A distância entre dois pontos no plano é obtida pelo teorema de Pitágoras: d = √((xB − xA)² + (yB − yA)²), que corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas diferenças das abscissas e das ordenadas.
A)d = √((xB − xA)² + (yB − yA)²)Correto: a distância é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas.
B)d = (xB − xA) + (yB − yA)Incorreto: somar as diferenças sem elevar ao quadrado não corresponde à distância euclidiana.
C)d = √((xB − xA) + (yB − yA))Incorreto: a raiz deve ser aplicada sobre a soma dos quadrados, não sobre a soma simples.
D)d = (xB − xA)² + (yB − yA)²Incorreto: falta a raiz quadrada; a expressão sem a raiz é o quadrado da distância.
💡 Explicação
A distância entre dois pontos no plano é obtida pelo teorema de Pitágoras: d = √((xB − xA)² + (yB − yA)²), que corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas diferenças das abscissas e das ordenadas.
Pergunta 2
Pergunta 2 · D4Bloom: Remember
Durante uma aula em Curitiba, o professor apresenta o conceito de coeficiente angular de uma reta.
Qual é a expressão do coeficiente angular m da reta que passa pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), com x1 ≠ x2?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: B)m = (y2 − y1)/(x2 − x1)
💡 Explicação
O coeficiente angular mede a inclinação da reta e é dado por m = Δy/Δx = (y2 − y1)/(x2 − x1). Ele indica quantas unidades a variável y varia para cada unidade de variação de x.
Ver resposta
Resposta correta: B)m = (y2 − y1)/(x2 − x1)
A)m = (x2 − x1)/(y2 − y1)Incorreto: a fórmula foi invertida; o numerador deve ser a diferença das ordenadas.
B)m = (y2 − y1)/(x2 − x1)Correto: m é a razão entre a variação das ordenadas e a variação das abscissas.
C)m = (x2 − x1) · (y2 − y1)Incorreto: o coeficiente angular é uma razão, não um produto.
D)m = (x1 + x2)/(y1 + y2)Incorreto: usam-se diferenças de coordenadas, não somas.
💡 Explicação
O coeficiente angular mede a inclinação da reta e é dado por m = Δy/Δx = (y2 − y1)/(x2 − x1). Ele indica quantas unidades a variável y varia para cada unidade de variação de x.
Pergunta 3
Pergunta 3 · D4Bloom: Understand
Um arquiteto no Rio de Janeiro desenha uma praça circular com centro na origem de um sistema de coordenadas.
Qual é a equação da circunferência com centro na origem do plano cartesiano e raio 5?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: B)x² + y² = 25
💡 Explicação
A circunferência com centro na origem e raio r tem equação reduzida x² + y² = r². Para r = 5, obtém-se x² + y² = 25.
Ver resposta
Resposta correta: B)x² + y² = 25
A)x² + y² = 5Incorreto: o segundo membro deve ser o quadrado do raio, não o raio.
B)x² + y² = 25Correto: a circunferência com centro na origem tem equação x² + y² = r² = 25.
C)x + y = 25Incorreto: a equação de uma circunferência envolve os quadrados das coordenadas.
D)x² + y² = 10Incorreto: 10 seria o dobro do raio; o correto é o raio ao quadrado, 25.
💡 Explicação
A circunferência com centro na origem e raio r tem equação reduzida x² + y² = r². Para r = 5, obtém-se x² + y² = 25.
Pergunta 4
Pergunta 4 · D4Bloom: Understand
Um professor em Brasília explica a relação entre o sinal do coeficiente angular e o crescimento da reta.
Se o coeficiente angular de uma reta é positivo, o que se pode afirmar sobre ela?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: B)A reta é crescente
💡 Explicação
O sinal do coeficiente angular determina a inclinação: m > 0 indica reta crescente, m < 0 indica reta decrescente, m = 0 indica reta horizontal e retas verticais não têm coeficiente angular definido.
Ver resposta
Resposta correta: B)A reta é crescente
A)A reta é decrescenteIncorreto: coeficiente angular negativo indica reta decrescente.
