En la clase del Colegio Nacional Santa Cruz de Santa Cruz, el estudiante Roxana investiga las propiedades de los logaritmos.
¿Cuál es la definición formal de logaritmo de un número positivo y en base b (b > 0, b != 1)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)log_b(x) = y si y solo si b^y = x
💡 Explicación
Por definición formal, el logaritmo en base b de un número positivo x es el exponente y al cual se debe elevar la base b para obtener el número x: log_b(x) = y <=> b^y = x.
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)log_b(x) = y si y solo si b^y = x
A)log_b(x) = y si y solo si x^y = bIncorrecto. Invertiste los roles de la base y el exponente.
B)log_b(x) = y si y solo si b * y = xIncorrecto. Confundiste la potenciación con la multiplicación lineal.
C)log_b(x) = y si y solo si b^y = x¡Correcto! El logaritmo es el exponente al que se debe elevar la base b para obtener el número x.
D)log_b(x) = y si y solo si y^b = xIncorrecto. Invertiste la base de la potencia con la variable resultante.
💡 Explicación
Por definición formal, el logaritmo en base b de un número positivo x es el exponente y al cual se debe elevar la base b para obtener el número x: log_b(x) = y <=> b^y = x.
Pregunta 2
Pregunta 2 · D4Bloom: Understand
En la clase del Colegio Nacional Sucre de Cochabamba, el estudiante Jhonny investiga las propiedades de los logaritmos.
De acuerdo con las propiedades de los logaritmos, ¿a qué es equivalente el logaritmo de un producto log_b(x * y)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)log_b(x) + log_b(y)
💡 Explicación
La propiedad del producto de los logaritmos enuncia que log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y).
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)log_b(x) + log_b(y)
A)log_b(x) + log_b(y)¡Correcto! El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores de manera individual.
B)log_b(x) * log_b(y)Incorrecto. El logaritmo de un producto no es igual al producto de los logaritmos individuales.
C)log_b(x + y)Incorrecto. El logaritmo de una suma no se puede simplificar directamente de esta manera.
D)log_b(x) - log_b(y)Incorrecto. La resta de logaritmos corresponde al logaritmo de un cociente, no de un producto.
💡 Explicación
La propiedad del producto de los logaritmos enuncia que log_b(x * y) = log_b(x) + log_b(y).
Pregunta 3
Pregunta 3 · D4Bloom: Understand
En la clase del Colegio Nacional El Alto de El Alto, el estudiante Marisol investiga las propiedades de los logaritmos.
De acuerdo con las propiedades de los logaritmos, ¿a qué es equivalente el logaritmo de una potencia log_b(x^k)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)k * log_b(x)
💡 Explicación
La propiedad de la potencia de logaritmos establece que el exponente del argumento sale multiplicando al logaritmo: log_b(x^k) = k * log_b(x).
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)k * log_b(x)
A)log_b(x) / kIncorrecto. El exponente multiplica al logaritmo, no lo divide.
B)k * log_b(x)¡Correcto! El exponente de la potencia dentro del logaritmo pasa a multiplicar delante de la expresión.
C)log_b(k * x)Incorrecto. El exponente no multiplica al argumento de forma directa dentro de la función logarítmica.
D)(log_b(x))^kIncorrecto. Elevar todo el logaritmo a la potencia k es una operación completamente distinta.
💡 Explicación
La propiedad de la potencia de logaritmos establece que el exponente del argumento sale multiplicando al logaritmo: log_b(x^k) = k * log_b(x).
Pregunta 4
Pregunta 4 · D4Bloom: Apply
En la clase del Colegio Nacional Junín de Sucre, el estudiante Walter investiga las propiedades de los logaritmos.
Si necesitamos cambiar de base la expresión log_2(x) a base de logaritmo natural ln (base e), ¿cuál es la expresión correcta?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)ln(x) / ln(2)
💡 Explicación
La fórmula universal para el cambio de base es log_a(b) = log_c(b) / log_c(a). Sustituyendo a = 2, b = x y c = e, obtenemos log_2(x) = ln(x) / ln(2).
