Funcao Afim — Matemática Grado 11, Brasil

Bloom: Remember

Um motorista de táxi em São Paulo cobra uma bandeirada fixa mais um valor por quilômetro rodado, o que caracteriza uma função afim.

Qual é a forma geral de uma função afim (ou função do 1º grau)?

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Resposta correta: D) $f(x) = ax + b$

A) $f(x) = ax^2 + bx + c$ Esta é a forma geral de uma função quadrática ou do 2º grau.
B) $f(x) = a^x$ Esta é a forma básica de uma função exponencial.
C) $f(x) = \log_a(x)$ Esta é a forma básica de uma função logarítmica.
D) $f(x) = ax + b$ Correto. 'a' é o coeficiente angular e 'b' é o coeficiente linear (termo constante).

💡 Explicação

Uma função afim é definida por uma lei de formação do tipo

f(x) = ax + b

, onde

a

e

b

são números reais e

a \neq 0

para que a função seja estritamente do 1º grau. O gráfico resultante é sempre uma linha reta.

Bloom: Remember

Em uma aula de geometria analítica no Rio de Janeiro, o professor explica o significado geométrico dos coeficientes da reta.

Na função afim

f(x) = ax + b

, o coeficiente

b

representa o ponto onde a reta intercepta qual eixo do plano cartesiano?

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Resposta correta: A) Eixo das ordenadas ( $y$ )

A) Eixo das ordenadas ( $y$ )Correto. Quando x = 0, f(0) = b, logo o par ordenado é (0, b).
B) Eixo das abscissas ( $x$ )O ponto onde a reta corta o eixo x é a raiz da função, dada por -b/a.
C) A bissetriz dos quadrantes ímparesO coeficiente b não determina a bissetriz, mas sim o deslocamento vertical da reta.
D) A origem $(0,0)$ A reta só passa pela origem se b for igual a zero.

💡 Explicação

O coeficiente linear

b

indica o valor da função quando

x=0

. Geometricamente, isso corresponde ao ponto exato onde a reta cruza o eixo vertical (

y

).

Bloom: Understand

Um analista financeiro em Curitiba observa que o lucro de uma pequena empresa cresce de forma constante a cada mês.

Dada a função

f(x) = -2x + 10

, qual é a raiz (ou zero) desta função?

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Resposta correta: D) $x = 5$

A) $x = 10$ f(10) = -2(10) + 10 = -10. Não é a raiz.
B) $x = -5$ f(-5) = -2(-5) + 10 = 10 + 10 = 20. Não é a raiz.
C) $x = 2$ f(2) = -2(2) + 10 = 6. Não é a raiz.
D) $x = 5$ f(5) = -2(5) + 10 = -10 + 10 = 0. Correto.

💡 Explicação

A raiz de uma função é o valor de

x

que faz

f(x) = 0

. Resolvendo

-2x + 10 = 0

, temos

-2x = -10

, logo

x = 5

.

Bloom: Understand

Um arquiteto em Brasília projeta o telhado de uma casa e precisa garantir que a inclinação seja constante.

Sobre a função

f(x) = 3x - 4

, é correto afirmar que ela é:

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Resposta correta: D) Crescente

A) DecrescentePara ser decrescente, o coeficiente angular 'a' deveria ser negativo.
B) ConstanteUma função constante tem a = 0, o que não é o caso.
C) Uma parábolaFunções afins têm como gráfico uma reta, não uma parábola.
D) CrescenteO coeficiente angular a = 3 é positivo, o que indica que a função é crescente.

💡 Explicação

O comportamento de crescimento ou decrescimento de uma função afim depende exclusivamente do sinal do coeficiente angular

a

. Se

a > 0

, a função é crescente. Se

a < 0

, a função é decrescente.

Bloom: Understand

Um técnico de laboratório em Campinas registra a variação de temperatura de uma substância que resfria uniformemente ao longo do tempo.

Uma reta passa pelos pontos

A(1, 5)

e

B(3, 9)

. Qual é o coeficiente angular desta reta?

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Resposta correta: B) 2

A) 44 é a diferença entre as ordenadas (9-5), mas deve ser dividida pela diferença das abscissas.
B) 2m = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (9 - 5) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2.
C) 1Valor incorreto para a taxa de variação.
D) -2O coeficiente é positivo, pois os valores de y aumentam conforme x aumenta.

