Funcao Modular — Matemática 3º ano — Ensino Médio, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante em São Paulo está revisando o conceito de módulo (ou valor absoluto) de um número real.

Qual é a definição correta do módulo de um número real

x

, denotado por

|x|

?

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Resposta correta: B) É igual a $x$ se $x \geq 0$ , e igual a $-x$ se $x < 0$ .

A) É sempre o número $x$ , independente do sinal.Incorreto. Se x for negativo, o módulo muda o sinal para torná-lo positivo.
B) É igual a $x$ se $x \geq 0$ , e igual a $-x$ se $x < 0$ .Correto. Esta é a definição algébrica que garante que o resultado seja sempre não negativo.
C) É o quadrado do número $x$ .Incorreto. Embora x² seja positivo, o valor é diferente do módulo.
D) É a raiz quadrada do número $x$ .A raiz quadrada só é definida para x não negativo no conjunto dos reais.

💡 Explicação

O módulo de um número representa sua distância até a origem na reta numérica. Como distâncias são sempre não negativas, o módulo de um número positivo é ele mesmo, e o de um negativo é o seu oposto (positivo).

Bloom: Remember

Em uma aula de geometria analítica no Rio de Janeiro, o professor discute as propriedades do valor absoluto.

Qual é o valor da expressão

| -7 | + | 3 | - | -2 |

?

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Resposta correta: C) 8

A) 12Erro de sinal na última operação.
B) 4Erro no cálculo dos módulos individuais.
C) 87 + 3 - 2 = 8.
D) -6O resultado de uma soma de módulos (com sinal de menos fora) pode ser negativo, mas aqui o cálculo dá 8.

💡 Explicação

Primeiro calculamos cada módulo:

|-7| = 7

,

|3| = 3

e

|-2| = 2

. Depois realizamos as operações indicadas:

7 + 3 - 2 = 10 - 2 = 8

.

Bloom: Understand

Um arquiteto em Brasília projeta um monumento cujo perfil segue o gráfico da função modular básica.

Qual é o formato característico do gráfico da função

f(x) = |x|

no plano cartesiano?

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Resposta correta: C) Um formato de "V" com vértice na origem.

A) Uma linha reta inclinada.Este é o gráfico de uma função afim.
B) Uma parábola com concavidade para cima.Este é o gráfico de uma função quadrática.
C) Um formato de "V" com vértice na origem.Correto. A função é composta por duas semirretas: y = x para x ≥ 0 e y = -x para x < 0.
D) Uma curva que se aproxima dos eixos mas nunca os toca.Este seria o gráfico de uma função racional ou exponencial/logarítmica.

💡 Explicação

A função modular

f(x) = |x|

é uma função definida por duas sentenças. Para valores positivos de

x

, ela se comporta como

y = x

(bissetriz do 1º quadrante). Para valores negativos, como

y = -x

(bissetriz do 2º quadrante). O encontro dessas retas na origem forma um "V".

Bloom: Understand

Um técnico de controle de qualidade em Curitiba utiliza funções modulares para medir o desvio de uma peça em relação ao padrão.

Qual é o conjunto imagem da função modular

f(x) = |x|

definida para todo

x

real?

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Resposta correta: A) $[0, +\infty)$

A) $[0, +\infty)$ Correto. O valor absoluto é sempre maior ou igual a zero.
B) $\mathbb{R}$ O módulo nunca resulta em números negativos.
C) $(0, +\infty)$ A imagem inclui o zero, pois |0| = 0.
D) $(-\infty, 0]$ Esta seria a imagem da função f(x) = -|x|.

💡 Explicação

O valor absoluto de qualquer número real é, por definição, não negativo. Portanto, a função

f(x) = |x|

assume todos os valores de 0 até o infinito positivo.

Bloom: Understand

Um programador em Belo Horizonte utiliza a função modular para garantir que a diferença entre duas variáveis seja sempre tratada como uma distância positiva.

Resolva a equação modular:

|x - 5| = 3

.

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Resposta correta: C) $x = 8$ ou $x = 2$ .

A) $x = 8$ apenas.Existe outra solução onde o conteúdo do módulo é negativo.
B) $x = 8$ ou $x = -2$ .Se x = -2, |-2 - 5| = |-7| = 7 ≠ 3.
C) $x = 8$ ou $x = 2$ .x - 5 = 3 => x = 8; ou x - 5 = -3 => x = 2.
D) $x = 3$ ou $x = -3$ .Estas seriam as soluções de |x| = 3.

💡 Explicação

Uma equação do tipo

|u| = a

(com

a > 0

) desdobra-se em duas possibilidades:

u = a

ou

u = -a

. Assim,

x - 5 = 3 \Rightarrow x = 8

, ou

x - 5 = -3 \Rightarrow x = 2

. Ambas as soluções são válidas.