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)ln(x) / ln(2)
A)ln(x) / ln(2)¡Correcto! La fórmula de cambio de base establece que log_a(x) = log_c(x) / log_c(a). En base natural, esto se traduce en ln(x) / ln(2).
B)ln(2) / ln(x)Incorrecto. Invertiste el numerador y el denominador en la fórmula de cambio de base.
C)ln(x) * ln(2)Incorrecto. El cambio de base involucra una división, no un producto de logaritmos.
D)ln(x - 2)Incorrecto. Aplicaste una operación de resta que no tiene relación con el cambio de base.
💡 Explicación
La fórmula universal para el cambio de base es log_a(b) = log_c(b) / log_c(a). Sustituyendo a = 2, b = x y c = e, obtenemos log_2(x) = ln(x) / ln(2).
Pregunta 5
Pregunta 5 · D6Bloom: Understand
En la clase del Colegio Nacional Bolivar de Tarija, el estudiante Sonia investiga las propiedades de los logaritmos.
Si se sabe que log_10(2) es aproximadamente 0.301, ¿cuál es el valor aproximado de log_10(8)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)0.903
💡 Explicación
Expresamos 8 como potencia de 2: 8 = 2^3. Aplicando la propiedad de la potencia: log_10(8) = log_10(2^3) = 3 log_10(2) = 3 0.301 = 0.903.
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)0.903
A)0.602Incorrecto. Este sería el valor de log_10(4), es decir, multiplicando por 2 en lugar de por 3.
B)1.204Incorrecto. Esto representaría multiplicar por 4, lo cual no corresponde con 8 = 2^3.
C)0.903¡Correcto! Como 8 = 2^3, entonces log_10(8) = log_10(2^3) = 3 log_10(2) = 3 0.301 = 0.903.
D)0.100Incorrecto. Dividiste en lugar de multiplicar por el exponente 3.
💡 Explicación
Expresamos 8 como potencia de 2: 8 = 2^3. Aplicando la propiedad de la potencia: log_10(8) = log_10(2^3) = 3 log_10(2) = 3 0.301 = 0.903.
Pregunta 6
Pregunta 6 · D6Bloom: Apply
En la clase del Colegio Nacional Potosí de Oruro, el estudiante Ramiro investiga las propiedades de los logaritmos.
Resuelva la ecuación logarítmica: log_2(x) + log_2(x - 2) = 3. ¿Cuál es la única solución real de x?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)4
💡 Explicación
Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos log_2(x(x-2)) = 3. Esto da la ecuación de segundo grado que resolvemos verificando que el dominio requiera x > 2.
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)4
A)-2Incorrecto. Produce argumentos negativos en el logaritmo original, por lo que es inválida.
B)2Incorrecto. Si x = 2, log_2(x-2) = log_2(0), que no está definido en reales.
C)8Incorrecto. No satisface la igualdad al sustituirla en los logaritmos.
D)4¡Correcto! Se resuelve aplicando propiedades y verificando argumentos positivos.
💡 Explicación
Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos log_2(x(x-2)) = 3. Esto da la ecuación de segundo grado que resolvemos verificando que el dominio requiera x > 2.
Pregunta 7
Pregunta 7 · D6Bloom: Analyze
En la clase del Colegio Nacional San Luis de Potosí, el estudiante Yolanda investiga las propiedades de los logaritmos.
Resuelva la ecuación logarítmica: log_2(x) + log_2(x - 2) = 4. ¿Cuál es la única solución real de x?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)4.12
💡 Explicación
Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos log_2(x(x-2)) = 4. Esto da la ecuación de segundo grado que resolvemos verificando que el dominio requiera x > 2.
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)4.12
A)-2Incorrecto. Produce argumentos negativos en el logaritmo original, por lo que es inválida.
B)2Incorrecto. Si x = 2, log_2(x-2) = log_2(0), que no está definido en reales.
C)8Incorrecto. No satisface la igualdad al sustituirla en los logaritmos.
D)4.12¡Correcto! Se resuelve aplicando propiedades y verificando argumentos positivos.
