Tema W08

Respuesta correcta: D) Es el valor constante que se suma a cada término para obtener el siguiente.

• A) Es el cociente constante entre dos términos consecutivos cualesquiera.Incorrecto. El cociente constante define a la razón de una progresión geométrica.
• B) Es la suma total de los primeros $N$ términos de la sucesión.Incorrecto. Este concepto corresponde a la suma de la progresión ($S_n$).
• C) Es el exponente al que se eleva la variable independiente.Incorrecto. Las progresiones aritméticas tienen un comportamiento lineal, no potencial.
• D) Es el valor constante que se suma a cada término para obtener el siguiente.Correcto. Por definición, en una progresión aritmética, cada término se obtiene sumando un valor constante $d$ al término anterior ($a_n = a_{n-1} + d$).

Respuesta correcta: A) La razón de la progresión geométrica.

• A) La razón de la progresión geométrica.Correcto. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón de la progresión ($a_n = a_{n-1} \cdot r$).
• B) La diferencia común de la sucesión.Incorrecto. La diferencia se asocia a las progresiones aritméticas.
• C) El término general de la progresión.Incorrecto. El término general es la fórmula explícita $a_n$.
• D) El límite de convergencia al infinito.Incorrecto. La razón determina si converge, pero no es el límite en sí.

Respuesta correcta: B) La posición o índice del término dentro de la sucesión.

• A) El valor absoluto del primer término de la serie.Incorrecto. El primer término es la constante $a_1$.
• B) La posición o índice del término dentro de la sucesión.Correcto. La variable $n$ es un número entero positivo que indica el lugar o posición del término $a_n$ en la secuencia.
• C) El valor de la diferencia común entre términos.Incorrecto. La diferencia es la constante $d$.
• D) La cantidad total de sumandos que contiene la sucesión completa.Incorrecto. Las sucesiones pueden ser infinitas.

Respuesta correcta: C) Cuando el valor absoluto de la razón es estrictamente menor que uno ($|r| < 1$).

• A) Cuando la razón es estrictamente mayor que uno ($r > 1$).Incorrecto. Si $r > 1$, la serie diverge y la suma tiende a infinito.
• B) Únicamente si la razón es igual a cero ($r = 0$).Incorrecto. Para $r=0$ la serie se anula de inmediato, pero existen infinitos valores decimales que también convergen.
• C) Cuando el valor absoluto de la razón es estrictamente menor que uno ($|r| < 1$).Correcto. Si $-1 < r < 1$, las potencias de la razón tienden a cero a medida que sumamos infinitos términos, permitiendo calcular la suma exacta como $S = \frac{a_1}{1 - r}$.
• D) Cuando la razón es menor o igual a menos uno ($r \le -1$).Incorrecto. En este caso la serie oscila divergiendo.

Respuesta correcta: A) Que la suma de términos equidistantes de los extremos es constante.

• A) Que la suma de términos equidistantes de los extremos es constante.Correcto. La suma de los términos simétricos respecto al centro de la progresión siempre es constante y es igual a la suma del primer y del último término ($a_1 + a_n$).
• B) Que los términos alternan de signo de manera regular.Incorrecto. Las progresiones aritméticas comunes no alternan de signo si la diferencia es constante positiva.
• C) Que la progresión crece exponencialmente.Incorrecto. El crecimiento de las progresiones aritméticas es lineal.
• D) Que la diferencia común tiende a cero.Incorrecto. La diferencia $d$ es una constante no nula.

Respuesta correcta: C) Cuando la diferencia común es negativa ($d < 0$).

• A) Cuando la diferencia común es positiva ($d > 0$).Incorrecto. En este caso la progresión es creciente.
• B) Únicamente si el primer término es menor que cero ($a_1 < 0$).Incorrecto. El signo del primer término no determina el crecimiento o decrecimiento de la serie.
• C) Cuando la diferencia común es negativa ($d < 0$).Correcto. Si sumamos un valor negativo, cada término será estrictamente menor que su antecesor ($a_n < a_{n-1}$), haciendo decrecer a la progresión.
• D) Cuando la diferencia común es igual a uno ($d = 1$).Incorrecto. Esto generaría un crecimiento lineal simple.