Bloom: Understand

Em um laboratório em Manaus, um sensor registra a variação de pressão, e apenas a magnitude do desvio em relação à média é importante.

Dada a função

f(x) = |x| + 2

, qual é o valor mínimo que esta função assume?

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Resposta correta: B) 2

A) 0O valor mínimo do módulo é 0, mas somamos 2 a ele.
B) 2Como |x| ≥ 0, então |x| + 2 ≥ 2. O mínimo ocorre quando x = 0.
C) -2A função nunca assume valores negativos.
D) A função não possui valor mínimo.Como o gráfico é um "V" que abre para cima, ele possui um ponto mais baixo.

💡 Explicação

O gráfico de

f(x) = |x| + 2

é o gráfico de

|x|

deslocado 2 unidades para cima. O vértice, que estava em

(0,0)

, agora está em

(0,2)

. O menor valor de

y

na imagem é 2.

Bloom: Apply

Um estudante resolve uma expressão que combina módulos de números racionais e inteiros.

Calcule o valor de

x

se

x = | - \frac{1}{2} | - | - 2 | + | 5 |

.

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Resposta correta: A) 3,5

A) 3,50,5 - 2 + 5 = 3,5.
B) 2,5Erro de operação aritmética.
C) 7,5Erro ao tratar todos os sinais como positivos na soma final.
D) -1,5Cálculo incorreto dos módulos.

💡 Explicação

Substituímos pelos valores absolutos:

|-1/2| = 0,5

;

|-2| = 2

;

|5| = 5

. A expressão torna-se

0,5 - 2 + 5 = 3,5

.

Bloom: Apply

Em um concurso público em São Paulo, cai uma questão sobre a distância entre pontos na reta real usando módulo.

A distância entre dois números reais

a

e

b

é dada por

|a - b|

. Qual é a distância entre os pontos

-15

e

8

?

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Resposta correta: A) 23

A) 23|-15 - 8| = |-23| = 23.
B) 7Erro ao subtrair os valores sem considerar o sinal negativo do 15.
C) -23Distância é sempre uma grandeza positiva.
D) 15O $15$ é o módulo de apenas um dos números: a subtração dá $-15-8=-23$ e o módulo de $23$ é $23$ , não $15$ .

💡 Explicação

Aplicamos a fórmula da distância:

|-15 - 8| = |-23|

. O valor absoluto de

-23

é

23

.

Bloom: Apply

Um técnico em eletrônica mede a diferença de potencial entre dois terminais e está interessado apenas na magnitude dessa diferença.

Determine os valores de

x

que satisfazem a equação

|2x| = 10

.

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Resposta correta: D) $x = 5$ ou $x = -5$ .

A) $x = 5$ apenas.Faltou a solução negativa.
B) $x = 10$ ou $x = -10$ .Esqueceu de dividir pelo coeficiente 2.
C) $x = 20$ ou $x = -20$ .Operação incorreta.
D) $x = 5$ ou $x = -5$ .2x = 10 => x = 5; ou 2x = -10 => x = -5.

💡 Explicação

Temos duas possibilidades:

2x = 10

, o que nos dá

x = 5

; ou

2x = -10

, o que nos dá

x = -5

.

Bloom: Apply

Um estudante em Fortaleza analisa o gráfico de uma função modular simples com deslocamento horizontal.

Qual é o vértice da função

f(x) = |x + 3|

?

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Resposta correta: C) $(-3, 0)$

A) $(3, 0)$ Para o vértice estar em 3, a função deveria ser |x - 3|.
B) $(0, 3)$ Este é o intercepto y da função.
C) $(-3, 0)$ O "V" toca o eixo x quando x + 3 = 0, ou seja, x = -3.
D) $(0, -3)$ O ponto $(0,-3)$ não pertence ao gráfico: o vértice tem ordenada $0$ , e não $-3$ .

💡 Explicação

O vértice de uma função modular do tipo

|x - h|

ocorre no ponto onde o argumento é zero. Resolvendo

x + 3 = 0

, encontramos

x = -3

. Como não há deslocamento vertical, o vértice é

(-3, 0)

.

Bloom: Apply

Um engenheiro civil em Salvador projeta uma junta de dilatação onde a folga deve estar dentro de um intervalo modular de segurança.

Qual é o conjunto solução da inequação modular

|x - 2| \leq 4

?

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Resposta correta: C) $-2 \leq x \leq 6$

A) $x \leq 6$ Incompleto. A inequação modular também impõe um limite inferior.
B) $2 \leq x \leq 4$ Cálculo incorreto dos limites do intervalo.
C) $-2 \leq x \leq 6$ -4 ≤ x - 2 ≤ 4. Somando 2 em todos os termos: -2 ≤ x ≤ 6.
D) $x \leq -2$ ou $x \geq 6$ Esta seria a solução para |x - 2| ≥ 4.

