Tema W01 — Matematicas Grado 11, Chile

Bloom: Remember

Diego está repasando la clasificación de los números en su colegio de Santiago.

¿A qué conjunto numérico pertenece el número

\sqrt{2}

?

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Respuesta correcta: A) Números Irracionales ( $\mathbb{I}$ )

A) Números Irracionales ( $\mathbb{I}$ ) $\sqrt{2}$ tiene infinitos decimales no periódicos, por lo que es irracional.
B) Números Naturales ( $\mathbb{N}$ )Los números naturales son enteros positivos sin parte decimal.
C) Números Enteros ( $\mathbb{Z}$ )Los números enteros no incluyen raíces inexactas como $\sqrt{2}$ .
D) Números Racionales ( $\mathbb{Q}$ )Los racionales pueden escribirse como fracción de enteros; $\sqrt{2}$ no.

💡 Explicación

El número

\sqrt{2}

es un número irracional porque no se puede expresar como la razón entre dos números enteros. Su representación decimal es infinita y no presenta un patrón repetitivo o período.

Bloom: Remember

Javiera estudia las propiedades de los números reales para la PAES.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera respecto a los números reales?

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Respuesta correcta: D) El conjunto de los números reales es la unión de racionales e irracionales.

A) La suma de dos números irracionales es siempre irracional.No siempre; por ejemplo, $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ , que es racional.
B) Todo número real es un número racional.Falso, existen los números irracionales que también son reales.
C) El número cero es un número natural.En el currículo chileno, los naturales ( $\mathbb{N}$ ) suelen comenzar desde el 1.
D) El conjunto de los números reales es la unión de racionales e irracionales.Correcto. $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$ .

💡 Explicación

El conjunto de los números reales (

\mathbb{R}

) se define como la unión del conjunto de los números racionales (

\mathbb{Q}

) y el conjunto de los números irracionales (

\mathbb{I}

). Cualquier número que se encuentre en la recta numérica es un número real.

Bloom: Understand

En una clase en Valparaíso, se discute el valor absoluto de distintos números.

¿Cuál es el valor de

|-5| - |3 - 8|

?

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Respuesta correcta: D) 0

A) 10Has sumado los valores en lugar de restarlos.
B) -10El valor absoluto siempre es no negativo. Revisa la operación.
C) 5Revisa el cálculo de la resta de los valores absolutos.
D) 0 $|-5| = 5$ y $|3 - 8| = |-5| = 5$ . Entonces $5 - 5 = 0$ .

💡 Explicación

El valor absoluto de un número es su distancia al origen, siempre positiva o cero.

|-5| = 5

. Luego, calculamos lo dentro del segundo valor absoluto:

3 - 8 = -5

, y su valor absoluto es

|-5| = 5

. Finalmente,

5 - 5 = 0

.

Bloom: Understand

Matías analiza la densidad de los números racionales en la recta numérica.

¿Cuál de los siguientes números se encuentra entre

1/4

y

1/2

?

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Respuesta correcta: C) $3/8$

A) $1/8$ $1/8$ es menor que $1/4$ .
B) $5/8$ $5/8$ es mayor que $4/8$ (o $1/2$ ).
C) $3/8$ $1/4 = 2/8$ y $1/2 = 4/8$ . Por lo tanto, $3/8$ está entre ellos.
D) $0,2$ $0,2 = 1/5$ , que es menor que $1/4$ .

💡 Explicación

Para comparar fracciones, es útil igualar denominadores.

1/4

equivale a

2/8

y

1/2

equivale a

4/8

. Claramente,

3/8

se encuentra entre

2/8

y

4/8

.

Bloom: Understand

Fernanda está calculando distancias en un mapa que utiliza números reales.

Si

a = \sqrt{3}

y

b = \sqrt{2}

, ¿cuál es el valor aproximado de

a + b

? (Considere

\sqrt{3} \approx 1,73

y

\sqrt{2} \approx 1,41

)

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 3,14

A) 3,00Has redondeado demasiado pronto o de forma incorrecta.
B) 2,14Error en la suma de las partes enteras.
C) 3,14 $1,73 + 1,41 = 3,14$ .
D) 3,24Error en la suma de las partes decimales.

