Tema W01

Respuesta correcta: D) Es la unión de los números racionales ($\mathbb{Q}$) y los irracionales ($\mathbb{I}$).

• A) Está compuesto únicamente por los números enteros y los decimales exactos.Incorrecto. Los irracionales como $\pi$ también son reales.
• B) Excluye a los números naturales porque estos solo sirven para contar elementos.Incorrecto. Los números naturales están incluidos en los enteros, racionales y reales.
• C) Incluye a los números complejos con parte imaginaria distinta de cero.Incorrecto. Los números con parte imaginaria no nula no pertenecen al conjunto de los reales.
• D) Es la unión de los números racionales ($\mathbb{Q}$) y los irracionales ($\mathbb{I}$).Correcto. Todo número real o bien se puede escribir como fracción (racional) o bien tiene infinitas cifras decimales no periódicas (irracional).

Respuesta correcta: C) $[-2, 5)$

• A) $(-2, 5]$Incorrecto. El paréntesis indica abierto en $-2$ y el corchete indica cerrado en $5$, que es lo opuesto a lo pedido.
• B) $[-2, 5]$Incorrecto. El corchete en $5$ incluye al número $5$, pero debe ser estrictamente menor.
• C) $[-2, 5)$Correcto. El corchete en $-2$ indica que se incluye el extremo (mayor o igual) y el paréntesis en $5$ indica que no se incluye (estrictamente menor).
• D) $(-2, 5)$Incorrecto. El paréntesis en $-2$ excluye al $-2$, pero el enunciado pide mayores o iguales.

Respuesta correcta: B) $[3, +\infty)$

• A) $(-\infty, 3]$Incorrecto. Si $x < 3$, el radicando se vuelve negativo, lo cual no está definido en los reales.
• B) $[3, +\infty)$Correcto. Para que la raíz cuadrada esté definida, el radicando debe ser mayor o igual a cero: $2x - 6 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 6 \Rightarrow x \ge 3$.
• C) $(3, +\infty)$Incorrecto. El número $3$ sí está incluido en el dominio porque $\sqrt{0} = 0$ es un número real válido.
• D) $[-3, +\infty)$Incorrecto. Si elegís por ejemplo $x = 0$, el radicando es $-6$, cuya raíz cuadrada no es real.

Respuesta correcta: A) $|T - 20| \le 3$

• A) $|T - 20| \le 3$Correcto. La distancia entre la temperatura $T$ y el valor ideal de $20^\circ\text{C}$ debe ser menor o igual a $3^\circ\text{C}$.
• B) $|T - 3| \le 20$Incorrecto. Esta expresión describe temperaturas entre $-17$ y $23$ grados.
• C) $|T - 20| \ge 3$Incorrecto. Esto indicaría que la temperatura debe alejarse por lo menos $3$ grados del valor ideal.
• D) $|T + 20| \le 3$Incorrecto. La suma dentro del valor absoluto desplaza el centro del intervalo a $-20$ grados.

Respuesta correcta: B) $[-1, 3)$

• A) $[-4, 7]$Incorrecto. Este intervalo corresponde a la unión de los conjuntos, no a la intersección.
• B) $[-1, 3)$Correcto. La intersección consiste en los elementos comunes a ambos intervalos, los cuales empiezan en $-1$ (incluido en ambos) y terminan antes de $3$ (excluido en $A$).
• C) $[-1, 3]$Incorrecto. El número $3$ no pertenece al intervalo $A$ (tiene paréntesis), por lo que no puede estar en la intersección.
• D) $[-4, -1)$Incorrecto. Estos valores pertenecen a $A$ pero no a $B$.

Respuesta correcta: D) $(8, 20)$

• A) $[8, 20]$Incorrecto. Los extremos 8 y 20 no están incluidos en los intervalos originales.
• B) $[12, 14]$Incorrecto. Esto representa la intersección de los intervalos, no su unión.
• C) $(8, 12]$Incorrecto. Excluye la mayor parte del horario de atención conjunto.
• D) $(8, 20)$Correcto. La unión agrupa todos los elementos que están en al menos uno de los intervalos. Comienza justo después de 8 y termina antes de 20, sin interrupciones.