💡 Explicação

A inequação

|u| \leq a

equivale a

-a \leq u \leq a

. Portanto,

-4 \leq x - 2 \leq 4

. Somando 2 em todas as partes da desigualdade, obtemos

-2 \leq x \leq 6

.

Bloom: Apply

Um professor em Goiânia desafia seus alunos a esboçar o gráfico de uma função modular composta por uma função do 2º grau.

Quantos pontos de interseção com o eixo

x

possui a função

f(x) = |x^2 - 4|

?

Ver resposta

Resposta correta: C) 2

A) 1A função x²-4 possui duas raízes distintas.
B) 4O módulo apenas reflete a parte negativa para cima, não cria novas raízes.
C) 2As raízes ocorrem onde o conteúdo do módulo é zero: x² - 4 = 0 => x = ±2.
D) NenhumA função toca o eixo x nos pontos onde x² - 4 = 0.

💡 Explicação

Os zeros da função

f(x) = |g(x)|

são os mesmos zeros da função

g(x)

. Como

x^2 - 4 = 0

resulta em

x = 2

e

x = -2

, a função modular possui 2 interseções com o eixo das abscissas.

Bloom: Analyze

Um arquiteto em Porto Alegre analisa a simetria de uma estrutura metálica modelada por funções modulares.

Sobre a paridade da função

f(x) = |x|

, é correto afirmar que:

Ver resposta

Resposta correta: A) É uma função par.

A) É uma função par.f(-x) = |-x| = |x| = f(x). Simetria em relação ao eixo y.
B) É uma função ímpar.f(-x) não é igual a -f(x). |-x| ≠ -|x| para x ≠ 0.
C) Não possui paridade definida.Ela satisfaz a condição de função par.
D) É par e ímpar ao mesmo tempo.A única função que é par e ímpar simultaneamente é a função nula f(x) = 0.

💡 Explicação

Uma função é par se

f(x) = f(-x)

para todo

x

. Como o valor absoluto de um número e de seu oposto são iguais, a função modular básica é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo vertical.

Bloom: Analyze

Um estatístico em São Paulo utiliza a função modular para calcular o erro médio absoluto de uma previsão de vendas.

Simplifique a expressão

f(x) = \frac{|x|}{x}

para

x \neq 0

. Quais valores esta função pode assumir?

Ver resposta

Resposta correta: A) $\{-1, 1\}$

A) $\{-1, 1\}$ Se x > 0, x/x = 1. Se x < 0, -x/x = -1.
B) Qualquer número real.A razão entre um número e seu módulo só pode resultar em dois valores específicos.
C) $\{0, 1\}$ A função nunca é zero para x ≠ 0.
D) $[0, +\infty)$ A função não assume valores contínuos, apenas dois valores discretos.

💡 Explicação

Esta é a função sinal (para

x \neq 0

). Se

x

é positivo,

|x| = x

, logo a razão é 1. Se

x

é negativo,

|x| = -x

, logo a razão é

-x/x = -1

.

Bloom: Analyze

Um investidor monitora a volatilidade de um fundo, que é medida pela soma dos módulos das variações diárias.

Qual é o conjunto solução da equação

|x + 1| = |2x - 4|

?

Ver resposta

Resposta correta: D) $x = 5$ ou $x = 1$ .

A) $x = 3$ apenas.Faltou a segunda possibilidade da igualdade modular.
B) $x = 1$ apenas.Valor incorreto para esta equação.
C) $x = 5$ ou $x = -1$ .Testando x = -1: |0| = |-6|, o que é falso.
D) $x = 5$ ou $x = 1$ .x + 1 = 2x - 4 => x = 5; ou x + 1 = -(2x - 4) => 3x = 3 => x = 1.

💡 Explicação

Uma equação

|a| = |b|

implica

a = b

ou

a = -b

.
1)

x + 1 = 2x - 4 \Rightarrow x = 5

.
2)

x + 1 = -(2x - 4) \Rightarrow x + 1 = -2x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1

.
Ambas as soluções satisfazem a igualdade.

Bloom: Analyze

Um matemático estuda a composição da função modular com a função afim e seu efeito no gráfico.

Dada a função

f(x) = |x - 3| + |x + 1|

, qual é o valor constante de

f(x)

para o intervalo

-1 \leq x \leq 3

?

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Resposta correta: B) 4

A) 2Cálculo incorreto da soma dos módulos no intervalo.
B) 4No intervalo, x-3 ≤ 0 e x+1 ≥ 0. Então f(x) = -(x-3) + (x+1) = -x+3+x+1 = 4.
C) 0A soma de módulos de termos diferentes no intervalo não resulta em zero.
D) $2x$ No intervalo dado, as variáveis x se cancelam.

