Tema W03 — Matematicas Grado 11, Argentina

Bloom: Remember

Franco repasa la representación gráfica de rectas paralelas al eje horizontal en La Plata.

¿Cuál de las siguientes ecuaciones describe de manera correcta a una recta que es perfectamente paralela al eje de las abscisas (eje

x

)?

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Respuesta correcta: A) $y = -2$

A) $y = -2$ Correcto. Una ecuación de la forma $y = c$ , donde $c$ es una constante, representa una recta horizontal con pendiente cero, paralela al eje $x$ .
B) $x = 3$ Incorrecto. Esta ecuación representa una recta vertical (paralela al eje y).
C) $y = x$ Incorrecto. Esta es la función identidad, una recta diagonal con pendiente 1.
D) $y = x - 2$ Incorrecto. Esta es una recta oblicua con pendiente 1.

💡 Explicación

Una recta horizontal tiene pendiente cero. Su ecuación se reduce a la forma constante

y = c

, lo que significa que el valor de la ordenada es el mismo para cualquier valor de la abscisa.

Bloom: Remember

Sofía analiza la tasa de variación constante de una función lineal.

En una ecuación lineal de la forma

y = mx + b

, ¿qué concepto describe algebraicamente al coeficiente

m

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) La pendiente de la recta, que indica su inclinación.

A) La ordenada al origen de la recta.Incorrecto. Ese concepto corresponde al término independiente $b$ .
B) La intersección de la recta con el eje horizontal.Incorrecto. La intersección con el eje $x$ ocurre en el punto $(-b/m, 0)$ .
C) La pendiente de la recta, que indica su inclinación.Correcto. El coeficiente $m$ representa la pendiente de la recta, es decir, la tasa de cambio constante de $y$ respecto a $x$ .
D) La longitud del segmento entre el origen y el vértice.Incorrecto. Las rectas no tienen vértice.

💡 Explicación

El coeficiente principal

m

en la ecuación explícita de la recta representa la pendiente. Mide la variación de la variable dependiente por cada unidad de cambio de la variable independiente.

Bloom: Understand

Mateo analiza la pendiente de rampas de accesibilidad en Mar del Plata.

Dada la recta

y = 3x - 5

, ¿cuál es la pendiente de cualquier recta que sea paralela a ella?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $3$

A) $-5$ Incorrecto. $-5$ es la ordenada al origen de la recta original.
B) $-\frac{1}{3}$ Incorrecto. Esta sería la pendiente de una recta perpendicular.
C) $3$ Correcto. Dos rectas son paralelas si y solo si tienen exactamente la misma pendiente. Por ende, la pendiente de la recta paralela debe ser 3.
D) $-3$ Incorrecto. Cambiar el signo no da una recta paralela.

💡 Explicación

La condición matemática de paralelismo establece que dos rectas en el mismo plano son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales (

m_1 = m_2

).

Bloom: Understand

Camila analiza la posición relativa de dos avenidas perpendiculares en San Miguel de Tucumán.

Si tenés una recta original con pendiente

m_1 = -\frac{2}{5}

, ¿cuál debe ser la pendiente

m_2

de una recta que sea perpendicular a ella?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $\frac{5}{2}$

A) $-\frac{2}{5}$ Incorrecto. Esta sería la pendiente para una recta paralela.
B) $\frac{5}{2}$ Correcto. Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es $-1$ : $m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -1 / (-2/5) = 5/2$ .
C) $\frac{2}{5}$ Incorrecto. Solo se cambió el signo, pero debe ser también recíproca.
D) $-\frac{5}{2}$ Incorrecto. Es recíproca pero no tiene signo opuesto.

💡 Explicación

La condición de perpendicularidad entre dos rectas establece que sus pendientes deben ser opuestas y recíprocas entre sí (

m_2 = -\frac{1}{m_1}

).

Bloom: Understand

Joaquín representa gráficamente un sistema de ecuaciones lineales en Bahía Blanca.

