En Santa Cruz, el estudiante Roxana del Colegio Nacional Santa Cruz practica potenciación y radicación de números reales.
¿Cuál es la propiedad fundamental de los exponentes que indica que para cualquier número real no nulo a se cumple que a^0 = 1?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)Propiedad del exponente cero.
💡 Explicación
Por definición en el sistema de los números reales, cualquier base distinta de cero elevada a la potencia 0 es igual a 1.
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)Propiedad del exponente cero.
A)Propiedad del exponente cero.¡Correcto! Todo número real no nulo elevado a la potencia cero es igual a la unidad.
B)Propiedad del exponente negativo.Incorrecto. Los exponentes negativos representan el recíproco del número, no el valor constante 1.
C)Propiedad asociativa de los exponentes.Incorrecto. No existe tal propiedad con ese resultado para bases reales.
D)Propiedad distributiva respecto de la suma.Incorrecto. Los exponentes no se distribuyen respecto de la suma de términos.
💡 Explicación
Por definición en el sistema de los números reales, cualquier base distinta de cero elevada a la potencia 0 es igual a 1.
Pregunta 2
Pregunta 2 · D4Bloom: Understand
En Cochabamba, el estudiante Jhonny del Colegio Nacional Sucre practica potenciación y radicación de números reales.
Si el área del cultivo de hortalizas en Cochabamba está dada por la expresión (x^3)^2, ¿cuál es su forma simplificada aplicando la propiedad de potencia de una potencia?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)x^6
💡 Explicación
La propiedad de potencia de una potencia establece que (a^m)^n = a^(m n). Por lo tanto, (x^3)^2 = x^(3 2) = x^6.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)x^6
A)x^5Incorrecto. Sumaste los exponentes en lugar de multiplicarlos.
B)x^6¡Correcto! Por potencia de una potencia se multiplican los exponentes: 3 * 2 = 6.
C)x^9Incorrecto. Elevaste 3 al cuadrado en lugar de multiplicarlo.
D)x^1Incorrecto. Restaste los exponentes de forma errónea.
💡 Explicación
La propiedad de potencia de una potencia establece que (a^m)^n = a^(m n). Por lo tanto, (x^3)^2 = x^(3 2) = x^6.
Pregunta 3
Pregunta 3 · D4Bloom: Understand
En El Alto, el estudiante Marisol del Colegio Nacional El Alto practica potenciación y radicación de números reales.
¿Cuál es el valor simplificado de la expresión con radicales raíz(48), expresada con el menor radicando entero posible?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)4 * raíz(3)
💡 Explicación
Para simplificar la raíz de 48, buscamos el mayor cuadrado perfecto que divida a 48, el cual es 16. Entonces, raíz(48) = raíz(16 3) = 4 raíz(3).
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)4 * raíz(3)
A)16 * raíz(3)Incorrecto. No aplicaste la raíz cuadrada al factor de la potencia de 16.
D)2x^6 metros cúbicosIncorrecto. Olvidaste elevar el coeficiente numérico 2 al cubo.
💡 Explicación
El volumen de un cubo es lado al cubo. L = 2x^2. Entonces V = (2x^2)^3 = 2^3 * (x^2)^3 = 8x^6.
Pregunta 5
Pregunta 5 · D6Bloom: Understand
En Tarija, el estudiante Sonia del Colegio Nacional Bolivar practica potenciación y radicación de números reales.
Si el peso es expresado como la fracción (3^4 * 3^-2) / 3^3, ¿cuál es su valor numérico simplificado?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)1/3
💡 Explicación
Aplicando leyes de exponentes: en el numerador se suman exponentes al multiplicar bases iguales: 3^(4 + (-2)) = 3^2. En la división se restan: 3^(2 - 3) = 3^(-1) = 1/3.
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)1/3
A)1/3¡Correcto! En el numerador: 3^(4 - 2) = 3^2. Dividido por 3^3: 3^(2 - 3) = 3^-1 = 1/3.
