Secciones Conicas Circunferencia Parabola

Respuesta correcta: A) Centro $(1, -4)$ y radio $5$

• A) Centro $(1, -4)$ y radio $5$Correcto. En $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ se lee $h = 1$, $k = -4$ y $r = \sqrt{25} = 5$.
• B) Centro $(-1, 4)$ y radio $5$Incorrecto. Se copiaron los signos tal como aparecen; la forma canónica lleva restas, así que $(y + 4)$ corresponde a $k = -4$ y $(x - 1)$ a $h = 1$.
• C) Centro $(1, -4)$ y radio $25$Incorrecto. 25 es $r^2$, no el radio; hay que sacar la raíz cuadrada: $r = 5$.
• D) Centro $(-1, 4)$ y radio $25$Incorrecto. Tiene dos errores: los signos del centro están invertidos y se tomó $r^2 = 25$ como radio.

Respuesta correcta: A) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$

• A) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 16$Correcto. Centro $(-2, 3)$ y radio 4: $(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 4^2$.
• B) $(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$Incorrecto. Esa circunferencia tiene centro $(2, -3)$; los signos dentro de los paréntesis son los opuestos de las coordenadas del centro.
• C) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 4$Incorrecto. El segundo miembro es $r^2 = 16$; con 4 el radio sería 2 m.
• D) $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$Incorrecto. Se multiplicó el radio por 2 en lugar de elevarlo al cuadrado; el segundo miembro debe ser $4^2 = 16$.

Respuesta correcta: C) $(3, 2)$

• A) $(-3, 2)$Incorrecto. En $y = (x - h)^2 + k$ el vértice es $(h, k)$; $(x - 3)$ indica $h = +3$, no $-3$.
• B) $(3, -2)$Incorrecto. El término $+2$ fuera del paréntesis es $k = 2$, sin cambio de signo.
• C) $(3, 2)$Correcto. La forma canónica $y = (x - h)^2 + k$ da directamente $h = 3$ y $k = 2$.
• D) $(2, 3)$Incorrecto. Se intercambiaron las coordenadas: la abscisa del vértice sale del paréntesis y la ordenada del término independiente.

Respuesta correcta: A) Foco $(0, 2)$ y directriz $y = -2$

• A) Foco $(0, 2)$ y directriz $y = -2$Correcto. De $x^2 = 4py$ con $4p = 8$ sale $p = 2$: foco $(0, p)$ y directriz $y = -p$.
• B) Foco $(0, 8)$ y directriz $y = -8$Incorrecto. 8 es $4p$, no $p$; hay que dividir por 4 para obtener la distancia focal.
• C) Foco $(2, 0)$ y directriz $x = -2$Incorrecto. Eso corresponde a $y^2 = 8x$, que abre hacia la derecha; en $x^2 = 8y$ el eje es vertical.
• D) Foco $(0, 4)$ y directriz $y = -4$Incorrecto. Se dividió 8 por 2 en lugar de por 4; en $x^2 = 4py$ se tiene $p = \frac{8}{4} = 2$.

Respuesta correcta: C) Centro $(3, -2)$ y radio $5$

• A) Centro $(-3, 2)$ y radio $5$Incorrecto. De $x^2 - 6x$ sale $(x - 3)^2$, que corresponde a $h = 3$; los signos del centro quedaron invertidos.
• B) Centro $(3, -2)$ y radio $\sqrt{12}$Incorrecto. Al completar cuadrados se suman 9 y 4 a ambos miembros; el radio al cuadrado es $12 + 9 + 4 = 25$, no 12.
• C) Centro $(3, -2)$ y radio $5$Correcto. $(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 - 12 = 0$ da $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$.
• D) Centro $(6, -4)$ y radio $12$Incorrecto. Se tomaron los coeficientes $-6$ y $4$ sin dividirlos por 2; el centro es $(\frac{6}{2}, \frac{-4}{2})$.

