Tema W12 — Matematicas Grado 11, Bolivia

Bloom: Remember

En Santa Cruz, Jhonny en el Colegio Nacional Santa Cruz analiza el ejercicio #1: calcula la distancia entre A(1, 2) y B(4, 6) en el plano cartesiano.

¿Cuál es la distancia d entre los puntos A y B?

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Respuesta correcta: B) d = 5 unidades

A) d = 7 unidadesIncorrecto. Sumaste las diferencias horizontales y verticales sin aplicar el Teorema de Pitágoras.
B) d = 5 unidades¡Correcto! d = √[(4-1)² + (6-2)²] = √[3² + 4²] = √[9 + 16] = √25 = 5.
C) d = √14 unidadesIncorrecto. Restaste los cuadrados de las coordenadas.
D) d = 25 unidadesIncorrecto. Olvidaste extraer la raíz cuadrada al resultado.

💡 Explicación

La fórmula de distancia entre dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂) es d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]. Para A(1, 2) y B(4, 6): d = √[3² + 4²] = 5 unidades.

Bloom: Remember

En Cochabamba, Marisol en el Colegio Nacional Sucre analiza el ejercicio #2: determina la pendiente m de la recta que pasa por P₁(2, 5) y P₂(6, 13).

¿Cuál es el valor numérico de la pendiente m?

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Respuesta correcta: C) m = 2

A) m = 1/2Incorrecto. Invertiste la fórmula dividiendo la variación horizontal entre la vertical.
B) m = 4Incorrecto. Restaste las coordenadas sin aplicar el cociente correcto.
C) m = 2¡Correcto! m = (13 - 5) / (6 - 2) = 8 / 4 = 2.
D) m = -2Incorrecto. Cometiste un error de signo al restar las ordenadas.

💡 Explicación

La pendiente m se calcula como m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). Sustituyendo P₁(2, 5) y P₂(6, 13): m = (13 - 5) / (6 - 2) = 8 / 4 = 2.

Bloom: Understand

En Sucre, Walter en el Colegio Nacional Junín analiza el ejercicio #3: escribe la ecuación explícita y = mx + b con pendiente m = -3 que pasa por (0, 7).

¿Cuál es la ecuación explícita de la recta?

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Respuesta correcta: C) y = -3x + 7

A) y = 3x - 7Incorrecto. Erraste en los signos de la pendiente y de la constante.
B) y = 7x - 3Incorrecto. Intercambiaste la pendiente con el intercepto.
C) y = -3x + 7¡Correcto! En la forma y = mx + b, sustituimos m = -3 y la ordenada al origen b = 7.
D) y = -3x - 7Incorrecto. Asignaste signo negativo a la constante b = 7.

💡 Explicación

La forma pendiente-intercepto es y = mx + b. Como m = -3 y el punto (0, 7) da directamente b = 7, la ecuación es y = -3x + 7.

Bloom: Understand

En Potosí, Sonia en el Colegio Nacional Bolívar analiza el ejercicio #4: identifica el centro y el radio de la circunferencia (x - 3)² + (y + 4)² = 36.

¿Cuáles son el centro C(h, k) y el radio r de la circunferencia?

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Respuesta correcta: C) Centro C(3, -4) y radio r = 6

A) Centro C(-3, 4) y radio r = 36Incorrecto. Invertiste los signos del centro y no sacaste raíz cuadrada al radio.
B) Centro C(3, 4) y radio r = 6Incorrecto. Erraste en el signo de la ordenada k del centro.
C) Centro C(3, -4) y radio r = 6¡Correcto! Comparando con (x - h)² + (y - k)² = r²: h = 3, k = -4 y r = √36 = 6.
D) Centro C(-3, -4) y radio r = 12Incorrecto. Erraste en el cálculo del radio r.

💡 Explicación

La ecuación ordinaria es (x - h)² + (y - k)² = r². Así, el centro es (3, -4) y r² = 36 ⇒ r = 6.

Bloom: Understand

En Oruro, Ramiro en el Colegio Nacional Potosí analiza el ejercicio #5: analiza la parábola horizontal y² = 12x con vértice en el origen.

¿Cuáles son las coordenadas del foco F y la ecuación de la directriz?