B)3Incorrecto. Calculaste de forma invertida el exponente final de la potencia.
C)1/9Incorrecto. Cometiste un error de resta de exponentes en la división.
D)9Incorrecto. Se operaron mal los exponentes negativos.
💡 Explicación
Aplicando leyes de exponentes: en el numerador se suman exponentes al multiplicar bases iguales: 3^(4 + (-2)) = 3^2. En la división se restan: 3^(2 - 3) = 3^(-1) = 1/3.
Pregunta 6
Pregunta 6 · D6Bloom: Apply
En Oruro, el estudiante Ramiro del Colegio Nacional Potosí practica potenciación y radicación de números reales.
Si la población de bacterias se duplica cada hora y se representa por la expresión 2^(x + 3) / 4^x, ¿cuál es su expresión equivalente reducida?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)2^(3 - x)
💡 Explicación
Reescribiendo todo a base 2: 4^x = 2^(2x). Entonces: 2^(x+3) / 2^(2x) = 2^(x + 3 - 2x) = 2^(3 - x).
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)2^(3 - x)
A)2^(3 - x)¡Correcto! Reescribiendo 4^x como (2^2)^x = 2^(2x), la expresión se convierte en 2^(x + 3) / 2^(2x) = 2^(x + 3 - 2x) = 2^(3 - x).
B)2^(3 + x)Incorrecto. Sumaste los exponentes en la división en lugar de restarlos.
C)2^(3 - 2x)Incorrecto. Olvidaste restar la variable x del numerador.
D)4^(3 - x)Incorrecto. Cambiaste la base de forma errónea al realizar la simplificación.
💡 Explicación
Reescribiendo todo a base 2: 4^x = 2^(2x). Entonces: 2^(x+3) / 2^(2x) = 2^(x + 3 - 2x) = 2^(3 - x).
Pregunta 7
Pregunta 7 · D6Bloom: Apply
En Potosí, el estudiante Yolanda del Colegio Nacional San Luis practica potenciación y radicación de números reales.
Simplifique completamente la siguiente expresión con radicales: raíz_cúbica(27x^6 * y^9)
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)3x^2 * y^3
💡 Explicación
La raíz cúbica de un producto es el producto de las raíces cúbicas: raíz_cúbica(27) raíz_cúbica(x^6) raíz_cúbica(y^9) = 3 x^(6/3) y^(9/3) = 3x^2 * y^3.
B)9x^2 * y^3Incorrecto. La raíz cúbica de 27 es 3, no 9 (9 es la raíz cuadrada de 81 o el resultado de dividir 27 entre 3).
C)3x^3 * y^3Incorrecto. Para los exponentes debiste dividir por el índice de la raíz (3) en lugar de restar o hacer otra operación.
D)27x^2 * y^3Incorrecto. Olvidaste aplicar la raíz cúbica al coeficiente numérico 27.
💡 Explicación
La raíz cúbica de un producto es el producto de las raíces cúbicas: raíz_cúbica(27) raíz_cúbica(x^6) raíz_cúbica(y^9) = 3 x^(6/3) y^(9/3) = 3x^2 * y^3.
Pregunta 8
Pregunta 8 · D6Bloom: Analyze
En Cobija, el estudiante Jaime del Colegio Nacional Trinidad practica potenciación y radicación de números reales.
¿Cuál es la forma exponencial equivalente de la expresión con radicales raíz_quinta(x^3)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)x^(3/5)
💡 Explicación
Por la regla de exponentes racionales, raíz_n(x^m) = x^(m/n). Para raíz_quinta(x^3), el índice de la raíz es 5 y el exponente es 3, resultando en x^(3/5).
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)x^(3/5)
A)x^(5/3)Incorrecto. Invertiste el numerador y el denominador de la fracción exponencial.
B)x^-2Incorrecto. Restaste los exponentes en lugar de escribir la fracción correspondiente.
