Conjuntos Numericos — Matemática 3º ano — Ensino Médio, Brasil

Bloom: Remember

Um aluno do ensino médio em Belo Horizonte estuda a classificação de diferentes números reais para o ENEM.

Dentre os números abaixo, qual deles é um exemplo clássico de um número irracional (

\mathbb{I}

)?

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Resposta correta: C) $\sqrt{3}$

A) $0,777$ ...Dízimas periódicas podem ser escritas como frações, logo são racionais.
B) $\sqrt{25}$ A raiz quadrada de 25 é 5, que é um número inteiro e portanto racional.
C) $\sqrt{3}$ A raiz quadrada de 3 não é exata, resultando em um decimal infinito não periódico, caracterizando um irracional.
D) $-\frac{3}{4}$ Frações formadas por números inteiros pertencem ao conjunto dos racionais.

💡 Explicação

Um número irracional não pode ser escrito na forma de uma fração de dois números inteiros. O número

\sqrt{3}

possui infinitas casas decimais e não apresenta um período que se repete, portanto é irracional.

Bloom: Remember

Durante uma feira de ciências no Rio de Janeiro, um grupo de estudantes apresenta um painel sobre a hierarquia dos conjuntos numéricos.

Qual das alternativas a seguir descreve corretamente a relação de inclusão entre os conjuntos numéricos?

Ver resposta

Resposta correta: B) O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros.

A) O conjunto dos números racionais está contido no dos inteiros.Incorreto. É o conjunto dos inteiros que está contido no dos racionais.
B) O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros.Correto. Todos os números naturais (0, 1, 2, ...) também são inteiros.
C) O conjunto dos números reais é formado apenas pelos números racionais.Incorreto. Os reais englobam tanto racionais quanto irracionais.
D) Os números irracionais são um subconjunto dos números inteiros.Incorreto. Irracionais e inteiros são conjuntos disjuntos.

💡 Explicação

A relação correta de inclusão básica dos conjuntos numéricos é

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

. Portanto, todo número natural é também um número inteiro, mas nem todo inteiro é natural.

Bloom: Understand

Uma loja em Salvador organiza os códigos de seus produtos usando subconjuntos de números inteiros.

Considere o conjunto dos números inteiros

\mathbb{Z}

. Qual alternativa representa corretamente o subconjunto dos inteiros não negativos menores que 4?

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Resposta correta: B) $\{0, 1, 2, 3\}$

A) $\{1, 2, 3\}$ Esta opção exclui o zero, que é um inteiro não negativo.
B) $\{0, 1, 2, 3\}$ Os inteiros não negativos começam do zero, e os menores que 4 são 0, 1, 2 e 3.
C) $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ O número 4 não deve ser incluído pois o enunciado diz "menores que 4" (estritamente menor).
D) $\{-1, 0, 1, 2, 3\}$ O número -1 é negativo, logo não atende ao critério de "não negativos".

💡 Explicação

Os números inteiros não negativos são aqueles que são maiores ou iguais a zero:

0, 1, 2, 3, 4, \dots

Os elementos desse conjunto que são estritamente menores que 4 formam o conjunto

\{0, 1, 2, 3\}

.

Bloom: Understand

Um sistema de segurança bancária em Recife gera senhas baseando-se em números ímpares dentro de um intervalo específico.

Sendo

\mathbb{N}

o conjunto dos números naturais, como se representa o conjunto dos números naturais ímpares maiores que 3 e menores ou iguais a 9?

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Resposta correta: C) $\{5, 7, 9\}$

A) $\{5, 7\}$ Falta o número 9, que é incluído pela condição "menores ou iguais a 9".
B) $\{3, 5, 7, 9\}$ O número 3 não pode ser incluído, pois a condição é "maiores que 3".
C) $\{5, 7, 9\}$ Estes são os números ímpares que satisfazem simultaneamente $x > 3$ e $x \leq 9$ .
D) $\{4, 6, 8\}$ Estes são números pares, não ímpares como pedido no enunciado.