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Respuesta correcta: C) Foco F(3, 0) y directriz x = -3

A) Foco F(0, 3) y directriz y = -3Incorrecto. Confundiste la parábola horizontal con una vertical.
B) Foco F(6, 0) y directriz x = -6Incorrecto. Dividiste 12 entre 2 en lugar de 4 al despejar p.
C) Foco F(3, 0) y directriz x = -3¡Correcto! 4p = 12 ⇒ p = 3. La parábola abre a la derecha: F(3, 0) y directriz x = -3.
D) Foco F(-3, 0) y directriz x = 3Incorrecto. Invertiste el sentido de apertura de la parábola.

💡 Explicación

y² = 4px indica parábola horizontal abre a la derecha. 4p = 12 ⇒ p = 3. Foco en (p, 0) = (3, 0) y directriz x = -p = -3.

Bloom: Understand

En Tarija, Yolanda en el Colegio Nacional San Luis analiza el ejercicio #6: alla la distancia focal c y la excentricidad e de la elipse x²/25 + y²/9 = 1.

¿Cuáles son el valor de c y la excentricidad e?

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Respuesta correcta: A) c = 4 y excentricidad e = 0,8

A) c = 4 y excentricidad e = 0,8¡Correcto! a² = 25 (a = 5), b² = 9 (b = 3). c = √(25 - 9) = 4. e = c/a = 4/5 = 0,8.
B) c = 16 y excentricidad e = 0,64Incorrecto. Olvidaste sacar la raíz cuadrada a c² = 16.
C) c = 3 y excentricidad e = 0,6Incorrecto. Confundiste el semieje menor b con la distancia focal c.
D) c = 5 y excentricidad e = 1,0Incorrecto. La excentricidad 1 corresponde a la parábola.

💡 Explicación

En x²/a² + y²/b² = 1: a = 5, b = 3. Relación focal: c² = a² - b² = 25 - 9 = 16 ⇒ c = 4. Excentricidad e = c/a = 4/5 = 0,8.

Bloom: Understand

En Trinidad, Jaime en el Liceo Pantaleón Dalence analiza el ejercicio #7: encuentra las asíntotas de la hipérbola x²/16 - y²/9 = 1.

¿Cuáles son las ecuaciones de las dos asíntotas?

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Respuesta correcta: D) y = ±(3/4)x

A) y = ±(4/3)xIncorrecto. Invertiste el coeficiente de la pendiente usas a/b.
B) y = ±(9/16)xIncorrecto. Usaste los cuadrados b²/a² sin extraer raíz cuadrada.
C) y = ±(16/9)xIncorrecto. Usaste a²/b² sin extraer raíz cuadrada.
D) y = ±(3/4)x¡Correcto! Para la hipérbola x²/a² - y²/b² = 1, las asíntotas son y = ±(b/a)x. Como a = 4 y b = 3, y = ±(3/4)x.

💡 Explicación

La hipérbola horizontal x²/a² - y²/b² = 1 tiene asíntotas y = ±(b/a)x. Con a = 4 y b = 3, las asíntotas son y = ±(3/4)x.

Bloom: Apply

En Cobija, Marcela en el Colegio Don Bosco analiza el ejercicio #8: halla el punto medio M entre P(-4, 8) y Q(6, -2).

¿Cuáles son las coordenadas del punto medio M?

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Respuesta correcta: D) M(1, 3)

A) M(2, 6)Incorrecto. Olvidaste dividir entre 2 la suma de las coordenadas.
B) M(-5, 5)Incorrecto. Restaste las coordenadas en lugar de promediarlas.
C) M(5, 3)Incorrecto. Erraste en la suma de las abscisas -4 + 6.
D) M(1, 3)¡Correcto! M = ((-4 + 6)/2, (8 - 2)/2) = (2/2, 6/2) = (1, 3).

💡 Explicación

La fórmula del punto medio es M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2). Para (-4, 8) y (6, -2): M = (2/2, 6/2) = (1, 3).

Bloom: Apply

En El Alto, Grover en el Colegio San Calixto analiza el ejercicio #9: calcula el ángulo de inclinación θ de la recta y = x + 4.