Respuesta correcta: C) $68\text{ asientos}$

• A) $72\text{ asientos}$Incorrecto. Se cometió un error en el valor del índice al aplicar la fórmula.
• B) $60\text{ asientos}$Incorrecto. Se sumaron de manera errónea las cantidades.
• C) $68\text{ asientos}$Correcto. Identificamos la progresión: $a_1 = 12$, $d = 4$. Aplicando la fórmula: $a_{15} = 12 + (15 - 1) \cdot 4 = 12 + 14 \cdot 4 = 12 + 56 = 68$ asientos.
• D) $76\text{ asientos}$Incorrecto. No respeta la posición secuencial exacta de la fila 15.

Respuesta correcta: B) $420$

• A) $400$Incorrecto. Esto es la suma de los primeros 20 números impares.
• B) $420$Correcto. Identificamos: $a_1 = 2, a_{20} = 40, n = 20$. Aplicando la fórmula de la suma: $S_{20} = \frac{(2 + 40) \cdot 20}{2} = 42 \cdot 10 = 420$.
• C) $820$Incorrecto. Se omitió la división por dos del factor común.
• D) $210$Incorrecto. Esto representa la suma de los primeros 20 enteros sucesivos ($1+2+\dots+20$).

Respuesta correcta: D) $486\text{ computadoras}$

• A) $108\text{ computadoras}$Incorrecto. Se aplicó una progresión lineal en lugar de geométrica.
• B) $1458\text{ computadoras}$Incorrecto. Esto sería el cálculo para el séptimo día ($a_7$).
• C) $324\text{ computadoras}$Incorrecto. Se calculó de manera errónea la potencia de la razón.
• D) $486\text{ computadoras}$Correcto. Es una progresión geométrica con $a_1 = 2$ y $r = 3$. El sexto término es $a_6 = a_1 \cdot r^{6-1} = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486$.

Respuesta correcta: D) La suma es exactamente igual a $2$.

• A) La suma es infinita (diverge).Incorrecto. Dado que la razón es $1/2 < 1$, la serie es perfectamente convergente.
• B) La suma es exactamente igual a $1,5$.Incorrecto. Esto es solo la suma de los dos primeros términos.
• C) La suma es igual a $3$.Incorrecto. Se operó de forma incorrecta el divisor.
• D) La suma es exactamente igual a $2$.Correcto. Es una serie geométrica infinita con $a_1 = 1$ y razón $r = 1/2$. Usando la fórmula de la suma infinita: $S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.

Respuesta correcta: C) $\$16200$

• A) $\$12500$Incorrecto. No consideró de forma correcta la progresión acumulada.
• B) $\$15000$Incorrecto. Error de cálculo en la suma total acumulada.
• C) $\$16200$Correcto. Progresión aritmética: $a_1 = 100, d = 50, n = 24$. El depósito 24 es $a_{24} = 100 + 23 \cdot 50 = 1250$. La suma es $S_{24} = \frac{(100 + 1250) \cdot 24}{2} = 1350 \cdot 12 = 16200$.
• D) $\$18000$Incorrecto. Esto resultaría de sumas estimadas por encima de la progresión real.

Respuesta correcta: B) $a_1 = 3, r = 2$

• A) $a_1 = 2, r = 3$Incorrecto. Si $r=3$, el segundo término sería 6 pero el tercero sería 18.
• B) $a_1 = 3, r = 2$Correcto. Relación: $a_5 = a_2 \cdot r^3 \Rightarrow 48 = 6 \cdot r^3 \Rightarrow 8 = r^3 \Rightarrow r = 2$. Como $a_2 = a_1 \cdot r \Rightarrow 6 = a_1 \cdot 2 \Rightarrow a_1 = 3$.
• C) $a_1 = 1, r = 4$Incorrecto. No verifica los valores de los términos dados.
• D) $a_1 = 4, r = 1,5$Incorrecto. La razón debe ser un número entero para estas variables.