Si representás gráficamente un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas y las dos rectas resultan ser coincidentes (la misma recta), ¿cómo se clasifica el sistema?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Sistema Compatible Indeterminado.

A) Sistema Compatible Determinado.Incorrecto. Esto ocurre cuando se intersectan en un único punto.
B) Sistema Incompatible.Incorrecto. Esto ocurre cuando las rectas son paralelas distintas y no tienen soluciones en común.
C) Sistema No Lineal.Incorrecto. El sistema sigue siendo perfectamente lineal.
D) Sistema Compatible Indeterminado.Correcto. Como las rectas coinciden en todos sus puntos, existen infinitas soluciones comunes.

💡 Explicación

Un sistema de ecuaciones lineales con infinitas soluciones se denomina compatible indeterminado. Gráficamente, corresponde a dos rectas que se superponen por completo.

Bloom: Understand

Julieta analiza las tarifas de dos cooperativas de electricidad en Neuquén.

La tarifa mensual del servicio de agua de la cooperativa A incluye un costo fijo de $\

800

y $\

40

por metro cúbico consumido. El costo mensual

C(x)

en función del consumo

x

se modela mediante:

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $C(x) = 40x + 800$

A) $C(x) = 800x + 40$ Incorrecto. Esto multiplicaría el costo fijo por el consumo.
B) $C(x) = (800 + 40)x$ Incorrecto. Suma de forma errónea los dos coeficientes.
C) $C(x) = 40x$ Incorrecto. No incluye el cargo fijo obligatorio de 800.
D) $C(x) = 40x + 800$ Correcto. El costo variable por metro cúbico multiplicando a $x$ más el costo fijo constante de 800 resulta en $40x + 800$ .

💡 Explicación

La función que representa el costo mensual es una función afín donde la pendiente es el costo unitario por metro cúbico y la ordenada al origen es el costo fijo básico.

Bloom: Apply

Lautaro calcula la recta de regresión lineal para estimar ventas en San Juan.

Encontrá la ecuación de la recta que pasa por los puntos

P_1(1, 4)

y

P_2(3, 10)

en el plano real.

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Respuesta correcta: B) $y = 3x + 1$

A) $y = 2x + 2$ Incorrecto. Esta recta no pasa por $P_2$ , ya que $2(3)+2 = 8 \neq 10$ .
B) $y = 3x + 1$ Correcto. Pendiente $m = \frac{10-4}{3-1} = \frac{6}{2} = 3$ . Usando punto-pendiente: $y - 4 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x + 1$ .
C) $y = 3x - 1$ Incorrecto. Tampoco satisface ambos puntos.
D) $y = 6x - 2$ Incorrecto. Pendiente mal calculada.

💡 Explicación

La pendiente de la recta se calcula mediante

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

. Una vez obtenida la pendiente, se utiliza la forma punto-pendiente para hallar la ecuación explícita.

Bloom: Apply

Delfina calcula el punto de equilibrio financiero de su pequeña empresa en San Luis.

Resolvé el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método que prefieras:

\begin{cases} 2x + y = 7 \\\\ x - y = 2 \end{cases}

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Respuesta correcta: B) $x = 3, y = 1$

A) $x = 1, y = 5$ Incorrecto. Al verificar en la segunda ecuación: $1 - 5 = -4 \neq 2$ .
B) $x = 3, y = 1$ Correcto. Sumando ambas ecuaciones: $3x = 9 \Rightarrow x = 3$ . Reemplazando en la segunda: $3 - y = 2 \Rightarrow y = 1$ .
C) $x = 4, y = -1$ Incorrecto. En la segunda da $4 - (-1) = 5 \neq 2$ .
D) $x = 2, y = 0$ Incorrecto. No verifica la primera ecuación: $2(2)+0 = 4 \neq 7$ .