C)x^(3/5)¡Correcto! La raíz n-ésima de una potencia m se escribe como exponente fraccionario m/n. Así, el exponente es 3/5.
D)x^(1/15)Incorrecto. Multiplicaste erróneamente los coeficientes.
💡 Explicación
Por la regla de exponentes racionales, raíz_n(x^m) = x^(m/n). Para raíz_quinta(x^3), el índice de la raíz es 5 y el exponente es 3, resultando en x^(3/5).
Pregunta 9
Pregunta 9 · D6Bloom: Analyze
En Trinidad, el estudiante Marcela del Colegio Nacional Cobija practica potenciación y radicación de números reales.
Simplifique la expresión ((a^2 b^-3) / (a^-1 b^2))^-2
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)b^10 / a^6
💡 Explicación
Primero simplificamos los términos dentro del paréntesis restando los exponentes de la misma base: a^(2 - (-1)) = a^3, y b^(-3 - 2) = b^(-5). Luego aplicamos el exponente externo -2: (a^3)^-2 = a^(-6) y (b^-5)^-2 = b^10. Así, la expresión simplificada es b^10 * a^(-6) = b^10 / a^6.
B)a^6 / b^10Incorrecto. Se cometió un error con los signos de los exponentes resultantes al aplicar la potencia negativa.
C)a^2 / b^5Incorrecto. No se multiplicaron correctamente los exponentes por el exponente externo -2.
D)b^6 / a^10Incorrecto. Los exponentes de las variables individuales a y b fueron intercambiados de manera errónea.
💡 Explicación
Primero simplificamos los términos dentro del paréntesis restando los exponentes de la misma base: a^(2 - (-1)) = a^3, y b^(-3 - 2) = b^(-5). Luego aplicamos el exponente externo -2: (a^3)^-2 = a^(-6) y (b^-5)^-2 = b^10. Así, la expresión simplificada es b^10 * a^(-6) = b^10 / a^6.
Pregunta 10
Pregunta 10 · D6Bloom: Evaluate
En La Paz, el estudiante Grover del Colegio Nacional Ayacucho practica potenciación y radicación de números reales.
Al racionalizar el denominador de la expresión 6 / raíz(3), ¿cuál es el resultado simplificado?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)2 * raíz(3)
💡 Explicación
Racionalizamos multiplicando numerador y denominador por raíz(3): (6 / raíz(3)) (raíz(3) / raíz(3)) = (6 raíz(3)) / 3. Simplificando la fracción 6/3 obtenemos 2 * raíz(3).
B)6 * raíz(3)Incorrecto. Olvidaste dividir el numerador por el denominador racionalizado (3).
C)raíz(3) / 2Incorrecto. Dividiste la constante de forma inversa al despejar el término racionalizado.
D)3 * raíz(3)Incorrecto. Dividiste 6 entre 2 en lugar de entre 3 al simplificar la fracción final.
💡 Explicación
Racionalizamos multiplicando numerador y denominador por raíz(3): (6 / raíz(3)) (raíz(3) / raíz(3)) = (6 raíz(3)) / 3. Simplificando la fracción 6/3 obtenemos 2 * raíz(3).
Pregunta 11
Pregunta 11 · D8Bloom: Remember
En Santa Cruz, el estudiante Roxana del Colegio Nacional Santa Cruz practica potenciación y radicación de números reales.
¿Cómo se expresa de forma equivalente un exponente negativo de la forma x^-n de acuerdo con el sistema algebraico real?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)1 / x^n
💡 Explicación
Por la definición algebraica de exponentes en el campo real, para cualquier x distinto de cero y n real, x^-n es exactamente equivalente a 1 / x^n.
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)1 / x^n
A)-x^nIncorrecto. El exponente negativo no transforma la base en un número negativo de manera directa.
B)x^(1/n)Incorrecto. La potencia fraccionaria representa radicales, no recíprocos de potencias enteras.
