Tema W07

Respuesta correcta: C) Como el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

• A) Como el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.Incorrecto. Esta es la definición de la función coseno.
• B) Como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.Incorrecto. Esta es la definición de la función tangente.
• C) Como el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.Correcto. Por definición, $\sin(\alpha) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$.
• D) Como la longitud de la hipotenusa al cuadrado.Incorrecto. Esto se asocia al teorema de Pitágoras.

Respuesta correcta: C) $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

• A) $\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = 1$Incorrecto. La suma lineal de los términos no es igual a 1 para todo ángulo.
• B) $\sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = 1$Incorrecto. El signo del término coseno debe ser positivo.
• C) $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$Correcto. Esta es la identidad fundamental pitagórica, consecuencia directa del teorema de Pitágoras en la circunferencia unitaria.
• D) $\tan^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$Incorrecto. No cumple con la identidad pitagórica elemental.

Respuesta correcta: B) $\pi\text{ rad}$

• A) $\frac{\pi}{2}\text{ rad}$Incorrecto. Este valor equivale a $90^\circ$.
• B) $\pi\text{ rad}$Correcto. Un giro completo de la circunferencia equivale a $2\pi$ radianes ($360^\circ$), por lo que media vuelta ($180^\circ$) equivale a $\pi$ radianes.
• C) $2\pi\text{ rad}$Incorrecto. Este valor representa un giro completo de $360^\circ$.
• D) $\frac{3\pi}{2}\text{ rad}$Incorrecto. Este valor equivale a $270^\circ$.

Respuesta correcta: A) En el tercer y cuarto cuadrantes.

• A) En el tercer y cuarto cuadrantes.Correcto. En la circunferencia trigonométrica, el seno se asocia al eje de las ordenadas ($y$). Dado que las ordenadas son negativas en el tercer y cuarto cuadrantes, el seno también lo es.
• B) Únicamente en el primer cuadrante.Incorrecto. En el primer cuadrante todas las razones básicas son positivas.
• C) En el primer y segundo cuadrantes.Incorrecto. El seno es positivo allí porque las ordenadas son positivas.
• D) Únicamente en el segundo cuadrante.Incorrecto. El seno de ángulos entre $90^\circ$ y $180^\circ$ es positivo.

Respuesta correcta: D) $2\pi$

• A) $\pi$Incorrecto. La función seno se repite cada vuelta completa de la circunferencia, no cada media vuelta.
• B) $\frac{\pi}{2}$Incorrecto. Esto solo describe un cuarto de la trayectoria oscilatoria de la onda.
• C) $4\pi$Incorrecto. Este sería el período de una onda de menor frecuencia como $\sin(x/2)$.
• D) $2\pi$Correcto. El período de la función básica es de $2\pi$ radianes (o $360^\circ$), completando un ciclo completo antes de repetir su forma.

Respuesta correcta: B) El teorema del coseno (Ley de Cosenos).

• A) El teorema de los senos (Ley de Senos).Incorrecto. Para aplicar la ley de senos necesitás conocer al menos un par ángulo-lado opuesto.
• B) El teorema del coseno (Ley de Cosenos).Correcto. La ley de cosenos permite resolver cualquier ángulo si se conocen las medidas de los tres lados: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$.
• C) El teorema de Pitágoras.Incorrecto. El teorema de Pitágoras solo es aplicable si el triángulo es rectángulo.
• D) La ley de tangentes.Incorrecto. No es aplicable de manera directa o eficiente para el caso Lado-Lado-Lado (LLL).

Respuesta correcta: D) $17,3\\text{ metros}$

• A) $15\\text{ metros}$Incorrecto. Esto resultaría si utilizáramos la función seno de forma incorrecta.
• B) $25,9\\text{ metros}$Incorrecto. Se cometió un error algebraico al aplicar el valor de la tangente.
• C) $30\\text{ metros}$Incorrecto. Esto ocurriría si el ángulo de elevación fuera de $45^\circ$.
• D) $17,3\\text{ metros}$Correcto. Planteamos la relación de la tangente: $\\tan(30^\circ) = \\frac{\\text{altura}}{30}$. Despejando: $\\text{altura} = 30 \\cdot \\tan(30^\circ) \\approx 30 \\cdot 0,577 = 17,31$ metros.

