Sequencias Progressoes — Matemática 3º ano — Ensino Médio, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante em São Paulo está introduzindo o estudo de sequências numéricas e suas leis de formação.

O que define uma sequência numérica na matemática?

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Resposta correta: D) Uma sucessão de números dispostos em uma ordem determinada.

A) Uma lista de números aleatórios sem relação entre si.Sequências matemáticas seguem uma ordem ou lei específica.
B) Um conjunto de números que sempre termina em zero.Sequências podem ser infinitas e ter qualquer comportamento.
C) Apenas as listas de números que crescem constantemente.Existem sequências decrescentes, oscilantes e constantes.
D) Uma sucessão de números dispostos em uma ordem determinada.Correto. Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais.

💡 Explicação

Uma sequência numérica é um conjunto de números reais dispostos em uma ordem específica, geralmente denotados por

(a_1, a_2, a_3, ..., a_n, ...)

, onde cada

a_i

representa um termo da sucessão ocupando a posição

i

.

Bloom: Remember

Em uma aula no Rio de Janeiro, o professor apresenta a famosa Sequência de Fibonacci, presente em diversos fenômenos da natureza.

Na Sequência de Fibonacci

(1, 1, 2, 3, 5, 8, ...)

, como é obtido cada termo a partir do terceiro?

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Resposta correta: C) Somando os dois termos imediatamente anteriores.

A) Multiplicando o termo anterior por 2.Esta seria uma progressão geométrica.
B) Somando um valor constante ao termo anterior.Esta seria uma progressão aritmética.
C) Somando os dois termos imediatamente anteriores.Correto. a_n = a_{n-1} + a_{n-2}.
D) Elevando o termo anterior ao quadrado.Não. Cada termo é a soma dos dois anteriores, e não o quadrado do termo anterior.

💡 Explicação

A Sequência de Fibonacci é uma sequência recursiva clássica. Após os dois primeiros termos (ambos iguais a 1), cada novo número é a soma dos seus dois antecessores diretos:

1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8

, e assim por diante.

Bloom: Understand

Um analista de sistemas em Brasília cria uma sequência para gerar códigos de identificação de usuários.

Dada a lei de formação

a_n = 3n + 2

, qual é o quarto termo (

a_4

) desta sequência?

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Resposta correta: C) 14

A) 123 * 4 é 12, mas esqueceu de somar o 2.
B) 9Valor incorreto para a posição n=4.
C) 14a_4 = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14.
D) 17Este seria o quinto termo (n=5).

💡 Explicação

Para encontrar um termo específico em uma sequência definida por uma fórmula geral, substituímos

n

pela posição desejada. No caso,

a_4 = 3 \cdot 4 + 2 = 14

.

Bloom: Understand

Um arquiteto em Curitiba projeta uma escadaria onde a altura dos degraus segue uma progressão simples.

Qual é a razão (

r

) da Progressão Aritmética (PA) definida pela sequência

(7, 12, 17, 22, ...)

?

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Resposta correta: D) 5

A) 7Este é o primeiro termo, não a razão.
B) 19A razão é a diferença entre termos consecutivos: 12 − 7 = 5, e não 19.
C) -5A sequência é crescente, logo a razão deve ser positiva.
D) 5r = 12 - 7 = 5. A diferença entre termos consecutivos é constante e igual a 5.

💡 Explicação

Em uma Progressão Aritmética, a razão é a diferença constante entre qualquer termo (a partir do segundo) e seu antecessor:

r = a_2 - a_1 = a_3 - a_2

. Aqui,

12 - 7 = 5

.

Bloom: Understand

Um biólogo em Manaus estuda o crescimento de uma população de formigas que triplica a cada observação.

Considere a Progressão Geométrica (PG)

(2, 6, 18, 54, ...)

. Qual é a razão (

q

) desta progressão?

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Resposta correta: A) 3

A) 3q = 6 / 2 = 3. Cada termo é o anterior multiplicado por 3.
B) 44 é a diferença, mas em PG buscamos o quociente (razão multiplicativa).
C) 2Este é o primeiro termo da sequência.
D) 12Em uma PG a razão é o quociente entre termos consecutivos: 6 ÷ 2 = 3, e não 12.

💡 Explicação

Em uma Progressão Geométrica, a razão é o quociente constante entre um termo e o seu anterior:

q = a_2 / a_1

. No exemplo:

6 / 2 = 3

.

Bloom: Understand

Um programador em Belo Horizonte utiliza uma sequência definida recursivamente para controlar a animação de um objeto em um jogo.

Seja uma sequência onde

a_1 = 5

e

a_{n+1} = a_n - 3

. Qual é o terceiro termo desta sequência?

