Funcao Quadratica — Matemática Grado 11, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante em São Paulo estuda as características das funções do 2º grau e como identificá-las por sua lei de formação.

Qual é a forma geral de uma função quadrática?

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Resposta correta: B) $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a \neq 0$

A) $f(x) = ax + b$ Esta é a forma geral de uma função afim ou do 1º grau.
B) $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a \neq 0$ Correto. O termo x² caracteriza a função quadrática, e o coeficiente 'a' não pode ser nulo.
C) $f(x) = a^x + b$ Esta é uma função exponencial.
D) $f(x) = \frac{a}{x}$ Esta é uma função racional simples.

💡 Explicação

Uma função quadrática é definida por um polinômio de grau 2. A presença do termo

x^2

com coeficiente não nulo garante que o gráfico da função seja uma parábola.

Bloom: Remember

Um arquiteto no Rio de Janeiro utiliza curvas parabólicas no design de um arco monumental.

O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada:

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Resposta correta: C) Parábola

A) RetaRetas são gráficos de funções do 1º grau.
B) HipérboleHipérboles são gráficos de funções do tipo y = k/x.
C) ParábolaCorreto. A parábola é a curva característica de toda função do 2º grau.
D) ElipseElipses não representam funções simples do tipo y = f(x).

💡 Explicação

Diferente das funções lineares, a taxa de variação das funções quadráticas não é constante, resultando em uma curva simétrica conhecida como parábola.

Bloom: Understand

Em uma aula de física em Curitiba, analisa-se a concavidade da trajetória de um projétil lançado para cima.

Na função

f(x) = ax^2 + bx + c

, o que determina se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo?

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Resposta correta: B) O sinal do coeficiente $a$ .

A) O sinal do coeficiente $c$ .O coeficiente c indica apenas onde a parábola corta o eixo y.
B) O sinal do coeficiente $a$ .Correto. Se a > 0, concavidade para cima. Se a < 0, concavidade para baixo.
C) O valor do discriminante ( $\Delta$ ).O discriminante determina o número de raízes reais, não a concavidade.
D) O sinal do coeficiente $b$ .O sinal de b influencia o deslocamento lateral do vértice.

💡 Explicação

O coeficiente

a

(termo dominante) define a "abertura" e a orientação da parábola. Se

a

é positivo, a função tem um valor mínimo e a abertura é para cima. Se

a

é negativo, a função tem um valor máximo e a abertura é para baixo.

Bloom: Understand

Um engenheiro civil em Brasília analisa os pontos onde uma ponte encosta no solo, representados pelas raízes da função.

Como é chamado o termo

\Delta = b^2 - 4ac

na fórmula de Bhaskara?

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Resposta correta: B) Discriminante

A) VérticeVértice é o ponto extremo (máximo ou mínimo) da parábola.
B) DiscriminanteCorreto. O valor de delta "discrimina" a natureza das raízes da equação.
C) Coeficiente linearCoeficiente linear geralmente refere-se ao termo 'b' em funções afins ou 'c' em quadráticas.
D) Raiz quadradaDelta está sob o sinal da raiz quadrada na fórmula, mas não é a raiz em si.

💡 Explicação

O discriminante (

\Delta

) é fundamental para entender a interseção da parábola com o eixo

x

: se

\Delta > 0

há duas raízes, se

\Delta = 0

há uma, e se

\Delta < 0

não há raízes reais.

Bloom: Understand

Um biólogo em Manaus estuda a área ocupada por uma colônia de fungos, que cresce de forma quadrática com o tempo.

Dada a função

f(x) = x^2 - 6x + 5

, quais são as raízes desta função?

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Resposta correta: B) 1 e 5

A) 2 e 3O produto é 6, mas o termo constante da função é 5.
B) 1 e 5A soma das raízes é -(-6)/1 = 6 e o produto é 5/1 = 5. Os números são 1 e 5.
C) -1 e -5A soma seria -6, mas a soma correta deve ser 6.
D) 0 e 5O produto seria 0, mas o produto correto deve ser 5.

💡 Explicação

Podemos usar a soma (

S = -b/a = 6

) e o produto (

P = c/a = 5

) das raízes. Dois números que somados dão 6 e multiplicados dão 5 são 1 e 5.

