Tema W10

Respuesta correcta: D) $n!$

• A) $n^2$Incorrecto. Las permutaciones aumentan de forma mucho más rápida que el comportamiento de potencia.
• B) $2^n$Incorrecto. Esto describe la cantidad de subconjuntos de un conjunto de cardinal $n$.
• C) $\frac{n(n-1)}{2}$Incorrecto. Esto es la fórmula de combinaciones de $n$ elementos tomados de a dos.
• D) $n!$Correcto. Por definición, la cantidad de formas distintas de ordenar $n$ elementos lineales es el factorial del número de elementos: $n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 1$.

Respuesta correcta: A) Dividiendo la cantidad de casos favorables por la cantidad total de casos posibles.

• A) Dividiendo la cantidad de casos favorables por la cantidad total de casos posibles.Correcto. La probabilidad clásica de Laplace se define como el cociente de los resultados favorables del evento dividido por los resultados posibles del espacio muestral ($P(A) = \frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$).
• B) Dividiendo los casos desfavorables por los casos favorables.Incorrecto. Se invertirá el sentido lógico de la proporción de probabilidad.
• C) Multiplicando la cantidad de casos favorables por la probabilidad del complemento.Incorrecto. No describe el cálculo elemental de Laplace.
• D) Sumando todos los casos favorables posibles de la muestra.Incorrecto. La probabilidad es un valor adimensional comprendido entre 0 y 1.

Respuesta correcta: C) En la combinación no importa el orden en que se seleccionan los elementos, mientras que en la variación sí.

• A) En la combinación importa el orden, mientras que en la variación no.Incorrecto. Los roles de importancia del orden están al revés.
• B) Las combinaciones admiten de forma exclusiva elementos repetidos.Incorrecto. Ambos esquemas se definen inicialmente sin repetición de elementos.
• C) En la combinación no importa el orden en que se seleccionan los elementos, mientras que en la variación sí.Correcto. Para las combinaciones, subconjuntos con idénticos elementos (como $\{A,B\}$ y $\{B,A\}$) se consideran iguales. Para las variaciones o permutaciones, el orden es determinante y constituyen ordenamientos distintos.
• D) Las variaciones solo se calculan sobre conjuntos vacíos de elementos.Incorrecto. No tendría sentido el análisis combinatorio.

Respuesta correcta: A) $0,65$

• A) $0,65$Correcto. La probabilidad del evento complementario se calcula restando a la unidad la probabilidad del suceso original: $P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,35 = 0,65$.
• B) $0,35$Incorrecto. Esta es la probabilidad del evento afirmativo directo.
• C) $1,35$Incorrecto. La probabilidad nunca puede ser estrictamente mayor que uno.
• D) $0,50$Incorrecto. No asume la probabilidad complementaria correcta de la muestra.

Respuesta correcta: D) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

• A) $P(A \cup B) = P(A) \cdot P(B)$Incorrecto. Esto es la regla de multiplicación para eventos independientes, no de adición.
• B) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$Incorrecto. Aunque esta es la regla general, para eventos mutuamente excluyentes el término de resta es cero, reduciéndose a una suma directa.
• C) $P(A \cup B) = \frac{P(A)}{P(B)}$Incorrecto. No existe relación de división elemental en la unión.
• D) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$Correcto. Si los eventos no se superponen (mutuamente excluyentes), la probabilidad de que ocurra uno u otro es simplemente la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

Respuesta correcta: B) $0,25$

• A) $1$Incorrecto. No es un evento seguro obtener dos caras seguidas.
• B) $0,25$Correcto. Dado que los lanzamientos son independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades individuales: $P(\text{Cara} \cap \text{Cara}) = 0,5 \cdot 0,5 = 0,25$.
• C) $0,50$Incorrecto. Esto sería la probabilidad de obtener cara en un solo lanzamiento aislado.
• D) $0,75$Incorrecto. Esto representa la probabilidad de obtener al menos una cara en los dos lanzamientos.

Respuesta correcta: A) 120 maneras.

• A) 120 maneras.Correcto. El número de formas de ordenar linealmente a 5 elementos distintos es el factorial de 5: $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ maneras.
• B) 25 maneras.Incorrecto. Se multiplicaron linealmente los elementos.
• C) 10 maneras.Incorrecto. Esto es la mitad del factorial.
• D) 60 maneras.Incorrecto. Esto representaría ordenar 5 elementos tomados de a 3.

Respuesta correcta: D) 120 delegaciones.

• A) 720 delegaciones.Incorrecto. Esto sería si el orden de los 3 representantes importara (como definir presidente, secretario y vocal).
• B) 30 delegaciones.Incorrecto. Error en la aplicación de los factores del dividendo.
• C) 1000 delegaciones.Incorrecto. Esto representaría variaciones con repetición permitida de elementos.
• D) 120 delegaciones.Correcto. Al no importar el orden de los delegados elegidos, se trata de una combinación: $C^{10}_3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$ delegaciones.

