Funcoes Definicao — Matemática Grado 11, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante de ensino médio em Porto Alegre está aprendendo o conceito fundamental de função como uma relação entre dois conjuntos.

Dada uma função

f: A \to B

, como é chamado o conjunto

A

de todos os valores de entrada possíveis?

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Resposta correta: B) Domínio

A) ContradomínioO contradomínio é o conjunto de chegada B, que pode conter elementos que não são imagens de nenhum x em A.
B) DomínioO domínio é o conjunto de partida de uma função, contendo todos os valores para os quais a função está definida.
C) ImagemO conjunto imagem é o subconjunto do contradomínio formado por todos os valores f(x) efetivamente assumidos.
D) IntervaloUm intervalo é um tipo específico de subconjunto dos números reais, mas não é o nome genérico do conjunto A.

💡 Explicação

Em uma função

f: A \to B

, o conjunto

A

é denominado domínio. Para que a relação seja uma função, cada elemento do domínio deve estar associado a exatamente um elemento do conjunto

B

(contradomínio).

Bloom: Remember

Em uma aula de revisão para o ENEM no Recife, o professor utiliza diagramas de flechas para explicar o que define uma função.

Para que uma relação entre um conjunto

A

e um conjunto

B

seja considerada uma função, qual condição deve ser satisfeita?

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Resposta correta: C) Cada elemento de A deve estar associado a exatamente um elemento de B.

A) Cada elemento de B deve estar associado a pelo menos um elemento de A.Esta é a definição de uma função sobrejetora, não de uma função em geral.
B) Elementos diferentes de A devem estar associados a elementos diferentes de B.Esta é a definição de uma função injetora.
C) Cada elemento de A deve estar associado a exatamente um elemento de B.Esta é a condição essencial: não pode sobrar elemento em A sem flecha e não pode sair mais de uma flecha de um mesmo elemento de A.
D) O conjunto A deve ser igual ao conjunto B.O domínio e o contradomínio podem ser conjuntos completamente diferentes.

💡 Explicação

Uma função é uma regra que associa cada elemento

x

de um conjunto

A

a um único elemento

y

de um conjunto

B

. Se um elemento de

A

não tiver correspondente ou tiver mais de um, a relação não é uma função.

Bloom: Understand

Um desenvolvedor de software em Belo Horizonte está criando uma função matemática simples para calcular o custo de frete baseado no peso.

Dada a função

f(x) = 3x - 5

, qual é o valor de

f(4)

?

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Resposta correta: C) 7

A) 17Erro de sinal: 3(4) + 5 = 17, mas a função é 3x - 5.
B) 12Este é apenas o resultado de 3 * 4, esquecendo de subtrair o 5.
C) 7f(4) = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7.
D) -1f(4) = 3(4) - 5. O valor 7 é positivo.

💡 Explicação

Para encontrar o valor de uma função em um ponto, substituímos a variável independente

x

pelo valor dado. No caso,

f(4) = 3 \cdot 4 - 5 = 12 - 5 = 7

.

Bloom: Understand

Um arquiteto em Brasília analisa o gráfico de uma função para entender o perfil de uma rampa.

Como podemos identificar, através do gráfico no plano cartesiano, se uma curva representa uma função

y = f(x)

?

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Resposta correta: C) Toda reta vertical deve cruzar o gráfico em no máximo um ponto.

A) Toda reta horizontal deve cruzar o gráfico em apenas um ponto.O teste da reta horizontal serve para verificar se a função é injetora, não se é uma função.
B) O gráfico deve ser uma linha reta.Funções podem ter gráficos curvos (parábolas, exponenciais, etc.).
C) Toda reta vertical deve cruzar o gráfico em no máximo um ponto.O teste da reta vertical garante que para cada valor de x existe no máximo um valor correspondente de y.
D) O gráfico deve passar pela origem $(0,0)$ .Muitas funções não passam pela origem, como f(x) = x + 1.

💡 Explicação

Pelo "Teste da Reta Vertical", se qualquer reta vertical cruzar o desenho em mais de um ponto, isso significa que um único valor de

x

teria mais de um correspondente em

y

, o que viola a definição de função.