Bloom: Understand

Um fotógrafo em Belo Horizonte quer entender em que ponto sua lente captura o foco máximo, modelado por uma parábola.

Onde a parábola da função

f(x) = 2x^2 - 4x + 7

intercepta o eixo das ordenadas (

y

)?

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Resposta correta: C) $(0, 7)$

A) $(0, 2)$ 2 é o valor do coeficiente 'a', não do ponto de interseção com y.
B) $(0, -4)$ -4 é o valor do coeficiente 'b'.
C) $(0, 7)$ Correto. Para x = 0, f(0) = 7. O intercepto y é sempre o valor de c.
D) $(7, 0)$ Este seria um intercepto no eixo x (raiz), mas (0,7) é o intercepto y.

💡 Explicação

Para encontrar o intercepto

y

, basta calcular

f(0)

. Em qualquer função do tipo

f(x) = ax^2 + bx + c

, temos

f(0) = c

. Logo, o ponto é

(0, c)

.

Bloom: Apply

Um projétil é lançado de um ponto em Salvador e sua altura $h$ em metros segue a função $h(t) = -5t^2 + 20t$ .

Em que instante

t

(em segundos) o projétil atinge sua altura máxima?

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Resposta correta: B) $t = 2$ s

A) $t = 4$ st = 4 é o instante em que o projétil volta ao solo (raiz).
B) $t = 2$ st_v = -b / 2a = -20 / (2 * -5) = -20 / -10 = 2.
C) $t = 5$ sCálculo incorreto da coordenada x do vértice.
D) $t = 20$ s20 é o coeficiente 'b', não o instante do máximo.

💡 Explicação

A altura máxima ocorre no vértice da parábola. A coordenada

t

do vértice é dada por

t_v = -b / 2a

. Substituindo:

t_v = -20 / (2 \cdot -5) = 2

segundos.

Bloom: Apply

Um administrador de empresas em Porto Alegre analisa a função custo de produção para minimizar gastos.

Dada a função

f(x) = x^2 - 8x + 12

, quais são as coordenadas do vértice da parábola?

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Resposta correta: B) $(4, -4)$

A) $(4, 12)$ x_v = 4 está correto, mas f(4) = 16 - 32 + 12 = -4.
B) $(4, -4)$ x_v = -(-8)/2 = 4. y_v = f(4) = 4² - 8(4) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4.
C) $(8, 12)$ x_v deve ser -b/2a, que resulta em 4.
D) $(-4, 4)$ Erro nos sinais das coordenadas do vértice.

💡 Explicação

O vértice

V(x_v, y_v)

tem

x_v = -b / 2a = 8 / 2 = 4

. Substituindo

x=4

na função para achar

y_v

:

y_v = 4^2 - 8 \cdot 4 + 12 = 16 - 32 + 12 = -4

. O vértice é

(4, -4)

.

Bloom: Apply

Um designer em Recife projeta um logotipo usando uma parábola que toca o eixo $x$ em apenas um ponto.

Para que a função

f(x) = x^2 - 4x + k

tenha exatamente uma raiz real (seja tangente ao eixo

x

), qual deve ser o valor de

k

?

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Resposta correta: C) $k = 4$

A) $k = 0$ Se k=0, a função tem raízes 0 e 4.
B) $k = 2$ Se k=2, delta seria 16 - 8 = 8, tendo duas raízes reais.
C) $k = 4$ Para ter uma única raiz, delta deve ser zero. b² - 4ac = (-4)² - 4(1)k = 16 - 4k = 0 => k = 4.
D) $k = -4$ Se k=-4, delta seria 16 + 16 = 32, tendo duas raízes reais.

💡 Explicação

Uma função quadrática possui apenas uma raiz real (ou duas raízes iguais) quando o discriminante é zero (

\Delta = 0

). Calculando

\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 16 - 4k

. Igualando a zero, temos

k = 4

.

Bloom: Apply

Um agrimensor em Manaus analisa a curvatura de um terreno modelada por uma função do 2º grau.