B)A reta é crescenteCorreto: com m maior que zero, y aumenta quando x aumenta, e a reta sobe da esquerda para a direita.
C)A reta é horizontalIncorreto: reta horizontal tem coeficiente angular nulo.
D)A reta é verticalIncorreto: reta vertical não possui coeficiente angular definido.
💡 Explicação
O sinal do coeficiente angular determina a inclinação: m > 0 indica reta crescente, m < 0 indica reta decrescente, m = 0 indica reta horizontal e retas verticais não têm coeficiente angular definido.
Pergunta 5
Pergunta 5 · D6Bloom: Understand
Um estudante em Salvador calcula a distância entre dois pontos em um mapa quadriculado.
Qual é a distância entre os pontos A(1, 2) e B(4, 6)?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: B)5
💡 Explicação
Aplicando a fórmula da distância: d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(3² + 4²) = √25 = 5. Trata-se do triângulo 3-4-5.
Ver resposta
Resposta correta: B)5
A)3Incorreto: 3 é a diferença entre as abscissas, não a distância completa.
C)7Incorreto: 7 é a soma das diferenças (3 + 4), sem aplicar o teorema de Pitágoras.
D)√41Incorreto: √41 resultaria de somar os quadrados de forma incorreta.
💡 Explicação
Aplicando a fórmula da distância: d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(3² + 4²) = √25 = 5. Trata-se do triângulo 3-4-5.
Pergunta 6
Pergunta 6 · D6Bloom: Understand
Um engenheiro em Recife analisa a equação de uma circunferência em um projeto de rotatória.
Dada a circunferência (x − 2)² + (y + 3)² = 16, quais são o centro e o raio?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: B)Centro (2, −3) e raio 4
💡 Explicação
Na equação reduzida (x − a)² + (y − b)² = r², o centro é (a, b) e o raio é r. Assim, (x − 2)² + (y + 3)² = 16 tem centro (2, −3) e raio 4.
Ver resposta
Resposta correta: B)Centro (2, −3) e raio 4
A)Centro (2, 3) e raio 4Incorreto: em (y + 3)², a ordenada do centro é −3.
B)Centro (2, −3) e raio 4Correto: o centro é (2, −3) e o raio é √16 = 4.
C)Centro (−2, 3) e raio 16Incorreto: os sinais estão trocados e o raio é a raiz de 16.
D)Centro (2, −3) e raio 16Incorreto: o raio é √16 = 4, não 16.
💡 Explicação
Na equação reduzida (x − a)² + (y − b)² = r², o centro é (a, b) e o raio é r. Assim, (x − 2)² + (y + 3)² = 16 tem centro (2, −3) e raio 4.
Pergunta 7
Pergunta 7 · D6Bloom: Apply
Um topógrafo em Fortaleza calcula a inclinação de um trecho de estrada representado no plano.
Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(1, 1) e B(3, 7)?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: B)3
💡 Explicação
m = (y2 − y1)/(x2 − x1) = (7 − 1)/(3 − 1) = 6/2 = 3. A reta sobe 3 unidades para cada unidade percorrida na horizontal.
Ver resposta
Resposta correta: B)3
A)2Incorreto: 2 seria o resultado de (7 − 3)/(1 − 1), que é uma razão inválida.
B)3Correto: m = (7 − 1)/(3 − 1) = 6/2 = 3.
C)4Incorreto: 4 é a diferença das ordenadas, não a razão completa.
D)6Incorreto: 6 é a variação de y; falta dividir pela variação de x.
💡 Explicação
m = (y2 − y1)/(x2 − x1) = (7 − 1)/(3 − 1) = 6/2 = 3. A reta sobe 3 unidades para cada unidade percorrida na horizontal.
Pergunta 8
Pergunta 8 · D6Bloom: Apply
Um professor em Manaus pede a equação de uma reta paralela a outra e que passa por um ponto dado.
Qual é a equação da reta paralela a y = 2x + 1 que passa pelo ponto (0, 3)?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: B)y = 2x + 3
💡 Explicação
Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. Como a reta procurada passa por (0, 3), seu coeficiente linear é 3, resultando em y = 2x + 3.
