Tema W02

Respuesta correcta: B) Debe tener una única imagen en $B$.

• A) Debe tener al menos una imagen en $B$.Incorrecto. Si tiene más de una imagen, no cumple con el principio de unicidad.
• B) Debe tener una única imagen en $B$.Correcto. Toda función debe cumplir los principios de existencia (cada elemento tiene imagen) y unicidad (la imagen es única).
• C) Debe tener más de una imagen en $B$.Incorrecto. Esto contradice directamente el principio de unicidad.
• D) No es obligatorio que tenga imagen en $B$.Incorrecto. Si un elemento de $A$ no tiene imagen, la relación no es una función.

Respuesta correcta: A) La cantidad de unidades producidas en el mes.

• A) La cantidad de unidades producidas en el mes.Correcto. La variable independiente es la cantidad producida, ya que de ella depende el costo total.
• B) El costo de producir una unidad de producto.Incorrecto. El costo marginal por unidad es 50, que es constante.
• C) El costo fijo total del emprendimiento.Incorrecto. El costo fijo es la constante 1000.
• D) La ganancia neta obtenida por el negocio.Incorrecto. No estamos considerando ingresos, solo costos de producción.

Respuesta correcta: C) $\mathbb{R} - \{5\}$

• A) $\mathbb{R} - \{0\}$Incorrecto. El numerador puede ser 0 sin problemas, por lo que $x=0$ pertenece al dominio.
• B) $[5, +\infty)$Incorrecto. La función está definida para números menores que 5.
• C) $\mathbb{R} - \{5\}$Correcto. El denominador no puede ser 0, por lo que $x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$.
• D) $\mathbb{R}$Incorrecto. El valor $x=5$ causa división por cero, por lo que debe excluirse.

Respuesta correcta: D) $[7, +\infty)$

• A) $\mathbb{R} - \{7\}$Incorrecto. Si $x < 7$ la expresión no está definida en los reales.
• B) $(7, +\infty)$Incorrecto. El número 7 sí está incluido porque $\sqrt{0} = 0$.
• C) $(-\infty, 7]$Incorrecto. Si tomamos un número menor que 7, el radicando se hace negativo.
• D) $[7, +\infty)$Correcto. Para que la raíz esté definida, el radicando debe ser no negativo: $x - 7 \ge 0 \Rightarrow x \ge 7$.

Respuesta correcta: C) $f(x) = x^2 - 4$

• A) $f(x) = x^3 - x$Incorrecto. Esta función es impar, ya que $f(-x) = -f(x)$.
• B) $f(x) = 2x + 1$Incorrecto. No presenta simetría par ni impar.
• C) $f(x) = x^2 - 4$Correcto. $f(-x) = (-x)^2 - 4 = x^2 - 4 = f(x)$.
• D) $f(x) = \sin(x)$Incorrecto. El seno es una función impar.

Respuesta correcta: B) $f(x) = x^3 - 3x$

• A) $f(x) = x^2$Incorrecto. $x^2$ es una función par.
• B) $f(x) = x^3 - 3x$Correcto. $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$.
• C) $f(x) = \cos(x)$Incorrecto. El coseno es una función par.
• D) $f(x) = e^x$Incorrecto. La exponencial no presenta simetría par ni impar.

Respuesta correcta: A) $C(k) = 80k + 1200$

• A) $C(k) = 80k + 1200$Correcto. El costo total es la tarifa por kilómetro multiplicada por $k$ más el costo fijo: $C(k) = 80k + 1200$.
• B) $C(k) = 1200k + 80$Incorrecto. Esto cobraría 1200 por kilómetro, no como costo fijo.
• C) $C(k) = (1200 + 80)k$Incorrecto. Esto sumaría ambos valores antes de multiplicar por los kilómetros.
• D) $C(k) = 80k$Incorrecto. Esta opción no tiene en cuenta el costo fijo mensual.