💡 Explicação

Devemos encontrar os naturais ímpares no intervalo

3 < x \leq 9

. O próximo natural ímpar após 3 é 5, seguido por 7, e finalmente o 9, que está incluído por ser "menor ou igual a 9".

Bloom: Understand

Um meteorologista em Manaus analisa a variação da temperatura ao longo do dia utilizando intervalos reais.

Se a temperatura em graus Celsius oscilou no intervalo real

T = [ 22, 30 )

, qual afirmação sobre a temperatura é verdadeira?

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Resposta correta: B) A temperatura atingiu exatamente 22 graus.

A) A temperatura atingiu exatamente 30 graus.O parêntese indica intervalo aberto em 30, então a temperatura nunca atingiu exatamente 30 graus.
B) A temperatura atingiu exatamente 22 graus.O colchete indica que o extremo 22 faz parte do conjunto, então a temperatura foi de 22 graus em algum momento.
C) A temperatura assumiu apenas valores inteiros.Sendo um intervalo real, inclui todos os decimais entre 22 e 30.
D) A temperatura pode ter sido de 21 graus.21 está fora do intervalo, pois é menor que o limite inferior de 22.

💡 Explicação

O intervalo

[ 22, 30 )

é fechado em 22 e aberto em 30, o que significa que inclui todos os números reais

x

tais que

22 \leq x < 30

. Portanto, o número 22 pertence ao intervalo, mas o 30 não.

Bloom: Understand

Em uma pesquisa com estudantes de Fortaleza sobre aplicativos de transporte, analisou-se o uso dos aplicativos X e Y.

Foram entrevistados 120 estudantes: 75 usam o aplicativo X, 65 usam o aplicativo Y e 30 usam ambos. Quantos estudantes não usam nenhum dos dois aplicativos?

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Resposta correta: B) 10

A) 0Se fosse 0, a união daria 120, mas o cálculo da união resulta em 110.
B) 10Total usando pelo menos um = 75 + 65 - 30 = 110. Não usam nenhum = 120 - 110 = 10.
C) 20Um erro de cálculo na subtração da interseção pode levar a esse valor.
D) 30Este é apenas o número de alunos que usam ambos, não os que não usam nenhum.

💡 Explicação

Usando o Princípio da Inclusão-Exclusão, o número de estudantes que usa pelo menos um dos aplicativos é

n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y) = 75 + 65 - 30 = 110

. Como o total é 120, os que não usam nenhum são

120 - 110 = 10

.

Bloom: Apply

Uma escola em São Luís oferece cursos extracurriculares de Teatro e Dança para um grupo de alunos.

Há 150 alunos matriculados, sendo que 90 fazem Teatro e 80 fazem Dança. Se todos os alunos fazem pelo menos um dos cursos, quantos fazem simultaneamente Teatro e Dança?

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Resposta correta: A) 20

A) 20n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). 150 = 90 + 80 - x => 150 = 170 - x => x = 20.
B) 30Se fossem 30 na interseção, o total de alunos seria 140, mas o enunciado diz 150.
C) 10Com interseção de 10, a união seria 160, ultrapassando o total de alunos.
D) 0Se nenhum aluno fizesse os dois, o total seria 90 + 80 = 170, contradizendo o total de 150.

💡 Explicação

A fórmula da união de dois conjuntos é

n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)

. Sabemos que

n(A \cup B) = 150

porque todos os alunos fazem pelo menos um curso. Substituindo os valores, temos

150 = 90 + 80 - x

, resultando em

150 = 170 - x

, portanto

x = 20

alunos fazem ambos.

Bloom: Apply

Um marceneiro em Belém trabalha com medidas que frequentemente resultam em dízimas periódicas ao dividir peças inteiras, como $0,555$ ... metros.

Qual é a representação em fração geratriz da dízima periódica

0,555

...?