C)-1 / x^nIncorrecto. Agregaste un signo negativo innecesario delante de la fracción recíproca.
D)1 / x^n¡Correcto! Un exponente negativo representa el recíproco de la base elevada al exponente positivo correspondiente.
💡 Explicación
Por la definición algebraica de exponentes en el campo real, para cualquier x distinto de cero y n real, x^-n es exactamente equivalente a 1 / x^n.
Pregunta 12
Pregunta 12 · D8Bloom: Understand
En Cochabamba, el estudiante Jhonny del Colegio Nacional Sucre practica potenciación y radicación de números reales.
Si la resistencia de la pieza estructural depende de la expresión racional (x^(1/2) * x^(3/2)) / x^(2/3), ¿cuál es su expresión equivalente con un solo exponente?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)x^(4/3)
💡 Explicación
Primero simplificamos el numerador sumando los exponentes: 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2. Luego restamos el exponente del denominador: 2 - 2/3 = 4/3. Por lo tanto, la expresión simplificada es x^(4/3).
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)x^(4/3)
A)x^(2/3)Incorrecto. Se restaron mal los exponentes al realizar la división de potencias de bases iguales.
B)x^(4/3)¡Correcto! En el numerador: x^(1/2 + 3/2) = x^2. Dividido por x^(2/3): x^(2 - 2/3) = x^(4/3).
C)x^2Incorrecto. Olvidaste restar el exponente del denominador (2/3) del exponente acumulado del numerador.
D)x^(3/4)Incorrecto. Obtuviste el recíproco de la fracción exponente correcta.
💡 Explicación
Primero simplificamos el numerador sumando los exponentes: 1/2 + 3/2 = 4/2 = 2. Luego restamos el exponente del denominador: 2 - 2/3 = 4/3. Por lo tanto, la expresión simplificada es x^(4/3).
Pregunta 13
Pregunta 13 · D8Bloom: Apply
En El Alto, el estudiante Marisol del Colegio Nacional El Alto practica potenciación y radicación de números reales.
Simplifique la expresión con radicales: raíz_cuadrada(75x^5) / raíz_cuadrada(3x^3)
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)5x
💡 Explicación
Dado que ambas expresiones tienen el mismo índice de raíz (2), podemos combinarlas bajo una única raíz cuadrada: raíz(75x^5 / 3x^3) = raíz(25 * x^(5 - 3)) = raíz(25x^2) = 5x.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)5x
A)25x^2Incorrecto. Olvidaste aplicar la raíz cuadrada a los términos simplificados.
B)5x¡Correcto! Uniendo bajo una sola raíz: raíz(75x^5 / 3x^3) = raíz(25x^2) = 5x (asumiendo x > 0).
C)5x^2Incorrecto. Al dividir los exponentes x^5 / x^3 se obtiene x^2, cuya raíz cuadrada es x, no x^2.
D)15xIncorrecto. Dividiste mal 75 entre 3 o aplicaste una raíz cuadrada errónea.
💡 Explicación
Dado que ambas expresiones tienen el mismo índice de raíz (2), podemos combinarlas bajo una única raíz cuadrada: raíz(75x^5 / 3x^3) = raíz(25 * x^(5 - 3)) = raíz(25x^2) = 5x.
Pregunta 14
Pregunta 14 · D8Bloom: Apply
En Sucre, el estudiante Walter del Colegio Nacional Junín practica potenciación y radicación de números reales.
Simplifique la suma de radicales: 3 raíz(20) - 2 raíz(45) + raíz(5)
En Tarija, el estudiante Sonia del Colegio Nacional Bolivar practica potenciación y radicación de números reales.
