Tema W04

Respuesta correcta: A) $x_v = -\frac{b}{2a}$

• A) $x_v = -\frac{b}{2a}$Correcto. La abscisa del vértice se localiza en el punto medio de las raíces, dado por la expresión $x_v = -b/(2a)$.
• B) $x_v = \frac{b}{2a}$Incorrecto. Falta el signo negativo en la fórmula del vértice.
• C) $x_v = \sqrt{b^2 - 4ac}$Incorrecto. Esto es la raíz cuadrada del discriminante.
• D) $x_v = -\frac{c}{a}$Incorrecto. Esto representa el producto de las raíces si el coeficiente principal es 1.

Respuesta correcta: C) $-\frac{b}{a}$

• A) $\frac{c}{a}$Incorrecto. Esto representa el producto de las raíces ($x_1 \cdot x_2$).
• B) $\sqrt{b^2 - 4ac}$Incorrecto. Esto es la raíz del discriminante.
• C) $-\frac{b}{a}$Correcto. Según las fórmulas de Vieta, la suma de las raíces de una ecuación cuadrática es igual a $-b/a$.
• D) $\frac{b}{a}$Incorrecto. Falta el signo opuesto.

Respuesta correcta: D) Las ramas de la parábola abren hacia abajo (cóncava hacia abajo).

• A) La parábola se desplaza hacia la izquierda del eje de las ordenadas.Incorrecto. Las traslaciones horizontales dependen del coeficiente lineal y del vértice.
• B) La parábola corta al eje de las ordenadas en un valor negativo.Incorrecto. La intersección con el eje $y$ depende del valor de $c$.
• C) Las ramas de la parábola abren hacia arriba (cóncava hacia arriba).Incorrecto. Abre hacia arriba únicamente si $a > 0$.
• D) Las ramas de la parábola abren hacia abajo (cóncava hacia abajo).Correcto. Si el coeficiente principal es negativo ($a < 0$), las ramas de la parábola abren hacia abajo, y el vértice representa un punto máximo.

Respuesta correcta: B) La ecuación posee una única raíz real de multiplicidad 2 (raíz doble).

• A) La ecuación tiene dos raíces reales distintas.Incorrecto. Esto ocurre cuando el discriminante es estrictamente positivo ($\Delta > 0$).
• B) La ecuación posee una única raíz real de multiplicidad 2 (raíz doble).Correcto. Si el discriminante es cero, la parte de la fórmula cuadrática que contiene a la raíz cuadrada se anula, dando una única raíz real $x = -b/(2a)$.
• C) La ecuación no tiene raíces reales (tiene raíces complejas conjugadas).Incorrecto. Esto ocurre cuando el discriminante es negativo ($\Delta < 0$).
• D) La ecuación posee infinitas raíces reales.Incorrecto. Una ecuación polinómica de grado dos tiene como máximo dos raíces.

Respuesta correcta: D) $V(3, 5)$

• A) $V(-3, 5)$Incorrecto. La coordenada $x$ del vértice toma el signo opuesto de la expresión interna.
• B) $V(3, -5)$Incorrecto. La coordenada $y$ del vértice conserva su propio signo.
• C) $V(-3, -5)$Incorrecto. Ambos signos son erróneos.
• D) $V(3, 5)$Correcto. La forma canónica es $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$. Identificando los términos, el vértice es $V(3, 5)$.

Respuesta correcta: B) $f(x) = 3(x + 2)(x - 4)$

• A) $f(x) = 3(x - 2)(x + 4)$Incorrecto. En la forma factorizada los signos de las raíces se restan.
• B) $f(x) = 3(x + 2)(x - 4)$Correcto. La forma factorizada es $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$. Sustituyendo $a=3$, $x_1 = -2$ y $x_2 = 4$, nos queda $3(x + 2)(x - 4)$.
• C) $f(x) = -3(x + 2)(x - 4)$Incorrecto. Cambia de forma arbitraria el signo del coeficiente principal.
• D) $f(x) = (x + 2)(x - 4)$Incorrecto. Omite el coeficiente principal de valor 3.