Ver resposta
Resposta correta: B)y = 2x + 3
A)y = 3x + 2Incorreto: retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular, 2, não 3.
B)y = 2x + 3Correto: mantém-se o coeficiente angular 2 e o ponto (0, 3) indica o coeficiente linear 3.
C)y = 2x − 3Incorreto: o coeficiente linear deve ser 3, pois a reta passa por (0, 3).
D)y = x + 3Incorreto: o coeficiente angular deve ser mantido igual a 2 para o paralelismo.
💡 Explicação
Retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular. Como a reta procurada passa por (0, 3), seu coeficiente linear é 3, resultando em y = 2x + 3.
Pergunta 9
Pergunta 9 · D6Bloom: Apply
Um estudante em Goiânia verifica se um ponto pertence a uma circunferência dada por sua equação.
O ponto P(3, 4) pertence à circunferência x² + y² = 25?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: A)Sim, pois 3² + 4² = 25
💡 Explicação
Um ponto pertence à circunferência se suas coordenadas satisfazem a equação: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Como a igualdade se verifica, P(3, 4) pertence a x² + y² = 25.
Ver resposta
Resposta correta: A)Sim, pois 3² + 4² = 25
A)Sim, pois 3² + 4² = 25Correto: substituindo as coordenadas, 9 + 16 = 25, e a igualdade se verifica.
B)Não, pois 3 + 4 = 7Incorreto: a verificação exige elevar as coordenadas ao quadrado, não somá-las.
C)Não, pois 3² − 4² = −7Incorreto: deve-se somar os quadrados das coordenadas.
D)Sim, pois 3 × 4 = 12Incorreto: o produto das coordenadas não é usado na equação da circunferência.
💡 Explicação
Um ponto pertence à circunferência se suas coordenadas satisfazem a equação: 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Como a igualdade se verifica, P(3, 4) pertence a x² + y² = 25.
Pergunta 10
Pergunta 10 · D6Bloom: Apply
Um engenheiro em Belém converte a equação geral de uma reta para a forma reduzida.
Qual é a forma reduzida da reta 3x − 6y + 12 = 0?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: B)y = x/2 + 2
💡 Explicação
Isolando y: 3x − 6y + 12 = 0 → 6y = 3x + 12 → y = (3x + 12)/6 → y = x/2 + 2. O coeficiente angular é 1/2 e o linear é 2.
Ver resposta
Resposta correta: B)y = x/2 + 2
A)y = 2x + 12Incorreto: ao isolar y, o coeficiente de x é 1/2, não 2.
C)y = 2x + 2Incorreto: o coeficiente angular é 1/2, obtido ao dividir 3x por 6.
D)y = x/2 − 2Incorreto: ao isolar y, o termo independente é +2, não −2.
💡 Explicação
Isolando y: 3x − 6y + 12 = 0 → 6y = 3x + 12 → y = (3x + 12)/6 → y = x/2 + 2. O coeficiente angular é 1/2 e o linear é 2.
Pergunta 11
Pergunta 11 · D8Bloom: Apply
Um arquiteto em Florianópolis projeta uma rampa perpendicular a outra já existente.
Qual é a equação da reta perpendicular a y = 3x − 1 que passa pelo ponto (0, 2)?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: B)y = −x/3 + 2
💡 Explicação
Retas perpendiculares têm coeficientes angulares cujo produto é −1. Como o coeficiente da reta dada é 3, o da perpendicular é −1/3, e com o ponto (0, 2) obtém-se y = −x/3 + 2.
Ver resposta
Resposta correta: B)y = −x/3 + 2
A)y = 3x + 2Incorreto: essa reta é paralela à original, pois mantém o coeficiente angular 3.
B)y = −x/3 + 2Correto: o coeficiente angular da perpendicular é −1/3, pois 3 × (−1/3) = −1.
C)y = x/3 + 2Incorreto: para a perpendicularidade, o coeficiente deve ser −1/3, não 1/3.