💡 Explicación

Al sumar miembro a miembro las dos ecuaciones, se elimina la variable

y

(método de reducción), facilitando el cálculo rápido de

x

y luego de

y

.

Bloom: Apply

Isabella compara dos abonos mensuales de gimnasio en Ushuaia.

El gimnasio 'Fuerza' cobra una matrícula inicial de $\

1000

más $\

150

por clase asistida. El gimnasio 'Ritmo' no cobra matrícula pero cobra $\

250

por clase asistida. ¿A partir de cuántas clases mensuales conviene económicamente el gimnasio 'Fuerza'?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) A partir de 11 clases o más.

A) A partir de 11 clases o más.Correcto. Planteamos la inecuación: $1000 + 150x < 250x \Rightarrow 1000 < 100x \Rightarrow x > 10$ . Conviene Fuerza a partir de la clase número 11.
B) A partir de 5 clases.Incorrecto. Para 5 clases ambos cuestan lo mismo: 1750 y 1250 respectivamente (conviene Ritmo).
C) A partir de 8 clases.Incorrecto. Da por debajo del punto de cruce.
D) A partir de 15 clases.Incorrecto. Conviene desde antes.

💡 Explicación

Modelamos los costos mediante las funciones de costo lineal

C_1(x) = 150x + 1000

y

C_2(x) = 250x

. El punto de intersección ocurre en

x=10

. Para consumos mayores, la opción con menor pendiente (

C_1

) es la más económica.

Bloom: Apply

Tomas analiza el cruce de dos trayectorias de barcos en Bariloche utilizando coordenadas lineales.

Encontrá el punto de intersección de las rectas

r_1 \colon y = 2x - 3

y

r_2 \colon y = -x + 6

.

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Respuesta correcta: D) $(3, 3)$

A) $(1, -1)$ Incorrecto. No satisface la segunda ecuación.
B) $(2, 1)$ Incorrecto. No verifica la primera ecuación: $2(2)-3 = 1 \neq 3$ .
C) $(4, 5)$ Incorrecto. No verifica la segunda ecuación.
D) $(3, 3)$ Correcto. Igualando las ecuaciones: $2x - 3 = -x + 6 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$ . Evaluando en cualquiera de las funciones se obtiene $y = 3$ .

💡 Explicación

Para hallar el punto de intersección entre dos curvas en el plano, se igualan sus ecuaciones para resolver el valor de

x

y luego se calcula el valor de

y

correspondiente.

Bloom: Apply

Milagros estudia las restricciones presupuestarias para la compra de insumos en Paraná.

Un comerciante compra remeras (

R

) a $\

500

cada una y pantalones (

P

) a $\

800

cada uno. Cuenta con un presupuesto total de $\

16000

y debe comprar exactamente 26 prendas en total. ¿Cuántas remeras y pantalones compró?

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Respuesta correcta: A) 16 remeras y 10 pantalones.

A) 16 remeras y 10 pantalones.Correcto. Planteamos el sistema: $R + P = 26$ y $500R + 800P = 16000$ . Despejando $R = 26 - P$ e insertando: $500(26 - P) + 800P = 16000 \Rightarrow 13000 - 500P + 800P = 16000 \Rightarrow 300P = 3000 \Rightarrow P = 10, R = 16$ .
B) 20 remeras y 6 pantalones.Incorrecto. El costo total sería $20(500) + 6(800) = 14800$ , por debajo del presupuesto ejecutado.
C) 10 remeras y 16 pantalones.Incorrecto. El costo total sería $10(500) + 16(800) = 17800$ , excediendo los 16000 pesos disponibles.
D) 15 remeras y 11 pantalones.Incorrecto. El costo total sería $15(500) + 11(800) = 16300$ .

💡 Explicación

Este problema se resuelve mediante un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, representando una ecuación la cantidad física de prendas y la otra el valor monetario de la transacción.

