Funcao Logaritmica — Matemática 3º ano — Ensino Médio, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante de física no Rio de Janeiro estuda escalas de intensidade sonora.

A definição fundamental do logaritmo relaciona potências e bases. Se

10^3 = 1000

, como essa igualdade é escrita na forma logarítmica?

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Resposta correta: B) $\log_{10}(1000) = 3$

A) $\log_3(1000) = 10$ A base da potência (10) deve ser a base do logaritmo.
B) $\log_{10}(1000) = 3$ Correto, pois a base é 10 e o logaritmo é o expoente 3.
C) $\log_{10}(3) = 1000$ O resultado da potência deve ser o logaritmando.
D) $\log_{1000}(10) = 3$ A base do logaritmo é 10, não 1000.

💡 Explicação

A definição de logaritmo afirma que

\log_b(a) = c

é equivalente a

b^c = a

. Na igualdade

10^3 = 1000

, a base é

10

, o expoente (resultado do logaritmo) é

3

, e o resultado (logaritmando) é

1000

. Logo,

\log_{10}(1000) = 3

.

Bloom: Remember

Um aluno em Belo Horizonte revisa as propriedades básicas dos logaritmos para a prova do ENEM.

Para qualquer base

b > 0

e

b \neq 1

, qual é o valor da expressão

\log_b(1)

?

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Resposta correta: C) $0$

A) $b$ b^b não é igual a 1, exceto para o caso inválido b=1.
B) $1$ b^1 é igual a b, não 1.
C) $0$ Para toda base permitida, b^0 = 1, logo log_b(1) = 0.
D) Não existe.O logaritmo de 1 está sempre definido e vale 0.

💡 Explicação

Pela definição de logaritmo, procuramos o expoente

x

tal que

b^x = 1

. Como qualquer número real não nulo elevado a zero resulta em

1

(

b^0 = 1

), concluímos que

\log_b(1) = 0

para qualquer base válida

b

.

Bloom: Understand

Um técnico em radiologia de Curitiba analisa um gráfico de decaimento, associado à função logarítmica.

A função logarítmica

f(x) = \log_a(x)

é estritamente crescente sob qual condição para a base

a

?

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Resposta correta: C) $a > 1$

A) $a < 0$ Bases negativas não são permitidas para logaritmos reais.
B) $0 < a < 1$ Para bases entre 0 e 1, a função logarítmica é decrescente.
C) $a > 1$ Para a > 1, maiores valores de x exigem maiores expoentes.
D) $a = 1$ A base 1 não forma uma função logarítmica válida.

💡 Explicação

O comportamento de crescimento ou decrescimento da função

f(x) = \log_a(x)

depende de sua base

a

. Se

a > 1

, à medida que

x

aumenta, o expoente necessário para gerar

x

também aumenta, caracterizando uma função estritamente crescente. Se

0 < a < 1

, ela seria decrescente.

Bloom: Understand

Um professor de química em Salvador explica a escala de pH, que envolve o logaritmo da concentração de íons.

Considere as propriedades operatórias dos logaritmos. Se você tem a soma

\log_2(x) + \log_2(y)

, qual expressão é matematicamente equivalente a ela?

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Resposta correta: A) $\log_2(x \cdot y)$

A) $\log_2(x \cdot y)$ A soma de logaritmos de mesma base é o logaritmo do produto.
B) $\log_2(x + y)$ Logaritmo da soma não se simplifica dessa forma.
C) $\log_2(x / y)$ O logaritmo do quociente é equivalente à subtração de logaritmos.
D) $\log_2(x) \cdot \log_2(y)$ Não se deve multiplicar os logaritmos individuais.

💡 Explicação

A propriedade do produto dos logaritmos diz que

\log_a(M \cdot N) = \log_a(M) + \log_a(N)

. Isso ocorre porque os expoentes são somados quando multiplicamos potências de mesma base, validando que

\log_2(x) + \log_2(y) = \log_2(x \cdot y)

.

Bloom: Understand

Um engenheiro acústico de Porto Alegre converte valores de pressão em decibéis utilizando logaritmos.

Sobre o domínio da função logarítmica no conjunto dos números reais, qual restrição deve ser aplicada à variável

x

na função

f(x) = \log_3(x)

?

