Trigonometria Circunferencia — Matemática Grado 11, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante em São Paulo revisa as conversões entre graus e radianos para a prova do ENEM.

Quantos graus correspondem a π radianos?

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Resposta correta: A) 180°

A) 180°Correto: π rad = 180°.
B) 90°Incorreto: 90° corresponde a π/2 rad.
C) 360°Incorreto: 360° corresponde a 2π rad.
D) 100°Incorreto: 100° não corresponde a π rad.

💡 Explicação

A medida de uma volta completa na circunferência é 2π rad ou 360°, portanto π rad = 180°.

Bloom: Remember

Durante uma aula em Curitiba, o professor pergunta o valor do seno no segundo quadrante.

Qual é o valor de sen 150°?

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Resposta correta: A) 1/2

A) 1/2Correto: sen 150° = sen 30° = 1/2 (redução ao primeiro quadrante).
B) √3/2Incorreto: √3/2 é o seno de 120°.
C) −1/2Incorreto: o seno é positivo no segundo quadrante.
D) −√3/2Incorreto: o seno de 150° é positivo.

💡 Explicação

No segundo quadrante, o seno é positivo. Pela redução ao primeiro quadrante, sen 150° = sen (180° − 30°) = sen 30° = 1/2.

Bloom: Understand

Um engenheiro no Rio de Janeiro analisa o sinal das funções trigonométricas em cada quadrante.

Em qual quadrante o cosseno é positivo e o seno é negativo?

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Resposta correta: C) Quarto quadrante

A) Primeiro quadranteIncorreto: no primeiro quadrante, seno e cosseno são positivos.
B) Segundo quadranteIncorreto: no segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo.
C) Quarto quadranteCorreto: no quarto quadrante, o cosseno é positivo e o seno é negativo.
D) Terceiro quadranteIncorreto: no terceiro quadrante, seno e cosseno são negativos.

💡 Explicação

No ciclo trigonométrico, o cosseno é positivo no 1º e no 4º quadrantes, e o seno é positivo no 1º e no 2º. A condição pedida (cos > 0 e sen < 0) ocorre apenas no quarto quadrante.

Bloom: Understand

Um professor em Brasília relaciona as medidas em radianos dos arcos notáveis.

Qual é a medida em radianos do arco de 270°?

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Resposta correta: B) 3π/2 rad

A) π/2 radIncorreto: π/2 corresponde a 90°.
B) 3π/2 radCorreto: 270° = 3 × 90° = 3π/2 rad.
C) 3π/4 radIncorreto: 3π/4 corresponde a 135°.
D) 2π/3 radIncorreto: 2π/3 corresponde a 120°.

💡 Explicação

A conversão usa a proporção 180° ↔ π rad. Assim, 270° = 270 × π/180 = 3π/2 rad.

Bloom: Understand

Um estudante em Salvador analisa a periodicidade das funções trigonométricas.

Qual é o período da função f(x) = sen x?

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Resposta correta: B) 2π

A) πIncorreto: π é o período da função tangente.
B) 2πCorreto: a função seno se repete a cada 2π rad.
C) 360 radIncorreto: o período é dado em radianos, e 360° equivalem a 2π rad, não a 360 rad.
D) 1Incorreto: 1 não é o período da função seno.

💡 Explicação

A função seno é periódica com período fundamental 2π: sen(x + 2π) = sen x para todo x real.

Bloom: Understand

Um aluno em Recife compara os valores do seno e do cosseno de arcos com ângulos complementares.

Qual é o valor de cos 120°?

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Resposta correta: B) −1/2

A) 1/2Incorreto: 1/2 é o valor do cos 60°, com sinal trocado.
B) −1/2Correto: cos 120° = −cos 60° = −1/2, pois 120° está no segundo quadrante.
C) √3/2Incorreto: √3/2 é o cos 30°.
D) −√3/2Incorreto: −√3/2 é o cos 150°.

💡 Explicação

No segundo quadrante, o cosseno é negativo. Pela redução, cos 120° = −cos (180° − 120°) = −cos 60° = −1/2.

Bloom: Apply

Um navegador em Fortaleza usa arcos côngruos para simplificar uma medida angular.

Qual é a primeira determinação positiva de um arco de 750°?

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Resposta correta: A) 30°

A) 30°Correto: 750° = 2 × 360° + 30°, logo a primeira determinação é 30°.
B) 60°Incorreto: 750° − 720° = 30°, não 60°.
C) 90°Incorreto: 750° − 720° = 30°, não 90°.
D) 120°Incorreto: a subtração de duas voltas completas resulta em 30°.

💡 Explicação

Dividindo 750° por 360°, obtemos quociente 2 e resto 30°. A primeira determinação positiva é 30°, e o arco é côngruo a ele.

Bloom: Apply

Um estudante em Manaus simplifica expressões trigonométricas usando identidades.

Qual é o valor de tan 180°?

