Progressao Aritmetica — Matemática 3º ano — Ensino Médio, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante em São Paulo revisa os conceitos fundamentais de sequências para sua prova de matemática.

Qual é a fórmula do termo geral (

a_n

) de uma Progressão Aritmética (PA) em função do primeiro termo (

a_1

), da posição (

n

) e da razão (

r

)?

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Resposta correta: D) $a_n = a_1 + (n - 1)r$

A) $a_n = a_1 + nr$ Incorreto. O termo n deve ser subtraído de 1, pois o primeiro termo não recebe a razão.
B) $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ Esta é a fórmula do termo geral de uma Progressão Geométrica.
C) $a_n = \frac{a_1 + a_{n-1}}{2}$ Esta é uma propriedade do termo médio, não a fórmula do termo geral.
D) $a_n = a_1 + (n - 1)r$ Correto. Esta fórmula permite encontrar qualquer termo da PA conhecendo o primeiro e a razão.

💡 Explicação

Em uma PA, cada termo a partir do segundo é igual ao anterior somado a uma constante

r

. Para chegar ao termo de posição

n

, partimos de

a_1

e somamos a razão

n-1

vezes.

Bloom: Remember

Um professor no Rio de Janeiro explica como classificar uma progressão baseando-se no sinal de sua razão.

Uma Progressão Aritmética é considerada decrescente quando:

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Resposta correta: C) A razão $r$ é negativa ( $r < 0$ ).

A) A razão $r$ é igual a zero.Se r = 0, a progressão é constante ou estacionária.
B) A razão $r$ é positiva ( $r > 0$ ).Se r > 0, a progressão é crescente.
C) A razão $r$ é negativa ( $r < 0$ ).Correto. Somar um número negativo faz com que os termos sucessivos sejam menores.
D) O primeiro termo $a_1$ é negativo.O sinal de a1 não determina se a PA cresce ou decresce, apenas a razão r.

💡 Explicação

O comportamento de crescimento da PA depende exclusivamente da razão. Se somamos valores negativos (

r < 0

), os termos da sequência diminuem de valor à medida que a posição

n

aumenta.

Bloom: Understand

Um arquiteto projeta uma escada em Curitiba onde a largura dos degraus diminui linearmente de baixo para cima.

Dada a PA

(-5, -2, 1, 4, ...)

, qual é o valor da razão

r

?

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Resposta correta: A) 3

A) 3r = -2 - (-5) = -2 + 5 = 3.
B) -3A sequência está aumentando, logo a razão deve ser positiva.
C) 2Cálculo incorreto da diferença entre os termos.
D) -7Erro de operação aritmética.

💡 Explicação

A razão é a diferença entre um termo e seu antecessor:

r = a_2 - a_1

. No caso,

r = -2 - (-5) = -2 + 5 = 3

.

Bloom: Understand

Um economista em Brasília utiliza a fórmula da soma da PA para calcular o total de parcelas pagas em um financiamento com amortização constante.

Qual é a fórmula para calcular a soma dos

n

primeiros termos (

S_n

) de uma PA?

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Resposta correta: B) $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

A) $S_n = (a_1 + a_n) \cdot n$ Falta dividir por 2 na fórmula.
B) $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ Correto. É a média aritmética dos extremos multiplicada pelo número de termos.
C) $S_n = a_1 + (n-1)r$ Esta é a fórmula do termo geral, não da soma.
D) $S_n = n \cdot r$ A fórmula da soma precisa do primeiro e do último termo e do fator 1/2. Esta expressão usa apenas a razão, que é justamente o que a soma dos n primeiros termos não depende sozinha.

💡 Explicação

A soma dos termos de uma PA pode ser visualizada pareando os termos (primeiro com último, segundo com penúltimo, etc.), onde cada par tem a mesma soma. O resultado é a soma de um par (

a_1 + a_n

) multiplicado pela quantidade de pares (

n/2

).

