Funcao Logaritmica — Matemática Grado 11, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante em São Paulo está iniciando o estudo de logaritmos e precisa compreender a definição básica dessa operação.

Dada a igualdade

\log_a(b) = x

, qual é a relação exponencial equivalente?

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Resposta correta: B) $a^x = b$

A) $x^a = b$ O logaritmo busca o expoente, não a base.
B) $a^x = b$ Correto. O logaritmo x é o expoente ao qual devemos elevar a base a para obter o logaritmando b.
C) $b^x = a$ Incorreto ao trocar as posições da base e do resultado.
D) $a \cdot x = b$ O logaritmo não é uma operação de multiplicação simples.

💡 Explicação

O logaritmo é a operação inversa da exponenciação. Dizer que

\log_a(b) = x

é exatamente o mesmo que dizer que

a^x = b

, respeitando as condições de existência (

a > 0, a \neq 1

e

b > 0

).

Bloom: Remember

Em uma aula de química no Rio de Janeiro, os alunos utilizam logaritmos para calcular o pH de uma solução.

Quais são as condições de existência para o logaritmo

\log_a(b)

?

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Resposta correta: C) $a > 0, a \neq 1$ e $b > 0$ .

A) $a$ e $b$ podem ser quaisquer números reais.Existem restrições fundamentais para que o logaritmo seja um número real único.
B) $a > 0$ e $b > 1$ .O logaritmando b pode estar entre 0 e 1.
C) $a > 0, a \neq 1$ e $b > 0$ .Correto. A base deve ser positiva e diferente de 1, e o logaritmando deve ser estritamente positivo.
D) $a \neq 1$ e $b \geq 0$ .O logaritmando b não pode ser zero.

💡 Explicação

Para que a função logarítmica seja bem definida no conjunto dos números reais: 1) A base

a

deve ser positiva e diferente de 1. 2) O logaritmando

b

deve ser maior que zero (pois potências de base positiva nunca resultam em zero ou negativo).

Bloom: Understand

Um sismólogo em Brasília utiliza a escala Richter, que é baseada em logaritmos, para medir a magnitude de um terremoto.

Qual é o valor de

\log_2(32)

?

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Resposta correta: C) 5

A) 162 * 16 é 32, mas o logaritmo busca o expoente.
B) 42⁴ é 16.
C) 52⁵ = 2 2 2 2 2 = 32.
D) 62⁶ é 64.

💡 Explicação

Devemos encontrar o expoente

x

tal que

2^x = 32

. Como

32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5

, concluímos que o logaritmo é 5.

Bloom: Understand

Um arquiteto em Curitiba analisa a curva de uma concha acústica que segue um padrão logarítmico.

Em relação ao comportamento da função logarítmica

f(x) = \log_a(x)

, o que podemos afirmar se a base for

a > 1

?

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Resposta correta: A) A função é estritamente crescente.

A) A função é estritamente crescente.Correto. Para bases maiores que 1, quanto maior o valor de x, maior o seu logaritmo.
B) A função é estritamente decrescente.Isso ocorreria se a base estivesse entre 0 e 1.
C) O gráfico cruza o eixo $y$ no ponto $(0,1)$ .A função logarítmica não cruza o eixo y (x deve ser > 0).
D) A função é constante para valores grandes de $x$ .A função continua crescendo indefinidamente, embora de forma cada vez mais lenta.

💡 Explicação

Assim como nas funções exponenciais, a base

a

define o crescimento. Se

a > 1

, a função é crescente. Se

0 < a < 1

, a função é decrescente.

Bloom: Understand

Um engenheiro de som em Belo Horizonte utiliza o decibel (dB), uma unidade logarítmica, para medir a intensidade sonora.

Dada a propriedade do logaritmo do produto, qual das seguintes expressões é verdadeira?