Respuesta correcta: C) $x_1 = 2, x_2 = 4$

• A) $x_1 = -2, x_2 = -4$Incorrecto. Estas raíces darían la ecuación $x^2 + 6x + 8 = 0$.
• B) $x_1 = 1, x_2 = 8$Incorrecto. La suma da 9, no 6.
• C) $x_1 = 2, x_2 = 4$Correcto. Usando la fórmula cuadrática: $\frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$. Las raíces son $4$ y $2$. También se puede factorizar como $(x - 2)(x - 4) = 0$.
• D) $x_1 = 3, x_2 = 3$Incorrecto. No verifica el término independiente: $3 \times 3 = 9 \neq 8$.

Respuesta correcta: B) $80\text{ metros}$

• A) $4\text{ metros}$Incorrecto. Este es el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima, no la altura máxima en sí.
• B) $80\text{ metros}$Correcto. El tiempo del vértice es $t_v = -40 / (2 \cdot (-5)) = 4$ segundos. Evaluando en la función: $h(4) = -5(16) + 40(4) = -80 + 160 = 80$ metros.
• C) $160\text{ metros}$Incorrecto. Este es un cálculo duplicado sin restar el término de la aceleración gravitatoria.
• D) $40\text{ metros}$Incorrecto. Esto se obtiene al evaluar en un tiempo incorrecto.

Respuesta correcta: B) $f(x) = 2(x - 1)^2 + 4$

• A) $f(x) = (x - 1)^2 + 4$Incorrecto. Al evaluar en $x=2$ da $1+4=5 \neq 6$.
• B) $f(x) = 2(x - 1)^2 + 4$Correcto. Usando la forma canónica: $f(x) = a(x - 1)^2 + 4$. Evaluamos en $P(2,6)$: $6 = a(2 - 1)^2 + 4 \Rightarrow 6 = a(1) + 4 \Rightarrow a = 2$. Así, nos queda $2(x - 1)^2 + 4$.
• C) $f(x) = 2(x + 1)^2 + 4$Incorrecto. El signo del desplazamiento horizontal es erróneo.
• D) $f(x) = -2(x - 1)^2 + 4$Incorrecto. Esto daría una parábola que abre hacia abajo, pasando por $(2, 2)$, no por $(2, 6)$.

Respuesta correcta: C) En $(-1, 1)$ y $(2, 4)$

• A) Únicamente en $(1, 3)$Incorrecto. Hay dos puntos de intersección ya que es una ecuación cuadrática compatible.
• B) En $(0, 2)$ y $(3, 5)$Incorrecto. No verifica la ecuación de la parábola para dichos puntos.
• C) En $(-1, 1)$ y $(2, 4)$Correcto. Igualamos las ecuaciones: $x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$. Las raíces son $x = 2$ y $x = -1$. Evaluando en la recta: para $x=2 \Rightarrow y=4$, para $x=-1 \Rightarrow y=1$. Los puntos son $(-1,1)$ y $(2,4)$.
• D) En $(-2, 4)$ y $(1, 1)$Incorrecto. Si $x = 1$, la recta da $y=3$ pero la parábola da $y=1$.

Respuesta correcta: A) Ancho de $25\\text{ m}$ y largo de $50\\text{ m}$.

• A) Ancho de $25\\text{ m}$ y largo de $50\\text{ m}$.Correcto. Si el ancho es $x$, la longitud de la cerca es $2x + L = 100 \Rightarrow L = 100 - 2x$. El área es $A(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x$. El vértice está en $x = -100 / (2 \cdot (-2)) = 25$ metros. El largo es $100 - 2(25) = 50$ metros.
• B) Ancho de $25\\text{ m}$ y largo de $25\\text{ m}$.Incorrecto. Esto no optimiza el espacio dado el hecho de que solo se cercan tres lados.
• C) Ancho de $20\\text{ m}$ y largo de $60\\text{ m}$.Incorrecto. El área sería de $1200\\text{ m}^2$, por debajo del óptimo de $1250\\text{ m}^2$.
• D) Ancho de $30\\text{ m}$ y largo de $40\\text{ m}$.Incorrecto. Esto da un área de $1200\\text{ m}^2$.

