Secciones Conicas Elipse Hiperbola

Respuesta correcta: B) $a = 5$, $b = 3$, eje mayor horizontal

• A) $a = 25$, $b = 9$, eje mayor horizontalIncorrecto. 25 y 9 son $a^2$ y $b^2$; los semiejes son sus raíces cuadradas, 5 y 3.
• B) $a = 5$, $b = 3$, eje mayor horizontalCorrecto. El denominador mayor, 25, está bajo $x^2$: $a = 5$ sobre el eje $x$ y $b = 3$ sobre el eje $y$.
• C) $a = 5$, $b = 3$, eje mayor verticalIncorrecto. El eje mayor acompaña al denominador mayor, que está bajo $x^2$; por eso es horizontal, no vertical.
• D) $a = 3$, $b = 5$, eje mayor horizontalIncorrecto. Por convención $a$ es el semieje mayor, así que $a = 5$ y $b = 3$; aquí se intercambiaron.

Respuesta correcta: A) $(\pm 4, 0)$

• A) $(\pm 4, 0)$Correcto. $c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16$, $c = 4$, y los focos están sobre el eje mayor horizontal.
• B) $(0, \pm 4)$Incorrecto. El valor $c = 4$ es correcto, pero los focos están sobre el eje mayor, que en esta elipse es el eje $x$.
• C) $(\pm \sqrt{34}, 0)$Incorrecto. En la elipse $c^2 = a^2 - b^2$; sumar $25 + 9 = 34$ corresponde a la relación de la hipérbola.
• D) $(\pm 5, 0)$Incorrecto. $(\pm 5, 0)$ son los vértices; los focos están dentro de la elipse, a distancia $c = 4 < a$.

Respuesta correcta: C) $y = \pm \frac{3}{4}x$

• A) $y = \pm \frac{4}{3}x$Incorrecto. Se invirtió el cociente: para $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ las asíntotas son $y = \pm \frac{b}{a}x$.
• B) $y = \pm \frac{9}{16}x$Incorrecto. Se usaron $b^2$ y $a^2$ en lugar de $b$ y $a$; hay que sacar las raíces.
• C) $y = \pm \frac{3}{4}x$Correcto. Con $a = 4$ y $b = 3$, las asíntotas son $y = \pm \frac{b}{a}x = \pm \frac{3}{4}x$.
• D) $y = \pm 3x$Incorrecto. Falta dividir por $a = 4$; la pendiente es el cociente $\frac{b}{a}$, no $b$.

Respuesta correcta: C) Una hipérbola con eje focal horizontal

• A) Una elipseIncorrecto. Una elipse tiene $x^2$ e $y^2$ con el mismo signo; aquí los signos son opuestos.
• B) Una circunferenciaIncorrecto. La circunferencia necesita los mismos coeficientes y el mismo signo en $x^2$ e $y^2$; aquí son $9$ y $-4$.
• C) Una hipérbola con eje focal horizontalCorrecto. Dividiendo por 36: $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$; el término positivo es el de $x^2$, así que el eje focal es el eje $x$.
• D) Una hipérbola con eje focal verticalIncorrecto. Es hipérbola, pero el término positivo es $\frac{x^2}{4}$; el eje focal vertical requeriría $y^2$ positivo.

Respuesta correcta: D) $0{,}6$

• A) $0{,}8$Incorrecto. $0{,}8 = \frac{b}{a} = \frac{8}{10}$; la excentricidad es $\frac{c}{a}$, no $\frac{b}{a}$.
• B) $1{,}25$Incorrecto. $\frac{a}{b} = \frac{10}{8}$; además la excentricidad de una elipse siempre es menor que 1.
• C) $0{,}36$Incorrecto. $0{,}36 = \frac{c^2}{a^2}$; falta sacar la raíz cuadrada, o calcular directamente $\frac{c}{a}$.
• D) $0{,}6$Correcto. $c = \sqrt{100 - 64} = 6$ y $e = \frac{c}{a} = \frac{6}{10} = 0{,}6$.