Respuesta correcta: B) $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25$

• A) $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 100$Incorrecto. 100 es el cuadrado del diámetro $|AB| = 10$; el radio es la mitad, 5, y $r^2 = 25$.
• B) $(x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 25$Correcto. El centro es el punto medio $(2, 6)$ y el radio $\frac{|AB|}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
• C) $(x + 2)^2 + (y + 6)^2 = 25$Incorrecto. Con $(x + 2)$ y $(y + 6)$ el centro sería $(-2, -6)$; se invirtieron los signos.
• D) $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25$Incorrecto. $(3, 4)$ es la semidiferencia de las coordenadas, no el punto medio; el centro es $(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{2 + 10}{2})$.

Respuesta correcta: D) $x^2 = -12y$

• A) $x^2 = 12y$Incorrecto. Con $x^2 = 12y$ el foco es $(0, 3)$ y la parábola abre hacia arriba; el foco dado está debajo del vértice.
• B) $y^2 = -12x$Incorrecto. Esa parábola tiene eje horizontal y foco $(-3, 0)$; aquí el foco está sobre el eje $y$.
• C) $x^2 = -3y$Incorrecto. Se usó $p$ en lugar de $4p$: $x^2 = -3y$ tiene foco en $(0, -\frac{3}{4})$.
• D) $x^2 = -12y$Correcto. Foco $(0, p)$ con $p = -3$: $x^2 = 4py = -12y$, que abre hacia abajo.

Respuesta correcta: B) $60$ cm

• A) $15$ cmIncorrecto. 15 cm es la profundidad del plato, no la distancia focal; el foco no tiene por qué estar en el borde.
• B) $60$ cmCorrecto. Con $x^2 = 4py$ y el punto $(60, 15)$: $3600 = 60p$, de donde $p = 60$ cm.
• C) $240$ cmIncorrecto. 240 es $4p$; la distancia del vértice al foco es $p = \frac{240}{4} = 60$ cm.
• D) $30$ cmIncorrecto. Se tomó la mitad del radio; la distancia focal se calcula con la ecuación $x^2 = 4py$, no con una proporción del diámetro.

Respuesta correcta: B) $(2, -5)$

• A) $(-2, 27)$Incorrecto. Se usó $x_v = \frac{b}{2a}$ sin el signo menos; la fórmula es $x_v = -\frac{b}{2a} = 2$.
• B) $(2, -5)$Correcto. $x_v = -\frac{-8}{4} = 2$ y $y(2) = 8 - 16 + 3 = -5$.
• C) $(4, 3)$Incorrecto. $x = 4$ es la otra abscisa con $y = 3$, no el vértice; el vértice está en el punto medio entre $0$ y $4$.
• D) $(2, 3)$Incorrecto. La abscisa es correcta, pero 3 es el término independiente $y(0)$; hay que evaluar $y(2) = -5$.

Respuesta correcta: D) Sobre la circunferencia, justo en el borde de la cobertura

• A) Dentro de la circunferencia, a menos de 5 dam del centroIncorrecto. La distancia al centro es $\sqrt{9 + 16} = 5$, exactamente el radio, no menor.
• B) Fuera de la circunferencia, a más de 5 dam del centroIncorrecto. $(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = 25$, igual a $r^2$; no supera el radio.
• C) En el centro de la circunferenciaIncorrecto. El centro es $(1, 1)$; el banco está en $(4, 5)$.
• D) Sobre la circunferencia, justo en el borde de la coberturaCorrecto. $(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = 9 + 16 = 25 = r^2$: el punto cumple la ecuación.

Respuesta correcta: A) $k = 4$ o $k = -4$

• A) $k = 4$ o $k = -4$Correcto. La distancia del centro $(0, 0)$ a $x - y + k = 0$ es $\frac{|k|}{\sqrt{2}}$; igualada a $r = 2\sqrt{2}$ da $|k| = 4$.
• B) Solo $k = 8$Incorrecto. Se igualó $k$ a $r^2 = 8$; la condición de tangencia compara la distancia centro-recta con el radio.
• C) $k = \pm 2\sqrt{2}$Incorrecto. $2\sqrt{2}$ es el radio; falta multiplicar por $\sqrt{2}$, porque la distancia es $\frac{|k|}{\sqrt{2}}$.
• D) Solo $k = 4$Incorrecto. La condición $|k| = 4$ tiene dos soluciones; con $k = -4$ la recta es tangente del otro lado.