Respuesta correcta: B) $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -3$

• A) $x_1 = -\frac{1}{2}, x_2 = 3$Incorrecto. Error de signos al aplicar el opuesto de la fórmula.
• B) $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -3$Correcto. Usando la fórmula de Bhaskara con $a=2, b=5, c=-3$: $\frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(2)(-3)}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4}$. Las soluciones son $2/4 = 1/2$ y $-12/4 = -3$.
• C) $x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -1$Incorrecto. El producto de las raíces no verifica el término independiente de la ecuación original.
• D) $x_1 = -1, x_2 = 2$Incorrecto. No verifica la igualdad.

Respuesta correcta: D) $c = 4$

• A) $c = 2$Incorrecto. Si $c=2$, el vértice está por debajo del eje x.
• B) $c = -4$Incorrecto. La parábola cortaría al eje y en un punto negativo y tendría dos raíces.
• C) $c = 0$Incorrecto. El vértice estaría por debajo en el punto $(2, -4)$.
• D) $c = 4$Correcto. Para que el vértice esté sobre el eje x, la parábola debe tener una única raíz real doble, lo que implica que el discriminante sea cero: $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(c) = 0 \Rightarrow 16 - 4c = 0 \Rightarrow c = 4$.

Respuesta correcta: D) Para $m = 4$ y $m = -4$

• A) Únicamente para $m = 2$Incorrecto. Se omitió la solución negativa de la ecuación cuadrática resultante.
• B) Para cualquier valor de $m$ mayor que 4Incorrecto. En este rango la recta cortaría a la parábola en dos puntos distintos.
• C) Únicamente para $m = 0$Incorrecto. Si $m=0$, la recta no tiene puntos de contacto con la parábola.
• D) Para $m = 4$ y $m = -4$Correcto. Igualando: $x^2 + 4 = mx \Rightarrow x^2 - mx + 4 = 0$. Para que tengan un único punto de contacto, el discriminante debe ser cero: $\Delta = (-m)^2 - 4(1)(4) = 0 \Rightarrow m^2 - 16 = 0 \Rightarrow m = \pm 4$.

Respuesta correcta: C) $\$900$ mil

• A) $\$500$ milIncorrecto. Esta es la ganancia fija si no asistieran clientes.
• B) $\$1100$ milIncorrecto. Se cometió un error algebraico de signos en el desarrollo de la potencia.
• C) $\$900$ milCorrecto. Calculamos el vértice de la parábola: $x_v = -40 / (2 \cdot (-1)) = 20$ turistas. Evaluamos la ganancia en este punto: $G(20) = -(20)^2 + 40(20) + 500 = -400 + 800 + 500 = 900$.
• D) $\$400$ milIncorrecto. Este valor no corresponde al máximo absoluto de la función de beneficio.

Respuesta correcta: A) $a = -1$

• A) $a = -1$Correcto. Dado que pasa por $(0,0)$, evaluamos la ecuación canónica: $0 = a(0 - 2)^2 + 4 \Rightarrow 0 = 4a + 4 \Rightarrow 4a = -4 \Rightarrow a = -1$.
• B) $a = 1$Incorrecto. Esto daría valores positivos de altura por encima de los límites físicos reales.
• C) $a = -2$Incorrecto. Con este coeficiente la trayectoria pasaría por el punto $(0, -4)$, no por el origen.
• D) $a = -\frac{1}{2}$Incorrecto. No verifica el paso por el origen de coordenadas.