Respuesta correcta: D) Como máximo 15 GB.

• A) Como máximo 20 GB.Incorrecto. 20 GB costarían $2000 + 150(20) = 5000$ pesos, excediendo el presupuesto.
• B) Como máximo 28 GB.Incorrecto. Este valor no tiene en cuenta el cargo fijo mensual de 2000 pesos.
• C) Como máximo 10 GB.Incorrecto. Con 10 GB gastaría 3500 pesos, lo cual está por debajo pero no es el valor máximo posible.
• D) Como máximo 15 GB.Correcto. Planteamos la inecuación: $2000 + 150x \le 4250$. Restando $2000$ se obtiene $150x \le 2250$. Dividiendo por $150$, resulta $x \le 15$.

Respuesta correcta: A) $(-6, 4]$

• A) $(-6, 4]$Correcto. Restamos $4$ en todos los miembros: $-12 < 2t \le 8$. Luego dividimos todo por $2$: $-6 < t \le 4$. Esto equivale al intervalo $(-6, 4]$.
• B) $[-6, 4)$Incorrecto. Los extremos e inclusiones están al revés.
• C) $(-8, 12]$Incorrecto. Esto no resuelve la inecuación para la variable $t$.
• D) $(-2, 8]$Incorrecto. Se cometió un error algebraico al restar y dividir los términos.

Respuesta correcta: D) $[11,95; 12,05]$

• A) $[11,05; 12,05]$Incorrecto. El extremo inferior está mal calculado ($12 - 0,05 = 11,95$).
• B) $[11,95; 12,50]$Incorrecto. El límite superior excede con creces la tolerancia máxima admisible.
• C) $(11,95; 12,05)$Incorrecto. Como la tolerancia incluye los límites extremos, el intervalo debe ser cerrado.
• D) $[11,95; 12,05]$Correcto. La inecuación $|d - 12| \le 0,05$ equivale a $-0,05 \le d - 12 \le 0,05$. Sumando $12$, obtenemos $11,95 \le d \le 12,05$.

Respuesta correcta: B) $(20, 60)$

• A) $[20, 60]$Incorrecto. En los extremos de este intervalo la ganancia es exactamente cero.
• B) $(20, 60)$Correcto. Buscamos $-p^2 + 80p - 1200 > 0$. Multiplicando por $-1$ resulta $p^2 - 80p + 1200 < 0$. Las raíces de la ecuación cuadrática son $20$ y $60$. Como el coeficiente principal original es negativo, la parábola abre hacia abajo, por lo que es positiva entre las raíces.
• C) $(-\infty, 20) \cup (60, +\infty)$Incorrecto. En este rango la ganancia sería negativa, lo que generaría pérdidas.
• D) $(0, 40)$Incorrecto. Para $p = 10$, por ejemplo, la ganancia es negativa.

Respuesta correcta: C) $(-\infty, -3) \cup [2, +\infty)$

• A) $[-3, 2]$Incorrecto. Para $x = -3$ el denominador se hace cero, lo cual está prohibido, y para valores en este intervalo la fracción es menor o igual a cero.
• B) $(-\infty, -3] \cup [2, +\infty)$Incorrecto. El valor $-3$ no puede estar en el conjunto solución ya que anula al denominador.
• C) $(-\infty, -3) \cup [2, +\infty)$Correcto. La fracción es mayor o igual a cero si el numerador y el denominador tienen el mismo signo. El numerador se anula en $x=2$ (incluido) y el denominador en $x=-3$ (excluido para evitar la división por cero). Analizando los signos, resulta este conjunto.
• D) $(2, +\infty)$Incorrecto. Se omite el intervalo donde tanto el numerador como el denominador son negativos.