Bloom: Apply

Nicolas resuelve un sistema de tres variables en un análisis de costos logísticos en Corrientes.

Resolvé el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación o Gauss:

\begin{cases} x + y + z = 6 \\\\ 2x - y + z = 3 \\\\ x + 2y - z = 2 \end{cases}

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Respuesta correcta: C) $x = 1, y = 2, z = 3$

A) $x = 2, y = 2, z = 2$ Incorrecto. No cumple con la segunda ni la tercera ecuación.
B) $x = 3, y = 2, z = 1$ Incorrecto. En la tercera ecuación da $3 + 4 - 1 = 6 \neq 2$ .
C) $x = 1, y = 2, z = 3$ Correcto. Verificando en la primera: $1+2+3=6$ . En la segunda: $2(1)-2+3=3$ . En la tercera: $1+2(2)-3=2$ . Las tres igualdades se cumplen simultáneamente.
D) $x = 1, y = 1, z = 4$ Incorrecto. No satisface la segunda ecuación: $2(1)-1+4 = 5 \neq 3$ .

💡 Explicación

Para resolver sistemas de ecuaciones de

3 \times 3

, se aplican operaciones elementales sobre las filas para reducir el sistema a una forma escalonada, calculando las variables de manera regresiva.

Bloom: Analyze

Catalina analiza condiciones geométricas críticas para la construcción de una estructura en Resistencia.

Dada la recta

r_1 \colon 2x - ky = 5

, ¿qué valor debe tomar el parámetro real

k

para que sea perpendicular a la recta

r_2 \colon 3x + 2y = 8

?

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Respuesta correcta: B) $k = 3$

A) $k = -2$ Incorrecto. No cumple con la condición de perpendicularidad.
B) $k = 3$ Correcto. Despejamos las pendientes. Para $r_1$ : $y = \frac{2}{k}x - \frac{5}{k} \Rightarrow m_1 = \frac{2}{k}$ . Para $r_2$ : $y = -\frac{3}{2}x + 4 \Rightarrow m_2 = -\frac{3}{2}$ . Condición: $m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \frac{2}{k} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1 \Rightarrow -\frac{3}{k} = -1 \Rightarrow k = 3$ .
C) $k = -3$ Incorrecto. Error de signo al operar las pendientes de las rectas.
D) $k = 2$ Incorrecto. No verifica la condición de perpendicularidad.

💡 Explicación

La opción correcta es

k=3

ya que el producto de las pendientes debe ser igual a

-1

:

m_1 \cdot m_2 = -1 \Rightarrow \frac{2}{k} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1 \Rightarrow k = 3

.

Bloom: Analyze

Facundo analiza la consistencia de un modelo económico de oferta y demanda en Posadas.

¿Para qué valor del parámetro

a

el siguiente sistema de ecuaciones de dos variables no posee soluciones (es incompatible)?

\begin{cases} 4x + 6y = 12 \\\\ 2x + ay = 5 \end{cases}

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $a = 3$

A) $a = 2$ Incorrecto. Si $a=2$ , el determinante es no nulo y el sistema tiene solución única.
B) $a = -3$ Incorrecto. Daría pendientes distintas.
C) $a = 3$ Correcto. Para que sea incompatible, las rectas deben tener la misma pendiente pero distinta ordenada. Las pendientes son iguales si el determinante de la matriz es 0: $4 \cdot a - 6 \cdot 2 = 0 \Rightarrow 4a = 12 \Rightarrow a = 3$ . Como las ordenadas al origen difieren ( $12 \neq 2 \cdot 5$ ), no tiene solución.
D) $a = 0$ Incorrecto. Si $a=0$ , el sistema tiene solución única.

💡 Explicación

Un sistema de

2 \times 2

es incompatible si sus rectas asociadas son paralelas pero no coincidentes. Esto ocurre cuando los coeficientes de las variables son proporcionales entre sí pero no lo son con los términos independientes.

