Tema W05

Respuesta correcta: C) Grado 4, coeficiente principal $-1$.

• A) Grado 3, coeficiente principal $-2$.Incorrecto. El grado está determinado por el mayor exponente de la variable.
• B) Grado 4, coeficiente principal $7$.Incorrecto. $7$ es el término independiente.
• C) Grado 4, coeficiente principal $-1$.Correcto. El mayor exponente de $x$ es 4, lo que define el grado. El coeficiente que acompaña a $x^4$ es $-1$.
• D) Grado 3, coeficiente principal $5$.Incorrecto. Esta no es la potencia dominante del polinomio.

Respuesta correcta: C) El valor $P(a)$.

• A) El valor $P(-a)$.Incorrecto. Se debe sustituir el valor de $a$ con el signo opuesto.
• B) El valor constante $0$.Incorrecto. Esto ocurre únicamente si $a$ es una raíz del polinomio.
• C) El valor $P(a)$.Correcto. El teorema del resto establece que el residuo de la división de un polinomio $P(x)$ por $x - a$ es igual a evaluar el polinomio en $a$.
• D) El coeficiente principal de $P(x)$.Incorrecto. El resto es un número real que no necesariamente es igual al coeficiente principal.

Respuesta correcta: A) $x - 3$

• A) $x - 3$Correcto. La regla de Ruffini es aplicable para divisiones donde el divisor es un binomio mónico de primer grado de la forma $x - a$.
• B) $x^2 - 1$Incorrecto. El divisor debe ser de primer grado.
• C) $2x + 4$Incorrecto. El coeficiente de $x$ debe ser exactamente igual a 1 (mónico) para aplicarse directamente.
• D) $\frac{1}{x - 1}$Incorrecto. Este término representa una fracción algebraica, no un polinomio divisor.

Respuesta correcta: D) Toca el eje horizontal pero no lo cruza, rebotando en él.

• A) Cruza el eje horizontal de forma perfectamente recta.Incorrecto. Esto ocurre en raíces simples de multiplicidad 1.
• B) La gráfica presenta una asíntota vertical en esa posición.Incorrecto. Las funciones polinómicas son continuas en todos los reales y no poseen asíntotas.
• C) Cruza el eje horizontal formando una meseta (punto de inflexión).Incorrecto. Esto describe a raíces de multiplicidad impar mayor a 1 (como multiplicidad 3).
• D) Toca el eje horizontal pero no lo cruza, rebotando en él.Correcto. Las raíces de multiplicidad par producen un 'rebote' gráfico en el eje $x$, conservando el signo de la ordenada.

Respuesta correcta: B) $x = 4$

• A) $y = 2$Incorrecto. Esta ecuación describe a la asíntota horizontal.
• B) $x = 4$Correcto. Las asíntotas verticales se localizan en los valores de $x$ que anulan el denominador sin anular el numerador: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.
• C) $x = 2$Incorrecto. Este valor no anula al denominador de la función.
• D) $y = 4$Incorrecto. Las asíntotas verticales se expresan como $x = c$.

Respuesta correcta: D) $y = 3$

• A) $y = 6$Incorrecto. No divide el coeficiente del término dominante del denominador.
• B) $x = 2$Incorrecto. Esto describe las asíntotas verticales.
• C) No posee asíntota horizontal.Incorrecto. Al tener igual grado, sí posee una asíntota horizontal constante.
• D) $y = 3$Correcto. Como los grados de numerador y denominador son iguales, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales: $y = 6/2 = 3$.

Respuesta correcta: B) Resto = $-5$

• A) Resto = $-1$Incorrecto. Error de signo al operar los términos intermedios.
• B) Resto = $-5$Correcto. Aplicando el teorema del resto o Ruffini para $x=2$: $P(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2(2) - 5 = 8 - 12 + 4 - 5 = -5$.
• C) Resto = $5$Incorrecto. Este sería el valor del resto si la raíz fuera otra.
• D) Resto = $0$Incorrecto. El binomio $x-2$ no es un divisor exacto de $P(x)$.

Respuesta correcta: D) Tiende a $0$.

• A) Tiende a $4$.Incorrecto. Esto ocurriría si los grados fueran iguales.
• B) Tiende a infinito.Incorrecto. El denominador crece mucho más rápido que el numerador, amortiguando la concentración.
• C) Tiende a $2$.Incorrecto. El valor independiente de la constante no define el límite al infinito.
• D) Tiende a $0$.Correcto. Como el grado del denominador ($2$) es mayor que el del numerador ($1$), cuando $t \to \infty$, la función tiende a cero.

Respuesta correcta: C) $y = 50$, representa el costo promedio mínimo de producción a gran escala.