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Resposta correta: B) $\frac{5}{9}$

A) $\frac{5}{10}$ 5/10 simplifica para 1/2 ou 0,5 exato, não uma dízima periódica.
B) $\frac{5}{9}$ Correto. Para uma dízima simples com período de um algarismo, coloca-se o período sobre 9.
C) $\frac{1}{5}$ 1/5 é equivalente ao decimal exato 0,2.
D) $\frac{55}{100}$ 55/100 representa o decimal finito 0,55, que é diferente da dízima periódica infinita.

💡 Explicação

Para dízimas periódicas simples da forma

0,xxx

..., a fração geratriz é obtida colocando o algarismo do período no numerador e o número 9 no denominador. Para

0,555

..., o período é 5, logo a fração é

5/9

.

Bloom: Apply

Um engenheiro de software em Campinas está validando uma fórmula que resolve a equação $x^2 = 11$ .

O conjunto solução

S = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 11\}

é formado por elementos que pertencem a quais conjuntos numéricos?

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Resposta correta: C) Reais e Irracionais.

A) Naturais e Inteiros.As soluções são $±\sqrt{11}$ , que não são números inteiros nem naturais.
B) Inteiros e Racionais.Como 11 não é quadrado perfeito, as raízes não podem ser expressas como frações, logo não são racionais.
C) Reais e Irracionais.As raízes $±\sqrt{11}$ são irracionais, e consequentemente reais, pois os irracionais são um subconjunto dos reais.
D) Racionais e Reais.O conjunto não possui elementos racionais.

💡 Explicação

A equação

x^2 = 11

tem como soluções

x = \sqrt{11}

e

x = -\sqrt{11}

. O número 11 não é um quadrado perfeito, então suas raízes quadradas não podem ser representadas como uma fração de inteiros, o que as define como números irracionais (e por extensão, reais).

Bloom: Apply

Em um estudo ambiental em Goiânia, biólogos analisam duas faixas de pH ideais para o cultivo de diferentes espécies de plantas aquáticas.

Se o primeiro intervalo é

M = [2, 5]

e o segundo é

N = [3, 7]

, qual é o intervalo resultante da diferença de conjuntos

M - N

?

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Resposta correta: A) $[2, 3)$

A) $[2, 3)$ A diferença M - N remove de M os elementos presentes em N. Os números a partir de 3 estão em N, sobrando o intervalo fechado em 2 e aberto em 3.
B) $[2, 3]$ O número 3 pertence a N, então ele precisa ser removido de M, tornando o intervalo aberto.
C) $(5, 7]$ Este intervalo corresponde à diferença N - M, não M - N.
D) $[2, 7]$ Este seria o resultado da união dos dois conjuntos, não da diferença.

💡 Explicação

A diferença

M - N

é formada pelos elementos que pertencem exclusivamente a

M

. O conjunto

M

vai de 2 até 5. Como

N

contém os números de 3 até 7, devemos subtrair de

M

os elementos a partir do 3. Resta a faixa de 2 (inclusive) até 3 (exclusivo).

Bloom: Apply

Um urbanista de São Paulo planeja zonas de restrição de tráfego de caminhões onde a massa do veículo é superior a 5 toneladas.

Considere o conjunto universo

U = \mathbb{R}

e o conjunto

C = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 5\}

. Qual é a representação correta do conjunto complementar de

C

, denotado por

C^c

?

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Resposta correta: B) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 5\}$

A) $\{x \in \mathbb{R} \mid x < 5\}$ Esta opção falha em incluir o número 5, que não pertence a C e deve estar no complementar.
B) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 5\}$ O complementar de "estritamente maior que" engloba tudo o que é "menor ou igual a".
C) $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 5\}$ Este conjunto incluiria todos os valores maiores que 5, que já pertencem a C.
D) $\{5\}$ O complementar contém infinitos números, todos menores ou iguais a 5, não somente o número 5.