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Resposta correta: B) $x > 0$

A) $x \ge 0$ O logaritmando não pode ser zero.
B) $x > 0$ O logaritmando deve ser estritamente positivo (real).
C) $x \neq 0$ Valores negativos também não são permitidos.
D) $x > 1$ O logaritmando pode ser um valor entre 0 e 1, que resultará num expoente negativo.

💡 Explicação

Na função

f(x) = \log_3(x)

, a base

3

elevada a qualquer número real sempre resulta em um valor estritamente positivo (ou seja,

3^y > 0

para todo

y

). Portanto, o logaritmando

x

deve obrigatoriamente ser maior que

0

. Logo, o domínio é o conjunto dos reais positivos.

Bloom: Understand

Uma botânica no Pará calcula a taxa logarítmica de crescimento de uma espécie de palmeira.

A função logarítmica

g(x) = \log_5(x)

possui um gráfico que obrigatoriamente corta um dos eixos coordenados. Em qual ponto ocorre essa interseção?

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Resposta correta: C) $(1, 0)$

A) $(0, 1)$ Como x não pode ser zero, não há interseção com o eixo y.
B) $(0, 5)$ Não há interseção com o eixo das ordenadas.
C) $(1, 0)$ Todo gráfico logarítmico padrão intercepta o eixo x no ponto onde o logaritmando é 1.
D) $(5, 1)$ O ponto (5,1) pertence ao gráfico, mas não é interseção de eixo.

💡 Explicação

Para achar a interseção com o eixo das abscissas (eixo

x

), igualamos

g(x)

a

0

. Temos

0 = \log_5(x) \Rightarrow 5^0 = x \Rightarrow x = 1

. O gráfico não corta o eixo

y

porque

x=0

não pertence ao domínio. A interseção com eixo ocorre exclusivamente em

(1, 0)

.

Bloom: Apply

Um grupo de meteorologistas no Recife estima o potencial destrutivo de uma tempestade usando modelos matemáticos.

Calcule o valor de

x

na equação simples

\log_2(x - 5) = 3

.

Ver resposta

Resposta correta: B) $13$

A) $11$ log_2(11-5) = log_2(6), que não é 3.
B) $13$ Pela definição: x - 5 = 2^3 => x - 5 = 8 => x = 13.
C) $14$ 14-5=9, e log_2(9) não é 3.
D) $8$ x-5 é igual a 8, o que torna x=13. Você marcou apenas o valor da potência.

💡 Explicação

Para resolver a equação

\log_2(x - 5) = 3

, usamos a definição básica dos logaritmos, transformando-a em uma equação exponencial: a base

2

elevada ao resultado

3

iguala o logaritmando.

x - 5 = 2^3

. Como

2^3 = 8

, temos

x - 5 = 8 \Rightarrow x = 8 + 5 = 13

.

Bloom: Apply

Um estatístico em Goiânia simplifica equações para analisar dados de desmatamento em longo prazo.

Utilizando as propriedades operatórias, simplifique a expressão:

\log_3(27) - \log_3(9)

. Qual é o resultado?

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Resposta correta: C) $1$

A) $\log_3(18)$ Não se deve subtrair os logaritmandos (27-9).
B) $2$ O resultado da subtração é 1, não 2.
C) $1$ log_3(27) = 3 e log_3(9) = 2, assim 3 - 2 = 1. Ou log_3(27/9) = log_3(3) = 1.
D) $3$ Você calculou apenas o log_3(27) e esqueceu da subtração.

💡 Explicação

Há dois métodos. Método 1: resolver cada termo isoladamente. Como

3^3 = 27

,

\log_3(27) = 3

. Como

3^2 = 9

,

\log_3(9) = 2

. Logo,

3 - 2 = 1

. Método 2: usar a propriedade do quociente,

\log_3(\frac{27}{9}) = \log_3(3) = 1

.

Bloom: Apply

Uma investidora em São Paulo calcula as condições para o montante de um fundo de ações dobrar de valor.

Para qual intervalo de valores de

x

a função

h(x) = \log_{10}(2x + 6)

está definida no conjunto dos números reais?

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Resposta correta: C) $x > -3$

A) $x > -2$ 2x+6 = 2(-2)+6 = 2. O limite crítico é quando 2x+6 = 0, ou seja, x = -3.
B) $x > 3$ Substituindo 0 teríamos log(6) que é válido. Logo x > 3 não é a restrição completa.
C) $x > -3$ O logaritmando precisa ser positivo: 2x + 6 > 0 => 2x > -6 => x > -3.
D) $x \neq -3$ Valores menores que -3 fariam o argumento ficar negativo.