• A) $y = 2000$, representa el costo de la primera unidad.Incorrecto. 2000 es el costo fijo total.
• B) $y = 0$, representa que producir muchas unidades no tiene costo.Incorrecto. Siempre hay un costo variable mínimo asociado.
• C) $y = 50$, representa el costo promedio mínimo de producción a gran escala.Correcto. La asíntota horizontal es $y=50$. A medida que se producen infinitas unidades, el costo promedio por calzado se aproxima a $\$50$, licuando los costos fijos.
• D) $y = 100$, representa el costo fijo unitario ponderado.Incorrecto. El costo variable unitario es 50.

Respuesta correcta: D) $x = 2$ y $x = 3$

• A) $x = 1$ y $x = 6$Incorrecto. El producto de las raíces no coincide con el término independiente.
• B) $x = -2$ y $x = -3$Incorrecto. Darían signos opuestos en la factorización.
• C) $x = 0$ y $x = 4$Incorrecto. No son raíces del polinomio cúbico.
• D) $x = 2$ y $x = 3$Correcto. Al dividir $P(x)$ por $(x + 1)$ usando Ruffini se obtiene el polinomio cuadrático $x^2 - 5x + 6$. Sus raíces son $x = 2$ y $x = 3$.

Respuesta correcta: A) $y = 2x + 5$

• A) $y = 2x + 5$Correcto. Realizando la división polinómica del numerador por el denominador, se obtiene como cociente $2x + 5$ y resto $6$. La ecuación de la asíntota oblicua es $y = 2x + 5$.
• B) $y = 2x$Incorrecto. Falta el término independiente obtenido al realizar el cociente.
• C) $y = 2x - 3$Incorrecto. Error en los signos de la división polinómica.
• D) No posee asíntota oblicua.Incorrecto. Como el grado del numerador es exactamente uno mayor que el del denominador, sí posee asíntota oblicua.

Respuesta correcta: B) Un punto vacío o "hueco" en la coordenada $(3, 6)$.

• A) Una asíntota vertical de ecuación $x = 3$.Incorrecto. Como el numerador también se anula en $x=3$, la discontinuidad es evitable.
• B) Un punto vacío o "hueco" en la coordenada $(3, 6)$.Correcto. Factorizando el numerador: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$. Para $x \neq 3$ la función equivale a $y = x + 3$. En $x=3$ se produce una discontinuidad evitable, representada por un hueco en $(3,6)$.
• C) Una asíntota horizontal de ecuación $y = 3$.Incorrecto. La función no presenta comportamiento asintótico horizontal en ese punto.
• D) La gráfica es perfectamente continua y no presenta anomalías.Incorrecto. La función no está definida en $x=3$ por provocar división por cero, por lo que no es continua allí.

Respuesta correcta: B) $P(x) = 3(x - 1)(x - 2)(x + 2)$

• A) $P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 2)$Incorrecto. Para esta opción, el término independiente es $P(0) = 4$, no 12.
• B) $P(x) = 3(x - 1)(x - 2)(x + 2)$Correcto. La forma factorizada es $P(x) = a(x - 1)(x - 2)(x + 2)$. Evaluamos en $(0,12)$: $12 = a(0-1)(0-2)(0+2) \Rightarrow 12 = 4a \Rightarrow a = 3$. Por lo tanto, $P(x) = 3(x - 1)(x - 2)(x + 2)$.
• C) $P(x) = -3(x + 1)(x + 2)(x - 2)$Incorrecto. Error en los signos de los factores de las raíces.
• D) $P(x) = 12(x - 1)(x - 2)(x + 2)$Incorrecto. Usó de forma errónea la ordenada al origen como coeficiente principal.

Respuesta correcta: B) Tiende a $+\infty$.

• A) Tiende a $-\infty$.Incorrecto. Al acercarse por derecha, los valores de $x$ son mayores que 2, por lo que el denominador es positivo.
• B) Tiende a $+\infty$.Correcto. Si $x \to 2^+$, el numerador tiende a $3$ (positivo) y el denominador tiende a $0$ a través de valores positivos, por lo que la fracción tiende a $+\infty$.
• C) Tiende a $0$.Incorrecto. El límite en el punto de la asíntota vertical no puede ser cero.
• D) Tiende a $1$.Incorrecto. 1 es el límite cuando $x$ tiende a infinito, no cuando se aproxima a 2.

Respuesta correcta: D) $[-2, 1] \cup [3, +\infty)$

• A) $[-2, 1] \cup [3, +\\infty)$Incorrecto. Verificá los corchetes y paréntesis en la unión.
• B) $(-\\infty, -2] \cup [1, 3]$Incorrecto. En este rango la función toma valores menores o iguales a cero.
• C) $[-2, 3]$Incorrecto. Omite evaluar correctamente el signo en el intervalo entre 1 y 3.
• D) $[-2, 1] \cup [3, +\infty)$Correcto. Los puntos críticos son $-2$, $1$ y $3$. Evaluando los signos por intervalos, la expresión es positiva en $[-2, 1]$ y en $[3, +\infty)$.