Respuesta correcta: C) $[-2, 4)$

• A) $[-2, 4]$Incorrecto. El número $4$ no está incluido debido a que la primera inecuación es estricta ($x < 4$).
• B) $(-2, 4)$Incorrecto. El valor $-2$ sí debe ser incluido porque la segunda desigualdad es mayor o igual.
• C) $[-2, 4)$Correcto. De la primera inecuación: $3x < 12 \Rightarrow x < 4$. De la segunda inecuación: $2x \ge -4 \Rightarrow x \ge -2$. Al intersectar ambas condiciones se obtiene $-2 \le x < 4$, es decir, el intervalo $[-2, 4)$.
• D) $(-\infty, -2] \cup (4, +\infty)$Incorrecto. Se realizó la unión en lugar de la intersección.

Respuesta correcta: A) $(1, +\infty)$

• A) $(1, +\infty)$Correcto. Para cualquier $x$ tal que $0 < x < 1$, se cumple que $\frac{1}{x} > 1$, por lo tanto, pertenece al intervalo $(1, +\infty)$.
• B) $(0, 1)$Incorrecto. El recíproco de un número entre 0 y 1 siempre es mayor que 1.
• C) $(-1, 0)$Incorrecto. Dado que $x$ es positivo, su recíproco también debe ser positivo.
• D) $[1, +\infty)$Incorrecto. Como $x < 1$ (estrictamente), su recíproco debe ser estrictamente mayor que $1$.

Respuesta correcta: B) $(3, 5)$

• A) $[3, 5]$Incorrecto. El enunciado requiere que sea estrictamente entre los dos límites, por lo que debe ser abierto.
• B) $(3, 5)$Correcto. Planteamos la inecuación: $18\pi < \pi r^2 (2) < 50\pi$. Dividiendo por $2\pi$, resulta $9 < r^2 < 25$. Tomando la raíz cuadrada, obtenemos $3 < r < 5$, es decir, el intervalo abierto $(3, 5)$.
• C) $(9, 25)$Incorrecto. Esto representaría el intervalo para el cuadrado del radio ($r^2$), no para el radio mismo.
• D) $(1,5; 2,5)$Incorrecto. Se dividió incorrectamente por la altura.

Respuesta correcta: D) $[-2, 7]$

• A) $(-2, 7)$Incorrecto. Excluye a los extremos $-2$ y $7$, que tampoco satisfacen la desigualdad estricta.
• B) $(-\infty, -2] \cup [7, +\infty)$Incorrecto. Este conjunto es precisamente el conjunto solución de la inecuación original, no su complemento.
• C) $[-7, 2]$Incorrecto. Se cometió un error en los signos al resolver la desigualdad.
• D) $[-2, 7]$Correcto. Los números que NO satisfacen $|2x - 5| > 9$ son aquellos que cumplen la desigualdad complementaria $|2x - 5| \le 9$. Al resolverla obtenemos $-9 \le 2x - 5 \le 9 \Rightarrow -4 \le 2x \le 14 \Rightarrow -2 \le x \le 7$, lo cual corresponde al intervalo cerrado $[-2, 7]$.

Respuesta correcta: C) $(-6, 6)$

• A) $k < 6$Incorrecto. Si $k = -10$, el discriminante es positivo y habría soluciones reales.
• B) $(-\infty, -6) \cup (6, +\infty)$Incorrecto. En este rango el discriminante es positivo.
• C) $(-6, 6)$Correcto. Para que no tenga soluciones reales, el discriminante debe ser estrictamente menor que cero: $\Delta = b^2 - 4ac = k^2 - 36 < 0$. Esto equivale a $k^2 < 36$, cuya solución es $-6 < k < 6$.
• D) $[-6, 6]$Incorrecto. Si $k = \pm 6$, el discriminante es exactamente cero, por lo que la ecuación tendría una solución real doble.