💡 Explicação

A condição de existência para que o logaritmo resulte em um número real é que o logaritmando seja estritamente positivo. Logo, exigimos que

2x + 6 > 0

. Resolvendo essa inequação do primeiro grau, temos

2x > -6

, o que implica

x > -3

. Este é o domínio da função.

Bloom: Apply

Um estudante de ciência da computação de Campinas usa as propriedades do logaritmo da potência para medir a complexidade de algoritmos.

Sabendo que

\log_2(y) = 5

, determine o valor numérico de

\log_2(y^4)

.

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Resposta correta: B) $20$

A) $9$ O expoente desce multiplicando, e não somando. 4 * 5 = 20.
B) $20$ log_2(y^4) = 4 log_2(y) = 4 5 = 20.
C) $625$ Você elevou o valor do logaritmo (5^4 = 625) em vez de multiplicar pelo expoente: 4 * 5 = 20.
D) $4$ Esqueceu de multiplicar pelo valor do log_2(y) original.

💡 Explicação

Para o logaritmo de uma potência, aplicamos a regra do tombo (ou regra da potência):

\log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a)

. Na expressão dada,

\log_2(y^4) = 4 \cdot \log_2(y)

. Substituindo o valor fornecido de

5

, temos

4 \cdot 5 = 20

.

Bloom: Apply

Um geólogo de Cuiabá estuda a magnitude de terremotos regionais na Escala Richter, baseada no logaritmo decimal da amplitude sísmica.

Qual é a base correspondente à notação matemática simplificada

\ln(x)

?

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Resposta correta: A) A constante de Euler $e$

A) A constante de Euler $e$ O logaritmo natural ou neperiano (ln) é definido com base e (aprox. 2,718).
B) $10$ O logaritmo na base 10 é escrito como log(x).
C) $2$ Logaritmos binários normalmente são anotados como log_2(x).
D) $x$ O x é o logaritmando na expressão, não a base.

💡 Explicação

Na matemática, a notação

\ln(x)

refere-se especificamente ao logaritmo natural (ou neperiano). Por convenção universal, a base desse sistema é a constante matemática de Euler, representada pela letra

e

, cujo valor irracional é aproximadamente

2,71828

. Assim,

\ln(x) = \log_e(x)

.

Bloom: Apply

Um contador no Ceará verifica juros bancários utilizando mudança de base em logaritmos.

Aproximando

\log_{10}(2) = 0,30

e

\log_{10}(3) = 0,48

, calcule o valor de

\log_{10}(12)

.

Ver resposta

Resposta correta: B) $1,08$

A) $0,78$ Isso seria log(6) = log(2) + log(3). Faltou um fator de 2.
B) $1,08$ log(12) = log(2² * 3) = 2*log(2) + log(3) = 2(0,30) + 0,48 = 1,08.
C) $0,90$ O cálculo correto exige 2 * 0,30 + 0,48 = 1,08.
D) $0,144$ As propriedades exigem somar logaritmos, não multiplicá-los.

💡 Explicação

Devemos fatorar o número

12

em fatores primos:

12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3

. Utilizando a propriedade do produto e depois a da potência para o logaritmo, temos:

\log(12) = \log(2^2 \cdot 3) = \log(2^2) + \log(3) = 2\cdot \log(2) + \log(3)

. Substituindo os valores, temos

2(0,30) + 0,48 = 0,60 + 0,48 = 1,08

.

Bloom: Analyze

Um pesquisador biomédico em Natal modela o crescimento de uma cultura de bactérias sob condições de estresse.

A função

f(x) = \log_{1/2}(x)

apresenta qual característica comportamental no plano cartesiano em relação à função

h(x) = \log_2(x)

?

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Resposta correta: C) A função $f(x)$ é decrescente e seu gráfico é simétrico ao de $h(x)$ em relação ao eixo $x$ .

A) Ambas são funções crescentes em todo o seu domínio.Bases menores que 1 geram funções decrescentes.
B) Os gráficos são reflexões um do outro em relação ao eixo $y$ .A reflexão seria em relação ao eixo y se a variável fosse -x.
C) A função $f(x)$ é decrescente e seu gráfico é simétrico ao de $h(x)$ em relação ao eixo $x$ .log_{1/2}(x) = -log_2(x), gerando simetria vertical (eixo x).
D) Não há intersecção entre os dois gráficos.Ambos os gráficos se cruzam no ponto (1, 0).