💡 Explicación

Al sumar aproximaciones de números irracionales, sumamos los valores decimales dados:

1,73

(aproximación de

\sqrt{3}

) más

1,41

(aproximación de

\sqrt{2}

), resultando en

3,14

.

Bloom: Understand

En un laboratorio en Concepción, se miden sustancias en miligramos usando notación científica.

¿Cómo se expresa el número

0,000045

en notación científica?

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Respuesta correcta: C) $4,5 \times 10^{-5}$

A) $4,5 \times 10^{-4}$ Contaste mal los espacios hacia la derecha.
B) $45 \times 10^{-6}$ En notación científica, el coeficiente debe estar entre 1 y 10.
C) $4,5 \times 10^{-5}$ Correcto, se mueve la coma 5 lugares a la derecha.
D) $4,5 \times 10^{5}$ El exponente debe ser negativo para números menores que 1.

💡 Explicación

La notación científica requiere un número entre 1 (inclusive) y 10, multiplicado por una potencia de 10. Para

0,000045

, desplazamos la coma 5 posiciones hacia la derecha para obtener

4,5

, por lo que el exponente es

-5

.

Bloom: Apply

Benjamín desea cercar un terreno cuadrado que tiene un área de $50 \text{ m}^2$ .

¿Cuál es la longitud aproximada de un lado del terreno en metros?

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Respuesta correcta: B) Entre 7 y 8

A) Entre 5 y 6 $5^2=25$ y $6^2=36$ ; muy bajo para 50.
B) Entre 7 y 8 $7^2=49$ y $8^2=64$ . Por lo tanto, $\sqrt{50}$ está entre 7 y 8.
C) Exactamente 7 $7^2=49$ , se acerca pero no es exacto.
D) Entre 8 y 9 $8^2=64$ ; ya se pasó de 50.

💡 Explicación

El lado de un cuadrado es la raíz cuadrada de su área. Como

7^2 = 49

y

8^2 = 64

, la raíz cuadrada de 50 debe ser un número decimal comprendido entre 7 y 8 (específicamente

7,07

aproximadamente).

Bloom: Apply

Valentina calcula el interés simple de un ahorro en una cuenta bancaria.

Si Valentina ahorra \$200.000 con un interés simple anual del 5%, ¿cuánto dinero tendrá en total después de 3 años?

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Respuesta correcta: A) \$230.000

A) \$230.000Correcto. Interés = $200.000 \times 0,05 \times 3 = 30.000$ . Total = $230.000.
B) \$210.000Solo calculaste el interés de un año.
C) \$220.000Calculaste el interés para 2 años en lugar de 3.
D) \$231.525Ese sería el cálculo para interés compuesto, no simple.

💡 Explicación

El interés simple se calcula multiplicando el capital inicial por la tasa de interés y por el tiempo:

I = P \cdot r \cdot t

. Aquí,

I = 200.000 \cdot 0,05 \cdot 3 = 30.000

. El monto total es el capital más el interés:

200.000 + 30.000 = 230.000

.

Bloom: Apply

Nicolás compra una polera que tiene un descuento del 15% en una tienda de La Serena.

Si el precio original de la polera es \$12.000, ¿cuánto pagará Nicolás finalmente?

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Respuesta correcta: C) \$10.200

A) \$1.800Ese es el valor del descuento, no el precio final.
B) \$10.800Calculaste el 10% de descuento en lugar del 15%.
C) \$10.200 $12.000 - (12.000 \times 0,15) = 10.200$ .
D) \$9.500Error en el cálculo de la resta del descuento.

💡 Explicación

Para obtener el precio final con descuento, calculamos el 15% de \$12.000 (

12.000 \times 0,15 = 1.800

) y lo restamos al precio original:

12.000 - 1.800 = 10.200

. También se puede multiplicar directamente por

0,85

.

Bloom: Apply

Camila analiza el resultado de multiplicar un número racional por uno irracional.

