Tema W06

Respuesta correcta: D) $b^c = a$

• A) $c^b = a$Incorrecto. La base de la potencia debe ser la base del logaritmo.
• B) $a^c = b$Incorrecto. El argumento no es la base de la potencia.
• C) $b^a = c$Incorrecto. Se intercambió el argumento con el resultado.
• D) $b^c = a$Correcto. Por definición de logaritmo, la base $b$ elevada al resultado $c$ da como resultado el argumento $a$.

Respuesta correcta: D) $x > 0$

• A) $x \ge 0$Incorrecto. El valor $x = 0$ no está permitido ya que no existe potencia que dé cero para una base positiva.
• B) $x \neq 1$Incorrecto. El logaritmo de 1 es perfectamente válido y es igual a cero.
• C) $x \in \mathbb{R}$Incorrecto. No se pueden calcular logaritmos reales de números negativos ni de cero.
• D) $x > 0$Correcto. Los logaritmos reales solo están definidos para números reales estrictamente positivos.

Respuesta correcta: B) Asíntota horizontal en $y = 0$.

• A) Asíntota vertical en $x = 0$.Incorrecto. Las funciones exponenciales están definidas en todos los reales y no tienen asíntotas verticales.
• B) Asíntota horizontal en $y = 0$.Correcto. A medida que $x$ tiende a $-\infty$, el valor de $3^x$ se aproxima infinitamente a 0, por lo que $y=0$ (eje $x$) es la asíntota horizontal.
• C) Asíntota horizontal en $y = 3$.Incorrecto. La función cruza por $y=3$ en $x=1$ pero no es una asíntota.
• D) No posee asíntotas de ningún tipo.Incorrecto. Sí posee asíntota horizontal por la izquierda.

Respuesta correcta: D) $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$

• A) $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) \cdot \log_b(y)$Incorrecto. El logaritmo de un producto se transforma en una suma, no en un producto de logaritmos.
• B) $\log_b(x + y) = \log_b(x) + \log_b(y)$Incorrecto. No existe una propiedad de linealidad para el logaritmo de una suma.
• C) $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) - \log_b(y)$Incorrecto. La diferencia se asocia al logaritmo de un cociente.
• D) $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$Correcto. Una propiedad fundamental establece que el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores individuales.

Respuesta correcta: C) $\frac{\ln(7)}{\ln(2)}$

• A) $\frac{\ln(2)}{\ln(7)}$Incorrecto. Los términos de la fórmula del cambio de base están al revés.
• B) $\ln(7) - \ln(2)$Incorrecto. La propiedad requiere realizar una división, no una resta.
• C) $\frac{\ln(7)}{\ln(2)}$Correcto. Por la propiedad de cambio de base, $\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_b(c)}$. Usando base $e$, queda $\frac{\ln(7)}{\ln(2)}$.
• D) $\ln(7 \cdot 2)$Incorrecto. Esto no representa el cambio de base.

Respuesta correcta: A) $k \cdot \log_b(x)$

• A) $k \cdot \log_b(x)$Correcto. El exponente del argumento de un logaritmo puede "bajar" multiplicando a todo el logaritmo.
• B) $k \cdot \log_b(x^k)$Incorrecto. No se debe conservar la potencia en el argumento.
• C) $(\log_b(x))^k$Incorrecto. Elevar el logaritmo completo es una operación distinta.
• D) $x \cdot \log_b(k)$Incorrecto. Se intercambió erróneamente la base con el exponente.

Respuesta correcta: D) $x = 2$

• A) $x = 1$Incorrecto. Si $x=1$, da $3^1 = 3 \neq 27$.
• B) $x = 4$Incorrecto. Si $x=4$, el exponente es 7, y $3^7 = 2187 \neq 27$.
• C) $x = \frac{3}{2}$Incorrecto. No verifica la ecuación.
• D) $x = 2$Correcto. Escribimos $27$ como potencia de base 3: $3^{2x-1} = 3^3$. Igualando exponentes: $2x - 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.

Respuesta correcta: B) $6$

• A) $-6$Incorrecto. El pH debe ser positivo debido al signo negativo exterior en la fórmula.
• B) $6$Correcto. Aplicando la fórmula: $\text{pH} = -\log(10^{-6}) = -(-6 \cdot \log(10)) = -(-6 \cdot 1) = 6$.
• C) $10$Incorrecto. 10 es la base del logaritmo decimal, no el pH.
• D) $10^{-6}$Incorrecto. Esto es la concentración, no el pH transformado.

Respuesta correcta: D) En unos 17,3 años.