Respuesta correcta: B) $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$

• A) $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$Incorrecto. Se tomó $b = c = 4$; en la elipse $b^2 = a^2 - c^2 = 36 - 16 = 20$.
• B) $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1$Correcto. $a = 6$, $c = 4$ y $b^2 = a^2 - c^2 = 20$.
• C) $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{52} = 1$Incorrecto. Se sumó $36 + 16$; con $b^2 = 52 > a^2$ el eje mayor quedaría vertical, en contra de los datos.
• D) $\frac{x^2}{20} + \frac{y^2}{36} = 1$Incorrecto. Se intercambiaron los denominadores: así el eje mayor sería vertical y los vértices estarían en $(0, \pm 6)$.

Respuesta correcta: D) $(\pm 5, 0)$

• A) $(\pm \sqrt{7}, 0)$Incorrecto. $c^2 = 16 - 9 = 7$ es la relación de la elipse; en la hipérbola $c^2 = a^2 + b^2$.
• B) $(0, \pm 5)$Incorrecto. $c = 5$ es correcto, pero el eje focal es el del término positivo, que es $x^2$.
• C) $(\pm 3, 0)$Incorrecto. $(\pm 3, 0)$ son los vértices; en la hipérbola los focos están más lejos del centro que los vértices.
• D) $(\pm 5, 0)$Correcto. $c^2 = a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$, $c = 5$, sobre el eje $x$.

Respuesta correcta: B) $(2, -1)$

• A) $(-2, 1)$Incorrecto. $4(x^2 - 4x)$ se completa como $4(x - 2)^2$, que corresponde a $h = 2$; los signos quedaron invertidos.
• B) $(2, -1)$Correcto. $4(x - 2)^2 + 9(y + 1)^2 = 11 + 16 + 9 = 36$, con centro $(2, -1)$.
• C) $(4, -2)$Incorrecto. Se tomaron los coeficientes $\frac{16}{4}$ y $\frac{18}{9}$ sin dividirlos por 2 al completar el cuadrado.
• D) $(2, 1)$Incorrecto. La abscisa es correcta, pero $9(y^2 + 2y)$ da $9(y + 1)^2$, que corresponde a $k = -1$.

Respuesta correcta: D) $16$ m

• A) $8$ mIncorrecto. 8 m es $c$, la distancia de cada foco al centro; entre los dos focos hay $2c$.
• B) $20$ mIncorrecto. 20 m es el largo total $2a$, la distancia entre los vértices; los focos están dentro de la elipse.
• C) $12$ mIncorrecto. 12 m es el ancho $2b$; no corresponde a la distancia entre focos.
• D) $16$ mCorrecto. $a = 10$, $b = 6$, $c = \sqrt{100 - 36} = 8$, y la distancia entre focos es $2c = 16$ m.

Respuesta correcta: A) $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1$

• A) $\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1$Correcto. Eje focal vertical con $a = 3$; asíntotas $y = \pm \frac{a}{b}x = \pm \frac{3}{2}x$ dan $b = 2$.
• B) $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$Incorrecto. Esa hipérbola tiene vértices $(\pm 3, 0)$ sobre el eje $x$; los vértices dados están en el eje $y$.
• C) $\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1$Incorrecto. Tiene vértices $(0, \pm 2)$ y asíntotas $y = \pm \frac{2}{3}x$; se intercambiaron $a$ y $b$.
• D) $\frac{y^2}{9} + \frac{x^2}{4} = 1$Incorrecto. Con signo más es una elipse, que no tiene asíntotas.

Respuesta correcta: A) Una hipérbola, porque los coeficientes de $x^2$ e $y^2$ tienen signos opuestos.

• A) Una hipérbola, porque los coeficientes de $x^2$ e $y^2$ tienen signos opuestos.Correcto. Completando cuadrados se llega a $3(x + 1)^2 - 5(y + 1)^2 = -3$, una hipérbola no degenerada.
• B) Una elipse, porque aparecen $x^2$ e $y^2$.Incorrecto. Para una elipse, $x^2$ e $y^2$ deben tener coeficientes del mismo signo; aquí son 3 y $-5$.
• C) Una parábola, porque tiene términos lineales en $x$ y en $y$.Incorrecto. Los términos lineales solo trasladan la cónica; la parábola se reconoce porque falta uno de los cuadrados.
• D) Una circunferencia, porque no tiene término $xy$.Incorrecto. La circunferencia requiere coeficientes iguales en $x^2$ e $y^2$; 3 y $-5$ son distintos.

