Progressao Geometrica

Resposta correta: A) $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

• A) $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$Correto. Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o anterior pela razão q.
• B) $a_n = a_1 + (n - 1)q$Esta é a fórmula de uma Progressão Aritmética.
• C) $a_n = a_1 \cdot q^n$Erro: o primeiro termo não deve ser multiplicado pela razão (q elevado a 0 é 1).
• D) $a_n = (a_1 \cdot q)^{n-1}$A potência deve ser aplicada apenas à razão q.

Resposta correta: D) $0 < q < 1$

• A) $q > 1$Se q > 1, os termos aumentam a cada passo (PG crescente).
• B) $q = 1$Se q = 1, a PG é constante ou estacionária.
• C) $q < 0$Se q < 0, os termos alternam de sinal (PG oscilante ou alternada).
• D) $0 < q < 1$Correto. Multiplicar um número positivo por uma fração entre 0 e 1 resulta em um valor menor.

Resposta correta: D) 3

• A) 88 é a diferença entre os dois primeiros termos, mas PG usa razão multiplicativa.
• B) 44 é o primeiro termo, não a razão.
• C) 2Se a razão fosse 2, o segundo termo seria 8.
• D) 3q = 12 / 4 = 3.

Resposta correta: B) 1,05

• A) 0,05Este é apenas o valor do acréscimo, não o fator multiplicativo total.
• B) 1,05Correto. O novo valor é 100% do atual mais 5% (1 + 0,05).
• C) 5Uma razão 5 significaria que a população quintuplica a cada período.
• D) 1,5Isto representaria um crescimento de 50%.

Resposta correta: C) 96

• A) 18O 18 é o quinto termo: $3 \cdot 2^4 = 48$ seria o sexto, e $18 = 3 \cdot 6$ não corresponde a nenhuma potência de $q = 2$.
• B) 64O 64 vem de $2^6$, mas o sexto termo é $a_1 \cdot q^5$ a partir de $a_1 = 3$, não $2^6$ contados desde 1.
• C) 96Com $a_1 = 3$ e $q = 2$: $a_6 = 3 \cdot 2^{5} = 3 \cdot 32 = 96$.
• D) 192O 192 é o sétimo termo, pois $a_7 = 3 \cdot 2^{6} = 192$.

Resposta correta: D) 5,12 m

• A) 8 mOs $8$ m são a altura após o primeiro quique: $10 \times 0,8$.
• B) 6,4 mOs $6,4$ m são a altura após o segundo quique: $10 \times 0,8^2$.
• C) 4 mOs $4$ m exigiriam uma razão de $0,4$ entre quiques, e não $0,8$.
• D) 5,12 mCom $a_1 = 10$ e $q = 0,8$: após o terceiro quique a altura é $10 \times 0,8^3 = 10 \times 0,512 = 5,12$ m.

Resposta correta: D) 242

• A) 80Valor muito baixo para a sequência dada.
• B) 484Esqueceu de simplificar a divisão por (q-1).
• C) 162Este é apenas o valor do 5º termo, não a soma.
• D) 242S5 = 2(3⁵ - 1) / (3 - 1) = 2(243 - 1) / 2 = 242.

Resposta correta: B) 20

• A) 15A soma já atinge 17,5 no terceiro termo.
• B) 20S = a1 / (1 - q) = 10 / (1 - 0,5) = 10 / 0,5 = 20.
• C) 25Cálculo incorreto da soma infinita.
• D) A soma é infinita.Como a razão é menor que 1, a soma converge.

Resposta correta: A) 1

• A) 1O lado do quinto quadrado é $16 \cdot (1/2)^4 = 1$, e a área é $1^2 = 1$.
• B) 4O lado do terceiro quadrado seria $4$, mas a pergunta pede a área do quinto, que é $1$.
• C) 0,5O $0,5$ não é a área de nenhum quadrado desta sequência, porque os lados são potências de $\frac{1}{2}$ e as áreas são potências de $\frac{1}{4}$.
• D) 0,25O $0,25$ sería a área do sexto quadrado, con el lado $\frac{1}{2}$; o quinto tem lado $1$.

Resposta correta: B) $x = 4$

• A) $x = 1$Resultaria no primeiro termo zero, o que não define uma PG usual.
• B) $x = 4$(x+2)² = (x-1)(3x) => x²+4x+4 = 3x²-3x => 2x²-7x-4 = 0. Raízes: 4 e -0,5. Para termos positivos, x=4. PG: (3, 6, 12).
• C) $x = 2$Testando: (1, 4, 6) não é PG.
• D) $x = 5$Testando: (4, 7, 15) não é PG.

Resposta correta: A) 1.023

• A) 1.023$S_{10} = 1 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2 - 1} = 1024 - 1 = 1023$.
• B) 511O 511 corresponde a $2^9 - 1$, ou seja, a soma de apenas $9$ termos.
• C) 1.024O 1024 é o $11^\circ$ termo, $a_{11} = 2^{10}$; a soma dos $10$ primeiros es $1024 - 1$.
• D) 2.047O 2047 corresponde a $2^{11} - 1$, que é a soma de $11$ termos.