¿Cuál es el ángulo de inclinación θ en grados sexagesimales?

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Respuesta correcta: C) θ = 45°

A) θ = 90°Incorrecto. 90° corresponde a una recta vertical de pendiente indefinida.
B) θ = 30°Incorrecto. tan(30°) = 1/√3 ≈ 0,577, no 1.
C) θ = 45°¡Correcto! m = 1. tan(θ) = 1 ⇒ θ = arctan(1) = 45°.
D) θ = 60°Incorrecto. tan(60°) = √3 ≈ 1,732, no 1.

💡 Explicación

La relación entre pendiente y ángulo de inclinación es m = tan(θ). Como m = 1, tan(θ) = 1 ⇒ θ = 45°.

Bloom: Apply

En La Paz, Carlos en el Colegio Nacional Ayacucho analiza el ejercicio #10: comprueba la relación entre L₁: 2x - 3y + 6 = 0 y L₂: 4x - 6y - 5 = 0.

¿Cuál es la relación geométrica entre las rectas L₁ y L₂?

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Respuesta correcta: B) Son paralelas distintas (m₁ = m₂ = 2/3)

A) Son perpendiculares entre síIncorrecto. El producto de las pendientes no es -1.
B) Son paralelas distintas (m₁ = m₂ = 2/3)¡Correcto! m₁ = 2/3 y m₂ = 4/6 = 2/3. Tienen pendientes iguales y constantes no proporcionales.
C) Son coincidentesIncorrecto. Las constantes 6 y -5 no son proporcionales a los coeficientes.
D) Se cortan en un punto oblicuoIncorrecto. Al ser pendientes iguales no hay punto de intersección.

💡 Explicación

m₁ = -A/B = -2/(-3) = 2/3. m₂ = -4/(-6) = 2/3. Como m₁ = m₂ y las constantes difieren, son rectas estrictamente paralelas.

Bloom: Apply

En Santa Cruz, Ana en el Colegio Nacional Santa Cruz analiza el ejercicio #11: calcula la distancia del punto P(3, 4) a la recta 3x + 4y - 5 = 0.

¿Cuál es la distancia perpendicular d de P a la recta?

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Respuesta correcta: C) d = 4 unidades

A) d = 5 unidadesIncorrecto. Erraste en la simplificación del numerador.
B) d = 20 unidadesIncorrecto. Olvidaste dividir entre el módulo de la normal √25 = 5.
C) d = 4 unidades¡Correcto! d = |3(3) + 4(4) - 5| / √(3² + 4²) = |9 + 16 - 5| / √25 = 20 / 5 = 4.
D) d = 2 unidadesIncorrecto. Cometiste un error de resta en el numerador.

💡 Explicación

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²). Sustituyendo (3, 4) en 3x + 4y - 5 = 0: d = |9 + 16 - 5| / √25 = 20 / 5 = 4 unidades.

Bloom: Apply

En Cochabamba, Marcos en el Colegio Nacional Sucre analiza el ejercicio #12: convierte la ecuación general x² + y² - 6x + 8y = 0 a la forma ordinaria.

¿Cuál es la ecuación ordinaria y el radio de la circunferencia?

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Respuesta correcta: A) (x - 3)² + (y + 4)² = 25 con radio r = 5

A) (x - 3)² + (y + 4)² = 25 con radio r = 5¡Correcto! Completando cuadrados: (x - 3)² + (y + 4)² = 9 + 16 = 25 ⇒ r = 5.
B) (x + 3)² + (y - 4)² = 25 con radio r = 5Incorrecto. Erraste en los signos al completar cuadrados.
C) (x - 3)² + (y + 4)² = 14 con radio r = √14Incorrecto. Sumaste mal las constantes en el segundo miembro.
D) (x - 6)² + (y + 8)² = 100 con radio r = 10Incorrecto. No dividiste entre 2 los coeficientes al completar cuadrados.

💡 Explicación

Completando cuadrados: (x² - 6x + 9) + (y² + 8y + 16) = 25 ⇒ (x - 3)² + (y + 4)² = 25. El radio es r = √25 = 5.

