Progressao Geometrica — Matemática Grado 11, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante em São Paulo está revisando a definição de sequências que crescem ou decrescem por meio de multiplicações sucessivas.

Qual é a lei de formação do termo geral (

a_n

) de uma Progressão Geométrica (PG) de primeiro termo

a_1

e razão

q

?

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Resposta correta: A) $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

A) $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ Correto. Em uma PG, cada termo é obtido multiplicando o anterior pela razão q.
B) $a_n = a_1 + (n - 1)q$ Esta é a fórmula de uma Progressão Aritmética.
C) $a_n = a_1 \cdot q^n$ Erro: o primeiro termo não deve ser multiplicado pela razão (q elevado a 0 é 1).
D) $a_n = (a_1 \cdot q)^{n-1}$ A potência deve ser aplicada apenas à razão q.

💡 Explicação

Em uma Progressão Geométrica, a relação entre termos consecutivos é constante e igual à razão multiplicativa

q

. Para chegar ao termo de posição

n

, partimos do primeiro termo e multiplicamos pela razão

n-1

vezes.

Bloom: Remember

Um professor no Rio de Janeiro explica como o valor da razão altera a natureza da sequência geométrica.

Uma Progressão Geométrica de termos positivos é considerada decrescente quando a razão

q

satisfaz qual condição?

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Resposta correta: D) $0 < q < 1$

A) $q > 1$ Se q > 1, os termos aumentam a cada passo (PG crescente).
B) $q = 1$ Se q = 1, a PG é constante ou estacionária.
C) $q < 0$ Se q < 0, os termos alternam de sinal (PG oscilante ou alternada).
D) $0 < q < 1$ Correto. Multiplicar um número positivo por uma fração entre 0 e 1 resulta em um valor menor.

💡 Explicação

Para uma PG de termos positivos, se a razão está entre 0 e 1, cada novo termo é uma fração do anterior, fazendo com que os valores da sequência diminuam gradualmente em direção a zero.

Bloom: Understand

Um biólogo em Manaus observa uma cultura de fungos cuja área ocupada triplica a cada dia de observação.

Dada a PG

(4, 12, 36, 108, ...)

, qual é o valor da razão

q

?

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Resposta correta: B) 3

A) 88 é a diferença entre os dois primeiros termos, mas PG usa razão multiplicativa.
B) 3q = 12 / 4 = 3.
C) 44 é o primeiro termo, não a razão.
D) 2Se a razão fosse 2, o segundo termo seria 8.

💡 Explicação

A razão

q

de uma PG é encontrada dividindo um termo pelo seu antecessor imediato:

q = a_2 / a_1

. No caso,

12 / 4 = 3

.

Bloom: Understand

Um economista em Brasília analisa o crescimento populacional de uma cidade que aumenta 2\% ao ano, caracterizando uma PG.

Se uma população inicial

P

cresce a uma taxa de 5\% ao período, qual é a razão

q

da PG que descreve esse fenômeno?

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Resposta correta: C) 1,05

A) 0,05Este é apenas o valor do acréscimo, não o fator multiplicativo total.
B) 5Uma razão 5 significaria que a população quintuplica a cada período.
C) 1,05Correto. O novo valor é 100% do atual mais 5% (1 + 0,05).
D) 1,5Isto representaria um crescimento de 50%.

💡 Explicação

Em situações de crescimento percentual, a razão da PG é dada por

1 + i

, onde

i

é a taxa decimal. Para 5\%, temos

1 + 0,05 = 1,05

.

Bloom: Understand

Um técnico em informática em Curitiba analisa a propagação de um boato em uma rede social, onde cada pessoa repassa a informação para duas outras.

Qual é o sexto termo (

a_6

) da PG

(3, 6, 12, ...)

?

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Resposta correta: C) 96

A) 1818 corresponde a a_5 = 3 · 2^4. Para o sexto termo a potência é 2^5, e não 2^4.
B) 6464 é 2^6, ou seja, a potência da razão isolada. O termo é a_1 · q^5, e o primeiro termo 3 ainda precisa ser multiplicado.
C) 96a1=3, q=2. a6 = 3 2⁵ = 3 32 = 96.
D) 192Este é o sétimo termo.