Bloom: Understand

Um biólogo em Manaus estuda o crescimento de uma população de bactérias e precisa determinar o domínio real da função que modela esse processo.

Qual é o domínio da função real

f(x) = \frac{1}{x-2}

?

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Resposta correta: A) $\mathbb{R} - \{2\}$

A) $\mathbb{R} - \{2\}$ A função está definida para todos os reais, exceto para o valor que zera o denominador.
B) $\mathbb{R}$ O valor x = 2 causa uma divisão por zero, portanto não pode estar no domínio.
C) $\{2\}$ Este é justamente o único valor que NÃO pertence ao domínio.
D) $(2, +\infty)$ Valores menores que 2 também são permitidos, desde que não sejam exatamente 2.

💡 Explicação

Em funções racionais, o denominador não pode ser zero. Assim, devemos ter

x - 2 \neq 0

, o que implica

x \neq 2

. O domínio é o conjunto de todos os números reais excluindo o 2.

Bloom: Understand

Em uma fábrica em Curitiba, o custo total de produção é dado por uma função onde a variável representa a quantidade de peças.

Seja

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

uma função tal que

f(x) = x^2 + 1

. Qual é o conjunto imagem desta função?

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Resposta correta: B) $[1, +\infty)$

A) $\mathbb{R}$ x² nunca resulta em valores negativos, então a imagem não pode ser todos os reais.
B) $[1, +\infty)$ Como x² ≥ 0 para qualquer x real, então x² + 1 ≥ 1.
C) $[0, +\infty)$ Quase correto, mas como somamos 1 ao x², o valor mínimo será 1, não 0.
D) $(-\infty, 1]$ A função cresce para o infinito positivo, não negativo.

💡 Explicação

O valor mínimo de

x^2

é 0 (quando

x=0

). Logo, o valor mínimo de

f(x) = x^2 + 1

é

0 + 1 = 1

. Como a parábola se abre para cima, os valores de

y

assumidos são todos maiores ou iguais a 1.

Bloom: Apply

Um economista em São Paulo analisa o ponto de equilíbrio de uma empresa através da igualdade entre duas funções.

Dadas as funções

f(x) = 2x + 3

e

g(x) = 5x - 6

, para qual valor de

x

temos

f(x) = g(x)

?

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Resposta correta: B) $x = 3$

A) $x = 1$ f(1) = 5 e g(1) = -1. Diferentes.
B) $x = 3$ f(3) = 2(3)+3 = 9 e g(3) = 5(3)-6 = 9. Iguais.
C) $x = -3$ f(-3) = -3 e g(-3) = -21. Diferentes.
D) $x = 0$ f(0) = 3 e g(0) = -6. Diferentes.

💡 Explicação

Igualamos as expressões:

2x + 3 = 5x - 6

. Isolando

x

:

3 + 6 = 5x - 2x \Rightarrow 9 = 3x \Rightarrow x = 3

.

Bloom: Apply

Um atleta em treinamento no Rio de Janeiro monitora sua velocidade em função do tempo durante uma corrida.

Se

f(x) = \sqrt{x-4}

é uma função de variável real, qual é o seu domínio?

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Resposta correta: D) $x \geq 4$

A) $x > 4$ O valor x = 4 é permitido, pois √0 existe e é 0.
B) $x \leq 4$ Se x for menor que 4, teremos a raiz de um número negativo, que não é real.
C) $\mathbb{R} - \{4\}$ Valores menores que 4 devem ser excluídos, não apenas o 4.
D) $x \geq 4$ Para que a raiz quadrada seja um número real, o radicando deve ser maior ou igual a zero.

💡 Explicação

No conjunto dos números reais, a raiz quadrada de um número negativo não está definida. Portanto, a expressão dentro da raiz deve ser não negativa:

x - 4 \geq 0

, o que nos dá

x \geq 4

.

Bloom: Apply

Um motorista de aplicativo em Salvador calcula seu ganho por viagem através de uma função composta por uma taxa fixa e um valor por quilômetro.

Seja

f(x) = ax + b

. Sabendo que

f(1) = 5

e

f(0) = 2

, determine os valores de

a

e

b

.