Bloom: Apply

En Sucre, Lidia en el Colegio Nacional Junín analiza el ejercicio #13: deduce la ecuación de la parábola con vértice V(2, 3) y foco F(2, 5).

¿Cuál es la ecuación ordinaria de la parábola?

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Respuesta correcta: A) (x - 2)² = 8(y - 3)

A) (x - 2)² = 8(y - 3)¡Correcto! Eje vertical x = 2. p = 5 - 3 = 2. 4p = 8. Ecuación: (x - 2)² = 8(y - 3).
B) (y - 3)² = 8(x - 2)Incorrecto. Confundiste la parábola vertical con una horizontal.
C) (x - 2)² = 4(y - 3)Incorrecto. Olvidaste multiplicar p por 4.
D) (x + 2)² = 8(y + 3)Incorrecto. Invertiste los signos de las coordenadas del vértice.

💡 Explicación

Como el vértice es (2, 3) y el foco (2, 5), la parábola es vertical abre hacia arriba con p = 2. Ecuación: (x - 2)² = 4(2)(y - 3) = 8(y - 3).

Bloom: Analyze

En Potosí, Andrés en el Colegio Nacional Bolívar analiza el ejercicio #14: calcula los vértices principales de la elipse 9x² + 25y² = 225.

¿Cuáles son las coordenadas de los vértices sobre el eje mayor?

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Respuesta correcta: B) V₁(5, 0) y V₂(-5, 0)

A) V₁(3, 0) y V₂(-3, 0)Incorrecto. Tomaste el semieje menor b = 3.
B) V₁(5, 0) y V₂(-5, 0)¡Correcto! Dividiendo entre 225: x²/25 + y²/9 = 1. a² = 25 ⇒ a = 5. Vértices en (±5, 0).
C) V₁(0, 5) y V₂(0, -5)Incorrecto. Ubicaste los vértices en el eje vertical.
D) V₁(25, 0) y V₂(-25, 0)Incorrecto. Olvidaste extraer la raíz cuadrada a a² = 25.

💡 Explicación

Dividiendo entre 225 resulta x²/25 + y²/9 = 1. Como 25 > 9, el eje mayor es horizontal con a² = 25 ⇒ a = 5. Vértices: (±5, 0).

Bloom: Analyze

En Oruro, Zulma en el Colegio Nacional Potosí analiza el ejercicio #15: determina los focos de la hipérbola y²/16 - x²/9 = 1.

¿Cuáles son las coordenadas de los focos F₁ y F₂?

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Respuesta correcta: B) F₁(0, 5) y F₂(0, -5)

A) F₁(5, 0) y F₂(-5, 0)Incorrecto. Ubicaste los focos en el eje horizontal.
B) F₁(0, 5) y F₂(0, -5)¡Correcto! Eje focal vertical. a² = 16, b² = 9. c² = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5. Focos en (0, ±5).
C) F₁(0, 7) y F₂(0, -7)Incorrecto. Restaste los denominadores en lugar de sumarlos.
D) F₁(0, 25) y F₂(0, -25)Incorrecto. Olvidaste extraer la raíz cuadrada a c² = 25.

💡 Explicación

Hipérbola vertical: y²/16 - x²/9 = 1. c² = a² + b² = 16 + 9 = 25 ⇒ c = 5. Focos en las ordenadas: (0, ±5).

Bloom: Analyze

En Tarija, Rosmery en el Colegio Nacional San Luis analiza el ejercicio #16: halla la ecuación general de la recta que pasa por (1, 4) y es perpendicular a y = 2x - 3.

¿Cuál es la ecuación general Ax + By + C = 0?

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Respuesta correcta: B) x + 2y - 9 = 0

A) 2x + y - 6 = 0Incorrecto. Usaste la misma pendiente m = 2.
B) x + 2y - 9 = 0¡Correcto! m perpendicular = -1/2. y - 4 = -1/2(x - 1) ⇒ 2y - 8 = -x + 1 ⇒ x + 2y - 9 = 0.
C) x - 2y + 7 = 0Incorrecto. Erraste en el signo de la pendiente perpendicular.
D) x + 2y + 9 = 0Incorrecto. Cometiste un error de signo en el término independiente.