💡 Explicação

Sendo a base de

f(x)

o inverso da base de

h(x)

(ou seja,

\frac{1}{2} = 2^{-1}

), podemos aplicar a propriedade de mudança de expoente na base:

\log_{2^{-1}}(x) = -\log_2(x) = -h(x)

. Essa mudança de sinal de todo o valor da função reflete o gráfico verticalmente em relação ao eixo das abscissas (eixo

x

).

Bloom: Analyze

Um engenheiro mecatrônico de São Bernardo do Campo resolve equações para otimizar um circuito amplificador logarítmico.

Resolva a equação

\log_3(x) + \log_3(x-8) = 2

. Qual é a raiz válida?

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Resposta correta: A) $x = 9$

A) $x = 9$ log_3(x(x-8)) = 2 => x²-8x-9=0. As raízes são 9 e -1 (inválida).
B) $x = -1$ e $x = 9$ O valor x = -1 torna o logaritmando negativo, logo é raiz falsa.
C) $x = 3$ x=3 falha na condição de existência pois (3-8) é negativo.
D) $x = 8$ Para x=8, teríamos log_3(0), que não existe.

💡 Explicação

Condições de existência:

x>0

e

x-8>0

, portanto, a resposta exige

x>8

. Juntando os logaritmos:

\log_3(x(x-8)) = 2

. Na forma exponencial:

x^2 - 8x = 3^2 \Rightarrow x^2 - 8x - 9 = 0

. Resolvendo por soma e produto ou Bhaskara, as raízes seriam

9

e

-1

. Devido ao domínio (

x>8

), a única solução é

x = 9

.

Bloom: Analyze

Uma equipe de astrônomos do Observatório do Valongo trabalha com logaritmos de base $10$ na fórmula de módulo de distância cósmica.

Transforme, via mudança de base,

\log_8(16)

para a base

2

e calcule o seu valor numérico.

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Resposta correta: C) $4/3$

A) $2$ Isso daria se as potências tivessem os mesmos graus.
B) $8/16$ Isso é uma fração dos logaritmandos e bases antigas, um erro conceitual.
C) $4/3$ log_8(16) = log_2(16) / log_2(8) = 4 / 3.
D) $3/4$ Você inverteu a fórmula: ficou log_2(base)/log_2(logaritmando).

💡 Explicação

Usamos o teorema da mudança de base para converter um logaritmo na base

8

para a base

2

:

\log_8(16) = \frac{\log_2(16)}{\log_2(8)}

. Como sabemos que

2^4 = 16

(numerador) e

2^3 = 8

(denominador), obtemos que

\log_2(16) = 4

e

\log_2(8) = 3

. O resultado final é a fração

4/3

.

Bloom: Analyze

Um administrador em Manaus projeta o tempo de decaimento do valor de um lote de máquinas industriais na floresta.

Na equação

10^x = 400

, exprima

x

utilizando apenas o logaritmo decimal do número

2

. (Dica:

\log_{10}(10) = 1

)

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Resposta correta: C) $x = 2 \log(2) + 2$

A) $x = 2 \log(2) + 1$ Seria log(40), que não dá 400. 400 é 4 * 100.
B) $x = 4 \log(2)$ Você esqueceu os fatores de 10 na decomposição.
C) $x = 2 \log(2) + 2$ 400 = 4*100. log(400) = log(4) + log(100) = 2log(2) + 2.
D) $x = 10 \log(2)$ Não há propriedade de expoente dessa magnitude aplicável.

💡 Explicação

Aplicamos o logaritmo na base

10

a ambos os lados:

x = \log(400)

. Podemos escrever

400

como

4 \cdot 100

. Pelas propriedades,

\log(400) = \log(4) + \log(100)

. Sabemos que

4 = 2^2

, portanto

\log(4) = 2\log(2)

. Além disso,

\log(100) = 2

. Juntando,

x = 2\log(2) + 2

.

Bloom: Evaluate

Um pesquisador em teoria dos números, na UNICAMP, manipula sequências aninhadas que envolvem logaritmos e expoentes iterados.

Calcule a expressão simplificada de

3^{2 + \log_3(5)}

.