💡 Explicação

Identificamos

a_1 = 3

e

q = 2

. Aplicando a fórmula do termo geral para

n=6

:

a_6 = 3 \cdot 2^{6-1} = 3 \cdot 2^5

. Como

2^5 = 32

, temos

3 \cdot 32 = 96

.

Bloom: Understand

Um físico em São José dos Campos estuda o rebatimento de uma bola que perde 20\% de sua altura a cada quique.

Se uma bola é solta de 10 metros e a cada quique atinge 80\% da altura anterior, qual é a altura atingida após o terceiro quique?

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Resposta correta: D) 5,12 m

A) 8 mEsta é a altura após o primeiro quique.
B) 6,4 mEsta é a altura após o segundo quique.
C) 4 m4 m exigiria uma razão de 0,8 aplicada quatro vezes, isto é 10 · 0,8^4. O terceiro quique corresponde a três multiplicações, 10 · 0,8^3.
D) 5,12 ma1=10, q=0,8. a_após_3 = 10 0,8³ = 10 0,512 = 5,12.

💡 Explicação

A altura inicial é o "termo zero" ou podemos considerar a sequência das alturas após os quiques:

a_1 = 10 \cdot 0,8 = 8

. Após o terceiro quique:

a_3 = a_1 \cdot q^2 = 8 \cdot (0,8)^2 = 8 \cdot 0,64 = 5,12

metros.

Bloom: Apply

Um investidor em Belo Horizonte utiliza a fórmula da soma da PG finita para calcular o montante acumulado de aportes mensais fixos com juros compostos.

Qual é a soma dos 5 primeiros termos da PG

(2, 6, 18, ...)

?

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Resposta correta: B) 242

A) 80Valor muito baixo para a sequência dada.
B) 242S5 = 2(3⁵ - 1) / (3 - 1) = 2(243 - 1) / 2 = 242.
C) 484Esqueceu de simplificar a divisão por (q-1).
D) 162Este é apenas o valor do 5º termo, não a soma.

💡 Explicação

Usamos a fórmula

S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}

. Para

a_1 = 2, q = 3

e

n = 5

:

S_5 = \frac{2(3^5 - 1)}{3 - 1} = \frac{2(243 - 1)}{2} = 242

.

Bloom: Apply

Em um laboratório químico em Porto Alegre, uma substância radioativa decai pela metade a cada hora.

Qual é a soma infinita dos termos da PG

(10, 5, 2,5, ...)

?

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Resposta correta: D) 20

A) 15A soma já atinge 17,5 no terceiro termo.
B) 25Cálculo incorreto da soma infinita.
C) A soma é infinita.Como a razão é menor que 1, a soma converge.
D) 20S = a1 / (1 - q) = 10 / (1 - 0,5) = 10 / 0,5 = 20.

💡 Explicação

Para uma PG infinita com

|q| < 1

, a soma converge para

S = \frac{a_1}{1 - q}

. Com

a_1 = 10

e

q = 0,5

:

S = \frac{10}{1 - 0,5} = \frac{10}{0,5} = 20

.

Bloom: Apply

Um designer em Recife cria um mosaico onde o lado de cada quadrado é metade do lado do quadrado anterior.

Se o primeiro quadrado tem lado 16, qual é o valor da área do quinto quadrado da sequência?

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Resposta correta: B) 1

A) 4Este seria o lado do terceiro quadrado.
B) 1Lado 5º = 16 * (1/2)⁴ = 1. Área = 1² = 1.
C) 0,50,5 é o valor que o lado do quarto quadrado assume, não a área do quinto. A área exige elevar o lado ao quadrado.
D) 0,250,25 é o quadrado de 0,5, isto é a área do quarto quadrado. Como o lado do quinto é 1, a área é 1^2 = 1.

💡 Explicação

Lados em PG:

16, 8, 4, 2, 1

. O quinto termo da sequência de lados é

a_5 = 16 \cdot (1/2)^4 = 16/16 = 1

. A área de um quadrado é o lado ao quadrado, logo

1^2 = 1

.

Bloom: Apply

Um estudante em Fortaleza resolve equações para encontrar termos médios de uma progressão geométrica.