Respuesta correcta: A) $\frac{1}{6}$

• A) $\frac{1}{6}$Correcto. Los casos posibles totales son $6 \cdot 6 = 36$ combinaciones. Los casos favorables que suman 7 son 6 combinaciones: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$. Probabilidad = $6 / 36 = 1/6$.
• B) $\frac{1}{12}$Incorrecto. El espacio de combinaciones posibles totales al lanzar dos dados es mayor.
• C) $\frac{1}{36}$Incorrecto. Esta es la probabilidad de obtener un par de números idénticos específicos como el doble seis.
• D) $\frac{1}{2}$Incorrecto. Probabilidad excesivamente elevada que no respeta la regla de Laplace.

Respuesta correcta: B) $\frac{13}{40}$

• A) $\frac{14}{40}$Incorrecto. Se contó por duplicado el As de Oro en la suma de casos favorables.
• B) $\frac{13}{40}$Correcto. Hay 10 cartas de Oro en el mazo. Además, hay 3 Ases que no son del palo de Oro (As de basto, espada y copa). En total hay $10 + 3 = 13$ cartas favorables de un total de 40.
• C) $\frac{11}{40}$Incorrecto. No consideró de forma correcta la cantidad total de Ases de la baraja.
• D) $\frac{1}{4}$Incorrecto. Esta sería la probabilidad de extraer una carta de un palo específico únicamente sin considerar los ases.

Respuesta correcta: D) $0,50$

• A) $0,45$Incorrecto. Error de posición en la división marginal del teorema.
• B) $0,15$Incorrecto. Esta es la probabilidad de la intersección simple entre ambos eventos.
• C) $0,35$Incorrecto. No aplica correctamente el cociente de las probabilidades.
• D) $0,50$Correcto. Probabilidad condicionada: $P(\text{Física} \mid \text{Matemática}) = \frac{P(\text{Física} \cap \text{Matemática})}{P(\text{Matemática})} = \frac{0,15}{0,30} = 0,50$ ($50\%$).

Respuesta correcta: A) $0,067$ (o $6,7\%$)

• A) $0,067$ (o $6,7\%$)Correcto. Por teorema de probabilidad total: $P(\text{Positivo}) = P(\text{Enfermo}) \cdot P(\text{Positivo}\mid\text{Enfermo}) + P(\text{Sano}) \cdot P(\text{Positivo}\mid\text{Sano}) = (0,02 \cdot 0,90) + (0,98 \cdot 0,05) = 0,018 + 0,049 = 0,067$.
• B) $0,90$Incorrecto. Esto es la sensibilidad de la prueba, no la tasa de positivos globales.
• C) $0,05$Incorrecto. Se ignoró la tasa de positivos verdaderos del grupo enfermo.
• D) $0,02$Incorrecto. Esta es la probabilidad de prevalencia base de la enfermedad en el pueblo.

Respuesta correcta: D) $\frac{12}{90}$ (o $\frac{2}{15}$)

• A) $\frac{16}{100}$Incorrecto. Esto sería si la extracción fuera con reposición (eventos independientes).
• B) $\frac{12}{100}$Incorrecto. Error al no restar una unidad de la cantidad de bolillas disponibles del total de la urna.
• C) $\frac{4}{10}$Incorrecto. Esta es la probabilidad de extraer una bolilla roja únicamente en el primer intento aislado.
• D) $\frac{12}{90}$ (o $\frac{2}{15}$)Correcto. En la primera extracción: $P(R_1) = 4/10$. Para la segunda, quedan 3 bolillas rojas y 9 en total: $P(R_2 \mid R_1) = 3/9$. La probabilidad conjunta es $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90}$.

Respuesta correcta: C) 625 contraseñas.

• A) 120 contraseñas.Incorrecto. Esto sería si no se permitiera repetir ningún número (variaciones simples).
• B) 20 contraseñas.Incorrecto. Se multiplicó linealmente la cantidad de elementos por la longitud de la clave.
• C) 625 contraseñas.Correcto. Disponemos de 5 elementos. Como se permite repetir, para cada uno de los 4 casilleros de la clave tenemos 5 opciones. Por principio multiplicativo: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 = 625$ contraseñas.
• D) 10000 contraseñas.Incorrecto. Esto describiría el total de claves de 4 dígitos usando el sistema decimal del 0 al 9.

Respuesta correcta: B) $0,55$

• A) $0,65$Incorrecto. Sumó linealmente las probabilidades individuales sin restar el término de superposición.
• B) $0,55$Correcto. Por ley general de adición: $P(G \cup V) = P(G) + P(V) - P(G \cap V) = 0,25 + 0,40 - 0,10 = 0,55$.
• C) $0,15$Incorrecto. Error de cálculo en las diferencias del planteo general.
• D) $0,35$Incorrecto. No representa la probabilidad de la unión de eventos solicitada.