Respuesta correcta: C) $4,36\\text{ km}$

• A) $4,9\\text{ km}$Incorrecto. Error al aplicar la raíz cuadrada.
• B) $5,83\\text{ km}$Incorrecto. Este valor resulta si se asume que las trayectorias forman un ángulo de $90^\circ$ (teorema de Pitágoras).
• C) $4,36\\text{ km}$Correcto. Por el teorema del coseno: $d^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)\\cos(60^\circ) = 9 + 25 - 30(0,5) = 34 - 15 = 19$. Tomando raíz cuadrada: $d = \\sqrt{19} \\approx 4,36$ km.
• D) $8\\text{ km}$Incorrecto. Esto sería la suma lineal de las distancias recorridas, lo cual no es en línea recta.

Respuesta correcta: A) $90^\circ$

• A) $90^\circ$Correcto. Por ley de senos: $\\frac{\\sin(A)}{a} = \\frac{\\sin(B)}{b} \\Rightarrow \\sin(B) = \\frac{10\\sqrt{2} \\cdot \\sin(45^\circ)}{10} = \\sqrt{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = 1$. Dado que el seno es 1, el ángulo $B = 90^\circ$.
• B) $30^\circ$Incorrecto. Con este ángulo el valor del seno de $B$ daría menor que el calculado.
• C) $60^\circ$Incorrecto. No cumple con la relación proporcional de la ley de senos.
• D) $45^\circ$Incorrecto. Esto implicaría que el triángulo es isósceles, pero las longitudes de los lados difieren.

Respuesta correcta: C) $x_1 = \frac{\pi}{6}$ y $x_2 = \frac{5\pi}{6}$

• A) Únicamente $x = \frac{\pi}{6}$Incorrecto. Se omitió la solución correspondiente al segundo cuadrante.
• B) $x_1 = \frac{\pi}{6}$ y $x_2 = \frac{7\pi}{6}$Incorrecto. En el tercer cuadrante el seno es negativo ($-1/2$).
• C) $x_1 = \frac{\pi}{6}$ y $x_2 = \frac{5\pi}{6}$Correcto. En el círculo unitario, la ordenada toma el valor $1/2$ positivo en el primer cuadrante para $30^\circ$ ($\pi/6$) y en el segundo cuadrante para $150^\circ$ ($5\pi/6$).
• D) $x_1 = \frac{\pi}{3}$ y $x_2 = \frac{2\pi}{3}$Incorrecto. Estos son los ángulos para los cuales el coseno es $1/2$.

Respuesta correcta: A) $1$

• A) $1$Correcto. Sabemos que $\\tan^2(x) = \\frac{\\sin^2(x)}{\\cos^2(x)}$. Sustituyendo: $E = \\frac{1}{\\cos^2(x)} - \\frac{\\sin^2(x)}{\\cos^2(x)} = \\frac{1 - \\sin^2(x)}{\\cos^2(x)}$. Por la identidad fundamental, $1 - \\sin^2(x) = \\cos^2(x)$, resultando $E = \\frac{\\cos^2(x)}{\\cos^2(x)} = 1$.
• B) $0$Incorrecto. No se anulan de manera directa.
• C) $\cos^2(x)$Incorrecto. La expresión no se reduce al término del denominador.
• D) $\tan^2(x)$Incorrecto. No se corresponde con la simplificación correcta.

Respuesta correcta: B) $x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{7\pi}{6}, x = \frac{11\pi}{6}$

• A) $x = 0, x = \pi$Incorrecto. Estos valores no anulan la expresión original.
• B) $x = \frac{\pi}{2}, x = \frac{7\pi}{6}, x = \frac{11\pi}{6}$Correcto. Usando $\\cos^2(x) = 1 - \\sin^2(x)$, transformamos a $2(1 - \\sin^2(x)) + \\sin(x) - 1 = 0 \\Rightarrow -2\\sin^2(x) + \\sin(x) + 1 = 0$. Resolviendo como cuadrática, obtenemos $\\sin(x) = 1 \\Rightarrow x = \\pi/2$, y $\\sin(x) = -1/2 \\Rightarrow x = 7\\pi/6, 11\\pi/6$.
• C) $x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{3\pi}{4}$Incorrecto. Daría un resultado que no es cero.
• D) No tiene soluciones en este intervalo.Incorrecto. Sí posee exactamente tres soluciones reales.