💡 Explicación

m₁ = 2 ⇒ m₂ = -1/2. Ecuación punto-pendiente: y - 4 = -1/2(x - 1) ⇒ 2y - 8 = -x + 1 ⇒ x + 2y - 9 = 0.

Bloom: Analyze

En Trinidad, Willy en el Liceo Pantaleón Dalence analiza el ejercicio #17: evalúa la intersección entre la recta y = x + 1 y la parábola y = x² - 1.

¿Cuáles son los puntos de intersección entre la recta y la parábola?

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Respuesta correcta: B) (2, 3) y (-1, 0)

A) (1, 2) y (-2, -1)Incorrecto. Factorizaste mal el trinomio x² - x - 2.
B) (2, 3) y (-1, 0)¡Correcto! x + 1 = x² - 1 ⇒ x² - x - 2 = 0 ⇒ (x - 2)(x + 1) = 0 ⇒ (2, 3) y (-1, 0).
C) (2, 0) y (-1, 3)Incorrecto. Intercambiaste las ordenadas correspondientes.
D) (0, 1) y (3, 4)Incorrecto. Puntos que no satisfacen la parábola.

💡 Explicación

Igualando y: x² - 1 = x + 1 ⇒ x² - x - 2 = 0 ⇒ (x - 2)(x + 1) = 0 ⇒ x = 2 (y = 3) y x = -1 (y = 0).

Bloom: Analyze

En Cobija, Teresa en el Colegio Don Bosco analiza el ejercicio #18: halla el área del triángulo con vértices A(0,0), B(6,0) y C(2,4).

¿Cuál es el área del triángulo en unidades cuadradas?

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Respuesta correcta: D) Área = 12 u²

A) Área = 24 u²Incorrecto. Olvidaste dividir entre 2 la base por la altura.
B) Área = 8 u²Incorrecto. Multiplicaste erróneamente las coordenadas de C.
C) Área = 16 u²Incorrecto. Erraste en la medida de la altura perpendicular.
D) Área = 12 u²¡Correcto! Base = 6, altura h = 4. Área = (6 × 4) / 2 = 12 u².

💡 Explicación

El segmento AB sobre el eje x mide b = 6. La altura desde C(2, 4) es h = 4. Área = (6 · 4) / 2 = 12 u².

Bloom: Evaluate

En El Alto, Felipe en el Colegio San Calixto analiza el ejercicio #19: calcula la longitud del lado recto de la elipse x²/16 + y²/4 = 1.

¿Cuál es la longitud L del lado recto?

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Respuesta correcta: C) L = 2 unidades

A) L = 4 unidadesIncorrecto. Olvidaste dividir entre a = 4.
B) L = 1 unidadIncorrecto. Dividiste b² entre a².
C) L = 2 unidades¡Correcto! a² = 16 (a = 4), b² = 4. Lado recto L = 2b²/a = 2(4)/4 = 2 unidades.
D) L = 8 unidadesIncorrecto. Multiplicaste a · b en lugar de aplicar la fórmula.

💡 Explicación

La longitud del lado recto en la elipse es L = 2b² / a. Con a = 4 y b² = 4: L = 2(4)/4 = 2 unidades.

Bloom: Evaluate

En La Paz, Roxana en el Colegio Nacional Ayacucho analiza el ejercicio #20: determina k para que la recta 4x - 3y + k = 0 sea tangente a x² + y² = 9.

¿Cuáles son los valores posibles de k?

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Respuesta correcta: B) k = 15 o k = -15

A) k = 9 o k = -9Incorrecto. Usaste r² = 9 en lugar del radio r = 3.
B) k = 15 o k = -15¡Correcto! Distancia del centro (0,0) a la recta: |k| / √(4² + 3²) = 3 ⇒ |k| / 5 = 3 ⇒ |k| = 15 ⇒ k = ±15.
C) k = 25 o k = -25Incorrecto. Elevaste al cuadrado la distancia.
D) k = 5 o k = -5Incorrecto. Erraste en el producto del radio por la norma.

💡 Explicación

La condición de tangencia exige que d((0,0), L) = r = 3. |k| / √(4² + 3²) = 3 ⇒ |k|/5 = 3 ⇒ |k| = 15 ⇒ k = ±15.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?