💡 Explicação

O coeficiente angular (

a

ou

m

) mede a taxa de variação da função. É calculado pela razão entre a variação em

y

e a variação em

x

:

a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

.

Bloom: Understand

Uma empresa de telefonia em Belo Horizonte oferece um plano com taxa mensal fixa e um custo por minuto de ligação.

O custo mensal

C

de um plano de celular é dado por

C(x) = 35 + 0,50x

, onde

x

é o número de minutos utilizados. Se um cliente usou 100 minutos em um mês, quanto ele pagará?

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Resposta correta: D) R\$ 85,00

A) R\$ 50,00Este é apenas o custo dos minutos (0,50 * 100), esquecendo a taxa fixa de 35.
B) R\$ 35,50Erro no cálculo do valor variável.
C) R\$ 135,00Erro na soma dos valores fixos e variáveis.
D) R\$ 85,00C(100) = 35 + 0,50(100) = 35 + 50 = 85.

💡 Explicação

Substituímos

x = 100

na função custo:

C(100) = 35 + 0,5 \cdot 100

. Calculando o produto primeiro:

0,5 \cdot 100 = 50

. Somando à taxa fixa:

35 + 50 = 85

.

Bloom: Apply

Um reservatório de água em uma fazenda no Mato Grosso está sendo esvaziado a uma taxa constante para irrigação.

Um tanque contém 5000 litros de água e é esvaziado à razão de 200 litros por hora. Qual função representa o volume

V

de água no tanque em função do tempo

t

(em horas)?

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Resposta correta: D) $V(t) = 5000 - 200t$

A) $V(t) = 5000 + 200t$ Esta função representaria um tanque sendo enchido, não esvaziado.
B) $V(t) = 200t - 5000$ Esta função resultaria em valores negativos de volume no início.
C) $V(t) = 5000t - 200$ O tempo t deve multiplicar a taxa de variação, não o valor inicial.
D) $V(t) = 5000 - 200t$ Correto. O volume inicial é 5000 e diminui 200 a cada unidade de tempo t.

💡 Explicação

O volume inicial (

b

) é 5000. Como a água está saindo, a taxa de variação (

a

) é negativa, igual a

-200

. Assim, a lei da função é

V(t) = -200t + 5000

.

Bloom: Apply

Em um experimento de física em Salvador, analisa-se o movimento retilíneo uniforme de um carrinho em um trilho.

A posição de um objeto em movimento é dada por

S(t) = 12 + 4t

(unidades no SI). Em que instante

t

o objeto atingirá a posição

S = 40

metros?

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Resposta correta: B) $t = 7$ s

A) $t = 10$ sS(10) = 12 + 4(10) = 52. Passou do ponto.
B) $t = 7$ s40 = 12 + 4t => 28 = 4t => t = 7.
C) $t = 13$ sS(13) = 12 + 4(13) = 12 + 52 = 64.
D) $t = 4$ sS(4) = 12 + 4(4) = 28. Ainda não chegou.

💡 Explicação

Igualamos a função à posição desejada:

40 = 12 + 4t

. Subtraímos 12 de ambos os lados:

28 = 4t

. Dividindo por 4, encontramos

t = 7

segundos.

Bloom: Apply

Um produtor de eventos em Recife está calculando o lucro de um show baseado no número de ingressos vendidos.

O lucro

L

de um evento é dado por

L(x) = 40x - 2000

, onde

x

é a quantidade de ingressos vendidos. Qual é o número mínimo de ingressos que devem ser vendidos para que não haja prejuízo (lucro zero)?

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Resposta correta: B) 50

A) 40L(40) = 40(40) - 2000 = 1600 - 2000 = -400. Ainda há prejuízo.
B) 50L(50) = 40(50) - 2000 = 2000 - 2000 = 0. Ponto de equilíbrio.
C) 60Com 60 ingressos já haveria lucro positivo (400).
D) 100Com 100 ingressos o lucro seria de 2000.

💡 Explicação

Para que o lucro seja zero, fazemos

40x - 2000 = 0

. Isso resulta em

40x = 2000

. Dividindo 2000 por 40, obtemos

x = 50

ingressos.

Bloom: Apply

Um topógrafo em Manaus determina a altitude de um terreno que sobe de forma constante à medida que se afasta do rio.