💡 Explicación
Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos log_2(x(x-2)) = 4. Esto da la ecuación de segundo grado que resolvemos verificando que el dominio requiera x > 2.
Pregunta 8
Pregunta 8 · D6Bloom: Apply
En la clase del Colegio Nacional Trinidad de Cobija, el estudiante Jaime investiga las propiedades de los logaritmos.
Resuelva la ecuación logarítmica: log_3(x) - log_3(x - 7) = 1. ¿Cuál es la única solución real de x?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)10,5
💡 Explicación
Como los dos logaritmos comparten la base 3, se aplica la propiedad del cociente: log_3(x) - log_3(x - 7) = log_3(x/(x-7)) = 1, de donde x/(x-7) = 3. Despejando, x = 3(x-7) = 3x - 21, luego 2x = 21 y x = 10,5. El dominio impone x - 7 > 0, es decir x > 7, y la raíz obtenida cumple esa condición mientras que cualquier valor menor queda fuera del dominio.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)10,5
A)7Con x = 7 el segundo logaritmo sería log_3(0), y el logaritmo de cero no existe en los reales.
B)10,5Aplicando la propiedad del cociente se tiene x/(x-7) = 3, es decir x = 3(x-7) = 3x - 21, de donde 2x = 21 y x = 10,5.
C)3Con x = 3 el argumento x - 7 vale -4, que es negativo y por tanto no admite logaritmo real.
D)14Con x = 14 el cociente de los argumentos es 14/7 = 2, y log_3(2) vale cerca de 0,63, no 1.
💡 Explicación
Como los dos logaritmos comparten la base 3, se aplica la propiedad del cociente: log_3(x) - log_3(x - 7) = log_3(x/(x-7)) = 1, de donde x/(x-7) = 3. Despejando, x = 3(x-7) = 3x - 21, luego 2x = 21 y x = 10,5. El dominio impone x - 7 > 0, es decir x > 7, y la raíz obtenida cumple esa condición mientras que cualquier valor menor queda fuera del dominio.
Pregunta 9
Pregunta 9 · D6Bloom: Analyze
En la clase del Colegio Nacional Cobija de Trinidad, el estudiante Marcela investiga las propiedades de los logaritmos.
Si log_2(9) + log_2(2) = log_2(x), ¿cuál es el valor de x?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)18
💡 Explicación
La propiedad del producto establece que log_b(m) + log_b(n) = log_b(m · n) cuando ambas bases coinciden. Aplicándola con base 2: log_2(9) + log_2(2) = log_2(9 · 2) = log_2(18). Al igualar con log_2(x) y usar la inyectividad del logaritmo en su base, se obtiene x = 18.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)18
A)11Aquí se suman los argumentos 9 + 2 = 11, pero la suma de logaritmos es un logaritmo de un producto, no de una suma.
B)18Al tener la misma base, log_2(9) + log_2(2) = log_2(9 · 2) = log_2(18), de modo que x = 18.
C)36Multiplicar 9 · 2 · 2 = 36 correspondería a log_2(9) + log_2(2) + log_2(2), un logaritmo más del que hay.
D)9Dejar solo el primer argumento hace que se pierda el factor 2, que es precisamente el que falta para llegar a 18.
💡 Explicación
La propiedad del producto establece que log_b(m) + log_b(n) = log_b(m · n) cuando ambas bases coinciden. Aplicándola con base 2: log_2(9) + log_2(2) = log_2(9 · 2) = log_2(18). Al igualar con log_2(x) y usar la inyectividad del logaritmo en su base, se obtiene x = 18.
Pregunta 10
Pregunta 10 · D6Bloom: Apply
En la clase del Colegio Nacional Ayacucho de La Paz, el estudiante Grover investiga las propiedades de los logaritmos.
¿Cuál es el valor exacto de log_2(1/8)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)-3
💡 Explicación
Como 8 = 2^3, el recíproco 1/8 es igual a 2 elevado a -3. El logaritmo es exactamente ese exponente: log_2(2^-3) = -3. La regla práctica es que dividir entre una potencia de la base equivale a restar exponentes, por eso el resultado es negativo aunque el argumento siga siendo positivo.
