Analise Combinatoria — Matemática Grado 11, Brasil

Bloom: Remember

Um estudante em São Paulo revisa o princípio fundamental da contagem para o ENEM.

O que afirma o princípio fundamental da contagem?

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Resposta correta: B) Se uma decisão tem m opções e outra tem n opções, o total de combinações é m × n

A) Se uma decisão tem m opções e outra tem n opções, o total é m + nIncorreto: a adição só se aplica a casos mutuamente exclusivos.
B) Se uma decisão tem m opções e outra tem n opções, o total de combinações é m × nCorreto: o princípio multiplicativo combina as escolhas por multiplicação.
C) O total de combinações é sempre m^nIncorreto: potência aparece apenas em casos específicos com repetição.
D) O total de combinações é a diferença entre m e nIncorreto: a subtração não representa a combinação de escolhas.

💡 Explicação

O princípio fundamental da contagem (multiplicativo) diz que, se uma escolha pode ser feita de m modos e, para cada um deles, outra de n modos, o total de possibilidades é m × n.

Bloom: Remember

Durante uma aula em Curitiba, o professor apresenta a fórmula da combinação.

Qual é a fórmula do número de combinações de n elementos tomados p a p, com p ≤ n?

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Resposta correta: A) C(n, p) = n! / (p! · (n − p)!)

A) C(n, p) = n! / (p! · (n − p)!)Correto: essa é a fórmula clássica da combinação simples.
B) C(n, p) = n! / (n − p)!Incorreto: essa é a fórmula do arranjo simples A(n, p).
C) C(n, p) = n! · p!Incorreto: o produto de fatoriais não define combinação.
D) C(n, p) = n! / p!Incorreto: faltou o fator (n − p)! no denominador.

💡 Explicação

A combinação simples, usada quando a ordem não importa, é C(n, p) = n! / (p! · (n − p)!). O arranjo A(n, p) = n!/(n − p)! é o caso em que a ordem importa.

Bloom: Understand

Um arquiteto no Rio de Janeiro organiza a fila de apresentação de projetos.

Quando a ordem dos elementos importa, qual técnica de contagem deve ser usada?

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Resposta correta: D) Arranjo ou permutação

A) CombinaçãoIncorreto: a combinação é usada quando a ordem não importa.
B) AmplitudeIncorreto: amplitude é um conceito da estatística, não de contagem.
C) Média ponderadaIncorreto: média ponderada não é uma técnica de contagem.
D) Arranjo ou permutaçãoCorreto: quando a ordem altera o resultado, usam-se arranjo ou permutação.

💡 Explicação

Arranjos e permutações consideram a ordem dos elementos, enquanto combinações a ignoram. A escolha entre elas depende de a ordem alterar ou não o resultado.

Bloom: Understand

Um estudante em Brasília calcula o fatorial de um número pequeno.

Quanto vale 5! (cinco fatorial)?

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Resposta correta: A) 120

A) 120Correto: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
B) 25Incorreto: 25 é o quadrado de 5, não o fatorial.
C) 15Incorreto: 15 é a soma 5 + 4 + 3 + 2 + 1, não o produto.
D) 60Incorreto: 60 seria o produto 5 × 4 × 3, ignorando os fatores 2 e 1.

💡 Explicação

O fatorial de n é o produto dos inteiros positivos de 1 até n: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Bloom: Understand

Um vendedor em Salvador combina camisas e calças para montar vitrines.

Uma loja tem 3 modelos de camisa e 4 modelos de calça. De quantas maneiras diferentes um cliente pode escolher uma camisa e uma calça?

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Resposta correta: D) 12

A) 7Incorreto: 7 seria a soma 3 + 4, mas as escolhas são combinadas por multiplicação.
B) 9Incorreto: 9 seria 3 × 3, ignorando os 4 modelos de calça.
C) 34Incorreto: 34 não corresponde a nenhuma operação entre 3 e 4.
D) 12Correto: pelo princípio multiplicativo, 3 × 4 = 12.

💡 Explicação

Cada uma das 3 camisas pode ser combinada com cada uma das 4 calças: 3 × 4 = 12 combinações.