💡 Explicação

Analisamos os sinais dentro dos módulos para

-1 \leq x \leq 3

:
1)

(x - 3)

é negativo ou zero, logo

|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3

.
2)

(x + 1)

é positivo ou zero, logo

|x + 1| = x + 1

.
Somando:

(-x + 3) + (x + 1) = 4

. A função é constante nesse trecho.

Bloom: Evaluate

Um pesquisador em Campinas investiga as propriedades de funções que envolvem o módulo do módulo.

Quantas soluções reais possui a equação

||x| - 2| = 1

?

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Resposta correta: D) 4

A) 2O desdobramento dos dois níveis de módulo gera mais soluções.
B) 3Todas as 4 soluções encontradas são distintas e válidas.
C) NenhumaA equação possui soluções reais.
D) 4|x|-2 = 1 => |x|=3 (±3); ou |x|-2 = -1 => |x|=1 (±1). Total de 4 soluções.

💡 Explicação

Desdobramos o módulo externo:
1)

|x| - 2 = 1 \Rightarrow |x| = 3

, o que dá

x = 3

e

x = -3

.
2)

|x| - 2 = -1 \Rightarrow |x| = 1

, o que dá

x = 1

e

x = -1

.
Ao todo, temos 4 soluções distintas para

x

.

Bloom: Evaluate

Durante uma olimpíada de matemática, os estudantes devem resolver inequações modulares complexas.

Qual é o conjunto solução da inequação

|2x - 6| > 4

?

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Resposta correta: B) $x < 1$ ou $x > 5$

A) $1 < x < 5$ Esta seria a solução para |2x - 6| < 4.
B) $x < 1$ ou $x > 5$ 2x - 6 > 4 => 2x > 10 => x > 5; ou 2x - 6 < -4 => 2x < 2 => x < 1.
C) $x > 5$ apenas.Faltou a parte negativa da inequação.
D) $\mathbb{R}$ A função assume valores menores ou iguais a 4 no intervalo [1, 5].

💡 Explicação

A inequação

|u| > a

desdobra-se em

u > a

ou

u < -a

.
1)

2x - 6 > 4 \Rightarrow 2x > 10 \Rightarrow x > 5

.
2)

2x - 6 < -4 \Rightarrow 2x < 2 \Rightarrow x < 1

.
A solução é a união desses dois intervalos:

(-\infty, 1) \cup (5, +\infty)

.

Bloom: Evaluate

No vestibular de uma universidade de elite, propõe-se um problema sobre a área delimitada por funções modulares.

Qual é a área da região fechada delimitada pelo gráfico da função

f(x) = 4 - |x|

e o eixo das abscissas (

x

)?

Ver resposta

Resposta correta: A) 16

A) 16A base do triângulo vai de -4 a 4 (comprimento 8). A altura é f(0) = 4. Área = (8 * 4) / 2 = 16.
B) 8Erro no cálculo da área do triângulo.
C) 32Esqueceu de dividir por 2 na fórmula da área do triângulo.
D) 4Valor muito baixo para a região descrita.

💡 Explicação

A função

f(x) = 4 - |x|

intercepta o eixo

x

quando

4 - |x| = 0

, ou seja, em

x = 4

e

x = -4

. A base do triângulo formado tem comprimento

4 - (-4) = 8

. A altura ocorre no vértice em

x = 0

, onde

f(0) = 4

. A área do triângulo é

(\text{base} \cdot \text{altura}) / 2 = (8 \cdot 4) / 2 = 16

.

Bloom: Evaluate

Um matemático investiga o número de soluções de equações que misturam funções lineares e modulares.

Para qual valor de

k

a equação

|x - 2| + |x + 2| = k

possui infinitas soluções para

x

?

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Resposta correta: A) $k = 4$

A) $k = 4$ Para x entre -2 e 2, a soma é (2-x) + (x+2) = 4. Assim, para k=4, todo o intervalo [-2, 2] é solução.
B) $k = 0$ A soma de módulos de pontos diferentes nunca é zero.
C) $k = 2$ O valor mínimo da soma é 4.
D) Para nenhum valor de $k$ .Existe um valor onde a função é constante.

💡 Explicação

Analisando a função

g(x) = |x - 2| + |x + 2|

, vemos que no intervalo

[-2, 2]

, o primeiro termo é

-(x - 2) = 2 - x

e o segundo é

(x + 2)

. A soma é

(2 - x) + (x + 2) = 4

. Portanto, se

k = 4

, qualquer valor de

x

no intervalo

[-2, 2]

satisfaz a equação, resultando em infinitas soluções.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?