Respuesta correcta: C) $[3, +\infty)$

• A) $\mathbb{R}$Incorrecto. La gráfica es una parábola y no cubre los valores menores a 3.
• B) $(-\infty, 3]$Incorrecto. Esto correspondería a una parábola cóncava hacia abajo.
• C) $[3, +\infty)$Correcto. Como $x^2 \ge 0$, al sumar 3 resulta $x^2 + 3 \ge 3$. Por lo tanto, el rango es $[3, +\infty)$.
• D) $[0, +\infty)$Incorrecto. El valor mínimo de la función es 3, no 0.

Respuesta correcta: B) $f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}$

• A) $f^{-1}(x) = \frac{x - 6}{3}$Incorrecto. Se erró en el signo al despejar.
• B) $f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}$Correcto. Planteamos $y = 3x - 6$. Despejamos $x$: $y + 6 = 3x \Rightarrow x = \frac{y + 6}{3}$. Intercambiando variables, queda $f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{3}$.
• C) $f^{-1}(x) = 6x - 3$Incorrecto. Esto invierte los coeficientes de manera incorrecta.
• D) $f^{-1}(x) = \frac{x}{3} + 6$Incorrecto. El 6 debe ser dividido por 3 también.

Respuesta correcta: B) $g(x) = (x-2)^2 + 3$

• A) $g(x) = (x+2)^2 + 3$Incorrecto. El término $(x+2)$ desplaza la gráfica hacia la izquierda.
• B) $g(x) = (x-2)^2 + 3$Correcto. Un desplazamiento de $h$ unidades a la derecha y $k$ hacia arriba se representa como $g(x) = (x - h)^2 + k$. Con $h=2$ y $k=3$, obtenemos $g(x) = (x - 2)^2 + 3$.
• C) $g(x) = (x-2)^2 - 3$Incorrecto. El $-3$ final indica un desplazamiento hacia abajo.
• D) $g(x) = (x+2)^2 - 3$Incorrecto. Desplaza hacia la izquierda y hacia abajo.

Respuesta correcta: A) $(4, +\infty)$

• A) $(4, +\infty)$Correcto. El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo: $x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4$.
• B) $\mathbb{R} - \{4\}$Incorrecto. No solo el 4 está excluido, sino todos los números menores que él.
• C) $[4, +\infty)$Incorrecto. El valor $4$ no está incluido porque el logaritmo de cero no está definido.
• D) $(-\infty, 4)$Incorrecto. Si $x < 4$, el argumento es negativo y el logaritmo real no existe.

Respuesta correcta: B) $f^{-1}(x) = \frac{x+2}{x-1}$

• A) $f^{-1}(x) = \frac{x-1}{x+2}$Incorrecto. Esto es la recíproca, no la inversa.
• B) $f^{-1}(x) = \frac{x+2}{x-1}$Correcto. Si planteamos $y = \frac{x+2}{x-1}$, despejamos: $y(x-1) = x+2 \Rightarrow yx - y = x + 2 \Rightarrow yx - x = y + 2 \Rightarrow x = \frac{y+2}{y-1}$. Al cambiar variables coincide con la original.
• C) $f^{-1}(x) = \frac{x-2}{x+1}$Incorrecto. Se cometieron errores de signos al transponer términos.
• D) $f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-1}$Incorrecto. Se transpusieron mal las variables en el despeje algebraico.

Respuesta correcta: B) $[-2, 2]$

• A) $\mathbb{R}$Incorrecto. Si $x = 3$, el radicando es $-5$, lo cual no está definido en los reales.
• B) $[-2, 2]$Correcto. El radicando debe ser no negativo: $4 - x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow |x| \le 2 \Rightarrow -2 \le x \le 2$.
• C) $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$Incorrecto. En este rango el radicando es negativo.
• D) $[0, 2]$Incorrecto. Los números negativos entre $-2$ y $0$ también son válidos.

Respuesta correcta: C) $2x^2 + 3$

• A) $(2x + 3)^2$Incorrecto. Esto representa la composición inversa $(g \circ f)(x)$.
• B) $2x^2 + 6$Incorrecto. Se multiplicó de manera errónea el término constante.
• C) $2x^2 + 3$Correcto. Por definición de composición, $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2x^2 + 3$.
• D) $4x^2 + 9$Incorrecto. Esto resulta de elevar la expresión al cuadrado de forma incorrecta.

