenadas son positivas.Incorrecto. El signo de las coordenadas no tiene relación con la colinealidad; lo que importa es que las pendientes coincidan.
• D) No, porque las distancias $AB$ y $BC$ son distintas.Incorrecto. Tres puntos alineados pueden estar a distancias distintas entre sí; la igualdad de distancias no es la condición.

Respuesta correcta: C) $y = -x + 7$

• A) $y = x - 1$Incorrecto. Esa es la recta que pasa por $A$ y $B$; la mediatriz debe ser perpendicular a ella.
• B) $y = -x + 5$Incorrecto. Tiene la pendiente correcta pero no pasa por el punto medio $(4, 3)$: en $x = 4$ da $y = 1$.
• C) $y = -x + 7$Correcto. Pasa por el punto medio $(4, 3)$ con pendiente $-1$, perpendicular a $m_{AB} = 1$.
• D) $y = x + 7$Incorrecto. Una pendiente 1 es paralela a $AB$, no perpendicular; además no pasa por $(4, 3)$.

Respuesta correcta: D) Cada año el valor del auto disminuye 1.500.000 ARS.

• A) El valor inicial del auto es 1.500.000 ARS.Incorrecto. El valor inicial es $V(0) = 18.000.000$ ARS; 1.500.000 es la variación anual.
• B) El auto pierde todo su valor a los 15 años.Incorrecto. $V(t) = 0$ cuando $t = \frac{18.000.000}{1.500.000} = 12$ años, no 15.
• C) Como la pendiente es positiva, el valor aumenta con los años.Incorrecto. La pendiente es $-1.500.000$, negativa: el valor disminuye.
• D) Cada año el valor del auto disminuye 1.500.000 ARS.Correcto. La pendiente $-1.500.000$ ARS/año indica cuánto cambia el valor por cada año transcurrido.

Respuesta correcta: A) $k = \frac{2}{3}$

• A) $k = \frac{2}{3}$Correcto. Las pendientes son $-\frac{k}{2}$ y 3; $-\frac{k}{2} \cdot 3 = -1$ da $k = \frac{2}{3}$.
• B) $k = -6$Incorrecto. Con $k = -6$ la pendiente es $-\frac{-6}{2} = 3$, igual a la otra: las rectas serían paralelas.
• C) $k = -\frac{2}{3}$Incorrecto. Con $k = -\frac{2}{3}$ la pendiente es $\frac{1}{3}$ y el producto con 3 es $1$, no $-1$; hubo un error de signo.
• D) $k = 6$Incorrecto. Con $k = 6$ la pendiente es $-3$ y el producto $-3 \cdot 3 = -9 \neq -1$; se confundió la condición de perpendicularidad.

Respuesta correcta: B) $2$ hm

• A) $10$ hmIncorrecto. 10 es $|C_1 - C_2| = |2 - (-8)|$; falta dividir por $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.
• B) $2$ hmCorrecto. $d = \frac{|2 - (-8)|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$.
• C) $\frac{6}{5}$ hmIncorrecto. Se restó $2 - 8$ en lugar de $2 - (-8)$; el término independiente de la segunda recta es $-8$.
• D) $\frac{10}{7}$ hmIncorrecto. El denominador no es $3 + 4$; la fórmula usa la norma $\sqrt{A^2 + B^2} = 5$.

Respuesta correcta: A) Es correcta: tiene pendiente $-\frac{1}{2}$ y en $x = 2$ da $y = 3$.

• A) Es correcta: tiene pendiente $-\frac{1}{2}$ y en $x = 2$ da $y = 3$.Correcto. $2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$ y $-\frac{1}{2} \cdot 2 + 4 = 3$: cumple las dos condiciones.
• B) Es incorrecta: la pendiente debía ser $-2$.Incorrecto. $-2$ es solo el opuesto de 2; para ser perpendicular hace falta el inverso opuesto, $-\frac{1}{2}$.
• C) Es incorrecta: la pendiente debía ser $\frac{1}{2}$.Incorrecto. Con $\frac{1}{2}$ el producto con 2 da $1$, no $-1$; las rectas no serían perpendiculares.
• D) Es incorrecta: la ordenada al origen debía ser 3.Incorrecto. 3 es la ordenada del punto dado, que está en $x = 2$, no en $x = 0$; con $b = 3$ la recta no pasaría por $(2, 3)$.