Determine a lei da função afim cujo gráfico passa pelos pontos

(0, 3)

e

(2, 7)

.

Ver resposta

Resposta correta: C) $f(x) = 2x + 3$

A) $f(x) = 3x + 2$ Se f(x) = 3x+2, f(0) seria 2, mas o ponto dado é (0,3).
B) $f(x) = 4x + 3$ Se a=4, f(2) seria 4(2)+3 = 11, mas f(2)=7.
C) $f(x) = 2x + 3$ f(0)=3 (coeficiente linear). a = (7-3)/(2-0) = 4/2 = 2. Logo f(x)=2x+3.
D) $f(x) = x + 3$ Se a=1, f(2) seria 2+3 = 5, mas f(2)=7.

💡 Explicação

O ponto

(0, 3)

nos dá diretamente o coeficiente linear

b = 3

. O coeficiente angular

a

é calculado pela variação:

a = (7 - 3) / (2 - 0) = 4 / 2 = 2

. Assim,

f(x) = 2x + 3

.

Bloom: Apply

Um engenheiro civil analisa a dilatação de uma barra metálica em São Paulo sob variações de temperatura.

Duas retas no plano cartesiano, representadas pelas funções

f(x) = 2x + 5

e

g(x) = -x + 11

, interceptam-se em qual ponto?

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Resposta correta: A) $(2, 9)$

A) $(2, 9)$ 2x + 5 = -x + 11 => 3x = 6 => x = 2. f(2) = 2(2)+5 = 9.
B) $(3, 8)$ f(3) = 11 e g(3) = 8. Não é o ponto de interseção.
C) $(6, 5)$ f(6) = 17 e g(6) = 5. Não é o ponto de interseção.
D) $(4, 7)$ f(4) = 13 e g(4) = 7. Não é o ponto de interseção.

💡 Explicação

Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as funções:

2x + 5 = -x + 11

. Somando

x

e subtraindo 5:

3x = 6 \Rightarrow x = 2

. Substituindo

x=2

em qualquer uma das funções:

f(2) = 2(2) + 5 = 9

. O ponto é

(2, 9)

.

Bloom: Apply

Um analista de sistemas em Florianópolis desenvolve um algoritmo para calcular o imposto de renda simplificado.

Uma função afim é tal que

f(1) = 4

e

f(-2) = 10

. Qual é o valor de

f(0)

?

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Resposta correta: C) 6

A) 4O 4 é o valor de $f(1)$ ; como a função é afim, $f(0)$ é o coeficiente $b$ , que resulta $6$ .
B) 5Com $b = 5$ teríamos $f(1) = -2 + 5 = 3$ , e não $4$ .
C) 6 $a = \frac{10 - 4}{-2 - 1} = \frac{6}{-3} = -2$ , e de $f(1) = -2 + b = 4$ vem $b = 6$ ; como $f(0) = b$ , o valor é $6$ .
D) 7Com $b = 7$ teríamos $f(1) = -2 + 7 = 5$ , e não $4$ .

💡 Explicação

Primeiro achamos o coeficiente angular:

a = \frac{10 - 4}{-2 - 1} = \frac{6}{-3} = -2

. Agora usamos

f(1)=4

para achar

b

:

4 = -2(1) + b \Rightarrow b = 6

. Como

f(0) = b

, o resultado é 6.

Bloom: Analyze

Um professor em Fortaleza desafia seus alunos a interpretar o gráfico de uma função afim sem valores numéricos explícitos nos eixos.

Se o gráfico de uma função afim

f(x) = ax + b

corta o eixo

x

em um valor positivo e o eixo

y

em um valor negativo, o que podemos afirmar sobre os sinais de

a

e

b

?

Ver resposta

Resposta correta: C) $a > 0$ e $b < 0$

A) $a > 0$ e $b > 0$ Se b > 0, o gráfico cortaria o eixo y em um valor positivo.
B) $a < 0$ e $b < 0$ Se a < 0 e b < 0, a reta desceria e cortaria o eixo x em um valor negativo.
C) $a > 0$ e $b < 0$ b < 0 (corta y no negativo). Para cortar x no positivo, a reta deve subir, logo a > 0.
D) $a < 0$ e $b > 0$ Cortaria o eixo y no positivo.

💡 Explicação

O coeficiente

b

é a interceptação em

y

, logo

b < 0

. A raiz é

-b/a

. Para que

-b/a > 0

, dado que

b

é negativo, o valor de

a

deve ser positivo (positivo / positivo = positivo). Portanto, a função é crescente.