A parábola da função

f(x) = -x^2 + 10x - 21

intercepta o eixo

x

em dois pontos. Qual é a distância entre esses dois pontos?

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Resposta correta: C) 4

A) 1010 é a soma das raízes, não a distância entre elas.
B) 2As raízes são 3 e 7. A distância entre elas é 4.
C) 4Raízes: x = (-10 ± √16) / -2 => x = (-10 ± 4) / -2. Raízes são 7 e 3. Distância = 7 - 3 = 4.
D) 6Cálculo incorreto das raízes da função.

💡 Explicação

Encontramos as raízes resolvendo

-x^2 + 10x - 21 = 0

.

\Delta = 100 - 84 = 16

. As raízes são

x = (-10 \pm 4) / -2

, resultando em

x_1 = 3

e

x_2 = 7

. A distância é

|x_2 - x_1| = 7 - 3 = 4

.

Bloom: Apply

Um investidor em São Paulo monitora o valor de uma ação que seguiu uma trajetória parabólica ao longo de um dia de negociações.

Considere a função

f(x) = x^2 - 2x + 5

. Qual é o valor mínimo que esta função pode assumir?

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Resposta correta: B) 4

A) 11 é o valor de x onde ocorre o mínimo (x_v), não o valor mínimo da função.
B) 4y_v = -Δ / 4a = -(4 - 20) / 4 = 16 / 4 = 4.
C) 55 é o valor de f(0), não o valor mínimo.
D) 0A função não possui raízes reais (Δ < 0), então ela nunca atinge o valor zero.

💡 Explicação

O valor mínimo da função é a coordenada

y

do vértice (

y_v

). Como

a > 0

, o vértice é um ponto de mínimo. Calculamos

x_v = -b / 2a = 2 / 2 = 1

e então

f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 4

.

Bloom: Apply

Um professor em Goiânia mostra como determinar a lei de uma função quadrática a partir de seus pontos notáveis.

Qual é a lei da função quadrática cujas raízes são

-1

e

3

e que passa pelo ponto

(0, -3)

?

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Resposta correta: A) $f(x) = x^2 - 2x - 3$

A) $f(x) = x^2 - 2x - 3$ Raízes: x²-2x-3 = (x+1)(x-3). Ponto (0,-3): 0²-2(0)-3 = -3. Confere.
B) $f(x) = x^2 + 2x - 3$ As raízes desta função seriam 1 e -3.
C) $f(x) = -x^2 + 2x + 3$ Esta função passa pelo ponto (0,3), não (0,-3).
D) $f(x) = x^2 - 3x + 1$ Não possui as raízes dadas.

💡 Explicação

Usamos a forma fatorada:

f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)

. Assim,

f(x) = a(x + 1)(x - 3)

. Substituímos o ponto

(0, -3)

:

-3 = a(0+1)(0-3) \Rightarrow -3 = -3a \Rightarrow a = 1

. Expandindo:

f(x) = (x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3

.

Bloom: Analyze

Um analista de sistemas em Florianópolis otimiza um código que calcula a trajetória de objetos em um jogo digital.

Dada a função

f(x) = kx^2 - 4x + 1

, para quais valores de

k

a função NÃO possui raízes reais?

Ver resposta

Resposta correta: B) $k > 4$

A) $k < 4$ Nem todos os valores menores que 4 satisfazem a condição de não ter raízes.
B) $k > 4$ Δ = (-4)² - 4(k)(1) = 16 - 4k. Para não ter raízes reais, Δ < 0 => 16 < 4k => k > 4.
C) $k = 4$ Com k=4, a função teria uma raiz real (delta = 0).
D) $k < 0$ Se k for negativo, o produto -4ac será positivo e delta sempre será maior que zero.

💡 Explicação

Para que uma função do 2º grau não tenha raízes reais, o discriminante deve ser estritamente negativo (

\Delta < 0

). Resolvendo

16 - 4k < 0

, obtemos

16 < 4k

, o que resulta em

k > 4

.

Bloom: Analyze

Um arquiteto paisagista em Porto Alegre projeta um canteiro retangular onde a área deve ser maximizada para um dado perímetro.