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Resposta correta: C) 0

A) 1Incorreto: 1 é a tangente de 45°.
B) ∞Incorreto: a tangente não existe em 90° e 270°, mas existe em 180°.
C) 0Correto: tan 180° = sen 180°/cos 180° = 0/(−1) = 0.
D) −1Incorreto: −1 é a tangente de 135°.

💡 Explicação

A tangente é a razão entre seno e cosseno. Como sen 180° = 0 e cos 180° = −1, temos tan 180° = 0.

Bloom: Apply

Um engenheiro em Goiânia usa a redução ao primeiro quadrante para calcular senos de arcos grandes.

Qual é o valor de sen 240°?

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Resposta correta: B) −√3/2

A) √3/2Incorreto: √3/2 é o seno de 240° com sinal positivo, mas o seno é negativo no terceiro quadrante.
B) −√3/2Correto: sen 240° = −sen 60° = −√3/2, pois 240° está no terceiro quadrante.
C) −1/2Incorreto: −1/2 é o seno de 210°.
D) 1/2Incorreto: o seno de 240° é negativo.

💡 Explicação

No terceiro quadrante, o seno é negativo. Pela redução, sen 240° = −sen (240° − 180°) = −sen 60° = −√3/2.

Bloom: Apply

Um professor em Belém propõe a verificação da relação fundamental no ciclo trigonométrico.

Sabendo que cos θ = −3/5 e que θ pertence ao segundo quadrante, qual é o valor de sen θ?

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Resposta correta: B) 4/5

A) 2/5Incorreto: 2/5 não satisfaz a relação fundamental.
B) 4/5Correto: sen²θ = 1 − 9/25 = 16/25, e no segundo quadrante o seno é positivo: sen θ = 4/5.
C) −4/5Incorreto: o seno é positivo no segundo quadrante.
D) 3/5Incorreto: 3/5 é o valor absoluto do cosseno, não do seno.

💡 Explicação

Pela relação fundamental, sen²θ + cos²θ = 1, então sen²θ = 1 − 9/25 = 16/25. Como θ está no segundo quadrante, onde o seno é positivo, sen θ = 4/5.

Bloom: Apply

Um estudante de engenharia em Florianópolis resolve uma equação trigonométrica simples.

No intervalo [0°, 360°), quais são as soluções da equação sen x = 1/2?

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Resposta correta: C) 30° e 150°

A) 30° e 330°Incorreto: em 330° o seno é −1/2.
B) 150° e 330°Em 330° o seno vale −1/2, não 1/2, e em 30° o seno já é a solução do primeiro quadrante, não do segundo.
C) 30° e 150°Correto: sen 30° = sen 150° = 1/2.
D) 60° e 120°Incorreto: em 60° e 120° o seno é √3/2.

💡 Explicação

O seno é positivo no primeiro e no segundo quadrantes. As soluções de sen x = 1/2 no intervalo dado são x = 30° e x = 150°.

Bloom: Apply

Um arquiteto em Porto Alegre dimensiona uma roda gigante usando o modelo da função seno.

Uma roda gigante tem raio de 20 m e seu centro está a 22 m do chão. Modelando a altura h(t) da cabine por h(t) = 22 + 20·sen(πt/15), qual é a altura máxima atingida?

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Resposta correta: B) 42 m

A) 22 mIncorreto: 22 m é a altura do centro, não a máxima.
B) 42 mCorreto: o valor máximo de sen é 1, logo h_máx = 22 + 20 = 42 m.
C) 20 mIncorreto: 20 m é a amplitude, não a altura máxima.
D) 40 mIncorreto: 40 m seria a soma apenas da amplitude com 20 m, sem considerar o centro em 22 m.

💡 Explicação

A altura máxima ocorre quando sen(πt/15) = 1, resultando em h = 22 + 20 × 1 = 42 m. A amplitude do movimento é 20 m em torno do valor central 22 m.

Bloom: Analyze

Um aluno em Campinas analisa o comportamento da função tangente em diferentes quadrantes.

Em qual intervalo a função tangente é crescente e positiva?

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Resposta correta: A) De 0° a 90°

A) De 0° a 90°Correto: no primeiro quadrante, a tangente cresce de 0 a +∞, sendo positiva.
B) De 90° a 180°Incorreto: no segundo quadrante, a tangente é negativa.
C) De 180° a 270°Incorreto: no terceiro quadrante, a tangente é positiva, mas o enunciado pede o intervalo onde isso ocorre desde o início.
D) De 270° a 360°Incorreto: no quarto quadrante, a tangente é negativa.

💡 Explicação

A tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. No primeiro quadrante (0° a 90°), ela cresce de 0 até +∞, sendo a opção que combina crescimento e positividade.

Bloom: Analyze

Um professor em Natal analisa a paridade das funções trigonométricas.

Sobre as funções seno e cosseno, é correto afirmar que:

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Resposta correta: B) o seno é ímpar e o cosseno é par

A) ambas são funções ímparesIncorreto: o cosseno é uma função par.
B) o seno é ímpar e o cosseno é parCorreto: sen(−x) = −sen x e cos(−x) = cos x.
C) o seno é par e o cosseno é ímparIncorreto: a relação é a inversa.
D) ambas são funções paresIncorreto: o seno é ímpar.