Resposta correta: B) 162

• A) 108O 108 dobra o quarto termo, pero eso implicaría razón $2$, y $54 = 2 \cdot q^3$ exige $q = 3$.
• B) 162Como $54 = 2 \cdot q^3$ se tiene $q^3 = 27$ y $q = 3$; el quinto término es $54 \cdot 3 = 162$.
• C) 216O 216 dobra o quinto término, o que daría razón $4$ y contradice $q = 3$.
• D) 150O 150 exigiría razón $\frac{150}{54} = \frac{25}{9}$, que no es la de esta PG.

Resposta correta: A) $\frac{1}{3}$

• A) $\frac{1}{3}$Escrevendo $0,3 + 0,03 + 0,003 + \ldots$ como PG de $a_1 = 0,3$ e $q = 0,1$: $S = \frac{0,3}{1 - 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{1}{3}$.
• B) $\frac{3}{10}$O $\frac{3}{10}$ é o decimal exato $0,3$, e não a dízima $0,333$....
• C) $\frac{3}{11}$O $\frac{3}{11}$ correspondería a $0,2727$..., e não a $0,333$....
• D) $\frac{1}{9}$O $\frac{1}{9}$ é a dízima $0,111$..., que não é esta.

Resposta correta: C) 10

• A) 50O termo central é a raiz quadrada do produto dos extremos, não a metade dele.
• B) 5O $5$ exigiria $a_1 a_9 = 25$, que es el produto dado.
• C) 10Em uma PG de $9$ termos vale $a_1 a_9 = a_5^2$, logo $a_5^2 = 100$ e, sendo os termos positivos, $a_5 = 10$.
• D) 20O $20$ exigiría $a_1 a_9 = 400$, pero el enunciado da $100$.

Resposta correta: A) 5

• A) 5De $625 = 5 \cdot q^3$ se obtiene $q^3 = 125$, es decir, $q = 5$.
• B) 25Com $q = 25$ el cuarto término sería $5 \cdot 25^3 = 78125$, muy por encima de $625$.
• C) 4Con $q = 4$ el cuarto término sería $5 \cdot 64 = 320$, y no $625$.
• D) 10Con $q = 10$ el cuarto término sería $5 \cdot 1000 = 5000$, muy superior a $625$.

Resposta correta: D) É uma PG.

• A) É uma PA de razão 10.Una progresión aritmética exigiría diferencias constantes entre $a, b, c$, lo que no se deduce de la condición dada.
• B) É uma sequência constante.La sucesión sólo sería constante si la diferencia de la PA fuera cero, y el enunciado no lo dice.
• C) É uma sequência aleatória.Sí existe una relación estructural: la igualdad de la PA de logaritmos fuerza una PG en los números.
• D) É uma PG.Como $2\log b = \log a + \log c$, resulta $\log b^2 = \log(ac)$ y por tanto $b^2 = ac$, que es la condición de una progresión geométrica.

Resposta correta: B) $\frac{2}{3}$

• A) 2El $2$ saldría de sumar sin alternar signos, pero la serie tiene razón negativa y converge a menos de $1$.
• B) $\frac{2}{3}$Con $a_1 = 1$ y $q = -\frac{1}{2}$: $S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
• C) $\frac{1}{2}$El $\frac{1}{2}$ es sólo el primer término restado, no la suma de la serie infinita.
• D) 0Aunque los términos alternan, la serie es convergente y su suma es positiva: $\frac{2}{3}$.

Resposta correta: A) $2^{45}$

• A) $2^{45}$P = 2⁰ 2¹ ... * 2⁹ = 2^(0+1+...+9) = 2^45.
• B) $2^{10}$Este é apenas o 11º termo.
• C) $2^{55}$A soma dos expoentes de 0 a 9 é 45, não 55.
• D) $2^{100}$Valor excessivo.

Resposta correta: C) 18

• A) 6El $6$ es el término central, no el mayor: los otros dos términos son menores que él.
• B) 12Los otros términos son $4$ y $9$, y el mayor es $18$, no $12$.
• C) 18Los términos son $6/q$, $6$ y $6q$; el producto da $(6/q) cdot 6 cdot 6q = 216$, de donde el central es $6$, y la razón $q = 3$ hace que los términos sean $2$, $6$ y $18$, cuya suma es $26$. El mayor es $18$.
• D) 24El $24$ no es ninguno de los tres términos: con razón $3$ los términos son $2$, $6$ y $18$.

Resposta correta: A) $S/3$

• A) $S/3$Es una PG con $a_1 = \frac{S}{4}$ y $q = \frac{1}{4}$: la suma es $\frac{S/4}{1 - 1/4} = \frac{S/4}{3/4} = \frac{S}{3}$.
• B) $S/2$El $S/2$ correspondería a pintar la mitad del cuadrado, pero en cada paso sólo se pinta una cuarta parte del cuadrado restante.
• C) $S$En cada etapa queda sin pintar una parte importante, así que la suma es menor que $S$.
• D) $2S/3$El $2S/3$ supera lo que se puede pintar, ya que siempre queda un resto sin pintar.