Um retângulo tem perímetro de 20 metros. Sendo

x

a medida de um dos lados, a área

A

é dada por

A(x) = x(10 - x)

. Qual é a área máxima possível para esse retângulo?

Ver resposta

Resposta correta: C) 25 m²

A) 10 m²Valor abaixo do máximo possível para um retângulo de perímetro 20.
B) 20 m²Valor incorreto para o vértice da função área.
C) 25 m²A(x) = -x² + 10x. Vértice em x = -10/-2 = 5. A(5) = 5(10 - 5) = 25.
D) 100 m²Valor impossível, pois exigiria lados que somam mais que o perímetro disponível.

💡 Explicação

A função área é

A(x) = -x^2 + 10x

. O valor máximo ocorre no vértice

x_v = -10 / (2 \cdot -1) = 5

. Substituindo, a área máxima é

A(5) = -25 + 50 = 25

. Geometricamente, o retângulo de área máxima para um perímetro fixo é o quadrado.

Bloom: Analyze

Um economista em São Paulo analisa a função receita de uma loja, dada pelo produto do preço pela quantidade vendida.

A quantidade vendida

q

de um produto depende do preço

p

segundo a função

q = 60 - 2p

. A receita é

R(p) = p \cdot q

. Qual preço

p

maximiza a receita?

Ver resposta

Resposta correta: C) R\$ 15,00

A) R\$ 60,00Com p=60, a quantidade vendida seria negativa, logo receita negativa.
B) R\$ 30,00Com p=30, a quantidade vendida é zero, logo receita zero.
C) R\$ 15,00R(p) = p(60 - 2p) = -2p² + 60p. Vértice em p = -60 / (2 * -2) = 15.
D) R\$ 10,00p=10 gera receita de 10 * 40 = 400, que é menor que a receita com p=15 (450).

💡 Explicação

A função receita é

R(p) = -2p^2 + 60p

. Esta é uma função quadrática com concavidade para baixo. O ponto de máximo (preço ideal) é dado por

p_v = -b / 2a = -60 / (2 \cdot -2) = 15

.

Bloom: Analyze

Um físico em São José dos Campos estuda a energia potencial de uma mola, que é uma função quadrática da deformação.

O gráfico de

f(x) = ax^2 + bx + c

tem vértice em

(2, -1)

e passa por

(0, 3)

. Determine o valor de

a

.

Ver resposta

Resposta correta: B) $a = 1$

A) $a = -1$ Se a fosse negativo, a parábola abriria para baixo e não passaria em y=3 vindo de y=-1.
B) $a = 1$ Usando a forma canônica y = a(x-h)² + k: 3 = a(0-2)² - 1 => 3 = 4a - 1 => 4a = 4 => a = 1.
C) $a = 2$ Com $a=2$ : $f(2)=2(4)-1=7$ , que não é $-1$ ; o vértice não fica na altura correta.
D) $a = 0,5$ Com $a=0{,}5$ : $f(2)=0{,}5(4)-1=1$ , e o sinal está errado, pois o ponto pedido está abaixo do vértice.

💡 Explicação

Usamos a forma canônica da função quadrática:

f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v

. Substituindo o vértice

(2, -1)

:

f(x) = a(x - 2)^2 - 1

. Agora usamos o ponto

(0, 3)

para achar

a

:

3 = a(0 - 2)^2 - 1 \Rightarrow 3 = 4a - 1 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1

.

Bloom: Evaluate

Um matemático em Campinas investiga as propriedades das somas e produtos de raízes em funções com parâmetros variáveis.

Sejam

x_1

e

x_2

as raízes de

f(x) = x^2 - mx + (m-1)

. Qual é o valor da expressão

x_1^2 + x_2^2

em termos de

m

?

Ver resposta

Resposta correta: D) $m^2 - 2m + 2$

A) $m^2$ x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2x1x2. Faltou subtrair o termo do produto.
B) $2m - 2$ Falta o termo quadrático m².
C) $m^2 + 2m - 2$ Erro nos sinais ao expandir a expressão algébrica.
D) $m^2 - 2m + 2$ (x1 + x2)² - 2x1x2 = m² - 2(m - 1) = m² - 2m + 2.