Ver resposta

Resposta correta: C) $45$

A) $15$ Você somou os fatores e não aplicou a propriedade do produto na base comum.
B) $5$ Faltou aplicar o termo 3² na multiplicação da propriedade exponencial.
C) $45$ Separando a soma: 3² 3^{log_3(5)} = 9 5 = 45.
D) $30$ Houve erro aritmético, 9 vezes 5 não resulta em 30.

💡 Explicação

Para resolver

3^{2 + \log_3(5)}

, utilizamos primeiramente a propriedade das potências: soma no expoente equivale ao produto de bases iguais. Fica

3^2 \cdot 3^{\log_3(5)}

. Calculando o primeiro, temos

9

. O segundo usa a identidade

a^{\log_a(x)} = x

, resultando em

5

. O produto é

9 \cdot 5 = 45

.

Bloom: Evaluate

Na Olimpíada Brasileira de Matemática (OBMEP), alunos enfrentam inequações logarítmicas compostas para provar áreas válidas em polígonos.

Encontre o conjunto verdade da inequação

\log_{0,5}(x - 4) > -2

.

Ver resposta

Resposta correta: D) $4 < x < 8$

A) $x > 8$ Erro ao não inverter o sinal de desigualdade para base entre 0 e 1.
B) $x < 8$ Esquecimento do domínio da função logarítmica (x - 4 > 0).
C) $4 \le x \le 8$ As desigualdades são estritas, não incluem igualdades.
D) $4 < x < 8$ Com base 0,5, inverte-se: x - 4 < (0,5)^{-2} => x - 4 < 4 => x < 8. Com domínio x > 4, a interseção é (4,8).

💡 Explicação

1º Domínio:

x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4

. 2º Resolução: como a base do logaritmo é

0,5

(menor que 1, caracterizando função decrescente), quando tiramos o logaritmo, invertemos o sinal da inequação:

x - 4 < 0,5^{-2}

. Como

0,5 = 1/2

, o inverso quadrado é

4

. Logo,

x - 4 < 4 \Rightarrow x < 8

. A interseção com o domínio (

x > 4

) nos dá

4 < x < 8

.

Bloom: Evaluate

Um estudante do ITA investiga sistemas de logaritmos encadeados que geram progressões aritméticas.

Se a expressão

\log(x) + \log(x^3) + \log(x^5) = 18

for verdadeira, qual é o valor do número

x

?

Ver resposta

Resposta correta: B) $100$

A) $1000$ log(1000) seria 3. 3 + 9 + 15 = 27, não 18.
B) $100$ log(x) + 3log(x) + 5log(x) = 9log(x) = 18 => log(x) = 2. Logo x = 10^2 = 100.
C) $10$ Com x=10, log é 1. 1 + 3 + 5 = 9, não 18.
D) $9$ 9 é a soma dos coeficientes, mas x é a base da potência resultante.

💡 Explicação

Utilizamos a propriedade do expoente em cada termo, colocando-os à frente do logaritmo (supondo base 10 implícita):

\log(x) + 3\log(x) + 5\log(x) = 18

. Somando os coeficientes (termos semelhantes), temos

9\log(x) = 18

. Dividindo por

9

,

\log_{10}(x) = 2

. Por definição, isso implica que

x = 10^2 = 100

.

Bloom: Evaluate

Em uma tese de engenharia financeira na FGV, é avaliado o impacto de taxas duplas em projeções de longo prazo.

O valor de

\log_4(\log_2(256))

é correspondente a qual das alternativas abaixo?

Ver resposta

Resposta correta: B) $3/2$

A) $1/2$ O cálculo do log_2(256) dá 8. Em seguida log_4(8) não é 1/2.
B) $3/2$ log_2(256) = 8. E log_4(8) = log_2(8)/log_2(4) = 3/2.
C) $2$ Isso daria 2 se o logaritmo interno resultasse em 16.
D) $3$ Seria 3 se fosse log_2(8), esquecendo a base externa 4.

💡 Explicação

Resolvemos a expressão de dentro para fora. Primeiro o logaritmo interno: sabendo que

2^8 = 256

, afirmamos que

\log_2(256) = 8

. Agora avaliamos o logaritmo externo: precisamos achar

\log_4(8)

. Usando mudança para base

2

:

\frac{\log_2(8)}{\log_2(4)}

. Como

\log_2(8) = 3

e

\log_2(4) = 2

, obtemos exatamente o valor racional

3/2

.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?