Respuesta correcta: A) Ínfimo = 1, Supremo = 2

• A) Ínfimo = 1, Supremo = 2Correcto. El menor valor del conjunto ocurre cuando $n = 1$, dando $2 - 1 = 1$. A medida que $n$ crece, el término $\frac{1}{n}$ disminuye, acercándose a 0, por lo que los elementos se aproximan a 2. El supremo es 2.
• B) Ínfimo = 1, Supremo = 1.99Incorrecto. El supremo debe ser el límite exacto de la secuencia a medida que $n$ tiende a infinito, el cual es exactamente 2.
• C) Ínfimo = 0, Supremo = 2Incorrecto. Dado que $n \ge 1$, el menor valor posible en el conjunto es $1$.
• D) No está acotado superiormente ya que $n$ puede ser tan grande como queramos.Incorrecto. Aunque $n$ crece indefinidamente, los elementos del conjunto nunca pueden superar el valor de 2.

Respuesta correcta: D) Únicamente cuando $a = b$.

• A) Nunca se cumple la igualdad exacta en números reales positivos.Incorrecto. Sí hay una condición simple para la cual ambos lados son exactamente iguales.
• B) Cuando uno de los dos números es el doble del otro.Incorrecto. Si por ejemplo $a = 2$ y $b = 1$, las medias no son iguales.
• C) Únicamente cuando $a = 1$ o $b = 1$.Incorrecto. Si $a = 1$ y $b = 4$, la media aritmética es $2,5$ y la geométrica es $2$.
• D) Únicamente cuando $a = b$.Correcto. Esta es la relación de las medias aritmética y geométrica (AM-GM). Al elevar ambos miembros al cuadrado y simplificar, se obtiene $(a-b)^2 \ge 0$. La igualdad se da si y solo si $a - b = 0 \Rightarrow a = b$.

Respuesta correcta: A) Es incorrecto porque al dividir por $x$ se asume implícitamente que $x > 0$. Si $x < 0$, la división invierte la desigualdad dando $x < 4$, lo que sumado al supuesto $x < 0$ añade el intervalo $(-\infty, 0)$ a la solución.

• A) Es incorrecto porque al dividir por $x$ se asume implícitamente que $x > 0$. Si $x < 0$, la división invierte la desigualdad dando $x < 4$, lo que sumado al supuesto $x < 0$ añade el intervalo $(-\infty, 0)$ a la solución.Correcto. Dividir por una variable cuyo signo se desconoce es un error grave. Si $x < 0$, al dividir por $x$ se invierte el sentido de la desigualdad, resultando en $x < 4$, lo que da todo el intervalo de números negativos.
• B) El procedimiento es completamente correcto y la solución es $x > 4$.Incorrecto. Se omitió una parte de las soluciones debido a la división por una variable sin analizar su signo.
• C) El procedimiento es incorrecto porque el sentido de la desigualdad debería haberse invertido siempre.Incorrecto. Solo se invierte si la variable por la que se divide es negativa.
• D) El procedimiento es incorrecto porque nunca está permitido dividir una inecuación por ninguna variable.Incorrecto. Sí está permitido siempre que se analicen los casos según el signo de la variable.

Respuesta correcta: C) Verdadera, debido a la propiedad de densidad de los números racionales en el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$).

• A) Falsa, porque los números irracionales y racionales están en conjuntos totalmente separados y no se mezclan.Incorrecto. Aunque son conjuntos disjuntos, sus elementos están infinitamente entrelazados en la recta real.
• B) Falsa, ya que si los dos irracionales están sumamente juntos, solo puede haber otros números irracionales entre ellos.Incorrecto. Sin importar la distancia microscópica, la propiedad de densidad garantiza la existencia de racionales.
• C) Verdadera, debido a la propiedad de densidad de los números racionales en el conjunto de los números reales ($\mathbb{R}$).Correcto. El conjunto de los números racionales es denso en los reales. Esto garantiza que en cualquier intervalo abierto de la recta real, siempre existe al menos un número racional.
• D) Verdadera, pero solo si al menos uno de los dos extremos irracionales es un múltiplo entero de $\pi$.Incorrecto. Se cumple para cualquier par de números reales distintos.