Respuesta correcta: B) En $(0, 3)$ y $(3, 0)$

• A) Únicamente en $(0, 3)$Incorrecto. Falta la otra raíz de la ecuación cuadrática incompleta resultante.
• B) En $(0, 3)$ y $(3, 0)$Correcto. Igualamos las ecuaciones: $x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 2x + 3 \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x - 3) = 0$. Las abscisas de intersección son $x = 0$ y $x = 3$. Evaluando en cualquiera de las parábolas obtenemos los puntos $(0,3)$ y $(3,0)$.
• C) En $(1, 0)$ y $(2, -1)$Incorrecto. Estos puntos no verifican las dos ecuaciones simultáneamente.
• D) En $(-1, 8)$ y $(2, -1)$Incorrecto. No verifica la intersección de ambas curvas.

Respuesta correcta: C) $[-3, 5]$

• A) $(-\infty, -3] \cup [5, +\infty)$Incorrecto. Este sería el rango de soluciones si la desigualdad fuera mayor o igual a cero.
• B) $[-5, 3]$Incorrecto. Los signos de las raíces fueron aplicados de manera inversa.
• C) $[-3, 5]$Correcto. Las raíces de la ecuación cuadrática son $x = -3$ y $x = 5$. Dado que la parábola abre hacia arriba (coeficiente principal positivo), los valores no positivos se encuentran entre las dos raíces inclusive.
• D) $(-3, 5)$Incorrecto. La desigualdad no es estricta, por lo que los extremos cerrados deben estar incluidos en la solución.

Respuesta correcta: D) La afirmación es falsa porque como $a = 10 > 0$, la parábola abre hacia arriba, por lo que en $x=6$ se alcanza el beneficio mínimo, no el máximo.

• A) La afirmación es correcta porque la abscisa del vértice da exactamente 6.Incorrecto. Aunque la abscisa del vértice es 6, el estudiante no analizó la concavidad de la parábola.
• B) La afirmación es correcta porque a mayor precio, el beneficio siempre tiende a crecer infinitamente.Incorrecto. No evalúa correctamente el concepto del vértice en parábolas de coeficiente positivo.
• C) La afirmación es falsa porque la ecuación cuadrática no tiene raíces reales y no se puede calcular el vértice.Incorrecto. El vértice siempre se puede calcular independientemente de la existencia de raíces.
• D) La afirmación es falsa porque como $a = 10 > 0$, la parábola abre hacia arriba, por lo que en $x=6$ se alcanza el beneficio mínimo, no el máximo.Correcto. Dado que el coeficiente principal es positivo ($a=10$), el vértice representa el mínimo absoluto de la función de beneficio, por lo que fijar el precio en 6 generaría la peor rentabilidad posible.

Respuesta correcta: D) Siempre verdadera.

• A) Falsa, porque pueden cortarse en hasta tres o cuatro puntos.Incorrecto. Dos curvas cuadráticas con ejes de simetría verticales paralelos no pueden cruzarse en más de dos puntos.
• B) Verdadera solo si ambas parábolas tienen coeficientes principales idénticos.Incorrecto. Si tienen coeficientes principales idénticos, al igualarlas los términos cuadráticos se anulan, dando una ecuación lineal de grado uno con a lo sumo un punto de corte.
• C) Falsa, ya que si abren en sentidos contrarios es físicamente imposible que se corten.Incorrecto. Sí pueden cortarse si se posicionan adecuadamente en el plano cartesiano.
• D) Siempre verdadera.Correcto. Al igualar dos ecuaciones cuadráticas distintas de la forma $y = a_1 x^2 + b_1 x + c_1$ e $y = a_2 x^2 + b_2 x + c_2$ se obtiene una ecuación que a lo sumo es de grado dos. Por el teorema fundamental del álgebra, una ecuación de grado menor o igual a dos posee a lo sumo dos raíces reales distintas, lo que garantiza un máximo de dos puntos de corte.