Respuesta correcta: B) Rango: $[-2, 4]$, Período: $\pi$

• A) Rango: $[-3, 3]$, Período: $2\pi$Incorrecto. No tiene en cuenta el desplazamiento vertical de la gráfica ni la frecuencia angular del argumento.
• B) Rango: $[-2, 4]$, Período: $\pi$Correcto. La amplitud es 3, por lo que el término $3\sin(2x)$ oscila entre $-3$ y $3$. Al sumarle 1, el rango se desplaza a $[-2, 4]$. El período se calcula mediante $T = 2\pi/B = 2\pi/2 = \pi$.
• C) Rango: $[-1, 4]$, Período: $\pi$Incorrecto. El extremo inferior del rango está mal calculado.
• D) Rango: $[0, 3]$, Período: $4\pi$Incorrecto. Modificaciones erróneas sobre la onda.

Respuesta correcta: C) Se pueden construir exactamente dos triángulos distintos (caso ambiguo).

• A) Es imposible construir ningún triángulo con estas medidas.Incorrecto. El lado menor $a$ es mayor que la altura mínima requerida para formar el triángulo.
• B) Se puede construir exactamente un único triángulo.Incorrecto. Como $a$ es menor que $b$ pero mayor que la altura, se genera más de un caso posible.
• C) Se pueden construir exactamente dos triángulos distintos (caso ambiguo).Correcto. La altura del triángulo es $h = b \cdot \sin(A) = 10 \cdot 0,5 = 5$. Como la longitud de $a = 6$ cumple la desigualdad $h < a < b$ ($5 < 6 < 10$), existen exactamente dos soluciones posibles para el ángulo $B$ (un ángulo agudo y uno obtuso).
• D) Se pueden construir infinitos triángulos de diferentes formas.Incorrecto. El número de casos está delimitado a lo sumo por dos soluciones reales.

Respuesta correcta: A) Un desplazamiento horizontal (fase) de $\frac{\pi}{4}$ unidades hacia la derecha.

• A) Un desplazamiento horizontal (fase) de $\frac{\pi}{4}$ unidades hacia la derecha.Correcto. Restar una constante dentro del argumento del coseno produce un desplazamiento horizontal de la gráfica hacia los valores positivos (derecha).
• B) Un desplazamiento vertical hacia arriba de $\frac{\pi}{4}$ unidades.Incorrecto. La transformación ocurre dentro del argumento, afectando a la abscisa horizontal.
• C) Un desplazamiento horizontal de $\frac{\pi}{4}$ unidades hacia la izquierda.Incorrecto. Desplazaría hacia la izquierda si el signo del argumento fuera positivo ($+$).
• D) Un aumento en la frecuencia angular de la onda.Incorrecto. La frecuencia angular no ha sido multiplicada por constantes distintas de 1.

Respuesta correcta: A) $12\text{ horas}$

• A) $12\text{ horas}$Correcto. El período es $T = \frac{2\pi}{B}$. Con $B = \frac{\pi}{6}$, obtenemos $T = \frac{2\pi}{\pi/6} = 12$ horas.
• B) $6\text{ horas}$Incorrecto. Este es el tiempo que tarda la marea en pasar de alta a baja (medio período).
• C) $24\text{ horas}$Incorrecto. Representa un ciclo diario de dos oscilaciones completas.
• D) $3\text{ horas}$Incorrecto. Tiempo muy corto que no refleja el ciclo del modelo.