Bloom: Analyze

Um investidor em Porto Alegre compara dois fundos de investimento com taxas de administração diferentes.

O fundo A cobra R\

100,00 de taxa fixa mais 1\% do valor investido. O fundo B cobra R\

50,00 de taxa fixa mais 2\% do valor investido. Para qual valor de investimento

x

as taxas totais serão iguais?

Ver resposta

Resposta correta: C) R\$ 5.000,00

A) R\$ 2.500,00Taxa A: 100 + 25 = 125. Taxa B: 50 + 50 = 100. Diferentes.
B) R\$ 10.000,00Taxa A: 100 + 100 = 200. Taxa B: 50 + 200 = 250. Diferentes.
C) R\$ 5.000,00100 + 0,01x = 50 + 0,02x => 50 = 0,01x => x = 5000.
D) R\$ 7.500,00As taxas não serão iguais para este valor.

💡 Explicação

Montamos a equação de igualdade:

100 + 0,01x = 50 + 0,02x

. Isolando

x

:

100 - 50 = 0,02x - 0,01x

. Temos

50 = 0,01x

. Multiplicando ambos os lados por 100, obtemos

x = 5000

.

Bloom: Analyze

Um físico estuda a relação linear entre as escalas de temperatura Celsius ($^\circ$C) e Fahrenheit ($^\circ$F).

Sabendo que $0^\circ$C corresponde a $32^\circ$F e $100^\circ$C corresponde a $212^\circ$F, qual é a função afim que converte Celsius (

C

) para Fahrenheit (

F

)?

Ver resposta

Resposta correta: A) $F = 1,8C + 32$

A) $F = 1,8C + 32$ a = (212-32)/(100-0) = 180/100 = 1,8. f(0)=32 => b=32.
B) $F = 1,8C - 32$ O coeficiente linear b deve ser 32 positivo, não negativo.
C) $F = 32C + 1,8$ Erro na posição dos coeficientes.
D) $F = C + 32$ A taxa de variação não é 1; a cada 5 graus C variam 9 graus F.

💡 Explicação

Calculamos o coeficiente angular:

a = \frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{180}{100} = 1,8

. Como $0^\circ$C é o valor inicial no eixo das abscissas,

b = 32

. Assim,

F = 1,8C + 32

ou

F = \frac{9}{5}C + 32

.

Bloom: Analyze

Em um curso de economia em São Paulo, os alunos analisam a função demanda de um produto.

Se a função demanda de um produto é

D(p) = 400 - 5p

, onde

p

é o preço, qual é o preço máximo que pode ser cobrado para que ainda exista demanda (demanda maior que zero)?

Ver resposta

Resposta correta: D) R\$ 80,00

A) R\$ 400,00Com p=400, a demanda seria negativa (400 - 2000).
B) R\$ 100,00Com p=100, a demanda seria negativa (400 - 500).
C) R\$ 5,00Este é o preço mínimo sugerido, mas não o máximo.
D) R\$ 80,00400 - 5p > 0 => 400 > 5p => p < 80.

💡 Explicação

Para que a demanda seja positiva, devemos ter

400 - 5p > 0

. Resolvendo a inequação:

400 > 5p

, o que implica

p < 80

. Portanto, o preço deve ser estritamente menor que R\$ 80,00.

Bloom: Evaluate

Um matemático em Campinas estuda a composição de funções afins e suas propriedades algébricas.

Considere

f(x) = ax + b

. Se

f(f(x)) = 4x + 9

, quais são os possíveis valores para os coeficientes

a

e

b

?

Ver resposta

Resposta correta: D) $a = 2, b = 3$

A) $a = 4, b = 9$ f(f(x)) com a=4 daria 16x. Errado.
B) $a = 2, b = 9$ Se a=2, f(f(x)) = 2(2x+b)+b = 4x+3b. Se 3b=9, b=3. Não 9.
C) $a = 2, b = 4,5$ Incorreto ao aplicar a substituição na composição.
D) $a = 2, b = 3$ f(f(x)) = a(ax+b)+b = a²x + ab+b. a²=4 => a=2 ou a=-2. Se a=2: 2b+b=9 => 3b=9 => b=3.