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Resposta correta: B) $\log_a(M \cdot N) = \log_a(M) + \log_a(N)$

A) $\log_a(M \cdot N) = \log_a(M) \cdot \log_a(N)$ Incorreto. O logaritmo transforma produto em soma, não em outro produto.
B) $\log_a(M \cdot N) = \log_a(M) + \log_a(N)$ Correto. Esta é uma das propriedades fundamentais que facilitam cálculos complexos.
C) $\log_a(M + N) = \log_a(M) + \log_a(N)$ Incorreto. Não existe propriedade simples para o logaritmo da soma.
D) $\log_a(M \cdot N) = (\log_a M)^N$ Incorreto. Esta não é uma propriedade válida.

💡 Explicação

A função logarítmica possui propriedades operatórias importantes que derivam das propriedades de potências. O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos dos fatores na mesma base.

Bloom: Understand

Um biólogo em Manaus estuda o domínio de funções que descrevem a percepção de estímulos sensoriais.

Qual é o domínio da função real

f(x) = \log_3(x - 4)

?

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Resposta correta: C) $x > 4$

A) $\mathbb{R}$ Logaritmandos não podem ser negativos ou zero.
B) $x \geq 4$ O valor 4 não é permitido, pois log(0) não existe.
C) $x > 4$ Correto. A condição de existência exige x - 4 > 0.
D) $x < 4$ Isso tornaria o logaritmando negativo.

💡 Explicação

Para que o logaritmo esteja definido, seu argumento (logaritmando) deve ser estritamente positivo. Assim,

x - 4 > 0 \Rightarrow x > 4

. O domínio é o intervalo aberto

(4, +\infty)

.

Bloom: Apply

Um técnico em Salvador calcula a desintegração de uma amostra química usando logaritmos decimais (base 10).

Qual é o valor da expressão

\log 1000 + \log 0,01

? (Nota:

\log

sem base indica base 10).

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Resposta correta: B) 1

A) 5Erro ao considerar o sinal do logaritmo de 0,01.
B) 1log 1000 = 3 e log 0,01 = log 10⁻² = -2. Logo 3 + (-2) = 1.
C) 10Cálculo incorreto dos valores individuais.
D) 4Erro de operação.

💡 Explicação

Resolvemos cada termo separadamente:

1000 = 10^3 \Rightarrow \log 1000 = 3

.

0,01 = 10^{-2} \Rightarrow \log 0,01 = -2

. Somando os dois resultados:

3 + (-2) = 1

.

Bloom: Apply

Em um laboratório de informática em Porto Alegre, analisa-se a complexidade de algoritmos de busca binária, que é de ordem logarítmica.

Utilizando as propriedades dos logaritmos, simplifique a expressão

\log_2(8^5)

.

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Resposta correta: C) 15

A) 5Este é apenas o expoente do logaritmando.
B) 88 é o logaritmando. Depois de aplicar a propriedade da potência, o que se multiplica por 5 é log_2(8) = 3, e não o próprio 8.
C) 15log_2(8⁵) = 5 log_2(8) = 5 3 = 15.
D) 40Erro ao multiplicar 8 por 5.

💡 Explicação

Pela propriedade da potência:

\log_a(M^k) = k \cdot \log_a(M)

. Assim,

\log_2(8^5) = 5 \cdot \log_2(8)

. Como

\log_2(8) = 3

(pois

2^3 = 8

), o resultado final é

5 \cdot 3 = 15

.

Bloom: Apply

Um economista em Recife utiliza logaritmos para isolar a variável tempo em uma equação de juros compostos.

Se

\log 2 \approx 0,30

e

\log 3 \approx 0,48

, qual é o valor aproximado de

\log 6

?

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Resposta correta: C) 0,78

A) 0,18Erro ao subtrair os logaritmos.
B) 0,144Erro ao multiplicar os logaritmos.
C) 0,78log 6 = log (2 * 3) = log 2 + log 3 = 0,30 + 0,48 = 0,78.
D) 1,58Valor incorreto.

💡 Explicação

Como

6 = 2 \cdot 3

, aplicamos a propriedade do produto:

\log 6 = \log(2 \cdot 3) = \log 2 + \log 3

. Substituindo os valores dados:

0,30 + 0,48 = 0,78

.