Respuesta correcta: C) $a = 12$

• A) $a = 4$Incorrecto. Si $a=4$, la asíntota sería $y = 4/3$.
• B) $a = 3$Incorrecto. Daría una asíntota horizontal en $y = 1$.
• C) $a = 12$Correcto. Como los grados de numerador y denominador son iguales a 3, la asíntota horizontal es $y = a/3$. Para que sea igual a 4: $a/3 = 4 \Rightarrow a = 12$.
• D) $a = 2$Incorrecto. No cumple con la ecuación de la asíntota pedida.

Respuesta correcta: C) $a = 3, b = 8, c = 2$

• A) $a = 2, b = 4, c = 3$Incorrecto. El valor de la asíntota vertical implica que $c=2$.
• B) $a = 3, b = 4, c = -2$Incorrecto. Si $c = -2$ la asíntota vertical estaría en $x=2$ positivo.
• C) $a = 3, b = 8, c = 2$Correcto. Asíntota vertical en $x = -2 \Rightarrow c = 2$. Asíntota horizontal en $y = 3 \Rightarrow a/1 = 3 \Rightarrow a = 3$. Corte en el eje y en $y=4 \Rightarrow f(0) = b/c = 4 \Rightarrow b/2 = 4 \Rightarrow b = 8$.
• D) $a = 1, b = 2, c = 4$Incorrecto. No verifica ninguno de los parámetros asintóticos de la función dada.

Respuesta correcta: A) Asíntota vertical en $x = 3$, asíntota horizontal en $y = 1$, hueco en $x = -1$.

• A) Asíntota vertical en $x = 3$, asíntota horizontal en $y = 1$, hueco en $x = -1$.Correcto. Factorizando: $\frac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+1)}$. El factor $(x+1)$ se anula en ambos dando un hueco en $x = -1$. El denominador se anula de forma única en $x = 3$ dando una asíntota vertical. Al tener igual grado, la asíntota horizontal es $y = 1$.
• B) Asíntota vertical en $x = -1$, asíntota horizontal en $y = 1$, hueco en $x = 3$.Incorrecto. El factor $(x+1)$ se simplifica, por lo que la discontinuidad evitable ocurre en $x = -1$.
• C) Asíntotas verticales en $x = 3$ y $x = -1$, asíntota horizontal en $y = 0$.Incorrecto. Ignora que el factor común se puede simplificar eliminando una asíntota vertical.
• D) No posee asíntotas de ningún tipo.Incorrecto. Sí presenta comportamiento asintótico tanto vertical como horizontal.

Respuesta correcta: A) Falsa, porque la definición de asíntota horizontal describe únicamente el comportamiento límite en el infinito ($x \to \pm\infty$); a valores finitos de $x$, la gráfica sí puede cruzar la asíntota horizontal.

• A) Falsa, porque la definición de asíntota horizontal describe únicamente el comportamiento límite en el infinito ($x \to \pm\infty$); a valores finitos de $x$, la gráfica sí puede cruzar la asíntota horizontal.Correcto. Una función racional puede cruzarse con su asíntota horizontal para valores finitos de $x$. La restricción de no tocar la recta solo se aplica en el comportamiento límite cuando $x$ tiende a infinito.
• B) Verdadera, porque una asíntota es por definición una línea invisible e infranqueable que la gráfica no puede tocar.Incorrecto. Confunde el comportamiento asintótico global en el infinito con restricciones locales.
• C) Verdadera, pero solo si la función tiene un grado impar en su denominador.Incorrecto. El grado del polinomio no impide que localmente se cruce con la recta asintótica.
• D) Falsa, porque las asíntotas horizontales solo existen si el numerador es de mayor grado.Incorrecto. Si el numerador es de mayor grado, no posee asíntota horizontal (posee oblicua).

Respuesta correcta: A) Es incorrecto porque, según el teorema de las raíces racionales, las posibles raíces tienen la forma $p/q$, donde $p$ divide al término independiente ($-3$) y $q$ divide al coeficiente principal ($2$), incluyendo candidatos como $\pm \frac{1}{2}$ y $\pm \frac{3}{2}$.

• A) Es incorrecto porque, según el teorema de las raíces racionales, las posibles raíces tienen la forma $p/q$, donde $p$ divide al término independiente ($-3$) y $q$ divide al coeficiente principal ($2$), incluyendo candidatos como $\pm \frac{1}{2}$ y $\pm \frac{3}{2}$.Correcto. Deben considerarse los divisores de ambos términos para armar todas las combinaciones fraccionarias posibles $p/q$.
• B) El criterio es completamente válido y no requiere modificaciones.Incorrecto. El estudiante se olvidó de considerar los divisores del coeficiente principal.
• C) Es incorrecto porque el teorema de las raíces racionales solo se aplica a polinomios de grado par.Incorrecto. Se aplica a cualquier polinomio de coeficientes enteros sin importar su grado.
• D) Es correcto únicamente si el coeficiente principal es un número irracional.Incorrecto. Los coeficientes del polinomio deben ser enteros.