Respuesta correcta: D) Es convergente y su suma infinita es exactamente igual a $2$.

• A) Es divergente y su suma tiende a infinito.Incorrecto. La razón es menor que 1, por lo que la serie es convergente.
• B) Es convergente y su suma infinita es igual a $3$.Incorrecto. Error al evaluar el primer término de la serie (comienza en $n=1$).
• C) Es oscilante y no se puede definir su suma.Incorrecto. Los términos son estrictamente positivos y decrecientes.
• D) Es convergente y su suma infinita es exactamente igual a $2$.Correcto. Serie geométrica con primer término $a_1 = 2/3$ (para $n=1$) y razón $r = 2/3$. Suma: $S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$.

Respuesta correcta: C) Como mínimo 7 paredes.

• A) Como mínimo 5 paredes.Incorrecto. Con 5 paredes la potencia es $64 / 2^5 = 64/32 = 2\\text{ mW}$, que sigue siendo mayor que 1.
• B) Como mínimo 6 paredes.Incorrecto. Con 6 paredes la potencia es exactamente de 1 mW, pero se pide estrictamente menor.
• C) Como mínimo 7 paredes.Correcto. La potencia tras $n$ paredes es $P(n) = 64 \cdot (1/2)^n$. Buscamos $64 \cdot (1/2)^n < 1 \Rightarrow (1/2)^n < 1/64 \Rightarrow 2^n > 64 \Rightarrow n > 6$. Al ser un número entero de paredes, el valor mínimo es 7.
• D) Como mínimo 8 paredes.Incorrecto. Excede el número mínimo de paredes requeridas para atenuar la señal por debajo del límite de 1 mW.

Respuesta correcta: C) En el año 9 o posterior.

• A) En el año 3.Incorrecto. El aumento del plan Oro sería de $1000 \cdot 0,1 = 100$ el primer año y $110$ el segundo, menor a 200.
• B) En el año 5.Incorrecto. El capital del plan Oro sigue acumulándose por debajo del umbral de variación de 200 pesos.
• C) En el año 9 o posterior.Correcto. El aumento en el año $n$ para Plata es 200. Para Oro es $P_0 \cdot (1,1)^{n-1} \cdot 0,1 \Rightarrow 100 \cdot (1,1)^{n-1}$. Buscamos $100 \cdot (1,1)^{n-1} > 200 \Rightarrow (1,1)^{n-1} > 2$. Evaluando potencias: $(1,1)^7 \approx 1,95$, $(1,1)^8 \approx 2,14$. Por ende, ocurre para $n-1 = 8 \Rightarrow n = 9$ años.
• D) En el año 15.Incorrecto. El plan Oro supera al plan Plata mucho antes.

Respuesta correcta: C) $a_6 = 8, a_7 = 13$

• A) $a_6 = 5, a_7 = 8$Incorrecto. Estos corresponden a las posiciones 5 y 6 de la sucesión.
• B) $a_6 = 13, a_7 = 21$Incorrecto. Estos valores corresponden a las posiciones 7 y 8.
• C) $a_6 = 8, a_7 = 13$Correcto. Los términos sucesivos de la secuencia son: $a_1=1, a_2=1, a_3=2, a_4=3, a_5=5, a_6=8, a_7=13$.
• D) $a_6 = 6, a_7 = 7$Incorrecto. Fibonacci no se define como una progresión aritmética simple de diferencia 1.