Bloom: Analyze

Martina analiza la región del plano de viabilidad para un proyecto en Jujuy.

¿Cuál de los siguientes puntos del plano pertenece a la región determinada por la inecuación lineal

3x - 2y < 6

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $(1, 2)$

A) $(1, 2)$ Correcto. Evaluando: $3(1) - 2(2) = 3 - 4 = -1$ , que es estrictamente menor que 6.
B) $(4, 1)$ Incorrecto. Evaluando: $3(4) - 2(1) = 12 - 2 = 10$ , que no es menor que 6.
C) $(3, 0)$ Incorrecto. $3(3) - 2(0) = 9 \not< 6$ .
D) $(2, 0)$ Incorrecto. $3(2) - 2(0) = 6$ , que no es estrictamente menor a 6.

💡 Explicación

Una inecuación lineal define un semiplano. Para comprobar si un punto pertenece a esta región, se sustituyen las coordenadas del punto en la expresión y se verifica la veracidad de la desigualdad.

Bloom: Analyze

Matías estudia el movimiento rectilíneo uniforme de un vehículo en la ruta provincial de Mendoza.

La posición

s(t)

de un auto (en kilómetros) en función del tiempo

t

(en horas) está modelada por una función lineal. Si a las

t = 1\text{ hora}

está en el kilómetro 80 y a las

t = 4\text{ horas}

está en el kilómetro 320, ¿cuál es la velocidad constante de desplazamiento (pendiente de la recta)?

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Respuesta correcta: C) $80\text{ km/h}$

A) $100\text{ km/h}$ Incorrecto. Esto no coincide con la tasa de variación observada.
B) $60\text{ km/h}$ Incorrecto. Con esa velocidad a las 4 horas estaría en otra posición.
C) $80\text{ km/h}$ Correcto. Calculamos la tasa de cambio: $\frac{320 - 80}{4 - 1} = \frac{240}{3} = 80\text{ km/h}$ .
D) $120\text{ km/h}$ Incorrecto. Supera la tasa de cambio real observada.

💡 Explicación

En problemas de física con velocidad constante, la velocidad promedio coincide con la pendiente de la recta posición-tiempo, representando la tasa de cambio de la posición respecto del tiempo.

Bloom: Analyze

Valentina estudia un sistema paramétrico de ecuaciones en un problema de optimización en Rosario.

Dada la matriz de un sistema de ecuaciones lineales, se halla que el determinante del sistema es

\Delta = a^2 - 4

. ¿Para qué valores reales del parámetro

a

el sistema posee infinitas soluciones o ninguna solución?

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Respuesta correcta: B) Para $a = 2$ y $a = -2$

A) Únicamente para $a = 4$ Incorrecto. El determinante se anula para las raíces de la ecuación cuadrática $a^2 - 4 = 0$ .
B) Para $a = 2$ y $a = -2$ Correcto. El determinante se anula si $a^2 - 4 = 0 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2$ . En estos puntos el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible.
C) Para cualquier valor de $a$ excepto 2 y $-2$ Incorrecto. En esos otros puntos el sistema es compatible determinado (solución única).
D) Únicamente para $a = 0$ Incorrecto. Si $a=0$ , el determinante es $-4 \neq 0$ .

💡 Explicación

De acuerdo con la regla de Cramer, un sistema tiene solución única si y solo si el determinante del sistema es distinto de cero. Cuando es igual a cero, el sistema no tiene solución única (incompatible o indeterminado).

Bloom: Analyze

Agustín analiza las condiciones límites de producción en Buenos Aires.