D)y = −3x + 2Incorreto: −3 × 3 = −9, e o produto dos coeficientes de retas perpendiculares deve ser −1.
💡 Explicação
Retas perpendiculares têm coeficientes angulares cujo produto é −1. Como o coeficiente da reta dada é 3, o da perpendicular é −1/3, e com o ponto (0, 2) obtém-se y = −x/3 + 2.
Pergunta 12
Pergunta 12 · D8Bloom: Apply
Um professor em Porto Alegre ensina a distância de um ponto a uma reta usando a fórmula deduzida da área do triângulo.
Qual é a distância do ponto P(1, 2) à reta 3x + 4y − 6 = 0?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: A)1
💡 Explicação
A distância de um ponto a uma reta é d = |ax0 + by0 + c|/√(a² + b²). Assim, d = |3·1 + 4·2 − 6|/√(9 + 16) = |5|/5 = 1.
B)12Incorreto: 12 é o produto base × altura sem dividir por 2.
C)7Incorreto: 7 é a soma das coordenadas de B e C, sem relação com a área.
D)3Incorreto: 3 é apenas a altura do triângulo.
💡 Explicação
O triângulo é retângulo com base AB = 4 e altura AC = 3. A área é (4 × 3)/2 = 6 unidades de área.
Pergunta 16
Pergunta 16 · D8Bloom: Analyze
Um estudante em Vitória verifica se três pontos estão alinhados comparando coeficientes angulares.
Os pontos A(1, 2), B(3, 4) e C(5, 6) estão alinhados?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: A)Sim, pois os coeficientes angulares de AB e BC são iguais
💡 Explicação
Comparando os coeficientes angulares: m(AB) = 2/2 = 1 e m(BC) = 2/2 = 1. Como são iguais, os três pontos pertencem à mesma reta y = x + 1.
Ver resposta
Resposta correta: A)Sim, pois os coeficientes angulares de AB e BC são iguais
A)Sim, pois os coeficientes angulares de AB e BC são iguaisCorreto: m(AB) = (4 − 2)/(3 − 1) = 1 e m(BC) = (6 − 4)/(5 − 3) = 1.
B)Não, pois três pontos distintos sempre formam um triânguloIncorreto: três pontos podem ser colineares, e neste caso são.
C)Sim, pois as distâncias AB e BC são iguaisIncorreto: distâncias iguais não garantem alinhamento.
D)Não, pois o coeficiente angular da reta é 2Incorreto: o coeficiente angular comum é 1, e os pontos estão alinhados.
💡 Explicação
Comparando os coeficientes angulares: m(AB) = 2/2 = 1 e m(BC) = 2/2 = 1. Como são iguais, os três pontos pertencem à mesma reta y = x + 1.
Pergunta 17
Pergunta 17 · D10Bloom: Evaluate
Um candidato ao vestibular avalia a equação de uma circunferência tangente aos eixos coordenados.
Uma circunferência é tangente aos dois eixos coordenados e tem centro em (3, 3). Qual é a sua equação?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: A)(x − 3)² + (y − 3)² = 9
💡 Explicação
Como a circunferência tangencia os dois eixos, a distância do centro a cada eixo é o raio: r = 3. A equação é (x − 3)² + (y − 3)² = 9.
Ver resposta
Resposta correta: A)(x − 3)² + (y − 3)² = 9
A)(x − 3)² + (y − 3)² = 9Correto: a tangência aos eixos implica raio 3, e 3² = 9.
B)(x − 3)² + (y − 3)² = 3Incorreto: o segundo membro deve ser o quadrado do raio, 9.
C)x² + y² = 9Incorreto: essa equação tem centro na origem, não em (3, 3).
D)(x − 3)² + (y + 3)² = 9Incorreto: a ordenada do centro é 3, e o sinal em (y − 3)² está trocado.
💡 Explicação
Como a circunferência tangencia os dois eixos, a distância do centro a cada eixo é o raio: r = 3. A equação é (x − 3)² + (y − 3)² = 9.