• A) En unos 5 años.Incorrecto. En 5 años capitalizaría $5000 \cdot e^{0,2}$, que no llega a ser el doble.
• B) En unos 25 años.Incorrecto. Este tiempo superaría el punto de duplicación buscado.
• C) En unos 10 años.Incorrecto. El interés devengado es continuo y requiere más años para duplicar en esta tasa.
• D) En unos 17,3 años.Correcto. Duplicar el capital significa que $A(t) = 10000 \Rightarrow 10000 = 5000 \cdot e^{0,04t} \Rightarrow 2 = e^{0,04t} \Rightarrow \ln(2) = 0,04t \Rightarrow t \approx 0,693 / 0,04 = 17,3$ años.

Respuesta correcta: A) $x = 4$

• A) $x = 4$Correcto. Combinando logaritmos: $\log_2(x(x-2)) = 3 \Rightarrow x^2 - 2x = 2^3 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$. Factorizando: $(x - 4)(x + 2) = 0 \Rightarrow x=4$ o $x=-2$. Solo $x=4$ pertenece al dominio de definición.
• B) $x_1 = 4, x_2 = -2$Incorrecto. El valor $x = -2$ no pertenece al dominio del logaritmo (no existen logaritmos reales de números negativos).
• C) $x = 8$Incorrecto. Si $x=8$, daría $\log_2(8) + \log_2(6) = 3 + 2,58 \neq 3$.
• D) No tiene solución en los números reales.Incorrecto. Sí existe una solución real válida.

Respuesta correcta: C) 12 horas.

• A) 9 horas.Incorrecto. En 9 horas habría $100 \cdot 2^3 = 800$ bacterias.
• B) 16 horas.Incorrecto. Esto superaría la cantidad requerida.
• C) 12 horas.Correcto. Planteamos $1600 = 100 \cdot 2^{t/3} \Rightarrow 16 = 2^{t/3} \Rightarrow 2^4 = 2^{t/3} \Rightarrow 4 = t/3 \Rightarrow t = 12$ horas.
• D) 6 horas.Incorrecto. En 6 horas solo habría 400 bacterias.

Respuesta correcta: B) $x = 0, x = \ln(3)$

• A) $x = 1, x = 3$Incorrecto. Estos son los valores para la variable de sustitución $u = e^x$, no para $x$.
• B) $x = 0, x = \ln(3)$Correcto. Sustituimos $u = e^x$: $u^2 - 4u + 3 = 0 \Rightarrow (u - 3)(u - 1) = 0 \Rightarrow u = 3$ o $u = 1$. Volviendo a la variable original: $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$; $e^x = 3 \Rightarrow x = \ln(3)$.
• C) $x = \ln(4)$Incorrecto. No verifica la ecuación cuadrática original.
• D) No posee soluciones reales.Incorrecto. Sí posee dos soluciones perfectamente reales.

Respuesta correcta: D) $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$

• A) $[-3, 3]$Incorrecto. En este intervalo el argumento de la función logarítmica se vuelve negativo o cero, lo cual está prohibido.
• B) $\mathbb{R} - \{-3, 3\}$Incorrecto. Esto solo excluye los puntos donde el argumento se hace exactamente cero, pero no considera los valores negativos.
• C) $(3, +\infty)$Incorrecto. Se omite el intervalo correspondiente a los números menores que $-3$, los cuales son válidos ya que al elevarlos al cuadrado dan positivo.
• D) $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$Correcto. Se requiere que el argumento sea estrictamente positivo: $x^2 - 9 > 0 \Rightarrow x^2 > 9 \Rightarrow |x| > 3 \Rightarrow x \in (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

Respuesta correcta: C) $f(x)$ crece a un ritmo exponencial sumamente rápido, mientras que $g(x)$ crece de manera extremadamente lenta.

• A) Ambas crecen exactamente al mismo ritmo debido a que una es la inversa de la otra.Incorrecto. Que sean inversas significa que sus gráficas son simétricas, pero sus ritmos de crecimiento son extremadamente opuestos.
• B) $g(x)$ supera ampliamente a $f(x)$ para valores de $x$ mayores a 100.Incorrecto. El logaritmo nunca supera a una exponencial para valores grandes.
• C) $f(x)$ crece a un ritmo exponencial sumamente rápido, mientras que $g(x)$ crece de manera extremadamente lenta.Correcto. Las funciones exponenciales crecen a un ritmo cada vez mayor, mientras que las logarítmicas presentan un crecimiento amortiguado muy lento a medida que $x \to \infty$.
• D) Ninguna de las dos tiende a infinito cuando $x$ es muy grande.Incorrecto. Ambas tienden a infinito, aunque lo hacen a velocidades radicalmente dispares.

Respuesta correcta: D) Aumentó 1000 veces.

• A) Aumentó 30 veces.Incorrecto. La escala de decibeles es logarítmica, por lo que la relación de intensidades no es lineal.
• B) Aumentó 3 veces.Incorrecto. Se dividió linealmente la variación de decibeles.
• C) Aumentó 10 veces.Incorrecto. 10 veces correspondería a un incremento de exactamente 10 decibeles.
• D) Aumentó 1000 veces.Correcto. La variación es de $30\text{ dB}$. Como cada aumento de $10\text{ dB}$ representa multiplicar la intensidad por 10, un aumento de $30\text{ dB}$ equivale a un factor de $10^3 = 1000$ veces.