💡 Explicação

f(f(x)) = a(ax+b) + b = a^2x + (ab + b)

. Igualando os coeficientes:

a^2 = 4 \Rightarrow a = 2

ou

a = -2

. Se

a = 2

, então

2b + b = 9 \Rightarrow 3b = 9 \Rightarrow b = 3

. Se

a = -2

,

-2b + b = 9 \Rightarrow -b = 9 \Rightarrow b = -9

.

Bloom: Evaluate

Um analista de dados em Vitória avalia a eficácia de dois modelos lineares de regressão para prever vendas.

A função

f(x)

é linear e satisfaz

\sum_{i=1}^{3} f(i) = 15

. Se o coeficiente angular é

a = 2

, qual é o valor do coeficiente linear

b

?

Ver resposta

Resposta correta: B) 1

A) 5Com $b = 5$ a soma seria $12 + 15 = 27$ , e não $15$ .
B) 1 $f(1) + f(2) + f(3) = (2 + b) + (4 + b) + (6 + b) = 12 + 3b$ , e $12 + 3b = 15$ dá $3b = 3$ , ou seja, $b = 1$ .
C) 3Com $b = 3$ a soma seria $12 + 9 = 21$ , e não $15$ .
D) 0Se $b = 0$ a soma seria apenas $2 + 4 + 6 = 12$ , e não $15$ .

💡 Explicação

Expandimos a soma:

f(1) + f(2) + f(3) = (2(1)+b) + (2(2)+b) + (2(3)+b)

. Somando os termos numéricos:

2 + 4 + 6 = 12

. Somando os termos em

b

:

3b

. Temos a equação

12 + 3b = 15

, resultando em

3b = 3

, logo

b = 1

.

Bloom: Evaluate

Em uma competição de matemática em São Paulo, propõe-se um problema sobre a área de figuras formadas por funções afins.

Qual é a área da região triangular limitada pelo gráfico da função

f(x) = -2x + 8

e pelos eixos coordenados

x

e

y

?

Ver resposta

Resposta correta: A) 16

A) 16O intercepto em $y$ é $8$ e a raiz é $4$ , então a área é $\frac{4 \cdot 8}{2} = 16$ .
B) 32Esse é o produto base por altura, $4 \cdot 8 = 32$ , e falta dividir por $2$ para obter a área do triângulo.
C) 8O 8 é só a altura; a área do triângulo precisa das duas dimensões e do fator $\frac{1}{2}$ .
D) 4O 4 é só a base; falta multiplicar pela altura $8$ e dividir por $2$ .

💡 Explicação

O triângulo tem vértices na origem

(0,0)

, no intercepto

y

(0,8)

e no intercepto

x

(raiz da função). Resolvendo

-2x + 8 = 0

, achamos a raiz

x = 4

. A base é 4 e a altura é 8. Área =

(\text{base} \cdot \text{altura}) / 2 = (4 \cdot 8) / 2 = 16

.

Bloom: Evaluate

Um matemático investiga propriedades de famílias de retas que passam por um ponto fixo no plano cartesiano.

Considere a família de funções

f_k(x) = (k-1)x + 2k + 3

. Qual é o ponto comum a todas as retas representadas por essa função, independentemente do valor de

k

?

Ver resposta

Resposta correta: D) $(-2, 5)$

A) $(0, 5)$ Com $x = 0$ temos $f_k(0) = 2k + 3$ , que varia com $k$ .
B) $(1, 3)$ Com $x = 1$ , $f_k(1) = (k-1) + 2k + 3 = 3k + 2$ , que ainda depende de $k$ .
C) $(2, -1)$ Com $x = 2$ , $f_k(2) = 2k - 2 + 2k + 3 = 4k + 1$ , que depende de $k$ .
D) $(-2, 5)$ $f_k(-2) = (k-1)(-2) + 2k + 3 = -2k + 2 + 2k + 3 = 5$ , e o resultado independe de $k$ .

💡 Explicação

Para encontrar o ponto comum, reescrevemos a função isolando o parâmetro

k

:

f(x) = kx - x + 2k + 3 = k(x + 2) - x + 3

. Para que o valor de

f(x)

não dependa de

k

, o termo que multiplica

k

deve ser zero:

x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2

. Substituindo

x = -2

na função:

f(-2) = k(0) - (-2) + 3 = 5

. O ponto é

(-2, 5)

.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?