Tres rectas dadas por

y = x + 1

,

y = -x + 5

y el eje de las abscisas (eje

x

,

y = 0

) limitan un recinto cerrado de forma triangular. ¿Cuáles son las coordenadas de los tres vértices de este triángulo?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $(-1, 0)$ , $(5, 0)$ y $(2, 3)$

A) $(0, 1)$ , $(0, 5)$ y $(2, 3)$ Incorrecto. $(0,1)$ y $(0,5)$ no pertenecen a la recta $y=0$ (eje x).
B) $(1, 0)$ , $(5, 0)$ y $(3, 2)$ Incorrecto. El punto $(1,0)$ no pertenece a la primera recta.
C) $(-1, 0)$ , $(5, 0)$ y $(2, 3)$ Correcto. Los vértices surgen de las intersecciones. Con el eje $x$ ( $y=0$ ): para la primera recta, $0 = x+1 \Rightarrow x=-1$ , dando $(-1,0)$ . Para la segunda, $0 = -x+5 \Rightarrow x=5$ , dando $(5,0)$ . Entre ambas: $x+1 = -x+5 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2, y=3$ , dando $(2,3)$ .
D) $(0, 0)$ , $(-1, 0)$ y $(5, 0)$ Incorrecto. No forma el triángulo delimitado por las tres rectas dadas.

💡 Explicación

Los vértices de una región delimitada por rectas en el plano corresponden a las soluciones de los sistemas de ecuaciones formados por pares de estas rectas.

Bloom: Evaluate

Lucía evalúa la validez lógica de un teorema sobre paralelismo y perpendicularidad en La Plata.

Evaluá la veracidad de la siguiente afirmación: 'Si dos rectas distintas

r_1

y

r_2

son ambas perpendiculares a una tercera recta

r_3

en el plano, entonces

r_1

y

r_2

son necesariamente paralelas entre sí'. ¿Es esta afirmación siempre verdadera o falsa?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Siempre verdadera.

A) Siempre falsa.Incorrecto. Es un teorema básico de la geometría euclidiana plana.
B) Siempre verdadera.Correcto. En la geometría plana bidimensional, si dos rectas son perpendiculares a una misma tercera recta, ambas tienen pendientes que cumplen con ser opuestas y recíprocas a la de $r_3$ . Por ende, tienen la misma pendiente entre sí, lo que las hace paralelas.
C) Verdadera solo si la recta $r_3$ es perfectamente vertical.Incorrecto. Se cumple para cualquier orientación espacial de las rectas en un plano de dos dimensiones.
D) Falsa, porque pueden ser perpendiculares entre sí también.Incorrecto. Esto violaría la suma de ángulos internos en la geometría plana.

💡 Explicación

Este es un teorema de la geometría euclidiana plana. Si

r_1 \perp r_3

y

r_2 \perp r_3

, entonces sus pendientes respectivas

m_1

y

m_2

cumplen

m_1 = -1/m_3

y

m_2 = -1/m_3

. Al igualar se tiene

m_1 = m_2

, lo que garantiza que son paralelas.

Bloom: Evaluate

Franco analiza los límites de representación de sistemas en el espacio tridimensional en Buenos Aires.

En el espacio tridimensional (3D), ¿qué representa geométricamente una única ecuación lineal de primer grado con tres variables de la forma

Ax + By + Cz = D

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Un plano bidimensional infinito en el espacio.

A) Un plano bidimensional infinito en el espacio.Correcto. Una ecuación de primer grado con tres incógnitas define algebraicamente un plano bidimensional incrustado en el espacio de tres dimensiones $\mathbb{R}^3$ .
B) Una recta tridimensional oblicua.Incorrecto. Una recta en 3D se representa mediante la intersección de dos planos (un sistema de dos ecuaciones lineales).
C) Un punto con coordenadas específicas en el espacio.Incorrecto. Un punto es la intersección de al menos tres planos independientes.
D) Una superficie parabólica o elipsoidal.Incorrecto. Eso requeriría variables elevadas al cuadrado.

💡 Explicación

En álgebra lineal y geometría analítica en el espacio, una ecuación lineal de primer grado con tres incógnitas

Ax + By + Cz = D

es la ecuación general de un plano en

\mathbb{R}^3

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?