Respuesta correcta: C) $0{,}017$

• A) $0{,}967$Incorrecto. $0{,}967 \approx \frac{147}{152}$ compara las dos distancias; la excentricidad es $\frac{c}{a}$.
• B) $0{,}033$Incorrecto. Se dividió $\frac{5}{152}$: la diferencia de distancias es $2c$, no $c$, y $a$ es el promedio 149,5, no 152.
• C) $0{,}017$Correcto. $a = \frac{147 + 152}{2} = 149{,}5$, $c = \frac{152 - 147}{2} = 2{,}5$ y $e = \frac{2{,}5}{149{,}5} \approx 0{,}017$.
• D) $0{,}5$Incorrecto. No hay ningún cálculo con estos datos que dé 0,5; una órbita casi circular tiene excentricidad cercana a 0.

Respuesta correcta: B) $E_2$, porque su excentricidad es $0{,}8$ y la de $E_1$ es $0{,}6$.

• A) $E_1$, porque su semieje menor es más grande.Incorrecto. Un semieje menor más grande hace la elipse más redonda, no más alargada; $e_1 = 0{,}6$.
• B) $E_2$, porque su excentricidad es $0{,}8$ y la de $E_1$ es $0{,}6$.Correcto. $c_1 = 3$, $e_1 = 0{,}6$; $c_2 = 4$, $e_2 = 0{,}8$; mayor excentricidad significa elipse más alargada.
• C) Son igual de alargadas porque tienen el mismo semieje mayor.Incorrecto. La forma depende de la relación entre $a$ y $b$ (o de $\frac{c}{a}$), no solo de $a$.
• D) $E_1$, porque su excentricidad es $0{,}8$.Incorrecto. En $E_1$: $c = \sqrt{25 - 16} = 3$ y $e = \frac{3}{5} = 0{,}6$; se asignaron las excentricidades al revés.

Respuesta correcta: C) $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1$

• A) $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$Incorrecto. Esa es una elipse; la suma constante de distancias define la elipse, pero aquí lo constante es la diferencia.
• B) $\frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{36} = 1$Incorrecto. Se tomó $a = c = 10$; en realidad $2a = 12$, $a = 6$, y $c = 10$ es la distancia a los focos.
• C) $\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{64} = 1$Correcto. $2a = 12$, $a = 6$; $c = 10$ y $b^2 = c^2 - a^2 = 64$.
• D) $\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{36} = 1$Incorrecto. Se intercambiaron $a^2$ y $b^2$: así la diferencia de distancias sería $2 \cdot 8 = 16$ km.

Respuesta correcta: D) $e = \sqrt{2}$

• A) $e = 1$Incorrecto. $e = 1$ corresponde a la parábola; toda hipérbola tiene $e > 1$.
• B) $e = 2$Incorrecto. $e = 2$ correspondería a $c = 2a$, es decir $b = \sqrt{3}a$; con asíntotas perpendiculares $b = a$.
• C) $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$Incorrecto. Un valor menor que 1 corresponde a una elipse; se invirtió el cociente $\frac{c}{a}$.
• D) $e = \sqrt{2}$Correcto. Asíntotas perpendiculares implican $\frac{b}{a} = 1$; entonces $c = \sqrt{2}a$ y $e = \sqrt{2}$.

Respuesta correcta: C) $(1, 2)$ y $(1, -6)$

• A) $(5, -2)$ y $(-3, -2)$Incorrecto. Se ubicaron los focos sobre una recta horizontal; el denominador mayor, 25, está bajo $(y + 2)^2$, así que el eje mayor es vertical.
• B) $(1, 3)$ y $(1, -7)$Incorrecto. Esos son los vértices del eje mayor, a $a = 5$ del centro; los focos están a $c = 4$.
• C) $(1, 2)$ y $(1, -6)$Correcto. Centro $(1, -2)$, eje mayor vertical, $c = \sqrt{25 - 9} = 4$: focos $(1, -2 \pm 4)$.
• D) $(1, -2 + \sqrt{34})$ y $(1, -2 - \sqrt{34})$Incorrecto. Se calculó $c^2 = 25 + 9$; en la elipse $c^2 = a^2 - b^2 = 16$.