Respuesta correcta: A) $\frac{23}{99}$

• A) $\frac{23}{99}$Correcto. Escribimos como serie: $\frac{23}{100} + \frac{23}{10000} + \dots$ con $a_1 = \frac{23}{100}$ y razón $r = \frac{1}{100}$. Suma: $S = \frac{23/100}{1 - 1/100} = \frac{23/100}{99/100} = \frac{23}{99}$.
• B) $\frac{23}{100}$Incorrecto. Esto representaría al decimal exacto $0,23$, no al periódico puro.
• C) $\frac{23}{90}$Incorrecto. Esto representaría a un número decimal periódico mixto.
• D) $\frac{2}{3}$Incorrecto. Esta fracción equivale al número decimal $0,666\dots$.

Respuesta correcta: D) $a_n = 1000 \cdot (1,05)^n$

• A) $a_n = 1000 + 50n$Incorrecto. Esto describiría un modelo de interés simple con crecimiento lineal, no compuesto.
• B) $a_n = 1000 \cdot (0,05)^n$Incorrecto. La base menor a 1 indicaría un decrecimiento severo del capital.
• C) $a_n = 1000 \cdot (1,5)^n$Incorrecto. El factor de crecimiento correspondería a un interés del $50\%$ mensual.
• D) $a_n = 1000 \cdot (1,05)^n$Correcto. En el interés compuesto el capital se multiplica mensualmente por el factor de crecimiento $1 + i = 1,05$, lo que constituye una progresión geométrica de la forma $a_n = P_0 \cdot (1 + i)^n$.

Respuesta correcta: A) La afirmación es verdadera y se puede demostrar de forma rigurosa para todo $n$ usando el teorema de inducción completa o la fórmula de la suma aritmética.

• A) La afirmación es verdadera y se puede demostrar de forma rigurosa para todo $n$ usando el teorema de inducción completa o la fórmula de la suma aritmética.Correcto. Los impares forman una progresión con $a_1=1, d=2 \Rightarrow a_n = 2n-1$. Suma: $S_n = \frac{(1 + (2n-1))n}{2} = \frac{2n \cdot n}{2} = n^2$. Es una proposición verdadera.
• B) Es falsa porque para $n = 3$, la suma de los impares da 8, que no es un cuadrado perfecto.Incorrecto. Para $n=3$, la suma es $1 + 3 + 5 = 9$, que es exactamente $3^2$.
• C) Es verdadera únicamente si la progresión se inicia a partir de un número par.Incorrecto. La serie de números impares comienza por definición en 1.
• D) Es falsa porque las progresiones aritméticas nunca pueden sumarse de forma directa mediante potencias.Incorrecto. La suma de los términos de una progresión lineal genera siempre polinomios de grado dos.

Respuesta correcta: D) La paradoja se resuelve al demostrar que una suma infinita de intervalos de tiempo decrecientes puede dar como resultado un valor de tiempo total finito, instante exacto en el que ocurre el alcance.

• A) Zenón tiene razón, y la única forma de que Aquiles la alcance es si la tortuga decide detenerse por completo.Incorrecto. La matemática moderna demuestra que el alcance ocurre en un punto de tiempo finito.
• B) La paradoja se resuelve porque la distancia recorrida es una progresión aritmética estrictamente creciente.Incorrecto. La distancia recorrida por Zenón forma una serie geométrica convergente, no una serie aritmética infinita divergente.
• C) El dilema no tiene solución matemática y solo puede explicarse mediante posturas de la filosofía clásica.Incorrecto. El cálculo de límites y series converge resolviendo de manera absoluta el dilema.
• D) La paradoja se resuelve al demostrar que una suma infinita de intervalos de tiempo decrecientes puede dar como resultado un valor de tiempo total finito, instante exacto en el que ocurre el alcance.Correcto. Aunque el número de intervalos de aproximación sea infinito, al formar una serie geométrica decreciente convergente ($|r| < 1$), la suma del tiempo total requerido converge a un valor finito de tiempo.