Bloom: Understand

Um técnico de laboratório registra o aumento de temperatura de uma estufa que sobe $2^\circ$C a cada 10 minutos.

Se o primeiro termo de uma PA é

a_1 = 12

e a razão é

r = 5

, qual é o valor do termo

a_{11}

?

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Resposta correta: C) 62

A) 67a11 = 12 + 11*5 = 67. Erro: usou n em vez de n-1.
B) 57Este é o valor de a10.
C) 62a11 = 12 + (11-1)*5 = 12 + 50 = 62.
D) 72Cálculo incorreto.

💡 Explicação

Aplicamos o termo geral:

a_{11} = a_1 + 10r

. Substituindo:

a_{11} = 12 + 10 \cdot 5 = 12 + 50 = 62

.

Bloom: Understand

Um atleta em Belo Horizonte planeja seu treinamento aumentando a distância percorrida em 400 metros a cada dia.

Quantos termos existem na PA finita

(10, 14, 18, ..., 90)

?

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Resposta correta: D) 21

A) 20Cálculo incorreto.
B) 22Erro ao finalizar a resolução da equação.
C) 80Este é o deslocamento total, não o número de termos.
D) 2190 = 10 + (n-1)4 => 80 = 4(n-1) => 20 = n-1 => n = 21.

💡 Explicação

Usamos o termo geral para isolar

n

:

a_n = a_1 + (n-1)r \Rightarrow 90 = 10 + (n-1) \cdot 4

. Subtraindo 10 de ambos os lados:

80 = 4(n-1)

. Dividindo por 4:

20 = n - 1

. Logo,

n = 21

.

Bloom: Apply

Uma empresa em Salvador organiza seu estoque em prateleiras onde a primeira tem 50 caixas e cada prateleira seguinte tem 3 caixas a menos.

Qual é a posição do termo que vale 20 nesta PA?

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Resposta correta: C) 11ª

A) 10ªa10 = 50 + 9*(-3) = 50 - 27 = 23. Quase lá.
B) 12ªa12 = 50 - 33 = 17.
C) 11ª20 = 50 + (n-1)(-3) => -30 = -3(n-1) => 10 = n-1 => n = 11.
D) 9ªa9 = 50 - 24 = 26.

💡 Explicação

Montamos a equação com

a_1 = 50

,

r = -3

e

a_n = 20

. Temos

20 = 50 + (n-1)(-3)

. Resolvendo:

-30 = -3(n-1) \Rightarrow 10 = n - 1 \Rightarrow n = 11

.

Bloom: Apply

Um investidor aplica R\$ 100,00 por mês em uma conta que não rende juros, apenas acumula o capital.

Qual é a soma dos 12 primeiros termos da PA

(100, 200, 300, ...)

?

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Resposta correta: B) 7.800

A) 1.200Este seria o valor se não houvesse acúmulo (apenas o 12º termo).
B) 7.800a12 = 1200. Soma = (100 + 1200) 12 / 2 = 1300 6 = 7800.
C) 6.600Cálculo incorreto da soma.
D) 15.600Esqueceu de dividir por 2 na fórmula da soma.

💡 Explicação

O 12º termo é

100 + (12-1)100 = 1200

. A soma é

S_{12} = \frac{(100 + 1200) \cdot 12}{2} = 1300 \cdot 6 = 7800

.

Bloom: Apply

Um programador em Recife cria uma rotina de repetição onde o valor de uma variável segue uma PA.

Numa PA, sabe-se que

a_3 = 10

e

a_6 = 19

. Qual é o valor da razão

r

?

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Resposta correta: D) 3

A) 99 é a diferença entre os termos, mas eles estão separados por 3 posições.
B) 4Se r=4, a6 seria 10 + 12 = 22.
C) 2Se r=2, a6 seria 10 + 6 = 16.
D) 3a6 = a3 + 3r => 19 = 10 + 3r => 9 = 3r => r = 3.