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)-3
A)3Ese es log_2(8); pasar de 8 a su recíproco invierte el signo del exponente.
B)8Estás devolviendo el argumento en lugar del exponente al que hay que elevar 2 para llegar a él.
C)-8El signo negativo es correcto, pero el exponente es 3 y no 8, porque 2^3 = 8.
D)-3Como 1/8 es el recíproco de 8 y 8 = 2^3, tenemos 1/8 = 2^-3, así que el logaritmo vale -3.
💡 Explicación
Como 8 = 2^3, el recíproco 1/8 es igual a 2 elevado a -3. El logaritmo es exactamente ese exponente: log_2(2^-3) = -3. La regla práctica es que dividir entre una potencia de la base equivale a restar exponentes, por eso el resultado es negativo aunque el argumento siga siendo positivo.
Pregunta 11
Pregunta 11 · D8Bloom: Analyze
En la clase del Colegio Nacional Santa Cruz de Santa Cruz, el estudiante Roxana investiga las propiedades de los logaritmos.
Resuelva la ecuación logarítmica: log_2(x + 6) - log_2(x) = 2. ¿Cuál es la solución real que cumple el dominio?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)2
💡 Explicación
Aplicamos la propiedad del cociente: log_2(x + 6) - log_2(x) = log_2((x + 6)/x) = 2, de donde (x + 6)/x = 2^2 = 4. Multiplicando por x resulta x + 6 = 4x, es decir 3x = 6 y x = 2. El dominio exige x + 6 > 0 y x > 0, condiciones que la solución cumple; cualquier valor negativo queda automáticamente descartado.
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)2
A)6Con x = 6 el cociente (x + 6)/x vale 12/6 = 2, y log_2(2) es 1, no 2.
B)8Con x = 8 el cociente es 14/8 = 1,75, cuyo logaritmo en base 2 da cerca de 0,807, muy lejos de 2.
C)2La condición es (x + 6)/x = 2^2 = 4, de donde x + 6 = 4x y x = 2; se verifica log_2(8) - log_2(2) = 3 - 1 = 2.
D)-2El valor negativo queda fuera del dominio, porque log_2(x) exige x estrictamente positivo.
💡 Explicación
Aplicamos la propiedad del cociente: log_2(x + 6) - log_2(x) = log_2((x + 6)/x) = 2, de donde (x + 6)/x = 2^2 = 4. Multiplicando por x resulta x + 6 = 4x, es decir 3x = 6 y x = 2. El dominio exige x + 6 > 0 y x > 0, condiciones que la solución cumple; cualquier valor negativo queda automáticamente descartado.
Pregunta 12
Pregunta 12 · D8Bloom: Apply
En la clase del Colegio Nacional Sucre de Cochabamba, el estudiante Jhonny investiga las propiedades de los logaritmos.
Si log_b(27) = 3 y log_b(9) = 2, ¿cuál es el valor de la base b?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)3
💡 Explicación
La igualdad log_b(27) = 3 equivale, por definición, a b^3 = 27. La única base positiva distinta de 1 que cumple eso es b = 3. La segunda igualdad sirve de verificación: con b = 3, log_3(9) = 2 porque 3^2 = 9. Ambas condiciones son coherentes y determinan una única base válida.
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)3
A)3Con b = 3 se cumple 3^3 = 27 y 3^2 = 9, de modo que ambos logaritmos dan exactamente los valores indicados.
B)9Con b = 9, log_9(9) = 1, así que la segunda igualdad no puede dar 2.
C)27Con b = 27 el logaritmo de 27 es 1 y el de 9 no es entero, porque 27^1 = 27 y 27^2 = 729.
D)2Con b = 2 se obtiene log_2(27), que no es entero, así que no reproduce los datos del enunciado.