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Resposta correta: D) -1

A) 2Este é o segundo termo (5 - 3).
B) 8A sequência está subtraindo valores, não somando.
C) -4Este seria o quarto termo.
D) -1a1 = 5; a2 = 5 - 3 = 2; a3 = 2 - 3 = -1.

💡 Explicação

Trata-se de uma definição recursiva. Partimos de

a_1 = 5

. Aplicamos a regra para achar

a_2

:

5 - 3 = 2

. Aplicamos novamente para achar

a_3

:

2 - 3 = -1

.

Bloom: Apply

Um engenheiro em Salvador projeta o empilhamento de tubos onde cada camada tem um número fixo de tubos a menos que a anterior.

Numa PA de primeiro termo

a_1 = 10

e razão

r = 4

, qual é o vigésimo termo (

a_{20}

)?

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Resposta correta: A) 86

A) 86a_20 = a1 + (20-1)r = 10 + 19 * 4 = 10 + 76 = 86.
B) 90Cálculo incorreto do termo geral.
C) 80Esqueceu de considerar o primeiro termo ou usou n em vez de n-1.
D) 76Este é apenas o valor do acréscimo total (19 * 4).

💡 Explicação

Usamos a fórmula do termo geral da PA:

a_n = a_1 + (n-1) \cdot r

. Substituindo os valores conhecidos:

a_{20} = 10 + (20-1) \cdot 4 = 10 + 19 \cdot 4 = 10 + 76 = 86

.

Bloom: Apply

Um investidor em Goiânia aplica um capital em um regime onde o saldo cresce conforme uma PG de razão 2.

Dada a PG

(5, 10, 20, ...)

, qual é o sétimo termo (

a_7

)?

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Resposta correta: C) 320

A) 160Este é o sexto termo.
B) 640Este seria o oitavo termo.
C) 320a7 = a1 q^(7-1) = 5 2⁶ = 5 * 64 = 320.
D) 80Este é o quinto termo.

💡 Explicação

Usamos a fórmula do termo geral da PG:

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

. Aqui

a_1 = 5

e

q = 10/5 = 2

. Para

n=7

:

a_7 = 5 \cdot 2^{7-1} = 5 \cdot 2^6 = 5 \cdot 64 = 320

.

Bloom: Apply

Um professor em Fortaleza desafia os alunos a encontrar o número de termos de uma sequência finita.

Quantos termos possui a PA finita

(-3, 1, 5, ..., 113)

?

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Resposta correta: C) 30

A) 28Erro ao aplicar a fórmula do termo geral.
B) 29Esqueceu de somar 1 ao final do isolamento de n.
C) 30113 = -3 + (n-1)4 => 116 = 4(n-1) => 29 = n-1 => n = 30.
D) 31Cálculo incorreto da razão ou da divisão.

💡 Explicação

Identificamos

a_1 = -3

,

r = 1 - (-3) = 4

e

a_n = 113

. Pela fórmula:

113 = -3 + (n-1) \cdot 4

. Somando 3:

116 = 4(n-1)

. Dividindo por 4:

29 = n - 1

. Logo,

n = 30

.

Bloom: Analyze

Um arquiteto em Porto Alegre analisa as propriedades de uma sequência que não é nem PA nem PG, mas segue uma regra lógica clara.

Qual é o próximo termo da sequência

(2, 5, 10, 17, 26, ...)

?

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Resposta correta: A) 37

A) 37A sequência segue a lei an = n² + 1. Para n=6: 6² + 1 = 37. Ou as diferenças são 3, 5, 7, 9, logo a próxima é 11: 26+11=37.
B) 35Diferença constante não se aplica aqui.
C) 39A regra é aₙ = n² + 1, então para n = 6 o termo seria 6² + 1 = 37. O valor 39 exigiria uma regra diferente da observada.
D) 41As diferenças entre os termos são 3, 5, 7, 9, logo o próximo aumento é 11 e 26 + 11 = 37. O valor 41 corresponderia a um aumento de 15.

💡 Explicação

Podemos observar o padrão das diferenças entre termos:

5-2=3, 10-5=5, 17-10=7, 26-17=9

. As diferenças formam uma PA de razão 2. A próxima diferença deve ser 11. Somando ao último termo:

26 + 11 = 37

. Alternativamente, notamos que cada termo é da forma

n^2 + 1

.

Bloom: Analyze

Um estatístico em São Paulo utiliza a soma de progressões para calcular o total de eventos em um período determinado.

Qual é a soma dos 10 primeiros termos da PA

(2, 5, 8, ...)

?