Bloom: Understand

Um restaurante em Recife monta um menu com etapas de escolha.

Um restaurante oferece 2 opções de entrada, 4 pratos principais e 3 sobremesas. Quantos menus completos (entrada, prato e sobremesa) são possíveis?

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Resposta correta: B) 24

A) 9Incorreto: 9 seria a soma das quantidades de opções.
B) 24Correto: 2 × 4 × 3 = 24 menus completos.
C) 12Incorreto: 12 seria o produto apenas de 4 × 3.
D) 20Incorreto: 20 não corresponde ao produto das três quantidades.

💡 Explicação

Pelo princípio multiplicativo: 2 entradas × 4 pratos × 3 sobremesas = 24 menus completos.

Bloom: Apply

Uma bibliotecária em Fortaleza organiza livros distintos em uma prateleira.

De quantas maneiras 4 livros distintos podem ser organizados em uma prateleira?

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Resposta correta: C) 24

A) 16Incorreto: 16 seria 4², o que valeria se cada posição aceitasse repetição.
B) 12Incorreto: 12 seria 4 × 3, ignorando as demais posições.
C) 24Correto: trata-se de uma permutação: 4! = 24.
D) 8Incorreto: 8 seria 4 × 2, sem correspondência com a permutação.

💡 Explicação

Organizar 4 livros distintos é uma permutação de 4 elementos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.

Bloom: Apply

Um organizador em Goiânia escolhe duplas para um torneio de xadrez.

De quantas maneiras podem ser escolhidas 2 pessoas entre 6 para formar uma dupla?

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Resposta correta: B) 15

A) 12Incorreto: 12 seria o arranjo A(6,2) considerando posições, e a ordem da dupla não importa.
B) 15Correto: C(6,2) = 6!/(2!·4!) = 30/2 = 15.
C) 30Incorreto: 30 seria A(6,2) = 6 × 5, contando cada dupla duas vezes.
D) 36Incorreto: 36 seria 6², contando com repetição.

💡 Explicação

Como a ordem dos dois integrantes não importa, usa-se combinação: C(6,2) = (6 × 5)/2 = 15.

Bloom: Apply

Um professor em Manaus organiza a escolha de atletas para as duas primeiras posições de uma prova.

De quantas maneiras 2 atletas podem ocupar o 1º e o 2º lugar em uma prova com 5 participantes?

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Resposta correta: A) 20

A) 20Correto: o 1º lugar tem 5 opções e o 2º tem 4: 5 × 4 = 20.
B) 10Incorreto: 10 seria a combinação C(5,2), que ignora a ordem dos lugares.
C) 25Incorreto: 25 seria 5², permitindo que o mesmo atleta ocupe as duas posições.
D) 15Incorreto: 15 seria C(5,2) × 3, sem fundamento no problema.

💡 Explicação

Como 1º e 2º lugares são posições distintas, a ordem importa: A(5,2) = 5 × 4 = 20.

Bloom: Apply

Um estudante em Belém forma números com algarismos distintos.

Quantos números de 3 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4?

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Resposta correta: B) 24

A) 12Incorreto: 12 seria o resultado se o número tivesse apenas 2 algarismos: 4 × 3.
B) 24Correto: 4 × 3 × 2 = 24 números distintos.
C) 64Incorreto: 64 seria 4³, permitindo repetição de algarismos.
D) 27Incorreto: 27 não corresponde ao produto decrescente 4 × 3 × 2.

💡 Explicação

O primeiro algarismo tem 4 opções, o segundo 3 e o terceiro 2 (sem repetição): 4 × 3 × 2 = 24.

Bloom: Apply

Um diretor em Florianópolis escolhe uma comissão de alunos.

De quantas maneiras uma comissão de 3 alunos pode ser escolhida entre 8 candidatos?

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Resposta correta: B) 56

A) 336Incorreto: 336 é o arranjo A(8,3) = 8 × 7 × 6, que considera a ordem.
B) 56Correto: C(8,3) = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 336/6 = 56.
C) 24Incorreto: 24 seria 3!, a quantidade de ordenações internas da comissão.
D) 112Incorreto: 112 seria o dobro de 56, sem fundamento no cálculo.