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Resposta correta: C) $a = 3, b = 2$

A) $a = 2, b = 3$ Se b=3 e a=2, f(0) seria 3, mas f(0)=2.
B) $a = 5, b = 2$ Se a=5 e b=2, f(1) seria 7, mas f(1)=5.
C) $a = 3, b = 2$ f(0) = a(0) + b = 2 => b = 2. Então f(1) = a(1) + 2 = 5 => a = 3.
D) $a = 3, b = 5$ Se b=5, f(0) seria 5, mas f(0)=2.

💡 Explicação

Substituímos os pontos na equação da função. De

f(0)=2

, temos

a(0) + b = 2

, logo

b = 2

. Usando

f(1)=5

, temos

a(1) + 2 = 5

, o que resulta em

a = 3

.

Bloom: Apply

Um estudante em Fortaleza está resolvendo problemas de funções para as provas bimestrais.

Considere a função

f(x) = x^2 - 4x + 7

. Qual é o valor de

f(-1)

?

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Resposta correta: B) 12

A) 4Erro de sinal ao elevar ao quadrado ou multiplicar: (-1)² é 1, não -1.
B) 12f(-1) = (-1)² - 4(-1) + 7 = 1 + 4 + 7 = 12.
C) 10Erro no termo médio: -4(-1) é +4, somado ao 1 e 7 daria 12.
D) 2Cálculo incorreto dos termos da função.

💡 Explicação

Substituindo

x

por

-1

na expressão:

f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 7

. Como

(-1)^2 = 1

e

-4 \cdot (-1) = 4

, temos

1 + 4 + 7 = 12

.

Bloom: Apply

Um cientista de dados em São Paulo analisa a classificação de funções para otimizar um modelo de inteligência artificial.

Uma função

f: A \to B

é dita injetora quando:

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Resposta correta: C) Elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio.

A) O conjunto imagem é igual ao contradomínio.Esta é a definição de função sobrejetora.
B) Todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A.Esta também é a definição de sobrejetora.
C) Elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no contradomínio.Correto. x1 ≠ x2 implica f(x1) ≠ f(x2).
D) A função é crescente em todo o seu domínio.Funções decrescentes também podem ser injetoras.

💡 Explicação

A injetividade significa que não há "colisões": cada valor de

y

no conjunto imagem é atingido por exatamente um valor de

x

do domínio. Graficamente, qualquer reta horizontal corta o gráfico de uma função injetora em no máximo um ponto.

Bloom: Apply

Um professor em Goiânia apresenta o concept de função inversa para seus alunos do 3º ano.

Qual das seguintes condições é necessária para que uma função

f: A \to B

admita uma função inversa

f^{-1}: B \to A

?

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Resposta correta: A) A função deve ser bijetora.

A) A função deve ser bijetora.Uma função bijetora é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, o que permite inverter a relação perfeitamente.
B) A função deve ser apenas injetora.Se não for sobrejetora, f⁻¹ não estará definida para todo o conjunto B.
C) A função deve ser apenas sobrejetora.Se não for injetora, f⁻¹ teria múltiplos valores para um mesmo x, não sendo função.
D) A função deve ser uma função do 1º grau.Funções de outros graus (como exponenciais) também podem ter inversas.

💡 Explicação

Para inverter uma função, cada elemento de

B

deve vir de um único elemento de

A

(injetora) e todos os elementos de

B

devem ser atingidos (sobrejetora). Portanto, a função deve ser bijetora.

Bloom: Analyze

Um engenheiro civil em Vitória estuda a composição de funções para calcular a pressão em diferentes profundidades.

Dadas as funções

f(x) = x + 2

e

g(x) = 3x

, qual é a expressão da função composta

g(f(x))

?

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Resposta correta: D) $3x + 6$

A) $3x + 2$ Este seria f(g(x)), ou seja, (3x) + 2.
B) $4x + 2$ Erro na aplicação da lei de formação da função g.
C) $x + 6$ Erro no termo variável de x.
D) $3x + 6$ g(f(x)) = g(x + 2) = 3(x + 2) = 3x + 6.