Respuesta correcta: D) $y = -3x + 17$

• A) $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$Incorrecto. Esa es la recta del radio, que une el centro $(2, 1)$ con $(5, 2)$; la tangente es perpendicular a ella.
• B) $y = 3x - 13$Incorrecto. Se invirtió la pendiente sin cambiar el signo; $3 \cdot \frac{1}{3} = 1$, no $-1$.
• C) $y = -3x + 7$Incorrecto. La pendiente $-3$ es correcta, pero en $x = 5$ da $y = -8$; la recta no pasa por el punto de tangencia.
• D) $y = -3x + 17$Correcto. El radio tiene pendiente $\frac{1}{3}$; la tangente, perpendicular, tiene pendiente $-3$ y pasa por $(5, 2)$: $y = -3x + 17$.

Respuesta correcta: D) En $(-1, 0)$ y $(2, 3)$

• A) Solo en $(2, 3)$Incorrecto. La ecuación $x^2 - x - 2 = 0$ tiene dos soluciones, $x = 2$ y $x = -1$; falta el segundo punto.
• B) En $(-2, -1)$ y $(1, 2)$Incorrecto. Esos valores salen de resolver $x^2 + x - 2 = 0$, con el signo del término lineal cambiado.
• C) En $(1, 0)$ y $(-2, 3)$Incorrecto. $(1, 0)$ no está en la recta: $1 + 1 = 2 \neq 0$; se mezclaron raíces de la parábola con otras soluciones.
• D) En $(-1, 0)$ y $(2, 3)$Correcto. $x^2 - 1 = x + 1$ da $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0$; con $y = x + 1$ se obtienen $(2, 3)$ y $(-1, 0)$.

Respuesta correcta: C) $12$ m

• A) $8$ mIncorrecto. Se supuso que la altura baja de forma lineal hasta el borde; en una parábola la caída depende de $x^2$.
• B) $4$ mIncorrecto. 4 m es lo que baja el arco respecto de la cima, $0{,}04 \cdot 10^2$; la altura es $16 - 4$.
• C) $12$ mCorrecto. Con $y = 16 - ax^2$ y $y(20) = 0$: $a = \frac{16}{400} = 0{,}04$, y $y(10) = 16 - 4 = 12$ m.
• D) $14$ mIncorrecto. Se calculó $16 - 0{,}04 \cdot 50$, usando $10 \cdot 5$ en lugar de $10^2$.

Respuesta correcta: B) Foco $(4, 0)$ y directriz $x = -2$

• A) Foco $(3, 0)$ y directriz $x = -3$Incorrecto. Esos datos corresponden a $y^2 = 12x$, con vértice en el origen; aquí el vértice está corrido a $(1, 0)$.
• B) Foco $(4, 0)$ y directriz $x = -2$Correcto. Vértice $(1, 0)$ y $4p = 12$, $p = 3$: foco $(1 + 3, 0)$ y directriz $x = 1 - 3$.
• C) Foco $(1, 3)$ y directriz $y = -3$Incorrecto. Como la variable al cuadrado es $y$, el eje es horizontal; el foco se desplaza en $x$, no en $y$.
• D) Foco $(4, 0)$ y directriz $x = -3$Incorrecto. El foco es correcto, pero la directriz está a $p = 3$ del vértice $(1, 0)$, en $x = -2$.

Respuesta correcta: C) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$

• A) $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 20 = 0$Incorrecto. Completando cuadrados queda $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = -7$; un radio al cuadrado negativo no da puntos reales.
• B) $x^2 + 2y^2 - 4 = 0$Incorrecto. Los coeficientes de $x^2$ e $y^2$ son distintos (1 y 2), así que es una elipse, no una circunferencia.
• C) $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0$Correcto. Completando cuadrados: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$, una circunferencia de centro $(1, -2)$ y radio 3.
• D) $x^2 - y^2 + 2x = 3$Incorrecto. Los cuadrados tienen signos opuestos, lo que corresponde a una hipérbola.