Determine o valor de

x

para que a sequência

(x-1, x+2, 3x)

seja uma PG de termos positivos.

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Resposta correta: D) $x = 4$

A) $x = 1$ Resultaria no primeiro termo zero, o que não define uma PG usual.
B) $x = 2$ Testando: (1, 4, 6) não é PG.
C) $x = 5$ Testando: (4, 7, 15) não é PG.
D) $x = 4$ (x+2)² = (x-1)(3x) => x²+4x+4 = 3x²-3x => 2x²-7x-4 = 0. Raízes: 4 e -0,5. Para termos positivos, x=4. PG: (3, 6, 12).

💡 Explicação

Em uma PG de três termos, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos:

(x+2)^2 = (x-1) \cdot 3x

. Expandindo:

x^2 + 4x + 4 = 3x^2 - 3x

. Organizando a equação quadrática:

2x^2 - 7x - 4 = 0

. As soluções são

x = 4

e

x = -0,5

. Como os termos devem ser positivos, usamos

x = 4

.

Bloom: Apply

Um analista de sistemas em São Paulo calcula a capacidade de armazenamento necessária para um backup que dobra de tamanho a cada semana.

Qual é a soma dos 10 primeiros termos da PG

(1, 2, 4, ...)

?

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Resposta correta: A) 1.023

A) 1.023S10 = 1 * (2¹⁰ - 1) / (2 - 1) = 1024 - 1 = 1023.
B) 511511 = 2^9 - 1 é a soma dos 9 primeiros termos. Com n = 10 a fórmula dá 2^10 - 1 = 1023.
C) 1.024Este é o valor do 11º termo, não a soma dos 10 primeiros.
D) 2.0472047 = 2^11 - 1 corresponde a 11 termos. Pedir a soma dos 10 primeiros exige o expoente 10, não 11.

💡 Explicação

Com

a_1 = 1, q = 2

e

n = 10

:

S_{10} = \frac{1 \cdot (2^{10} - 1)}{2 - 1} = 2^{10} - 1

. Como

2^{10} = 1024

, a soma é

1024 - 1 = 1023

.

Bloom: Apply

Um engenheiro civil em Goiânia utiliza PG para calcular a carga em treliças dispostas de forma escalonada.

Numa PG de termos positivos, o quarto termo é 54 e o primeiro termo é 2. Qual é o valor do quinto termo?

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Resposta correta: A) 162

A) 162a4 = a1 q³ => 54 = 2 q³ => 27 = q³ => q = 3. a5 = 54 * 3 = 162.
B) 108108 é o dobro de 54, o que corresponde a uma razão 2. Mas 54 = 2 · q^3 dá q^3 = 27 e portanto q = 3, não 2.
C) 216216 é 54 · 4, isto é, 54 multiplicado por 2 duas vezes. Com q = 3 o quinto termo é 54 · 3 = 162.
D) 150150 vem de somar a diferença a 54 com uma razão 2, o que não é uma PG. Numa PG cada termo é o anterior multiplicado pela razão, e a razão aqui é 3.

💡 Explicação

1) Achamos a razão:

a_4 = a_1 \cdot q^3 \Rightarrow 54 = 2 \cdot q^3 \Rightarrow 27 = q^3 \Rightarrow q = 3

.
2) Achamos o quinto termo:

a_5 = a_4 \cdot q = 54 \cdot 3 = 162

.

Bloom: Analyze

Um professor em Vitória desafia seus alunos a encontrar a fração geratriz de uma dízima periódica usando a soma da PG infinita.

Expresse a dízima periódica

0,333

... como a soma de uma PG infinita e determine sua fração geratriz.

Ver resposta

Resposta correta: A) $\frac{1}{3}$

A) $\frac{1}{3}$ a1=0,3, q=0,1. S = 0,3 / (1 - 0,1) = 0,3 / 0,9 = 3/9 = 1/3.
B) $\frac{3}{10}$ Este é o decimal exato 0,3.
C) $\frac{3}{11}$ 3/11 é a fração geratriz da dízima 0,2727..., não da dízima de 3. Aqui a soma da PG infinita é 0,3 / 0,9 = 1/3.
D) $\frac{1}{9}$ Este seria 0,111...