Al racionalizar el denominador de la expresión 10 / (raíz(7) - raíz(2)), ¿cuál es el resultado simplificado?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)2 * (raíz(7) + raíz(2))
💡 Explicación
Multiplicamos el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador, la cual es (raíz(7) + raíz(2)): [10 / (raíz(7) - raíz(2))] * [(raíz(7) + raíz(2)) / (raíz(7) + raíz(2))] = [10 * (raíz(7) + raíz(2))] / (raíz(7)^2 - raíz(2)^2) = [10 * (raíz(7) + raíz(2))] / (7 - 2) = [10 (raíz(7) + raíz(2))] / 5 = 2 (raíz(7) + raíz(2)).
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)2 * (raíz(7) + raíz(2))
A)5 * (raíz(7) + raíz(2))Incorrecto. Dividiste 10 entre la diferencia (7 - 2 = 5) de manera errónea obteniendo 5 en lugar de 2.
B)2 * (raíz(7) - raíz(2))Incorrecto. Al racionalizar por resta, el término del numerador debe multiplicarse por el conjugado sumado (raíz(7) + raíz(2)).
C)2 * (raíz(7) + raíz(2))¡Correcto! Multiplicamos por el conjugado (raíz(7) + raíz(2)) tanto arriba como abajo: 10 (raíz(7) + raíz(2)) / (7 - 2) = 10 (raíz(7) + raíz(2)) / 5 = 2 * (raíz(7) + raíz(2)).
D)10 * (raíz(7) + raíz(2))Incorrecto. Olvidaste dividir el numerador por el resultado del denominador racionalizado (5).
💡 Explicación
Multiplicamos el numerador y el denominador por la expresión conjugada del denominador, la cual es (raíz(7) + raíz(2)): [10 / (raíz(7) - raíz(2))] * [(raíz(7) + raíz(2)) / (raíz(7) + raíz(2))] = [10 * (raíz(7) + raíz(2))] / (raíz(7)^2 - raíz(2)^2) = [10 * (raíz(7) + raíz(2))] / (7 - 2) = [10 (raíz(7) + raíz(2))] / 5 = 2 (raíz(7) + raíz(2)).
Pregunta 16
Pregunta 16 · D8Bloom: Evaluate
En Oruro, el estudiante Ramiro del Colegio Nacional Potosí practica potenciación y radicación de números reales.
Si la ecuación de tasa de retorno anual de un capital r se representa como r = (243/32)^(1/5) - 1, ¿cuál es el valor exacto de la tasa de retorno r en forma de número real racional?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)0.50 (o 50%)
💡 Explicación
La tasa de retorno está dada por r = (243/32)^(1/5) - 1. Sabemos que 243 = 3^5 y 32 = 2^5. Por ende, (243/32)^(1/5) = 3/2 = 1.5. Al restar 1, r = 1.5 - 1 = 0.50.
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)0.50 (o 50%)
A)0.20 (o 20%)Incorrecto. La raíz quinta de 243/32 no es 1.2; revisa las potencias quintas de los números enteros básicos.
B)0.75 (o 75%)Incorrecto. Realizaste un cálculo de raíces o resta incorrecto en el paso final.
C)0.50 (o 50%)¡Correcto! La raíz quinta de (243/32) es raíz_quinta(243) / raíz_quinta(32) = 3 / 2 = 1.5. Entonces, r = 1.5 - 1 = 0.50.
D)0.33 (o 33%)Incorrecto. Se calculó de manera equivocada la raíz de las potencias de base 2 y base 3.
💡 Explicación
La tasa de retorno está dada por r = (243/32)^(1/5) - 1. Sabemos que 243 = 3^5 y 32 = 2^5. Por ende, (243/32)^(1/5) = 3/2 = 1.5. Al restar 1, r = 1.5 - 1 = 0.50.
Pregunta 17
Pregunta 17 · D10Bloom: Apply
En Potosí, el estudiante Yolanda del Colegio Nacional San Luis practica potenciación y radicación de números reales.