💡 Explicação

Para calcular

g(f(x))

, substituímos a expressão de

f(x)

no lugar do

x

da função

g

. Assim,

g(f(x)) = g(x+2) = 3(x+2)

. Distribuindo o 3, obtemos

3x + 6

.

Bloom: Analyze

Em um laboratório de física em São José dos Campos, analisa-se a paridade de funções que descrevem ondas.

Uma função é considerada par se

f(x) = f(-x)

para todo

x

no domínio. Qual das seguintes funções é uma função par?

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Resposta correta: D) $f(x) = x^2 + 3$

A) $f(x) = 2x$ f(-x) = -2x, que é -f(x). Esta é uma função ímpar.
B) $f(x) = x^3$ f(-x) = (-x)³ = -x³. Esta é uma função ímpar.
C) $f(x) = x + 1$ f(-x) = -x + 1, que não é nem f(x) nem -f(x).
D) $f(x) = x^2 + 3$ f(-x) = (-x)² + 3 = x² + 3 = f(x). Logo é par.

💡 Explicação

Uma função par apresenta simetria em relação ao eixo

y

. Algebricamente, substituir

x

por

-x

não altera a expressão final. Em

x^2 + 3

, o expoente par faz com que

(-x)^2

seja igual a

x^2

.

Bloom: Analyze

Um analista financeiro em Florianópolis utiliza funções inversas para converter taxas de juros entre diferentes períodos.

Qual é a função inversa de

f(x) = 2x - 4

?

Ver resposta

Resposta correta: B) $f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{2}$

A) $f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 4$ Erro ao isolar x: o 4 deve mudar de sinal ao passar para o outro lado.
B) $f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{2}$ y = 2x - 4 => y + 4 = 2x => x = (y + 4)/2. Trocando as variáveis, temos f⁻¹(x) = (x + 4)/2.
C) $f^{-1}(x) = 2x + 4$ Inverter a função não é apenas trocar os sinais da expressão original.
D) $f^{-1}(x) = \frac{x - 4}{2}$ O sinal do 4 deve ser positivo na expressão inversa.

💡 Explicação

Para achar a inversa, chamamos

f(x)

de

y

e isolamos

x

:

y = 2x - 4 \Rightarrow y + 4 = 2x \Rightarrow x = \frac{y + 4}{2}

. Por fim, trocamos

x

por

y

para obter a lei da função inversa:

f^{-1}(x) = \frac{x + 4}{2}

.

Bloom: Analyze

Um matemático estuda o domínio de funções compostas que envolvem raízes e frações.

Determine o domínio da função real

f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3}

.

Ver resposta

Resposta correta: C) $[1, 3) \cup (3, +\infty)$

A) $x \geq 1$ Faltou considerar que o denominador x-3 não pode ser zero.
B) $x \neq 3$ Faltou considerar que x-1 deve ser maior ou igual a zero para a raiz ser real.
C) $[1, 3) \cup (3, +\infty)$ De x-1 ≥ 0 temos x ≥ 1. De x-3 ≠ 0 temos x ≠ 3. A combinação é x ≥ 1 e x ≠ 3.
D) $(1, 3)$ O domínio estende-se para além do 3.

💡 Explicação

Temos duas restrições: 1) O radicando de uma raiz de índice par deve ser não negativo (

x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1

); 2) O denominador não pode ser nulo (

x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3

). O domínio é a interseção dessas condições.

Bloom: Evaluate

Em um curso de cálculo em Campinas, discute-se a existência de funções que não possuem lei de formação simples.

Considere a função de Dirichlet definida como

f(x) = 1

se

x

é racional e

f(x) = 0

se

x

é irracional. Sobre esta função, avalie a veracidade das afirmações:

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Resposta correta: C) O domínio da função é o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ .

A) O conjunto imagem da função é o intervalo $[0, 1]$ .Incorreto. A imagem contém apenas dois pontos discretos: {0, 1}.
B) A função é injetora.Incorreto. Muitos valores de x levam ao mesmo resultado (todos os racionais levam a 1).
C) O domínio da função é o conjunto dos números reais $\mathbb{R}$ .Correto, pois todo número real é ou racional ou irracional, logo a função está definida para todo x real.
D) O gráfico desta função é uma linha contínua.Incorreto. É uma função extremamente descontínua em todos os pontos.