Pergunta 18
Pergunta 18 · D10Bloom: Evaluate
Um engenheiro em Belo Horizonte analisa a distância máxima de um ponto externo a uma circunferência.
Um ponto P(4, 6) está no exterior de uma circunferência de centro C(1, 2) e raio 2. Qual é a maior distância de P a um ponto da circunferência?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: D)7
💡 Explicação
A distância de P ao centro é d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = 5. O ponto mais afastado da circunferência está na direção que prolonga o raio, a uma distância d + r = 5 + 2 = 7.
Ver resposta
Resposta correta: D)7
A)5Incorreto: 5 é a distância do ponto P ao centro, não a maior distância ao círculo.
B)2Incorreto: 2 é o raio da circunferência.
C)3Incorreto: 3 é a menor distância de P à circunferência (5 − 2).
D)7Correto: a maior distância é d(P, C) + r = 5 + 2 = 7.
💡 Explicação
A distância de P ao centro é d = √((4 − 1)² + (6 − 2)²) = √(9 + 16) = 5. O ponto mais afastado da circunferência está na direção que prolonga o raio, a uma distância d + r = 5 + 2 = 7.
Pergunta 19
Pergunta 19 · D10Bloom: Evaluate
Em uma olimpíada de matemática, pede-se a reta tangente a uma circunferência entre várias candidatas.
Qual das retas a seguir é tangente à circunferência x² + y² = 25?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: A)3x + 4y = 25
💡 Explicação
Uma reta é tangente à circunferência quando a distância do centro (origem) à reta é igual ao raio (5). Para 3x + 4y = 25, d = |25|/√(9 + 16) = 5, portanto a reta é tangente.
Ver resposta
Resposta correta: A)3x + 4y = 25
A)3x + 4y = 25Correto: a distância da origem à reta é 25/√(3² + 4²) = 25/5 = 5, igual ao raio.
B)3x + 4y = 15Incorreto: a distância é 15/5 = 3, menor que o raio; a reta é secante.
C)3x + 4y = 35Incorreto: a distância é 35/5 = 7, maior que o raio; a reta é exterior.
D)3x + 4y = 10Incorreto: a distância é 10/5 = 2, menor que o raio; a reta é secante.
💡 Explicação
Uma reta é tangente à circunferência quando a distância do centro (origem) à reta é igual ao raio (5). Para 3x + 4y = 25, d = |25|/√(9 + 16) = 5, portanto a reta é tangente.
Pergunta 20
Pergunta 20 · D10Bloom: Evaluate
Um pesquisador em Campinas estuda a posição relativa entre duas circunferências de um mapa de cobertura de sinal.
Considere as circunferências C1: (x − 1)² + (y − 1)² = 9 e C2: (x − 7)² + (y − 1)² = 4. Qual é a posição relativa entre elas?
Escolha uma opção para verificar sua resposta.
Resposta correta: C)Externas, pois a distância entre os centros é maior que a soma dos raios
💡 Explicação
Os centros são (1, 1) e (7, 1), com distância d = 6. Os raios são 3 e 2, com soma 5. Como d > r1 + r2, as circunferências são externas, sem pontos em comum.
Ver resposta
Resposta correta: C)Externas, pois a distância entre os centros é maior que a soma dos raios
A)Secantes, pois a distância entre os centros é menor que a soma dos raiosIncorreto: para serem secantes, d deve ser menor que 5 e maior que 1.
B)Tangentes externas, pois a distância entre os centros é 6Incorreto: a tangência externa exigiria d = r1 + r2 = 5.
C)Externas, pois a distância entre os centros é maior que a soma dos raiosCorreto: d = 6 e r1 + r2 = 5, logo d > r1 + r2 e as circunferências não se intersectam.
D)Uma contém a outra, pois a distância entre os centros é 6Incorreto: isso exigiria d + r2 < r1, ou seja, 6 + 2 < 3, o que é falso.
💡 Explicação
Os centros são (1, 1) e (7, 1), com distância d = 6. Os raios são 3 e 2, com soma 5. Como d > r1 + r2, as circunferências são externas, sem pontos em comum.
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