💡 Explicação

A dízima pode ser escrita como

0,3 + 0,03 + 0,003 +

..., que é uma PG infinita com

a_1 = 0,3

e

q = 0,1

. A soma é

S = \frac{0,3}{1 - 0,1} = \frac{0,3}{0,9} = \frac{1}{3}

.

Bloom: Analyze

Um matemático em Porto Alegre estuda as propriedades dos produtos de termos equidistantes em uma PG finita.

Numa PG de 9 termos, o produto do primeiro com o último termo é 100. Qual é o valor do termo central

a_5

? (Considere apenas termos positivos).

Ver resposta

Resposta correta: B) 10

A) 5050 é a média de 0 e 100, mas a_1 · a_9 não tem a ver com uma média. A propriedade diz que esse produto é o quadrado do termo central, e a raiz de 100 é 10.
B) 10Pela propriedade, a1*a9 = a5² = 100. Logo a5 = 10.
C) 55 é a raiz de 25, valor de outra conta. Como a_5^2 = 100, tem-se a_5 = 10, e não 5.
D) 2020 é o dobro de 10. A razão entre termos equidistantes é a própria razão q, então 10 e 20 não são simétricos em torno de a_5.

💡 Explicação

Em uma PG finita com número ímpar de termos, o produto dos termos equidistantes dos extremos é igual ao quadrado do termo central:

a_1 \cdot a_n = (a_{central})^2

. Assim,

100 = (a_5)^2

, o que resulta em

a_5 = 10

.

Bloom: Analyze

Um estatístico analisa um processo de filtragem onde cada etapa remove uma porcentagem fixa de impurezas restantes.

Determine a razão de uma PG onde

a_1 = 5

e

a_4 = 625

.

Ver resposta

Resposta correta: D) 5

A) 25Se q=25, o segundo termo já seria 125.
B) 4Se q=4, o quarto termo seria 5 * 64 = 320.
C) 1010 vem de tomar a raiz de 100, mas 625/5 = 125 e a raiz cúbica de 125 é 5, não 10.
D) 5625 = 5 * q³ => 125 = q³ => q = 5.

💡 Explicação

Usamos o termo geral:

a_4 = a_1 \cdot q^3 \Rightarrow 625 = 5 \cdot q^3

. Dividindo por 5:

125 = q^3

. Extraindo a raiz cúbica:

q = \sqrt[3]{125} = 5

.

Bloom: Analyze

Um matemático investiga a relação entre os logaritmos dos termos de uma PG.

Se a sequência

(\log a, \log b, \log c)

é uma PA, então o que se pode afirmar sobre a sequência

(a, b, c)

?

Ver resposta

Resposta correta: C) É uma PG.

A) É uma PA de razão 10.A razão 10 é um valor numérico arbitrário: nada na definição de PA determina a base do logaritmo, e a condição obtida, b^2 = a · c, é a de uma PG.
B) É uma sequência constante.Somente se a razão da PA fosse zero.
C) É uma PG.Em PA: 2 log b = log a + log c => log b² = log(ac) => b² = ac. Esta é a condição de PG.
D) É uma sequência aleatória.Existe uma relação estrutural clara.

💡 Explicação

Pela definição de PA:

2 \cdot \log b = \log a + \log c

. Usando propriedades de logaritmos:

\log b^2 = \log(a \cdot c)

. Isso implica

b^2 = a \cdot c

, que é exatamente a condição para que

a, b, c

formem uma PG.

Bloom: Evaluate

Um pesquisador em Campinas analisa a convergência de uma série geométrica alternada.

Qual é o valor da soma infinita

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} +

...?

Ver resposta

Resposta correta: A) $\frac{2}{3}$

A) $\frac{2}{3}$ a1=1, q=-1/2. S = 1 / (1 - (-1/2)) = 1 / (3/2) = 2/3.
B) 2Este seria o valor se todos os sinais fossem positivos.
C) $\frac{1}{2}$ 1/2 é apenas o segundo termo da série. A soma infinita exige aplicar S = a_1 / (1 - q) com q = -1/2, o que dá 2/3.
D) 0Embora os termos alternem, a soma converge para um valor positivo.