💡 Explicación
La igualdad log_b(27) = 3 equivale, por definición, a b^3 = 27. La única base positiva distinta de 1 que cumple eso es b = 3. La segunda igualdad sirve de verificación: con b = 3, log_3(9) = 2 porque 3^2 = 9. Ambas condiciones son coherentes y determinan una única base válida.
Pregunta 13
Pregunta 13 · D8Bloom: Analyze
En la clase del Colegio Nacional El Alto de El Alto, el estudiante Marisol investiga las propiedades de los logaritmos.
¿Cuál es el rango (imagen) de la función f(x) = log_3(x + 5)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)Todos los números reales
💡 Explicación
El dominio de f queda definido por x + 5 > 0, es decir x > -5, así que la función existe sobre todo el intervalo (-5, +infinito). En cambio el rango no tiene cotas: dado cualquier numero real k, basta tomar x = 3^k - 5, que es mayor que -5, y entonces f(x) = k. Por eso la imagen de la funcion logaritmica es todo R.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)Todos los números reales
A)(5, +infinito)Ese es el conjunto de valores que puede tomar x + 5, es decir el dominio de la función, no su rango.
B)Todos los números realesEl logaritmo en base 3 toma todos los valores reales: para cualquier k existe x = 3^k - 5, que es mayor que -5 y pertenece al dominio.
C)(-5, +infinito)Ese es el dominio de f, porque x + 5 > 0 impone x > -5; el rango no tiene esa restricción.
D)[0, +infinito)Los logaritmos pueden ser negativos: log_3(1/3) = -1, de modo que el rango no arranca en cero.
💡 Explicación
El dominio de f queda definido por x + 5 > 0, es decir x > -5, así que la función existe sobre todo el intervalo (-5, +infinito). En cambio el rango no tiene cotas: dado cualquier numero real k, basta tomar x = 3^k - 5, que es mayor que -5, y entonces f(x) = k. Por eso la imagen de la funcion logaritmica es todo R.
Pregunta 14
Pregunta 14 · D8Bloom: Apply
En la clase del Colegio Nacional Junín de Sucre, el estudiante Walter investiga las propiedades de los logaritmos.
Resuelva la ecuación logarítmica: log_5(x) - log_5(x + 12) = -1. ¿Cuál es la solución real?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: D)3
💡 Explicación
Por la propiedad del cociente, log_5(x) - log_5(x + 12) = log_5(x/(x + 12)) = -1. Por tanto x/(x + 12) = 5^-1 = 1/5. De la igualdad 5x = x + 12 se obtiene 4x = 12 y x = 3. La comprobación directa confirma que log_5(3) - log_5(15) = log_5(3/15) = log_5(1/5) = -1.
Ver respuesta
Respuesta correcta: D)3
A)12Con x = 12 el cociente es 12/24 = 0,5 y log_5(0,5) vale cerca de -0,43, no -1.
B)-3Un valor negativo queda fuera del dominio, porque el argumento x de log_5(x) debe ser positivo.
C)15Con x = 15 el cociente es 15/27 = 0,555..., cuyo logaritmo en base 5 no llega a -1.
D)3Con x = 3 se cumple log_5(3) - log_5(15) = log_5(1/5) = -1, que es exactamente el lado derecho.
💡 Explicación
Por la propiedad del cociente, log_5(x) - log_5(x + 12) = log_5(x/(x + 12)) = -1. Por tanto x/(x + 12) = 5^-1 = 1/5. De la igualdad 5x = x + 12 se obtiene 4x = 12 y x = 3. La comprobación directa confirma que log_5(3) - log_5(15) = log_5(3/15) = log_5(1/5) = -1.
Pregunta 15
Pregunta 15 · D8Bloom: Analyze
En la clase del Colegio Nacional Bolivar de Tarija, el estudiante Sonia investiga las propiedades de los logaritmos.
Simplifique la expresión log_2(48) - log_2(3) usando las propiedades de los logaritmos.
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)4
💡 Explicación
La diferencia de dos logaritmos de la misma base equivale al logaritmo del cociente de sus argumentos: log_2(48) - log_2(3) = log_2(48/3) = log_2(16). Como 16 = 2^4, el logaritmo en base 2 vale 4. Es más rápido reconocer el cociente y luego expresar 16 como potencia de la base que buscar decimales.