💡 Explicação

O complementar de um conjunto num universo abrange tudo o que não pertence a ele. Se o conjunto

C

contém todos os reais estritamente maiores que 5 (intervalo aberto

(5, +\infty)

), seu complementar precisa conter todos os reais menores que 5 e também o próprio 5 (intervalo

(-\infty, 5]

).

Bloom: Apply

Durante uma avaliação preparatória para o ENEM, um estudante deve julgar a veracidade de três afirmações sobre operações com conjuntos numéricos.

Analise as sentenças a seguir:
I. A soma de dois números irracionais será sempre um número irracional.
II. Todo número inteiro pode ser escrito como um número racional.
III. O quadrado de um número irracional pode resultar em um número racional.
Quais afirmações estão corretas?

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Resposta correta: C) II e III.

A) Apenas I.A afirmação I é falsa, pois a soma de $(\sqrt{2}) + (-\sqrt{2}) = 0$ , que é racional.
B) I e II.A afirmação I é falsa, o que invalida esta opção.
C) II e III.II é correta (ex: 5 = 5/1). III também é correta (ex: $(\sqrt{3})^2 = 3$ ).
D) I, II e III.A primeira afirmação é incorreta.

💡 Explicação

A afirmação I é falsa porque a soma de números irracionais opostos resulta em zero (racional). A II é verdadeira, pois qualquer inteiro

z

pode ser escrito como

z/1

. A III é verdadeira porque

(\sqrt{a})^2 = a

, convertendo o irracional em um racional se

a

for racional.

Bloom: Analyze

Uma pesquisa em Porto Alegre avaliou as assinaturas de serviços de streaming de filmes, séries e esportes.

Em um levantamento, 12 pessoas assinam os três serviços, 25 assinam filmes e séries, 30 assinam séries e esportes, e 20 assinam filmes e esportes. Quantas pessoas assinam EXCLUSIVAMENTE filmes e séries?

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Resposta correta: A) 13

A) 13Exclusivamente filmes e séries é a interseção dupla (25) menos a tripla (12), resultando em 13.
B) 2525 é o número total na interseção de filmes e séries, incluindo os que assinam esportes.
C) 37Este valor resulta de uma soma indevida das interseções em vez de uma subtração.
D) 8Resultado de um cálculo incorreto das interseções duplas.

💡 Explicação

Para achar a quantidade de pessoas que assinam exclusivamente filmes e séries (sem assinar esportes), toma-se o total da interseção (Filmes

\cap

Séries) e subtrai-se os que pertencem à interseção tripla:

25 - 12 = 13

pessoas.

Bloom: Analyze

Um analista de sistemas em Natal desenvolve combinações de permissões para um software, onde cada usuário pode ter diferentes conjuntos de acessos.

Se o conjunto de permissões possíveis

P

tem 6 elementos, qual é o número total de subconjuntos que podem ser formados, correspondente ao número de elementos do conjunto das partes

\mathcal{P}(P)

?

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Resposta correta: C) 64

A) 12O cálculo não é multiplicar o número de elementos por 2 (6 * 2).
B) 36O cálculo não é elevar o número de elementos ao quadrado ( $6^2$ ).
C) 64A fórmula correta para o número de subconjuntos é $2^n$ . Com $n=6$ , temos $2^6 = 64$ .
D) 66 é apenas o número original de elementos no conjunto, não no conjunto das partes.

💡 Explicação

O conjunto das partes de um conjunto com

n

elementos possui

2^n

subconjuntos (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto). Para um conjunto com 6 elementos, o total de subconjuntos é

2^6 = 64

.

Bloom: Analyze

Um engenheiro químico em Vitória ajusta os parâmetros ideais de temperatura de uma reação industrial limitando as variáveis a um intervalo seguro.

Sendo os conjuntos

F = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 7x + 10 = 0\}

e

G = \{x \in \mathbb{R} \mid 3 \leq x < 6\}

, qual é o conjunto interseção

F \cap G

?