💡 Explicação

Identificamos

a_1 = 1

e

q = -1/2

. Como

|q| < 1

, aplicamos a fórmula da soma infinita:

S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - (-0,5)} = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3}

.

Bloom: Evaluate

Durante uma olimpíada, propõe-se um problema envolvendo o produto de uma grande quantidade de termos de uma PG.

Calcule o produto dos 10 primeiros termos da PG

(1, 2, 4, 8, ...)

.

Ver resposta

Resposta correta: B) $2^{45}$

A) $2^{10}$ Este é apenas o 11º termo.
B) $2^{45}$ P = 2⁰ 2¹ ... * 2⁹ = 2^(0+1+...+9) = 2^45.
C) $2^{55}$ A soma dos expoentes de 0 a 9 é 45, não 55.
D) $2^{100}$ Valor excessivo.

💡 Explicação

O produto de termos de uma PG de base 2 é

2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \cdot ... \cdot 2^{n-1} = 2^{S_{PA}}

, onde

S_{PA}

é a soma dos expoentes de 0 a

n-1

. Para

n=10

, a soma é

\frac{(0+9) \cdot 10}{2} = 45

. Assim, o produto é

2^{45}

.

Bloom: Evaluate

No vestibular do ITA, propõe-se um problema que relaciona a soma dos termos de uma PG com o seu produto.

Seja uma PG de 3 termos positivos cuja soma é 26 e o produto é 216. Determine o maior desses três termos.

Ver resposta

Resposta correta: A) 18

A) 18Termos: x/q, x, xq. Produto x³=216 => x=6. Soma: 6/q + 6 + 6q = 26 => 6/q + 6q = 20 => 3/q + 3q = 10 => 3q²-10q+3=0. Raízes 3 e 1/3. Termos: 2, 6, 18.
B) 6Este é o termo central.
C) 1212 não satisfaz a soma nem o produto dados. Com produto 216 os termos são 2, 6 e 18, cuja soma é 26.
D) 2424 ultrapassaria a própria soma, que é 26 e já inclui os outros dois termos positivos.

💡 Explicação

Representamos a PG como

(\frac{x}{q}, x, x \cdot q)

. O produto é

(\frac{x}{q}) \cdot x \cdot (xq) = x^3 = 216

, logo

x = 6

. A soma é

\frac{6}{q} + 6 + 6q = 26 \Rightarrow \frac{6}{q} + 6q = 20

. Multiplicando por

q

:

6q^2 - 20q + 6 = 0 \Rightarrow 3q^2 - 10q + 3 = 0

. Resolvendo a quadrática, achamos

q = 3

ou

q = 1/3

. Para

q=3

, os termos são

2, 6, 18

. O maior é 18.

Bloom: Evaluate

Um matemático analisa a área total de um fractal gerado pela soma infinita de áreas de figuras geométricas.

Considere um quadrado de área

S

. Divide-se o quadrado em 4 quadrados iguais e pinta-se um deles. Repete-se o processo com um dos quadrados não pintados, infinitamente. Qual é a área total pintada ao final do processo?

Ver resposta

Resposta correta: B) $S/3$

A) $S/2$ S/2 é a soma de uma PG com a_1 = S/4 e q = 1/2. Aqui cada etapa pinta apenas um quarto do quadrado restante, então q = 1/4 e a soma é S/3.
B) $S/3$ PG: a1=S/4, q=1/4. Soma = (S/4) / (1 - 1/4) = (S/4) / (3/4) = S/3.
C) $S$ Nem toda a área será pintada, pois em cada etapa sobra uma parte significativa.
D) $2S/3$ 2S/3 é maior que a própria área S, o que é impossível: só se pinta parte do quadrado original.

💡 Explicação

As áreas pintadas formam uma PG:

a_1 = S/4

,

a_2 = S/16

,

a_3 = S/64

, e assim por diante, com razão

q = 1/4

. A soma total pintada é uma PG infinita:

S_{total} = \frac{S/4}{1 - 1/4} = \frac{S/4}{3/4} = \frac{S}{3}

.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?