💡 Explicação

Usamos a relação entre dois termos quaisquer:

a_k = a_j + (k-j)r

. Logo,

a_6 = a_3 + (6-3)r \Rightarrow 19 = 10 + 3r

. Resolvendo para

r

, temos

3r = 9

, então

r = 3

.

Bloom: Apply

Um agrimensor em Manaus mede a distância entre estacas colocadas em linha reta com intervalos constantes.

Insira 3 meios aritméticos entre os números 5 e 21. Qual é a razão da PA formada?

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Resposta correta: C) 4

A) 5Se r=5, a sequência seria 5, 10, 15, 20, 25. O último seria 25, não 21.
B) 3Se r=3, o 5º termo seria 17.
C) 4Com 3 meios, temos 5 termos no total. 21 = 5 + 4r => 16 = 4r => r = 4. PA: (5, 9, 13, 17, 21).
D) 2Com r = 2 a PA seria 5, 7, 9, 11 e o 5º termo seria 13, não 21.

💡 Explicação

Inserir 3 meios aritméticos entre 5 e 21 significa criar uma PA onde

a_1 = 5

e

a_5 = 21

. Pela fórmula:

21 = 5 + (5-1) \cdot r \Rightarrow 16 = 4r \Rightarrow r = 4

.

Bloom: Apply

Um engenheiro em São Paulo calcula o peso suportado por colunas dispostas em série com reforço progressivo.

Em uma PA, a soma dos

n

primeiros termos é dada por

S_n = n^2 + 2n

. Qual é o valor do primeiro termo

a_1

e da razão

r

?

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Resposta correta: C) $a_1 = 3, r = 2$

A) $a_1 = 3, r = 3$ O primeiro termo está certo, mas S_2 = 2^2 + 2·2 = 8 obriga a_2 = 8 - 3 = 5, logo r = 5 - 3 = 2 e não 3.
B) $a_1 = 1, r = 2$ S1 daria 3, não 1.
C) $a_1 = 3, r = 2$ S1 = a1 = 1² + 2(1) = 3. S2 = a1 + a2 = 2² + 2(2) = 8. Logo a2 = 5 e r = 5-3 = 2.
D) $a_1 = 3, r = 1$ Se r=1, a2 seria 4 e S2 seria 7, mas S2 pela fórmula é 8.

💡 Explicação

1)

a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 3

.
2)

a_1 + a_2 = S_2 = 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8

.
3)

a_2 = 8 - a_1 = 8 - 3 = 5

.
4)

r = a_2 - a_1 = 5 - 3 = 2

.

Bloom: Apply

Um analista financeiro avalia o total acumulado de um fundo onde o aporte mensal cresce linearmente para compensar a inflação.

Determine a soma de todos os números naturais múltiplos de 7 entre 10 e 100.

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Resposta correta: C) 728

A) 700Valor aproximado, mas não exato.
B) 735Erro no cálculo da soma dos termos.
C) 728PA: (14, 21, ..., 98). n=13. Soma = (14+98)*13/2 = 112*6,5 = 728.
D) 630Valor muito baixo.

💡 Explicação

1) Primeiro múltiplo: 14. Último múltiplo: 98.
2) Número de termos:

98 = 14 + (n-1)7 \Rightarrow 84 = 7(n-1) \Rightarrow 12 = n-1 \Rightarrow n = 13

.
3) Soma:

S_{13} = \frac{(14 + 98) \cdot 13}{2} = \frac{112 \cdot 13}{2} = 56 \cdot 13 = 728

.

Bloom: Analyze

Um professor desafia os alunos com uma propriedade curiosa dos termos da PA.

Três números estão em PA. A soma deles é 15 e o produto é 80. Quais são esses números?

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Resposta correta: A) 2, 5, 8

A) 2, 5, 8Soma = 2+5+8 = 15. Produto = 2*5*8 = 80. Razão r=3.
B) 1, 5, 9Soma = 15, mas produto = 45.
C) 3, 5, 7Soma = 15, mas produto = 105.
D) 4, 5, 6Soma = 15, mas produto = 120.