Bloom: Apply

Um estudante em Fortaleza resolve equações logarítmicas simples para consolidar o conhecimento da definição.

Qual é a solução da equação

\log_x(49) = 2

?

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Resposta correta: B) $x = 7$

A) $x = 49$ 49² não é 49.
B) $x = 7$ Pela definição, x² = 49. Como a base deve ser positiva, x = 7.
C) $x = -7$ Embora (-7)² seja 49, a base de um logaritmo não pode ser negativa.
D) $x = 24,5$ Erro de divisão em vez de radiciação.

💡 Explicação

Aplicando a definição de logaritmo:

x^2 = 49

. As soluções algébricas seriam

7

e

-7

. No entanto, pela condição de existência das bases dos logaritmos (

a > 0

), a única solução válida é

x = 7

.

Bloom: Apply

Um cientista de dados em São Paulo realiza uma mudança de base em um banco de dados para facilitar a visualização de informações.

Qual é a fórmula correta para a mudança de base de

\log_a(b)

para uma nova base

c

?

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Resposta correta: A) $\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$

A) $\frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}$ Correto. Esta fórmula permite converter logaritmos para bases como 10 ou 'e', facilitando o uso de calculadoras.
B) $\log_c(b) - \log_c(a)$ Mudança de base envolve divisão, não subtração.
C) $\log_c(b) \cdot \log_c(a)$ Mudança de base envolve divisão, não multiplicação.
D) $\frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$ Incorreto ao inverter a posição do logaritmando e da base original.

💡 Explicação

A fórmula de mudança de base é essencial para cálculos práticos. Ela estabelece que o logaritmo de

b

na base

a

é igual à razão entre o logaritmo de

b

em uma base

c

qualquer e o logaritmo da base original

a

nessa mesma base

c

.

Bloom: Apply

Um engenheiro em Goiânia resolve uma equação logarítmica que envolve a propriedade do quociente.

Resolva a equação

\log_5(x + 10) - \log_5(x) = 1

.

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Resposta correta: B) $x = 2,5$

A) $x = 10$ log_5(20) - log_5(10) = log_5(2) ≠ 1.
B) $x = 2,5$ log_5((x+10)/x) = 1 => (x+10)/x = 5 => x+10 = 5x => 4x = 10 => x = 2,5.
C) $x = 5$ log_5(15) - log_5(5) = log_5(3) ≠ 1.
D) $x = 0$ x não pode ser zero, pois log(0) não existe.

💡 Explicação

Usamos a propriedade do quociente:

\log_5(\frac{x+10}{x}) = 1

. Pela definição:

\frac{x+10}{x} = 5^1

. Resolvendo a equação linear:

x + 10 = 5x \Rightarrow 4x = 10 \Rightarrow x = 2,5

.

Bloom: Analyze

Um professor em Vitória explica a relação de simetria entre os gráficos de funções inversas.

Os gráficos das funções

f(x) = 10^x

e

g(x) = \log x

são simétricos em relação a qual reta do plano cartesiano?

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Resposta correta: C) Reta $y = x$

A) Eixo $x$ Simetria em relação ao eixo x ocorre quando trocamos f(x) por -f(x).
B) Eixo $y$ Simetria em relação ao eixo y ocorre quando trocamos x por -x.
C) Reta $y = x$ Correto. Gráficos de funções inversas são sempre simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
D) Reta $y = -x$ A reta y = -x é a simetria de funções uma da outra, como f(x) = -f(-x), e não a de duas funções inversas entre si.

💡 Explicação

Como a função logarítmica é a inversa da exponencial, seus pares ordenados

(x, y)

são trocados por

(y, x)

. Geometricamente, essa inversão de coordenadas corresponde a uma reflexão em relação à reta

y = x

.

Bloom: Analyze

Um astrônomo em São José dos Campos utiliza logaritmos para calcular o brilho aparente das estrelas em uma escala logarítmica.