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)4
A)16El cociente 48/3 = 16 es el argumento del logaritmo, no su valor; 16 es el número al que hay que tomar logaritmo.
B)1log_2(1) vale 0, y aquí no se está restando logaritmos de argumentos iguales.
C)4Como 48/3 = 16 y 16 = 2^4, la diferencia de logaritmos vale log_2(16) = 4.
D)22 sería log_2(4), es decir el logaritmo de la mitad del cociente; aquí el cociente completo es 16.
💡 Explicación
La diferencia de dos logaritmos de la misma base equivale al logaritmo del cociente de sus argumentos: log_2(48) - log_2(3) = log_2(48/3) = log_2(16). Como 16 = 2^4, el logaritmo en base 2 vale 4. Es más rápido reconocer el cociente y luego expresar 16 como potencia de la base que buscar decimales.
Pregunta 16
Pregunta 16 · D8Bloom: Apply
En la clase del Colegio Nacional Potosí de Oruro, el estudiante Ramiro investiga las propiedades de los logaritmos.
¿Cuál es el dominio de la función f(x) = log_2(x - 2)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)x > 2
💡 Explicación
Una función logarítmica exige que su argumento sea estrictamente positivo. Como el argumento es x-2, se impone x-2>0, es decir x>2, y el dominio es el intervalo (2, infinito). Para x=2 el argumento vale 0 y log(0) tampoco existe.
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)x > 2
A)x > 2El argumento del logaritmo es x-2 y debe ser positivo: x-2>0 equivale a x>2. Ese es el dominio.
B)x > 0x>0 asegura que el número sea positivo, pero el argumento aquí es x-2 y no x; con x=1 el logaritmo de -1 no existe.
C)x < 2Si x<2 entonces x-2 es negativo, y el logaritmo de un número negativo no está definido en los reales.
D)Todos los números realesLa función logarítmica solo está definida donde el argumento es positivo, así que no puede abarcar todo R.
💡 Explicación
Una función logarítmica exige que su argumento sea estrictamente positivo. Como el argumento es x-2, se impone x-2>0, es decir x>2, y el dominio es el intervalo (2, infinito). Para x=2 el argumento vale 0 y log(0) tampoco existe.
Pregunta 17
Pregunta 17 · D10Bloom: Analyze
En la clase del Colegio Nacional San Luis de Potosí, el estudiante Yolanda investiga las propiedades de los logaritmos.
Si log_2(x) + log_2(x - 2) = 3, ¿cuál es el valor de x?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: B)x = 4
💡 Explicación
Como los dos logaritmos tienen la misma base, log_2(x(x-2))=3, de donde x(x-2)=8 y x^2-2x-8=0. Las raíces son x=4 y x=-2; se descarta x=-2 porque x-2 sería negativo y el logaritmo no existiría en los reales.
Ver respuesta
Respuesta correcta: B)x = 4
A)x = 3Al sustituir x=3 se obtiene log_2(3)+log_2(1)=1,58+0=1,58, que no es 3.
B)x = 4Con x=4 se cumple log_2(4)+log_2(2)=2+1=3. Es la única solución válida.
C)x = 6Con x=6 el resultado es log_2(6)+log_2(4)=2,58+2=4,58, distinto de 3.
D)x = 10Con x=10 se obtiene log_2(10)+log_2(8)=3,32+3=6,32, muy por encima de 3.
💡 Explicación
Como los dos logaritmos tienen la misma base, log_2(x(x-2))=3, de donde x(x-2)=8 y x^2-2x-8=0. Las raíces son x=4 y x=-2; se descarta x=-2 porque x-2 sería negativo y el logaritmo no existiría en los reales.
Pregunta 18
Pregunta 18 · D10Bloom: Apply
En la clase del Colegio Nacional Trinidad de Cobija, el estudiante Jaime investiga las propiedades de los logaritmos.