💡 Explicação

A ordem dos integrantes da comissão não importa: C(8,3) = 8!/(3!·5!) = 56.

Bloom: Apply

Um engenheiro em Porto Alegre analisa a quantidade de placas de veículos.

Quantas placas distintas podem ser formadas com 3 letras (26 do alfabeto) e 4 algarismos (0 a 9), admitindo repetição?

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Resposta correta: C) 26³ × 10⁴

A) 26 × 10Incorreto: 26 × 10 consideraria apenas uma letra e um algarismo.
B) 26³ + 10⁴Incorreto: as escolhas são simultâneas e se combinam por multiplicação.
C) 26³ × 10⁴Correto: cada letra tem 26 opções e cada algarismo 10, com repetição permitida.
D) 26 × 3 + 10 × 4Incorreto: somar quantidades de posições não conta combinações.

💡 Explicação

Com repetição permitida, cada uma das 3 posições de letra admite 26 opções e cada uma das 4 posições de algarismo admite 10: 26³ × 10⁴.

Bloom: Analyze

Um estudante em Campinas conta os anagramas da palavra AMOR.

Quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra AMOR?

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Resposta correta: C) 24

A) 16Incorreto: 16 seria 4², tratando as posições como independentes com repetição.
B) 12Incorreto: 12 seria 4 × 3, contando apenas duas posições.
C) 24Correto: as 4 letras são distintas, então o número é 4! = 24.
D) 8Incorreto: 8 não corresponde à permutação de 4 letras distintas.

💡 Explicação

Como todas as letras de AMOR são distintas, o número de anagramas é a permutação de 4 elementos: 4! = 24.

Bloom: Analyze

Um coordenador em Natal forma comissões com a participação obrigatória de mulheres.

De quantas maneiras pode ser formada uma comissão de 3 pessoas a partir de 5 homens e 4 mulheres, com pelo menos 1 mulher?

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Resposta correta: C) 74

A) 84Incorreto: 84 é o total de comissões de 3 entre as 9 pessoas, sem restrição.
B) 60Incorreto: 60 resultaria de combinar C(4,2) × C(5,1) com o caso de exatamente 2 mulheres apenas.
C) 74Correto: total (C(9,3)=84) menos as comissões só de homens (C(5,3)=10): 84 − 10 = 74.
D) 50Incorreto: 50 não corresponde ao cálculo de complemento das comissões sem mulheres.

💡 Explicação

Do total de comissões, subtraem-se as formadas apenas por homens: C(9,3) − C(5,3) = 84 − 10 = 74.

Bloom: Analyze

Um professor em São José dos Campos propõe anagramas com letras repetidas.

Quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra BANANA?

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Resposta correta: A) 60

A) 60Correto: 6!/(3!·2!) = 720/12 = 60.
B) 120Incorreto: 120 seria 6! ÷ 6, descontando apenas uma repetição.
C) 30Incorreto: 30 seria 720/24, descontando repetições em excesso.
D) 720Incorreto: 720 é 6!, contando os anagramas como se todas as letras fossem distintas.

💡 Explicação

A palavra BANANA tem 6 letras, com o A repetido 3 vezes e o N repetido 2 vezes: 6!/(3!·2!) = 720/12 = 60.

Bloom: Analyze

Um organizador em Vitória calcula o número de jogos de um campeonato.

Em um campeonato com 8 times, todos se enfrentam uma única vez. Quantos jogos são disputados no total?

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Resposta correta: D) 28

A) 56Incorreto: 56 seria o número de jogos em dois turnos (8 × 7).
B) 16Incorreto: 16 seria 8 × 2, sem relação com o confronto entre todos os pares.
C) 64Incorreto: 64 seria 8², contando pares ordenados com repetição.
D) 28Correto: cada jogo é uma dupla de times: C(8,2) = (8 × 7)/2 = 28.