Seja

\log a = 2

e

\log b = 3

. Determine o valor de

\log(\frac{a^3}{b^2})

.

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Resposta correta: A) 0

A) 03 log a - 2 log b = 3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0.
B) 1Cálculo incorreto das propriedades.
C) 12Erro ao multiplicar os valores em vez de aplicar propriedades.
D) -1Erro de sinal na subtração.

💡 Explicação

Aplicamos as propriedades do quociente e da potência:

\log(\frac{a^3}{b^2}) = \log(a^3) - \log(b^2) = 3 \cdot \log a - 2 \cdot \log b

. Substituindo os valores:

3(2) - 2(3) = 6 - 6 = 0

.

Bloom: Analyze

Um farmacêutico em Florianópolis calcula o tempo de meia-vida de um medicamento no organismo usando logaritmos neperianos.

Dada a expressão

5^x = 20

, qual é a solução para

x

expressa em termos de logaritmos decimais?

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Resposta correta: C) $x = \frac{\log 20}{\log 5}$

A) $x = \log 4$ 5 * 4 = 20, mas exponencial não é multiplicação.
B) $x = \frac{\log 5}{\log 20}$ Incorreto ao inverter a posição dos logaritmos.
C) $x = \frac{\log 20}{\log 5}$ Aplicando log em ambos os lados: x * log 5 = log 20 => x = log 20 / log 5.
D) $x = \log 20 - \log 5$ Subtração de logaritmos equivale à divisão dos argumentos, não ao resultado de x.

💡 Explicação

Para isolar o

x

no expoente, aplicamos o logaritmo em ambos os lados da equação:

\log(5^x) = \log(20)

. Usando a propriedade da potência:

x \cdot \log 5 = \log 20

. Isolando

x

, temos

x = \frac{\log 20}{\log 5}

.

Bloom: Analyze

Um matemático estuda o comportamento de funções logarítmicas transladadas e refletidas.

Qual é a característica do gráfico da função

f(x) = -\log_2(x)

?

Ver resposta

Resposta correta: C) É uma função decrescente que passa pelo ponto $(1,0)$ .

A) É uma função crescente.Como log_2(x) é crescente, -log_2(x) torna-se decrescente.
B) O domínio é o conjunto de todos os números reais.O domínio continua sendo x > 0.
C) É uma função decrescente que passa pelo ponto $(1,0)$ .Correto. A reflexão no eixo x inverte o crescimento, mas f(1) = -log_2(1) = 0.
D) O gráfico intercepta o eixo $y$ em $-1$ .A função logarítmica nunca intercepta o eixo y.

💡 Explicação

A função base

\log_2(x)

é crescente pois

2 > 1

. O sinal negativo à frente da função aplica uma reflexão em relação ao eixo

x

, transformando os valores positivos em negativos e vice-versa, o que torna a função decrescente. O ponto

(1,0)

permanece inalterado.

Bloom: Evaluate

Um engenheiro nuclear em Campinas analisa a segurança de um reator através de equações que combinam logaritmos e exponenciais.

Simplifique a expressão:

e^{2 \ln x} + 10^{\log x}

.

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Resposta correta: C) $x^2 + x$

A) $2x + x = 3x$ Erro ao aplicar a propriedade da potência no primeiro termo.
B) $e^{x^2} + 10^x$ Como 2 ln x = ln(x^2), o primeiro termo simplifica para e^(ln(x^2)) = x^2, e não para e^(x^2), que é outra expressão.
C) $x^2 + x$ e^(ln x²) = x² e 10^(log x) = x. Logo, x² + x.
D) $x^2 + \log x$ No segundo termo vale a identidade a^(log_a b) = b, então 10^(log x) é o próprio x. Sobrar log x indica que a identidade não foi aplicada.

💡 Explicação

Usamos as identidades fundamentais:

a^{\log_a b} = b

. No primeiro termo,

2 \ln x = \ln x^2

, então

e^{\ln x^2} = x^2

. No segundo termo,

10^{\log x} = x

. A soma resulta em

x^2 + x

.