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Resposta correta: B) 155

A) 310Esqueceu de dividir por 2 na fórmula da soma da PA.
B) 155a10 = 2 + 9*3 = 29. S10 = (a1 + a10) 10 / 2 = (2 + 29) 5 = 155.
C) 145Erro no cálculo do décimo termo.
D) 165Cálculo incorreto da soma.

💡 Explicação

1) Achamos o décimo termo:

a_{10} = 2 + (10-1) \cdot 3 = 2 + 27 = 29

.
2) Aplicamos a fórmula da soma:

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

.
3)

S_{10} = \frac{(2 + 29) \cdot 10}{2} = 31 \cdot 5 = 155

.

Bloom: Analyze

Um matemático estuda a convergência de séries e a soma de termos de uma PG.

Determine a soma dos 6 primeiros termos da PG

(3, 6, 12, ...)

.

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Resposta correta: D) 189

A) 93Valor muito baixo para a soma solicitada.
B) 192Este é apenas o sétimo termo da sequência, não a soma.
C) 378Com q = 2, a soma dos 6 primeiros termos é 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189, e não 378.
D) 189S6 = a1 (q⁶ - 1) / (q - 1) = 3 (2⁶ - 1) / (2 - 1) = 3 * 63 = 189.

💡 Explicação

Usamos a fórmula da soma da PG finita:

S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}

. Com

a_1 = 3

e

q = 2

:

S_6 = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{3(64 - 1)}{1} = 3 \cdot 63 = 189

.

Bloom: Evaluate

Um pesquisador em Campinas investiga propriedades de sequências onde os termos dependem de parâmetros desconhecidos.

Se os números

(x, x+4, 3x)

formam, nesta ordem, uma Progressão Aritmética, qual é o valor de

x

?

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Resposta correta: C) $x = 4$

A) $x = 2$ Se x=2, a sequência é (2, 6, 6), que não é PA.
B) $x = 8$ Se x=8, a sequência é (8, 12, 24), que não é PA.
C) $x = 4$ Na PA: (x+4) - x = 3x - (x+4) => 4 = 2x - 4 => 8 = 2x => x = 4. Seq: (4, 8, 12).
D) $x = 0$ Resultaria na sequência (0, 4, 0), que não é PA.

💡 Explicação

Em uma PA de três termos, o termo médio é a média aritmética dos extremos:

a_2 = (a_1 + a_3) / 2

. Assim,

x + 4 = (x + 3x) / 2 \Rightarrow x + 4 = 4x / 2 \Rightarrow x + 4 = 2x

. Isolando

x

, temos

x = 4

.

Bloom: Evaluate

Durante uma olimpíada de matemática, os estudantes devem analisar uma sequência de triângulos cujas áreas diminuem em progressão.

Considere a sequência infinita

(1, 1/2, 1/4, 1/8, ...)

. Qual é o limite da soma de todos os termos desta sequência (soma infinita)?

Ver resposta

Resposta correta: C) 2

A) 1A soma ultrapassa 1 logo no segundo termo.
B) A soma é infinita.Como |q| < 1, a soma converge para um valor finito.
C) 2S_inf = a1 / (1 - q) = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.
D) 1,5Este é apenas o valor da soma dos dois primeiros termos.

💡 Explicação

Trata-se de uma PG infinita convergente com

a_1 = 1

e

q = 1/2

. A fórmula para a soma dos termos de uma PG infinita onde

-1 < q < 1

é

S = \frac{a_1}{1 - q}

. Aplicando:

S = \frac{1}{1 - 0,5} = \frac{1}{0,5} = 2

.

Bloom: Evaluate

No vestibular de uma universidade de elite, propõe-se um problema que une os conceitos de PA e PG.

Seja

(a_n)

uma PA tal que

a_1 = 2

e

r = 3

. Seja

(b_n)

uma PG tal que

b_1 = a_2

e

b_2 = a_5

. Qual é o valor de

b_3

?

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Resposta correta: A) 39,2

A) 39,2a2 = 5, a5 = 14. Razão q = 14/5 = 2,8. b3 = 14 * 2,8 = 39,2.
B) 32Valor incorreto para a sequência dada.
C) 40,5Cálculo incorreto dos termos da PA.
D) 45Erro de cálculo.

💡 Explicação

1) PA:

a_1 = 2, r = 3 \Rightarrow a_2 = 5, a_3 = 8, a_4 = 11, a_5 = 14

.
2) PG:

b_1 = a_2 = 5, b_2 = a_5 = 14

.
3) Razão da PG:

q = b_2 / b_1 = 14 / 5 = 2,8

.
4) Terceiro termo da PG:

b_3 = b_2 \cdot q = 14 \cdot 2,8 = 39,2

.