💡 Explicação

A função de Dirichlet está definida para todos os números reais, pois o conjunto dos reais é a união dos racionais com os irracionais. Seu domínio é

\mathbb{R}

e sua imagem é o conjunto finito

\{0, 1\}

.

Bloom: Evaluate

Um pesquisador analisa propriedades de funções monótonas e suas relações com a bijetividade.

Seja

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}

uma função estritamente crescente. É correto concluir que:

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Resposta correta: C) A função $f$ é necessariamente injetora.

A) A função $f$ é necessariamente sobrejetora.Nem sempre. Por exemplo, f(x) = arctan(x) é estritamente crescente mas sua imagem é limitada.
B) A função $f$ possui necessariamente um valor máximo.Funções crescentes em domínios ilimitados podem crescer indefinidamente.
C) A função $f$ é necessariamente injetora.Se a função é estritamente crescente, x1 < x2 implica f(x1) < f(x2), logo imagens de valores diferentes nunca serão iguais.
D) $f(0)$ deve ser igual a 0.A função pode ser transladada verticalmente (ex: f(x) = x + 1).

💡 Explicação

Uma função estritamente crescente preserva a ordem estrita dos elementos. Isso garante que, se tomarmos dois elementos distintos

x_1

e

x_2

no domínio, seus valores funcionais

f(x_1)

e

f(x_2)

serão obrigatoriamente distintos, o que define uma função injetora.

Bloom: Evaluate

No exame de admissão de uma prestigiada faculdade de engenharia em São Paulo, propõe-se um problema sobre funções funcionais.

Determine a função

f(x)

que satisfaz a equação

f(2x + 1) = 4x^2 + 4x + 5

para todo

x

real.

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Resposta correta: D) $f(x) = x^2 + 4$

A) $f(x) = x^2 + 5$ Substituindo x por 2x+1 teríamos (2x+1)² + 5 = 4x² + 4x + 6, diferente do dado.
B) $f(x) = 2x^2 + 3$ Substituindo t = 2x + 1: 2(2x+1)^2 + 3 = 8x^2 + 8x + 5, que tem os coeficientes de x^2 e de x errados.
C) $f(x) = x^2 + 2x + 1$ Substituindo t = 2x + 1: (2x + 2)^2 = 4x^2 + 8x + 4, e o termo linear não é 4x como na expressão dada.
D) $f(x) = x^2 + 4$ (2x + 1)² + 4 = (4x² + 4x + 1) + 4 = 4x² + 4x + 5. Correto.

💡 Explicação

Fazemos uma mudança de variável: seja

t = 2x + 1

. Então

x = \frac{t - 1}{2}

. Substituindo na expressão original:

f(t) = 4(\frac{t-1}{2})^2 + 4(\frac{t-1}{2}) + 5

. Simplificando:

f(t) = 4(\frac{t^2-2t+1}{4}) + 2(t-1) + 5 = t^2 - 2t + 1 + 2t - 2 + 5 = t^2 + 4

. Portanto,

f(x) = x^2 + 4

.

Bloom: Evaluate

Um matemático estuda a cardinalidade de conjuntos de funções entre conjuntos finitos.

Dados os conjuntos

A = \{1, 2, 3\}

e

B = \{a, b, c, d, e\}

, qual é o número total de funções injetoras de

A

em

B

?

Ver resposta

Resposta correta: A) 60

A) 60Usamos arranjo simples: A(5, 3) = 5 4 3 = 60.
B) 125Este é o número total de funções (5³), não apenas as injetoras.
C) 10Este é o número de subconjuntos de 3 elementos de B (combinação).
D) 15Cálculo incorreto das possibilidades.

💡 Explicação

Para uma função ser injetora, cada elemento de

A

deve escolher um elemento diferente de

B

. O primeiro elemento de

A

tem 5 opções em

B

, o segundo tem 4 opções restantes e o terceiro tem 3 opções. Pelo Princípio Fundamental da Contagem:

5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?