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Resposta correta: C) $\{5\}$

A) $\{2\}$ O número 2 é raiz da equação, mas é menor que 3, então não pertence a G.
B) $\{2, 5\}$ Embora ambas sejam raízes, 2 não está no intervalo de G.
C) $\{5\}$ A equação tem raízes 2 e 5. Apenas o 5 pertence ao intervalo fechado em 3 e aberto em 6.
D) $\{3, 4, 5\}$ Os números 3 e 4 estão no intervalo G, mas não são raízes da equação de F.

💡 Explicação

A equação do segundo grau

x^2 - 7x + 10 = 0

tem raízes

x = 2

e

x = 5

, que formam o conjunto

F

. O conjunto

G

é o intervalo

[3, 6)

. Como apenas o número 5 satisfaz ambas as condições (estar em

F

e pertencer ao intervalo

G

), a interseção é o conjunto

\{5\}

.

Bloom: Analyze

Um professor de teoria da computação na UFMG apresenta um problema de simplificação de expressões booleanas usando a teoria dos conjuntos.

Considere os conjuntos não vazios

X

e

Y

. Utilizando propriedades das operações com conjuntos, simplifique a expressão

(X \cup Y) \cap (X \cup Y^c)

, onde

Y^c

é o complementar de

Y

.

Ver resposta

Resposta correta: A) $X$

A) $X$ Pela distributividade, a expressão é equivalente a $X \cup (Y \cap Y^c)$ . Como a interseção de Y e Y^c é vazia, resta apenas X.
B) $Y$ A expressão simplificada isola o conjunto X, e não o Y.
C) $X \cap Y$ A simplificação resulta apenas em X, não em sua interseção com Y.
D) Universo ( $U$ )O resultado é o conjunto X, não todo o conjunto universo.

💡 Explicação

Usando a lei distributiva da união sobre a interseção na forma inversa, temos

(X \cup Y) \cap (X \cup Y^c) = X \cup (Y \cap Y^c)

. A interseção de um conjunto com seu complementar é o conjunto vazio (

\emptyset

). Assim, a união de

X

com

\emptyset

é o próprio conjunto

X

.

Bloom: Evaluate

Em uma olimpíada regional de matemática em Cuiabá, alunos devem argumentar sobre as propriedades operacionais envolvendo números mistos.

Sejam

p

um número racional e

q

um número irracional. Avalie o resultado das operações a seguir e assinale a única alternativa que sempre resulta em um número irracional, assumindo

p \neq 0

nas multiplicações/divisões.

Ver resposta

Resposta correta: C) $p - q$

A) $q^2$ Errado. A raiz quadrada de 3 é irracional, mas o seu quadrado é 3, que é racional.
B) $q \cdot q$ Idem alternativa anterior, pois $q \cdot q = q^2$ , que pode ser um número racional.
C) $p - q$ Correto. A diferença, assim como a soma, entre um racional e um irracional resulta sempre em um irracional.
D) $p \cdot q$ se $p=0$ Se $p=0$ , então $0 \cdot q = 0$ , que é um número racional.

💡 Explicação

Se a diferença

p - q

resultasse num racional

r

, então poderíamos escrever

q = p - r

. Sendo a subtração de dois racionais sempre um número racional, chegaríamos à conclusão falsa de que

q

é racional. Logo, a diferença entre um racional e um irracional é sempre irracional.

Bloom: Evaluate

Um estudo avançado sobre o conceito de limites em um curso preparatório no Espírito Santo explora conjuntos que se reduzem infinitamente.

Defina os intervalos

I_k = \left[- \frac{1}{k}, \frac{1}{k}\right]

para todo número natural

k > 0

. Qual é o conjunto que representa a interseção de todos esses intervalos, ou seja,

\bigcap_{k=1}^{\infty} I_k

?