💡 Explicação

Representamos os termos como

(x-r, x, x+r)

. A soma é

(x-r) + x + (x+r) = 3x = 15 \Rightarrow x = 5

. O produto é

(5-r) \cdot 5 \cdot (5+r) = 80 \Rightarrow 25 - r^2 = 16 \Rightarrow r^2 = 9 \Rightarrow r = 3

. Os termos são

5-3=2, 5

e

5+3=8

.

Bloom: Analyze

Um arquiteto em Porto Alegre utiliza PA para definir as alturas de colunas em um telhado inclinado.

Em uma PA,

a_1 + a_9 = 20

. Qual é o valor de

a_5

?

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Resposta correta: A) 10

A) 10Pela propriedade dos termos equidistantes, a1+a9 = a5+a5 = 2*a5. Logo a5 = 20/2 = 10.
B) 5Numa PA a soma de dois termos equidistantes dos extremos é constante: a_1 + a_9 = 2·a_5. Como a soma vale 20, a_5 = 10 e não 5.
C) 20Este é o valor da soma dos extremos.
D) Não é possível determinar sem a razão.É possível sim, pois a5 é o termo médio exato entre a1 e a9.

💡 Explicação

Em qualquer PA, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é constante. Como

1+9 = 10

, e

5+5 = 10

, então

a_1 + a_9 = a_5 + a_5 = 2 \cdot a_5

. Assim,

a_5 = 20/2 = 10

.

Bloom: Analyze

Um estatístico em São Paulo utiliza a interpolação para prever valores faltantes em uma série histórica linear.

Ao intercalar 6 meios aritméticos entre 10 e 45, qual é o valor do quarto termo da progressão total?

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Resposta correta: C) 25

A) 20Este é o terceiro termo.
B) 30Este é o quinto termo.
C) 25Total de termos n=8. 45 = 10 + 7r => 35 = 7r => r = 5. PA: (10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45). a4 = 25.
D) 15Este é o segundo termo.

💡 Explicação

1) Total de termos: 2 (extremos) + 6 (meios) = 8.
2) Razão:

a_8 = a_1 + 7r \Rightarrow 45 = 10 + 7r \Rightarrow 35 = 7r \Rightarrow r = 5

.
3) Quarto termo:

a_4 = a_1 + 3r = 10 + 3 \cdot 5 = 25

.

Bloom: Analyze

Um matemático estuda a relação entre funções afins e progressões aritméticas.

Toda PA pode ser vista como uma função discreta. Se

a_n = 4n - 1

, qual é a soma dos 20 primeiros termos?

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Resposta correta: D) 820

A) 780Cálculo incorreto da soma.
B) 800Cálculo incorreto.
C) 1.640Esqueceu de dividir por 2.
D) 820a1 = 3. a20 = 79. S20 = (3 + 79) 20 / 2 = 82 10 = 820.

💡 Explicação

1) Calculamos os extremos:

a_1 = 4(1)-1 = 3

;

a_{20} = 4(20)-1 = 79

.
2) Aplicamos a soma:

S_{20} = \frac{(3 + 79) \cdot 20}{2} = 82 \cdot 10 = 820

.

Bloom: Evaluate

Um pesquisador em Campinas analisa uma sequência onde os termos são funções de uma variável $x$ .

Para quais valores de

x

a sequência

(\log x, \log 2x, \log 4x)

forma uma PA?

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Resposta correta: D) Para todo $x > 0$ .

A) Somente para $x = 1$ .Na verdade, qualquer x positivo satisfaz a condição.
B) Para nenhum valor de $x$ .A sequência sempre possui uma diferença constante.
C) Somente para $x = 2$ .A razão é log(2x) - log(x) = log 2, que não depende de x. Qualquer x positivo, e não só x = 2, produz a mesma razão.
D) Para todo $x > 0$ .Razão r = log(2x) - log(x) = log(2x/x) = log 2. Como a razão é constante independente de x, é sempre PA.