💡 Explicação

Cada jogo corresponde a uma dupla de times, sem ordem: C(8,2) = 28 jogos.

Bloom: Evaluate

Um diretor em Belo Horizonte monta uma comissão com composição definida por gênero.

De quantas maneiras pode ser formada uma comissão de 3 pessoas com exatamente 2 mulheres, escolhendo entre 5 homens e 4 mulheres?

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Resposta correta: B) 30

A) 34Incorreto: 34 incluiria também a comissão com 3 mulheres (C(4,3) = 4).
B) 30Correto: C(4,2) × C(5,1) = 6 × 5 = 30.
C) 60Incorreto: 60 seria C(4,2) × C(5,2), usando um homem a mais.
D) 20Incorreto: 20 seria C(4,2) × C(5,1) com um dos fatores calculado errado.

💡 Explicação

Escolhem-se 2 mulheres entre 4 e 1 homem entre 5: C(4,2) × C(5,1) = 6 × 5 = 30.

Bloom: Evaluate

Um organizador de competição em Campinas define o pódio de uma prova de atletismo.

De quantas maneiras distintas podem ser definidos o 1º, o 2º e o 3º colocados de uma prova com 10 atletas?

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Resposta correta: A) 720, pois a ordem dos lugares importa

A) 720, pois a ordem dos lugares importaCorreto: arranjo A(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720.
B) 120, pois a ordem não importaIncorreto: 120 é C(10,3), que ignoraria a distinção entre os lugares do pódio.
C) 30, pois se somam 10 + 9 + 8Incorreto: as escolhas se combinam por multiplicação, não por soma.
D) 1000, pois cada lugar admite 10 atletasIncorreto: 10³ admitiria que um atleta ocupasse mais de um lugar.

💡 Explicação

Como 1º, 2º e 3º lugares são distintos, a ordem importa: A(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720.

Bloom: Evaluate

Um estudante em São Paulo conta anagramas com a condição de vogais juntas.

Quantos anagramas da palavra BRASIL têm as vogais A e I sempre juntas, nessa ordem ou invertida?

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Resposta correta: D) 240

A) 720Incorreto: 720 é o total de anagramas sem restrição (6!).
B) 120Incorreto: 120 consideraria as vogais em ordem fixa, sem o fator 2!.
C) 360Incorreto: 360 seria 6!/2, tratando as vogais como se fossem iguais entre si.
D) 240Correto: o bloco (AI) com as 4 consoantes forma 5 itens: 5! × 2! = 120 × 2 = 240.

💡 Explicação

Tratando (AI) como um bloco, há 5 itens a permutar (bloco + 4 consoantes): 5! = 120. Como A e I podem trocar de posição dentro do bloco (2 ordens), o total é 120 × 2 = 240.

Bloom: Evaluate

Um técnico em São Paulo divide o elenco em times para um treino tático.

De quantas maneiras 12 jogadores podem ser divididos em 3 times de 4 jogadores, sem distinguir a ordem dos times?

Ver resposta

Resposta correta: B) 5775

A) 34650Incorreto: 34650 é o cálculo sem dividir pelas 3! ordenações dos times.
B) 5775Correto: C(12,4) × C(8,4) × C(4,4) / 3! = (495 × 70 × 1)/6 = 5775.
C) 11550Incorreto: 11550 seria o resultado dividindo apenas por 3, não por 3!.
D) 495Incorreto: 495 é apenas C(12,4), a escolha do primeiro time.

💡 Explicação

Escolhem-se os times em sequência, contando cada divisão 3! vezes (as permutações dos times). O número é (C(12,4) × C(8,4) × C(4,4))/3! = (495 × 70)/6 = 5775.

Pergunta 1

Pergunta 2

Pergunta 3

Pergunta 4

Pergunta 5

Pergunta 6

Pergunta 7

Pergunta 8

Pergunta 9

Pergunta 10

Pergunta 11

Pergunta 12

Pergunta 13

Pergunta 14

Pergunta 15

Pergunta 16

Pergunta 17

Pergunta 18

Pergunta 19

Pergunta 20

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