💡 Explicação

Usamos as relações de Girard:

x_1 + x_2 = m

e

x_1 \cdot x_2 = m - 1

. A expressão

x_1^2 + x_2^2

pode ser escrita como

(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

. Substituindo os valores:

m^2 - 2(m - 1) = m^2 - 2m + 2

.

Bloom: Evaluate

Durante uma olimpíada de matemática, os estudantes devem analisar o comportamento de uma parábola cujos coeficientes dependem de um sorteio.

Considere a função

f(x) = ax^2 + bx + c

. Se

a < 0

,

b = 0

e

c > 0

, qual é a posição do vértice e a quantidade de raízes reais?

Ver resposta

Resposta correta: C) Vértice sobre o eixo y, duas raízes reais.

A) Vértice sobre o eixo x, uma única raiz real.Se c > 0 e a < 0, a parábola corta o eixo y acima de zero e desce, tendo duas raízes.
B) Vértice no quarto quadrante, nenhuma raiz real.O vértice está no eixo y (pois b=0).
C) Vértice sobre o eixo y, duas raízes reais.b = 0 implica x_v = 0. f(0) = c > 0. Como a < 0, a parábola desce a partir do ponto (0,c), cortando o eixo x duas vezes.
D) Vértice na origem, nenhuma raiz real.O vértice só estaria na origem se b=0 e c=0.

💡 Explicação

Como

b = 0

, o eixo de simetria é o próprio eixo

y

(

x_v = 0

). O vértice é o ponto

(0, c)

. Como

c > 0

, o vértice está acima do eixo

x

. Sendo

a < 0

, a concavidade é para baixo, forçando a parábola a cruzar o eixo

x

em dois pontos distintos (raízes simétricas).

Bloom: Evaluate

No vestibular de uma universidade militar de elite no Brasil, avalia-se o conhecimento profundo sobre o deslocamento de parábolas.

Uma parábola de equação

y = x^2

sofre uma translação de 3 unidades para a direita e 2 unidades para baixo. Qual é a nova equação na forma polinomial expandida?

Ver resposta

Resposta correta: A) $y = x^2 - 6x + 7$

A) $y = x^2 - 6x + 7$ (x-3)² - 2 = x² - 6x + 9 - 2 = x² - 6x + 7. Correto.
B) $y = x^2 + 6x + 7$ Translação para a direita exige o sinal de menos dentro do parêntese (x-3).
C) $y = x^2 - 3x - 2$ Erro na aplicação da regra de translação horizontal.
D) $y = x^2 + 3x + 2$ Erro na aplicação da regra de translação.

💡 Explicação

A translação de

h

unidades para a direita e

k

para cima transforma

f(x)

em

f(x-h) + k

. No caso,

h=3

e

k=-2

. A nova função é

y = (x - 3)^2 - 2

. Expandindo:

y = (x^2 - 6x + 9) - 2 = x^2 - 6x + 7

.

Bloom: Evaluate

Um matemático em São Paulo estuda a área de triângulos cujos vértices são pontos notáveis de uma parábola.

Qual é a área do triângulo cujos vértices são as raízes da função

f(x) = -x^2 + 6x - 8

e o vértice da própria parábola?

Ver resposta

Resposta correta: C) 1

A) 4Área = (base altura) / 2. Base (distância entre raízes) é 2. Altura (y_v) é 1. Área = (2 1) / 2 = 1.
B) 2Erro no cálculo das dimensões ou na fórmula da área.
C) 1Raízes: 2 e 4. Base = 2. Vértice: x_v = 3, y_v = -3² + 18 - 8 = 1. Altura = 1. Área = (2 * 1) / 2 = 1.
D) 0,5Erro no cálculo das dimensões.

💡 Explicação

1. Raízes:

x^2 - 6x + 8 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-4)=0 \Rightarrow

raízes 2 e 4. Base do triângulo =

4 - 2 = 2

.
2. Vértice:

x_v = 3

.

y_v = f(3) = -9 + 18 - 8 = 1

. A altura do triângulo em relação ao eixo

x

é

|y_v| = 1

.
3. Área =

(\text{base} \cdot \text{altura}) / 2 = (2 \cdot 1) / 2 = 1

.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?