Bloom: Evaluate

Um matemático investiga o produto dos termos de uma Progressão Geométrica finita.

Qual é o produto dos 5 primeiros termos da PG

(2, 4, 8, 16, 32)

?

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Resposta correta: A) $2^{15}$

A) $2^{15}$ P = 2¹ 2² 2³ 2⁴ 2⁵ = 2^(1+2+3+4+5) = 2^15.
B) $2^{10}$ A soma dos expoentes não é 10.
C) $2^5$ Este é apenas o último termo.
D) $2^{20}$ A soma dos expoentes de 1 a 5 é 15.

💡 Explicação

Podemos escrever cada termo como uma potência de 2:

2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5

. O produto de potências de mesma base é obtido mantendo a base e somando os expoentes:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

. O resultado é

2^{15} = 32768

.

Bloom: Apply

Em um laboratório de física, a temperatura de um objeto cai em progressão aritmética.

Se a temperatura inicial é 100°C e cai 4°C por minuto, qual será a temperatura após 15 minutos?

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Resposta correta: A) 40°C

A) 40°Ca16 = 100 + 15 * (-4) = 40.
B) 44°COs 4°C de queda valem por minuto e não por passo da PG: a queda total em 15 minutos é 15 × 4 = 60, logo 100 − 60 = 40 e não 44.
C) 60°CSeria o resultado de uma queda de apenas 40°C em 15 minutos, ou seja, algo como 2,67°C por minuto. A queda correta é de 4°C por minuto, o que dá 40°C.
D) 36°CCom a razão de -4°C por minuto o termo é a₁₆ = 100 + 15·(-4) = 40. O valor 36 exigiria uma queda de 4,27°C por minuto.

💡 Explicação

O tempo 0 é a1=100. Após 15 minutos, estamos no termo a16. a16 = 100 + 15*(-4) = 100 - 60 = 40°C.

Bloom: Analyze

Um matemático analisa a interpolação geométrica entre dois valores de pressão.

Insira dois meios geométricos entre 3 e 24. Qual é o valor do segundo termo da PG formada?

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Resposta correta: C) 6

A) 12Se q=2, os meios seriam 6 e 12. Mas 12*2=24, confere.
B) 8Com q = 2 a PG é 3, 6, 12, 24 e o segundo termo é 6, não 8. Para obter 8 seria preciso 24 = 3·q³ dar q ≠ 2.
C) 624 = 3 * q³ => q³ = 8 => q = 2. Termos: 3, 6, 12, 24. O segundo termo é 6.
D) 9Se o segundo termo fosse 9, a razão seria q = 3 e o quarto termo seria 81, não 24. Com 24 = 3·q³ temos q = 2.

💡 Explicação

Temos a1=3 e a4=24. 24 = 3 * q^3 => q^3 = 8 => q = 2. A PG é (3, 6, 12, 24). O segundo termo é 6.

Bloom: Evaluate

Um analista financeiro estuda o rendimento de um fundo com ganhos exponenciais.

Uma aplicação de R\$ 1.000,00 rende 10\% ao mês. Qual é o montante acumulado após 3 meses?

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Resposta correta: C) R\$ 1.331,00

A) R\$ 1.300,00Este seria o valor com juros simples.
B) R\$ 1.210,00Este é o valor após 2 meses.
C) R\$ 1.331,00Com 10% ao mês em juros compostos o montante é 1000·(1,1)³ = 1331. Os 1331 reais Resultam de aplicar o fator três vezes, não apenas uma.
D) R\$ 1.400,00R$ 1.400,00 pressupõe um rendimento de 40% no período, o que não corresponde a 10% ao mês compostos durante três meses (1000·1,1³ = 1331).

💡 Explicação

Usamos PG com a1=1000 e q=1,1. O montante após 3 meses é o termo a4 = 1000 (1,1)^3 = 1000 1,331 = 1331.

Bloom: Evaluate

Um pesquisador investiga a soma dos quadrados dos termos de uma PA.

Dada a PA (1, 3, 5), qual é a soma dos quadrados de seus termos?

Ver resposta

Resposta correta: B) 35

A) 9Soma simples 1+3+5=9.
B) 351² + 3² + 5² = 1 + 9 + 25 = 35.
C) 81(1+3+5)² = 81.
D) 45Elevando cada termo ao quadrado: 1 + 9 + 25 = 35. Somando os termos antes de elevar, o resultado seria 81.

💡 Explicação

Elevamos cada termo ao quadrado: 1^2 = 1, 3^2 = 9, 5^2 = 25. Somamos os resultados: 1 + 9 + 25 = 35.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?