Ver resposta

Resposta correta: B) $\{0\}$

A) $\emptyset$ O conjunto não é vazio pois o número zero faz parte de todos os intervalos da sequência.
B) $\{0\}$ O número zero é o único elemento presente em todos os intervalos $[-1/k, 1/k]$ conforme k aumenta infinitamente.
C) $[-1, 1]$ Esse é apenas o primeiro intervalo (k=1) e a interseção de todos vai restringir os valores.
D) $(-1, 1)$ Não pode ser um intervalo aberto desse tamanho pois, para k=2 por exemplo, o limite é 1/2.

💡 Explicação

Cada intervalo da sequência é simétrico e contido no anterior. Conforme

k

cresce ao infinito, a amplitude do intervalo diminui, aproximando seus extremos do zero. Como 0 está em todo

I_k

, a interseção infinita resulta unicamente no conjunto unitário

\{0\}

.

Bloom: Evaluate

Um aluno dedicado na preparação para a prova do ITA, em São José dos Campos, analisa propriedades de supremos nos conjuntos de números racionais.

Defina o conjunto

W = \{ r \in \mathbb{Q} \mid r^2 < 5 \}

. Ao avaliar este subconjunto no universo dos números racionais, podemos afirmar que ele possui um elemento que atua como limite superior e que pertence a

\mathbb{Q}

?

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Resposta correta: B) Não, pois não existe um número racional cujo quadrado seja igual a 5 para servir de supremo no conjunto dos racionais.

A) Sim, o máximo do conjunto é exatamente $\sqrt{5}$ .A raiz quadrada de 5 não é um número racional, logo não pode pertencer ao universo $\mathbb{Q}$ .
B) Não, pois não existe um número racional cujo quadrado seja igual a 5 para servir de supremo no conjunto dos racionais.A propriedade fundamental da completude mostra que há buracos em $\mathbb{Q}$ . Como $\sqrt{5}$ não é racional, não há supremo em $\mathbb{Q}$ .
C) Sim, o número 2,236 é o limite superior que pertence ao conjunto.2,236 ao quadrado é 4,999696. Existem outros racionais maiores, como 2,23606, que também pertencem a W.
D) Sim, o conjunto é finito, logo possui um maior elemento.O conjunto W contém infinitos números racionais, não sendo finito.

💡 Explicação

No universo dos números racionais

\mathbb{Q}

, conjuntos que deveriam ter como limite um número irracional (como

\sqrt{5}

) não possuem extremo superior racional. Sempre podemos encontrar um racional um pouco maior dentro do conjunto, e isso reflete a propriedade de que

\mathbb{Q}

não é completo.

Bloom: Evaluate

Em um simulado do IME (Instituto Militar de Engenharia), os candidatos enfrentam uma questão abstrata sobre análise combinatória e conjuntos.

Seja

C

um conjunto finito e não vazio com

k

elementos. Considere que

P

é o total de subconjuntos de

C

com um número par de elementos (incluindo o conjunto vazio) e

I

é o total de subconjuntos com um número ímpar de elementos. Qual é a igualdade correta entre

P

e

I

?

Ver resposta

Resposta correta: D) $P = I$

A) $P = I + 1$ Embora o vazio seja par, o total de pares e ímpares compensa nos coeficientes binomiais, sendo falso que há um a mais.
B) $P = I - 1$ Não há desequilíbrio na quantidade. Ambas as metades têm $2^{k-1}$ subconjuntos.
C) $P = 2I$ Relação multiplicativa incorreta para contagem de subconjuntos.
D) $P = I$ A soma alternada dos coeficientes do binômio de Newton iguala a zero, provando que o total de subconjuntos pares e ímpares é igual.

💡 Explicação

Usando o teorema binomial, sabemos que

(1 - 1)^k = \sum (-1)^j \binom{k}{j} = 0

para

k \ge 1

. Isso implica que a soma dos coeficientes binomiais pares é exatamente igual à soma dos coeficientes ímpares. Portanto, o número de subconjuntos com quantidade par de elementos (

P

) e ímpar (

I

) é o mesmo, ambos valendo

2^{k-1}

.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?