Bloom: Evaluate

Durante uma olimpíada de matemática, os estudantes devem resolver um sistema de equações logarítmicas.

Determine o conjunto solução da inequação:

\log_2(x - 3) + \log_2(x - 1) \leq 3

.

Ver resposta

Resposta correta: D) $3 < x \leq 5$

A) $x \leq 5$ Faltou considerar a condição de existência x > 3.
B) $1 < x \leq 5$ Para satisfazer ambos os logaritmos, x deve ser maior que 3.
C) $-1 \leq x \leq 5$ Viola a condição de existência do logaritmo.
D) $3 < x \leq 5$ Condição: x > 3. Resolvendo: log_2((x-3)(x-1)) ≤ 3 => x²-4x+3 ≤ 8 => x²-4x-5 ≤ 0. Raízes -1 e 5. Interseção com x > 3 dá 3 < x ≤ 5.

💡 Explicação

1. Condição de existência:

x-3 > 0

e

x-1 > 0

, logo

x > 3

.
2. Resolvendo a inequação:

\log_2((x-3)(x-1)) \leq 3 \Rightarrow (x-3)(x-1) \leq 2^3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 \leq 8 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 \leq 0

. As raízes são

-1

e

5

. O intervalo é

[-1, 5]

.
3. Interseção com a condição:

(3, +\infty) \cap [-1, 5] = (3, 5]

.

Bloom: Evaluate

Um pesquisador avançado investiga as propriedades de logaritmos cujas bases são variáveis.

Qual é o valor da soma

S = \log_2(3) \cdot \log_3(4) \cdot \log_4(5) \cdot ... \cdot \log_{31}(32)

?

Ver resposta

Resposta correta: B) 5

A) 32A mudança de base para uma base comum faz o produto se cancelar em telescopia até log 32 / log 2 = log_2(32), e não até 32.
B) 5Mudança de base: (log 3 / log 2) (log 4 / log 3) ... * (log 32 / log 31) = log 32 / log 2 = log_2(32) = 5.
C) $\log 32$ O logaritmo resultante está na base 2.
D) 1Os fatores não se cancelam por completo: sobram log 32 e log 2, cuja razão é log_2(32) = 5. Um produto de fatores encadeados nunca dá 1 aqui.

💡 Explicação

Aplicamos a mudança de base em cada termo para uma base comum

k

:

\frac{\log_k 3}{\log_k 2} \cdot \frac{\log_k 4}{\log_k 3} \cdot \frac{\log_k 5}{\log_k 4} \cdot ... \cdot \frac{\log_k 32}{\log_k 31}

. Observamos um cancelamento telescópico, sobrando apenas

\frac{\log_k 32}{\log_k 2}

, que é igual a

\log_2(32) = 5

.

Bloom: Evaluate

Em um exame de alto nível para ingressar no ITA, avalia-se a capacidade de relacionar logaritmos e progressões geométricas.

Se

a, b, c

formam uma Progressão Geométrica de termos positivos, nessa ordem, o que podemos afirmar sobre

\log_k(a), \log_k(b), \log_k(c)

?

Ver resposta

Resposta correta: B) Formam uma Progressão Aritmética.

A) Formam uma Progressão Geométrica.A relação entre logaritmos e PG resulta em uma Progressão Aritmética.
B) Formam uma Progressão Aritmética.Se b² = ac, então log b² = log(ac) => 2 log b = log a + log c. Esta é a definição de PA.
C) São sempre números inteiros.Depende dos valores de a, b, c e k.
D) São sempre números iguais.Só se a razão da PG fosse 1.

💡 Explicação

Em uma PG,

b^2 = a \cdot c

. Aplicando o logaritmo em ambos os lados:

\log_k(b^2) = \log_k(a \cdot c)

. Pelas propriedades:

2 \cdot \log_k(b) = \log_k(a) + \log_k(c)

. Esta é a propriedade fundamental de uma Progressão Aritmética: o termo médio é a média aritmética dos extremos.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?