Si la energía liberada se comporta según la expresión algebraica (x^(3/2) * raíz_cúbica(x)) / raíz_sexta(x), ¿cuál es su forma simplificada final?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)x^(5/3)
💡 Explicación
Escribimos todos los radicales en forma de exponentes racionales: [x^(3/2) * x^(1/3)] / x^(1/6) Sumamos los exponentes del numerador: 3/2 + 1/3 = 9/6 + 2/6 = 11/6. Restamos el exponente del denominador: 11/6 - 1/6 = 10/6 = 5/3. Por ende, la expresión final es x^(5/3).
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)x^(5/3)
A)x^(5/3)¡Correcto! En exponentes fraccionarios: x^(3/2) * x^(1/3) / x^(1/6). Sumamos en el numerador: 3/2 + 1/3 = 9/6 + 2/6 = 11/6. Restamos el denominador: 11/6 - 1/6 = 10/6 = 5/3. El resultado es x^(5/3).
B)x^(3/2)Incorrecto. Se omitieron o calcularon incorrectamente los exponentes de las raíces cúbica o sexta.
C)x^2Incorrecto. Al realizar la operación fraccionaria de los exponentes se obtuvo un valor entero incorrecto.
D)x^(7/6)Incorrecto. Se cometió un error al sumar o restar las fracciones con distinto denominador.
💡 Explicación
Escribimos todos los radicales en forma de exponentes racionales: [x^(3/2) * x^(1/3)] / x^(1/6) Sumamos los exponentes del numerador: 3/2 + 1/3 = 9/6 + 2/6 = 11/6. Restamos el exponente del denominador: 11/6 - 1/6 = 10/6 = 5/3. Por ende, la expresión final es x^(5/3).
Pregunta 18
Pregunta 18 · D10Bloom: Analyze
En Cobija, el estudiante Jaime del Colegio Nacional Trinidad practica potenciación y radicación de números reales.
Si la variable de estabilidad y se define como la raíz de (x + raíz(x^2 - 1)) multiplicada por la raíz de (x - raíz(x^2 - 1)) para x >= 1, ¿cuál es el valor simplificado de y?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)1
💡 Explicación
Dado que ambas expresiones tienen raíz cuadrada, podemos multiplicarlas bajo un mismo radical. Esto genera un producto de binomios conjugados de la forma (A + B)(A - B) = A^2 - B^2: raíz[ (x + raíz(x^2 - 1)) * (x - raíz(x^2 - 1)) ] = raíz[ x^2 - (raíz(x^2 - 1))^2 ] = raíz[ x^2 - (x^2 - 1) ] = raíz[ x^2 - x^2 + 1 ] = raíz(1) = 1.
B)xIncorrecto. El producto de binomios conjugados simplifica las x resultando en una constante pura, no en variables.
C)raíz(2x^2 - 1)Incorrecto. Sumaste los términos en lugar de aplicar la diferencia de cuadrados en el producto de binomios conjugados.
D)raíz(x^2 - 1)Incorrecto. Cometiste un error al distribuir los términos bajo el signo radical común.
💡 Explicación
Dado que ambas expresiones tienen raíz cuadrada, podemos multiplicarlas bajo un mismo radical. Esto genera un producto de binomios conjugados de la forma (A + B)(A - B) = A^2 - B^2: raíz[ (x + raíz(x^2 - 1)) * (x - raíz(x^2 - 1)) ] = raíz[ x^2 - (raíz(x^2 - 1))^2 ] = raíz[ x^2 - (x^2 - 1) ] = raíz[ x^2 - x^2 + 1 ] = raíz(1) = 1.
Pregunta 19
Pregunta 19 · D10Bloom: Evaluate
En Trinidad, el estudiante Marcela del Colegio Nacional Cobija practica potenciación y radicación de números reales.