💡 Explicação

Verificamos a diferença entre os termos:

r_1 = \log(2x) - \log(x) = \log(2x/x) = \log 2

.

r_2 = \log(4x) - \log(2x) = \log(4x/2x) = \log 2

.
Como

r_1 = r_2 = \log 2

(constante), a sequência é uma PA para qualquer

x

no domínio da função logaritmo (

x > 0

).

Bloom: Evaluate

Durante uma olimpíada, propõe-se um desafio envolvendo a soma de termos de índices pares e ímpares.

Numa PA de 100 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 500. Se a razão é

r = 2

, qual é a soma dos termos de ordem par?

Ver resposta

Resposta correta: C) 600

A) 500Os termos pares são sempre maiores que os ímpares anteriores se r > 0.
B) 700Cálculo incorreto do acréscimo.
C) 600Cada termo par a_2k é igual ao ímpar anterior a_{2k-1} + r. Como são 50 pares, Spar = Simpar + 50*r = 500 + 50*2 = 600.
D) 550Cálculo incorreto.

💡 Explicação

Existem 50 termos ímpares (

a_1, a_3, ..., a_{99}

) e 50 termos pares (

a_2, a_4, ..., a_{100}

). Cada termo par pode ser escrito como

a_{2k} = a_{2k-1} + r

. Somando todos os 50 pares:

\sum a_{par} = \sum (a_{impar} + r) = \sum a_{impar} + 50r

. Logo,

S_{par} = 500 + 50 \cdot 2 = 600

.

Bloom: Evaluate

No vestibular do ITA, avalia-se a capacidade de relacionar PA com geometria plana.

As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA. Se a área do triângulo é 24, qual é o valor da hipotenusa?

Ver resposta

Resposta correta: B) 10

A) 6Este seria o cateto menor.
B) 10Lados: (x-r, x, x+r). Pelo teorema de Pitágoras: (x-r)² + x² = (x+r)² => x = 4r. Lados: 3r, 4r, 5r. Área = (3r*4r)/2 = 6r² = 24 => r=2. Hipotenusa = 5r = 10.
C) 8Este seria o cateto maior.
D) 12A área de 24 com catetos em PA 3r e 4r dá 6r^2 = 24, logo r = 2. A hipotenusa é o terceiro termo da PG-like progressão, isto é 5r = 10, e não 12.

💡 Explicação

Lados em PA:

x-r, x, x+r

. No triângulo retângulo,

(x-r)^2 + x^2 = (x+r)^2 \Rightarrow x^2 - 2xr + r^2 + x^2 = x^2 + 2xr + r^2 \Rightarrow x^2 = 4xr \Rightarrow x = 4r

(pois

x \neq 0

). Os lados são

3r, 4r

e

5r

. Área =

\frac{3r \cdot 4r}{2} = 6r^2

. Como Área = 24,

r^2 = 4 \Rightarrow r = 2

. Hipotenusa =

5 \cdot 2 = 10

.

Bloom: Evaluate

Um matemático estuda o comportamento da soma dos inversos dos termos de uma PA, aproximando-se do conceito de série harmônica.

Considere uma PA onde a soma dos

n

primeiros termos é

S_n = 3n^2 + n

. Determine o termo

a_{10}

.

Ver resposta

Resposta correta: B) 58

A) 310Este é o valor de S10, não do termo a10.
B) 58a10 = S10 - S9 = (3*100+10) - (3*81+9) = 310 - 252 = 58.
C) 60Cálculo incorreto da diferença entre as somas.
D) 61Cálculo incorreto.

💡 Explicação

O termo de posição

n

pode ser encontrado pela diferença entre a soma dos

n

primeiros e a soma dos

n-1

primeiros:

a_n = S_n - S_{n-1}

.
Para

n=10

:

a_{10} = S_{10} - S_9

.

S_{10} = 3(10)^2 + 10 = 310

.

S_9 = 3(9)^2 + 9 = 243 + 9 = 252

.

a_{10} = 310 - 252 = 58

.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

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