Respuesta correcta: A) $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$

• A) $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)$Correcto. Sustituimos $\beta$ por $-\beta$ en la suma: $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(-\beta) - \sin(\alpha)\sin(-\beta)$. Dado que el coseno es par ($\cos(-\beta) = \cos\beta$) y el seno es impar ($\sin(-\beta) = -\sin\beta$), resulta esta suma.
• B) $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$Incorrecto. El signo del segundo término debe cambiar debido al signo negativo de la función seno.
• C) $\cos(\alpha - \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)$Incorrecto. No se intercambian las funciones trigonométricas involucradas.
• D) $\cos(\alpha - \beta) = -\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$Incorrecto. Se aplicaron mal las propiedades de paridad de las funciones básicas.

Respuesta correcta: C) Posee exactamente tres soluciones reales.

• A) Posee una única solución real.Incorrecto. No tiene en cuenta la forma oscilatoria del seno intersectando la recta para valores finitos cercanos al origen.
• B) No posee ninguna solución real.Incorrecto. En $x = 0$ ambas expresiones son exactamente nulas, por lo que es una solución.
• C) Posee exactamente tres soluciones reales.Correcto. Graficando ambas funciones: se cortan en el origen $(0,0)$. Debido a la curvatura del seno, la recta $\frac{x}{2}$ con pendiente suave corta al seno una vez más en los cuadrantes positivos y una vez en los negativos. Como la recta supera a $1$ para $x > 2$, ya no hay más cortes.
• D) Posee infinitas soluciones reales.Incorrecto. Dado que para $|x| > 2$ la recta toma valores mayores que 1 o menores que $-1$, el rango del seno impide más cruces.

Respuesta correcta: C) Es completamente correcta, ya que si $C = 90^\circ \Rightarrow \cos(90^\circ) = 0$, anulando el término de ajuste de la Ley de Cosenos y dando $c^2 = a^2 + b^2$.

• A) Es incorrecta porque la Ley de Cosenos solo se aplica a triángulos oblicuángulos y no puede usarse en rectángulos.Incorrecto. Se aplica a cualquier triángulo sin restricciones.
• B) Es incorrecta porque el teorema de Pitágoras también se obtiene si el ángulo es de $0^\circ$.Incorrecto. Si el ángulo fuera de $0^\circ$, no existiría un triángulo real sino un segmento plano degenerado.
• C) Es completamente correcta, ya que si $C = 90^\circ \Rightarrow \cos(90^\circ) = 0$, anulando el término de ajuste de la Ley de Cosenos y dando $c^2 = a^2 + b^2$.Correcto. La Ley de Cosenos se reduce a Pitágoras si el coseno del ángulo involucrado se anula, lo cual ocurre únicamente para un ángulo recto de $90^\circ$ en los triángulos comunes.
• D) Es correcta únicamente si el triángulo es equilátero.Incorrecto. Un triángulo equilátero tiene todos sus ángulos interiores iguales a $60^\circ$, nunca a $90^\circ$.

Respuesta correcta: A) Es altamente pertinente porque el movimiento aparente del sol y el ciclo estacional de la Tierra son fenómenos astronómicos periódicos, modelados con alta precisión mediante funciones trigonométricas.

• A) Es altamente pertinente porque el movimiento aparente del sol y el ciclo estacional de la Tierra son fenómenos astronómicos periódicos, modelados con alta precisión mediante funciones trigonométricas.Correcto. Las funciones trigonométricas son las herramientas naturales ideales para modelar la periodicidad de las órbitas y la inclinación estacional, permitiendo automatizar de manera muy precisa la inclinación óptima de los paneles.
• B) Es impertinente porque la trayectoria del sol a lo largo del año sigue un comportamiento lineal directo.Incorrecto. La inclinación de los rayos solares tiene un comportamiento cíclico estacional.
• C) Es impertinente porque la luz solar no se desplaza mediante ondas de tipo sinusoidal.Incorrecto. El modelo no describe la naturaleza física de la luz, sino la periodicidad astronómica de la orientación angular.
• D) Es pertinente pero solo si la instalación se realiza exactamente sobre la línea del ecuador geográfico.Incorrecto. La variación estacional de la inclinación solar es aún más pronunciada a latitudes como las del norte argentino.