Respuesta correcta: D) $20^\circ\text{C}$

• A) $80^\circ\text{C}$Incorrecto. Esta es la temperatura inicial de la infusión ($20 + 60 = 80$).
• B) $0^\circ\text{C}$Incorrecto. El café no se enfriará por debajo de la temperatura ambiente de la sala.
• C) $60^\circ\text{C}$Incorrecto. Este es el diferencial de caída de la temperatura.
• D) $20^\circ\text{C}$Correcto. A medida que $t \to \infty$, el término exponencial $e^{-0,05t}$ tiende a cero, haciendo que el término $60 \cdot e^{-0,05t}$ se anule. Por ende, la temperatura tiende a la asíntota horizontal de $20^\circ\text{C}$ (temperatura ambiente).

Respuesta correcta: C) $f^{-1}(x) = \log_3(x - 2) + 1$

• A) $f^{-1}(x) = \log_3(x - 1) + 2$Incorrecto. Se transpusieron mal los términos constantes en el despeje.
• B) $f^{-1}(x) = \log_3(x + 2) - 1$Incorrecto. Los signos de las constantes están invertidos.
• C) $f^{-1}(x) = \log_3(x - 2) + 1$Correcto. Planteamos $y = 3^{x-1} + 2 \Rightarrow y - 2 = 3^{x-1}$. Aplicando logaritmo en base 3: $\log_3(y - 2) = x - 1 \Rightarrow x = \log_3(y - 2) + 1$. Intercambiando variables obtenemos el resultado.
• D) $f^{-1}(x) = 3^{y-2} - 1$Incorrecto. No aplicó el logaritmo para despejar el exponente.

Respuesta correcta: B) $x = \log_2(5) - 3$

• A) $x = \log_2(5) + 3$Incorrecto. Se debe restar el término constante al despejar el exponente.
• B) $x = \log_2(5) - 3$Correcto. Igualando ecuaciones: $2^{x+3} = 5$. Aplicando logaritmo en base 2: $x + 3 = \log_2(5) \Rightarrow x = \log_2(5) - 3$.
• C) $x = \log_5(2) - 3$Incorrecto. Se intercambió la base con el argumento del logaritmo de forma incorrecta.
• D) No existe intersección ya que 5 no es potencia de 2.Incorrecto. Aunque no sea una potencia entera de 2, sí existe una solución real usando logaritmos decimales o naturales.

Respuesta correcta: A) El error ocurre al multiplicar por $\log(0,5)$, ya que como $0,5 < 1$, su logaritmo es negativo ($\log(0,5) \approx -0,301$), por lo que debió invertirse el sentido de la desigualdad.

• A) El error ocurre al multiplicar por $\log(0,5)$, ya que como $0,5 < 1$, su logaritmo es negativo ($\log(0,5) \approx -0,301$), por lo que debió invertirse el sentido de la desigualdad.Correcto. Multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número estrictamente negativo requiere invertir el sentido de la inecuación.
• B) El procedimiento es completamente correcto y demuestra una paradoja de la matemática.Incorrecto. Concluir que $0,25 < 0,125$ es un absurdo matemático, por lo que hay un error.
• C) El error está al aplicar la propiedad de la potencia del logaritmo.Incorrecto. La propiedad de potencia es correcta para cualquier número real.
• D) El error está al simplificar los logaritmos en el último paso.Incorrecto. Como la función logaritmo es creciente, mantener el sentido al quitar los logaritmos es un paso válido.

Respuesta correcta: C) El modelo es poco realista a largo plazo ya que el crecimiento exponencial ilimitado asume recursos infinitos, ignorando factores limitantes reales del ecosistema.

• A) El modelo es completamente realista y se cumple de forma exacta en todas las grandes urbes argentinas.Incorrecto. Ninguna ciudad real puede crecer indefinidamente de forma exponencial pura.
• B) El modelo es inválido de entrada porque las funciones exponenciales nunca pueden usarse para estimar poblaciones de seres vivos.Incorrecto. Sí son válidas y útiles para estimar crecimientos iniciales a corto plazo.
• C) El modelo es poco realista a largo plazo ya que el crecimiento exponencial ilimitado asume recursos infinitos, ignorando factores limitantes reales del ecosistema.Correcto. Un modelo exponencial puro no es viable a largo plazo porque la población real se ve limitada por la capacidad de carga del ecosistema y los recursos disponibles.
• D) El modelo solo sería válido si la tasa de crecimiento fuera negativa.Incorrecto. Las tasas de crecimiento positivas son válidas para poblaciones en expansión controlada.