Si x es un número real positivo tal que la torre de potencias infinitas x^(x^(x^...)) converge exactamente al valor real 2, ¿cuál es el valor numérico exacto de x?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)raíz_cuadrada(2)
💡 Explicación
Sea y = x^(x^(x^...)) = 2. Podemos sustituir la parte infinita superior por la misma variable y, ya que es idéntica por recursión infinita: x^y = 2 Sustituyendo y = 2: x^2 = 2 \implies x = raíz(2) (ya que x es positivo).
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)raíz_cuadrada(2)
A)2Incorrecto. Si x fuera 2, la torre infinita 2^(2^(2^...)) diverge al infinito, por lo que no puede converger a 2.
B)raíz_cúbica(2)Incorrecto. Esto implicaría que la torre converge a 3 en lugar de a 2 de acuerdo con el análisis de límites anidados.
C)1Incorrecto. Si x fuera 1, la torre de potencias sería 1^(1^(1^...)) que es igual a 1, no a 2.
D)raíz_cuadrada(2)¡Correcto! Si la torre infinita es igual a 2, entonces el exponente de la base inferior también es igual a 2, es decir, x^2 = 2. Como x > 0, se concluye que x = raíz_cuadrada(2).
💡 Explicación
Sea y = x^(x^(x^...)) = 2. Podemos sustituir la parte infinita superior por la misma variable y, ya que es idéntica por recursión infinita: x^y = 2 Sustituyendo y = 2: x^2 = 2 \implies x = raíz(2) (ya que x es positivo).
Pregunta 20
Pregunta 20 · D10Bloom: Evaluate
En La Paz, el estudiante Grover del Colegio Nacional Ayacucho practica potenciación y radicación de números reales.
¿Cuál es la premisa lógica fundamental de la demostración clásica por contradicción (reducción al absurdo) de que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)Se asume que raíz(2) se puede escribir como una fracción irreducible p/q con p y q enteros coprimos, y se demuestra que ambos deben ser pares.
💡 Explicación
La demostración clásica de la irracionalidad de raíz(2) comienza suponiendo por contradicción que raíz(2) = p/q, donde p/q es una fracción de enteros irreducible (p y q coprimos). Al elevar al cuadrado y despejar, se concluye que p^2 es par, luego p es par. Esto implica que q^2 también es par, y por ende q es par. Que ambos sean pares contradice el hecho de que la fracción p/q es irreducible (coprimos), lo cual demuestra que raíz(2) es irracional.
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)Se asume que raíz(2) se puede escribir como una fracción irreducible p/q con p y q enteros coprimos, y se demuestra que ambos deben ser pares.
A)Se asume que raíz(2) se puede escribir como una fracción irreducible p/q con p y q enteros coprimos, y se demuestra que ambos deben ser pares.¡Correcto! Al demostrar que tanto p como q son pares, se contradice la hipótesis de que la fracción p/q era irreducible, probando que no existe tal representación racional.
B)Se asume que raíz(2) es igual a cero y se busca un contraejemplo algebraico directo en la recta real.Incorrecto. Asumir que raíz(2) es cero no conduce a demostrar la irracionalidad del número.
C)Se demuestra que la sucesión de decimales de raíz(2) es periódica mixta de período infinito.Incorrecto. Las sucesiones con períodos infinitos no definen irracionalidad y no son la base de la demostración formal por reducción al absurdo.
D)Se asume que la raíz de 2 es un número entero negativo y se aplica inducción matemática completa.Incorrecto. La inducción matemática o el supuesto de que es entero negativo no son parte del argumento lógico de la demostración clásica.
💡 Explicación
La demostración clásica de la irracionalidad de raíz(2) comienza suponiendo por contradicción que raíz(2) = p/q, donde p/q es una fracción de enteros irreducible (p y q coprimos). Al elevar al cuadrado y despejar, se concluye que p^2 es par, luego p es par. Esto implica que q^2 también es par, y por ende q es par. Que ambos sean pares contradice el hecho de que la fracción p/q es irreducible (coprimos), lo cual demuestra que raíz(2) es irracional.
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