Respuesta correcta: D) $0,0512$ (o $5,12\%$)

• A) $0,20$Incorrecto. Ignora el factor de combinatoria y la probabilidad de botellas sanas concomitantes.
• B) $0,008$Incorrecto. Esto es solo la probabilidad de que fallen las tres primeras obviando el estado de las otras dos de la serie.
• C) $0,1024$Incorrecto. Se omitieron parámetros del desarrollo de los factores exponenciales del binomio.
• D) $0,0512$ (o $5,12\%$)Correcto. Aplicamos la distribución binomial: $P(X=3) = C^5_3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = 10 \cdot (0,20)^3 \cdot (0,80)^2 = 10 \cdot (0,008) \cdot (0,64) = 0,0512$.

Respuesta correcta: A) $26,9\%$

• A) $26,9\%$Correcto. Por teorema de Bayes: $P(\text{Enfermo}\mid\text{Positivo}) = \frac{P(\text{Enfermo}) \cdot P(\text{Positivo}\mid\text{Enfermo})}{P(\text{Positivo})} = \frac{0,02 \cdot 0,90}{0,067} = \frac{0,018}{0,067} \approx 0,2686$ (o $26,9\%$).
• B) $90\%$Incorrecto. Esta es la sensibilidad de la prueba, no la probabilidad condicionada inversa real del paciente.
• C) $50\%$Incorrecto. Desestima la baja tasa de prevalencia original de la patología en la población.
• D) $2\%$Incorrecto. Esta es la tasa base a priori de enfermedad en la población.

Respuesta correcta: C) 120 maneras.

• A) 720 maneras.Incorrecto. Esto es la cantidad de formas si se sentaran linealmente en fila (donde importa el extremo de la mesa).
• B) 24 maneras.Incorrecto. Esto sería el cálculo para sentar a 5 personas en lugar de 6.
• C) 120 maneras.Correcto. Para ordenamientos circulares, se fija la posición de un elemento de referencia para evitar contar como distintas a las rotaciones simétricas. La fórmula es $(n - 1)! = (6 - 1)! = 5! = 120$ maneras.
• D) 60 maneras.Incorrecto. Se dividió de manera errónea el factorial lineal general.

Respuesta correcta: C) El argumento es falso (Paradoja del Jugador o falacia de Montecarlo) porque la ruleta no posee memoria y cada lanzamiento es un evento independiente con las mismas probabilidades.

• A) El argumento es correcto ya que las leyes físicas y estadísticas impiden que el rojo salga 9 veces seguidas en una ruleta real.Incorrecto. En cada tiro de ruleta equilibrada la probabilidad sigue siendo idéntica a la anterior.
• B) El argumento es correcto siempre que se duplique de forma exponencial la apuesta en cada tiro perdido (estrategia Martingala).Incorrecto. Aunque la Martingala sea una estrategia de apuestas, no altera la probabilidad física real del tiro de la bola.
• C) El argumento es falso (Paradoja del Jugador o falacia de Montecarlo) porque la ruleta no posee memoria y cada lanzamiento es un evento independiente con las mismas probabilidades.Correcto. Que haya salido rojo antes no altera la probabilidad del tiro actual, la cual sigue siendo aproximadamente del $48,6\%$ de salir negro en cada tiro aislado.
• D) El argumento es falso porque la probabilidad de que salga negro en el noveno tiro es de exactamente el $100\%$.Incorrecto. En un juego de azar justo ningún evento es un suceso seguro de forma aislada.

Respuesta correcta: B) Es incorrecta (Falacia de la condicional transpuesta o del fiscal), ya que confunde la probabilidad condicionada $P(\text{Cómplice} \mid \text{Delincuente})$ con su transpuesta inversa $P(\text{Delincuente} \mid \text{Cómplice})$, las cuales no son necesariamente iguales.

• A) La deducción es correcta porque el porcentaje de probabilidad se mantiene inalterado al cambiar el rol.Incorrecto. Invierte la condición ignorando la estructura formal de las probabilidades cruzadas.
• B) Es incorrecta (Falacia de la condicional transpuesta o del fiscal), ya que confunde la probabilidad condicionada $P(\text{Cómplice} \mid \text{Delincuente})$ con su transpuesta inversa $P(\text{Delincuente} \mid \text{Cómplice})$, las cuales no son necesariamente iguales.Correcto. Confundir o transponer de manera directa las condiciones de ocurrencia de un suceso es un error de probabilidad grave que invalida la deducción.
• C) Es correcta únicamente si la delincuencia se analiza en áreas urbanas de gran densidad demográfica.Incorrecto. No corrige la falacia lógica de transposición cometida en el planteo estadístico.
• D) Es incorrecta porque el porcentaje acumulado de probabilidad debe exceder obligatoriamente el $100\%$ en estudios sociales.Incorrecto. El valor acumulado de cualquier probabilidad real nunca puede ser estrictamente mayor que 1.