Respuesta correcta: C) $k = 2$

• A) $k = 1$Incorrecto. Si $k=1$, los límites laterales no coinciden ($5 \neq 3$).
• B) $k = 3$Incorrecto. Con $k=3$, el límite por derecha daría 7.
• C) $k = 2$Correcto. Los límites laterales deben ser iguales: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 3(2) - 1 = 5$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2k + 1$. Igualando ambos queda $2k + 1 = 5 \Rightarrow k = 2$.
• D) $k = 5$Incorrecto. Con $k=5$, el límite por derecha daría 11.

Respuesta correcta: D) Reflejando la gráfica respecto del eje $x$.

• A) Desplazando la gráfica una unidad hacia abajo.Bajar la gráfica una unidad produce $f(x) - 1 = 2^x - 1$, no $-2^x$.
• B) Reflejando la gráfica respecto del eje $y$.Reflejar respecto del eje $y$ cambia $x$ por $-x$ y daría $2^{-x}$.
• C) Desplazando la gráfica una unidad a la izquierda.Desplazar a la izquierda una unidad sustituye $x$ por $x+1$ y daría $2^{x+1}$.
• D) Reflejando la gráfica respecto del eje $x$.Multiplicar toda la función por $-1$ invierte el signo de cada ordenada, y eso es exactamente una reflexión respecto del eje $x$.

Respuesta correcta: C) $\mathbb{R} - \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$

• A) $\mathbb{R} - \{3\}$Incorrecto. Esto sería el dominio de $f(x)$ sola, pero el argumento es $g(x) = x^2$.
• B) $[3, +\infty)$Incorrecto. La función está definida en la mayoría de los números menores a 3.
• C) $\mathbb{R} - \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}\}$Correcto. El dominio de la composición requiere que $g(x)$ esté definido (todo $\mathbb{R}$) y que $g(x) \neq 3 \Rightarrow x^2 \neq 3 \Rightarrow x \neq \pm\sqrt{3}$.
• D) $\mathbb{R}$Incorrecto. Los puntos donde el denominador se anula deben ser estrictamente excluidos.

Respuesta correcta: D) Es una función par.

• A) Es una función impar.Incorrecto. El signo negativo se absorbe debido a la paridad de la función externa $f$.
• B) No presenta simetría.Incorrecto. La simetría par está totalmente garantizada.
• C) Depende de la paridad de los dominios individuales.Incorrecto. Ambas funciones están definidas en todos los reales.
• D) Es una función par.Correcto. $h(-x) = f(g(-x)) = f(-g(x))$ porque $g$ es impar. Como $f$ es par, $f(-g(x)) = f(g(x)) = h(x)$. Por ende, $h$ es par.

Respuesta correcta: B) Es correcta únicamente si se restringe el dominio original de $f(x)$ a $[0, +\infty)$ para asegurar la inyectividad.

• A) Es correcta para todo el conjunto de los números reales.Incorrecto. En los reales la función $x^2$ no es inyectiva, por lo que no admite inversa global.
• B) Es correcta únicamente si se restringe el dominio original de $f(x)$ a $[0, +\infty)$ para asegurar la inyectividad.Correcto. Al restringir el dominio a los reales no negativos la función se vuelve inyectiva y admite inversa unívoca.
• C) Es incorrecta porque la operación inversa de la potencia es la función exponencial.Incorrecto. La inversa de la potencia es la raíz, la exponencial es la inversa del logaritmo.
• D) Es correcta para cualquier intervalo de longitud menor a dos.Incorrecto. Un intervalo como $[-0.5, 0.5]$ sigue fallando en la inyectividad.

Respuesta correcta: A) $(0, 6)$

• A) $(0, 6)$Correcto. El lado recortado $x$ debe ser positivo, y dado que se recortan dos esquinas por cada lado de la lámina, debe cumplirse que $2x < 12 \Rightarrow x < 6$.
• B) $[0, 12]$Incorrecto. No se pueden recortar esquinas de más de 6 cm de lado.
• C) $(0, 12)$Incorrecto. No considera que se recortan esquinas de ambos lados de la lámina.
• D) $[0, 6]$Incorrecto. En los extremos 0 y 6 el volumen físico de la caja es exactamente cero.