💡 Explicação

A função seno é ímpar: sen(−x) = −sen x. A função cosseno é par: cos(−x) = cos x. Essa propriedade decorre da simetria do ciclo trigonométrico.

Bloom: Analyze

Um estudante em São José dos Campos simplifica expressões com arcos complementares.

Sabendo que x é um arco do primeiro quadrante, qual é o valor de sen(90° − x)?

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Resposta correta: B) cos x

A) −cos xIncorreto: o sinal está incorreto.
B) cos xCorreto: sen(90° − x) = cos x, propriedade dos arcos complementares.
C) sen xIncorreto: sen(90° − x) é igual ao cosseno de x, não ao seno.
D) −sen xIncorreto: a identidade é com o cosseno positivo.

💡 Explicação

Para arcos complementares, sen(90° − x) = cos x e cos(90° − x) = sen x. Essa é uma identidade fundamental da trigonometria.

Bloom: Analyze

Um matemático em Vitória investiga a relação entre o arco e seu dobro no ciclo trigonométrico.

Se sen x = 3/5 e x pertence ao segundo quadrante, qual é o valor de cos 2x?

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Resposta correta: A) 7/25

A) 7/25Correto: cos 2x = cos²x − sen²x = 16/25 − 9/25 = 7/25.
B) −7/25Incorreto: cos 2x = cos²x − sen²x, que é positivo neste caso.
C) 9/25Incorreto: 9/25 é o sen²x.
D) −1Incorreto: −1 seria o cosseno de 180°.

💡 Explicação

Como x está no segundo quadrante, cos x = −√(1 − 9/25) = −4/5. Pela fórmula do arco duplo, cos 2x = cos²x − sen²x = 16/25 − 9/25 = 7/25.

Bloom: Evaluate

Um candidato ao vestibular do ITA avalia a consistência de uma identidade trigonométrica.

Qual é o valor da expressão sen²20° + sen²70°?

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Resposta correta: A) 1

A) 1Correto: sen 70° = cos 20°, logo a expressão é sen²20° + cos²20° = 1.
B) 2Incorreto: a soma dos quadrados de seno e cosseno do mesmo arco é 1.
C) 0Incorreto: os termos são positivos.
D) sen²90°Incorreto: sen²90° = 1, o que coincide numericamente, mas a justificativa correta é a relação dos complementares.

💡 Explicação

Como 20° e 70° são complementares, sen 70° = cos 20°. Assim, sen²20° + sen²70° = sen²20° + cos²20° = 1.

Bloom: Evaluate

Um professor em Belo Horizonte propõe a análise de uma equação trigonométrica com mais de uma solução.

No intervalo [0°, 360°), a equação cos x = −√2/2 possui quantas soluções?

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Resposta correta: B) 2

A) 1Incorreto: o cosseno assume o mesmo valor em dois quadrantes.
B) 2Correto: as soluções são 135° e 225°.
C) 3Incorreto: em um período completo, há exatamente duas soluções.
D) 4Incorreto: haveria quatro soluções apenas para equações do tipo sen²x = k.

💡 Explicação

O cosseno é negativo no segundo e no terceiro quadrantes. As soluções de cos x = −√2/2 no intervalo [0°, 360°) são x = 135° e x = 225°.

Bloom: Evaluate

Em uma olimpíada de matemática, pede-se a combinação de periodicidade e arcos côngruos.

Qual é o valor de cos (1110°)?

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Resposta correta: C) √3/2

A) 1/2Incorreto: este é o cosseno de 60°, não do arco reduzido de 1110°.
B) −1/2Incorreto: o sinal está trocado.
C) √3/2Correto: 1110° = 3 × 360° + 30°, então cos 1110° = cos 30° = √3/2.
D) −√3/2Incorreto: o cosseno de 30° é positivo.

💡 Explicação

Descontando as voltas completas: 1110° = 3 × 360° + 30°. Assim, cos 1110° = cos 30° = √3/2.

Bloom: Evaluate

Um pesquisador em Campinas analisa uma identidade que combina várias relações do ciclo.

Simplificando a expressão (1 − cos²x)/sen x para x no primeiro quadrante, obtém-se:

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Resposta correta: D) sen x

A) cos xIncorreto: (1 − cos²x) = sen²x, e a divisão por sen x resulta em sen x.
B) 1/sen xIncorreto: esse é o resultado se o numerador fosse 1 + cos²x.
C) tan xIncorreto: tan x = sen x/cos x.
D) sen xCorreto: como 1 − cos²x = sen²x, a expressão vale sen²x/sen x = sen x.

💡 Explicação

Usando a relação fundamental, 1 − cos²x = sen²x. Substituindo, a expressão se torna sen²x/sen x = sen x, válida para sen x ≠ 0.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

¿Listo para practicar?