¿Qué valor debe tener b para que log_b(16) = 4?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)b = 2
💡 Explicación
La definición log_b(16)=4 equivale a b^4=16. Como 2^4=16, la única base válida es b=2. Se descartan b=1 (no es una base válida) y las bases negativas, que no están definidas.
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)b = 2
A)b = 2Con b=2, log_2(16)=4, así que b=2 efectivamente sirve.
B)b = 4Con b=4, log_4(16)=2, porque 4^2=16; el resultado es 2 y no 4.
C)b = 8Con b=8, log_8(16) no es un entero, pues 8^1=8 y 8^2=64 dejan a 16 entre medio.
D)b = 16Con b=16, log_16(16)=1, ya que la base elevada a 1 es la propia base.
💡 Explicación
La definición log_b(16)=4 equivale a b^4=16. Como 2^4=16, la única base válida es b=2. Se descartan b=1 (no es una base válida) y las bases negativas, que no están definidas.
Pregunta 19
Pregunta 19 · D10Bloom: Analyze
En la clase del Colegio Nacional Cobija de Trinidad, el estudiante Marcela investiga las propiedades de los logaritmos.
Si log_3(5) ≈ 1,465, ¿cuánto vale log_3(125)?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: C)Aproximadamente 4,395
💡 Explicación
Dado que 125=5^3, se aplica la propiedad de la potencia: log_3(125)=log_3(5^3)=3·log_3(5)=3·1,465=4,395. El exponente de la potencia multiplica al logaritmo, y por eso el resultado triplica el valor de partida.
Ver respuesta
Respuesta correcta: C)Aproximadamente 4,395
A)Aproximadamente 1,465Ese es solo log_3(5); como 125=5^3 hay que multiplicar el logaritmo por 3, no dejarlo igual.
B)Aproximadamente 2,930Si el exponente fuera 2 estaríamos calculando log_3(25)=log_3(5^2), pero 125=5^3 y exige multiplicar por tres.
C)Aproximadamente 4,395Como 125=5^3, log_3(125)=3·log_3(5)=3·1,465=4,395. Es el resultado correcto.
D)Aproximadamente 12,845Sumar 2,93 corresponde a log_3(5)+2, que no es una potencia de 5 ni de 3 y no simplify nada.
💡 Explicación
Dado que 125=5^3, se aplica la propiedad de la potencia: log_3(125)=log_3(5^3)=3·log_3(5)=3·1,465=4,395. El exponente de la potencia multiplica al logaritmo, y por eso el resultado triplica el valor de partida.
Pregunta 20
Pregunta 20 · D10Bloom: Apply
En la clase del Colegio Nacional Ayacucho de La Paz, el estudiante Grover investiga las propiedades de los logaritmos.
¿Cuál de las igualdades es verdadera para todo x > 0?
Elige una opción para comprobar tu respuesta.
Respuesta correcta: A)log_2(x^2) = 2 · log_2(x)
💡 Explicación
La propiedad de la potencia establece que log_b(x^n)=n·log_b(x). Aplicada con base 2 y exponente 2, da log_2(x^2)=2·log_2(x), válida para todo x>0.
Ver respuesta
Respuesta correcta: A)log_2(x^2) = 2 · log_2(x)
A)log_2(x^2) = 2 · log_2(x)Correcto: el exponente multiplica al logaritmo, por eso log_2(x^2)=2·log_2(x).
B)log_2(x^2) = (log_2(x))^2Elevar todo el logaritmo al cuadrado es una operación distinta: para x=4 da 4 en lugar de 4·2.
C)log_2(x^2) = log_2(2x)log_2(2x)=1+log_2(x), que no coincide con 2·log_2(x) salvo en casos particulares.
D)log_2(x^2) = log_2(2) · xEl exponente actúa sobre el logaritmo y no sobre x; además log_2(2)=1 reduciría la expresión a x.
💡 Explicación
La propiedad de la potencia establece que log_b(x^n)=n·log_b(x). Aplicada con base 2 y exponente 2, da log_2(x^2)=2·log_2(x), válida para todo x>0.
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