¿Cuál es el resultado de la operación

0 \times \pi

?

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Respuesta correcta: C) 0

A) $\pi$ Multiplicar por cero no mantiene el valor del otro número.
B) Un número irracional distinto de cero.El resultado es racional (cero).
C) 0Cualquier número real multiplicado por cero es siempre cero.
D) 1La multiplicación por cero resulta en cero, no en uno.

💡 Explicación

Una propiedad fundamental de los números reales es el elemento absorbente de la multiplicación, que es el cero. Sin importar si el otro número es racional o irracional (como

\pi

), el producto siempre será 0.

Bloom: Apply

En un problema de física, se requiere calcular el volumen de una esfera de radio $r = 3 \text{ cm}$ .

Si el volumen de una esfera es

V = \frac{4}{3}\pi r^3

, ¿cuál es el volumen en

\text{cm}^3

dejando el resultado en términos de

\pi

?

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Respuesta correcta: D) $36\pi$

A) $12\pi$ Olvidaste elevar el radio al cubo.
B) $108\pi$ Multiplicaste por $r^3$ pero no aplicaste la fracción $\frac{4}{3}$ .
C) $27\pi$ Elevaste al cubo pero no multiplicaste por $\frac{4}{3}$ .
D) $36\pi$ $r^3 = 27$ . Luego $\frac{4}{3} \cdot 27 = 4 \cdot 9 = 36$ .

💡 Explicación

Sustituimos

r=3

en la fórmula:

V = \frac{4}{3}\pi(3)^3 = \frac{4}{3}\pi(27)

. Simplificamos dividiendo 27 por 3, lo que da 9. Luego multiplicamos 4 por 9 para obtener 36. El resultado es

36\pi

.

Bloom: Apply

Un arquitecto en Antofagasta diseña una rampa con una pendiente que involucra raíces cuadradas.

Simplifique la expresión

\sqrt{18} + \sqrt{50}

.

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Respuesta correcta: C) $8\sqrt{2}$

A) $\sqrt{68}$ Las raíces no se pueden sumar directamente sumando sus argumentos.
B) $4\sqrt{2}$ Solo calculaste una parte de la suma.
C) $8\sqrt{2}$ $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ y $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ . Sumados dan $8\sqrt{2}$ .
D) $15\sqrt{2}$ Multiplicaste los coeficientes en lugar de sumarlos.

💡 Explicación

Para sumar raíces, primero simplificamos cada término buscando cuadrados perfectos:

\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}

y

\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}

. Al tener el mismo radical, sumamos los coeficientes:

3 + 5 = 8

, resultando en

8\sqrt{2}

.

Bloom: Analyze

Se analiza el crecimiento de una población de bacterias que se duplica cada hora.

Si inicialmente hay

2^5

bacterias, ¿cuántas habrá después de 4 horas? Exprese el resultado como una potencia de 2.

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Respuesta correcta: B) $2^9$

A) $2^4$ Esa es la cantidad de horas, no el total acumulado.
B) $2^9$ $2^5 \cdot 2^4 = 2^{5+4} = 2^9$ .
C) $2^{20}$ Has multiplicado los exponentes, lo cual es incorrecto en este caso.
D) $2^5 + 2^4$ La población crece de forma multiplicativa, no aditiva.

💡 Explicación

Si la población se duplica cada hora, después de 4 horas se habrá multiplicado por

2^4

. Multiplicamos la cantidad inicial por este factor:

2^5 \cdot 2^4

. Aplicando la propiedad de potencias de igual base, sumamos los exponentes:

5 + 4 = 9

.

Bloom: Analyze

Un grupo de estudiantes discute sobre la racionalización de fracciones.

Al racionalizar la expresión

\frac{2}{\sqrt{6}}

, ¿cuál es el resultado simplificado?

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Respuesta correcta: C) $\frac{\sqrt{6}}{3}$

A) $\frac{\sqrt{6}}{6}$ Olvidaste el factor 2 del numerador.
B) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ Error al simplificar la fracción final.
C) $\frac{\sqrt{6}}{3}$ $\frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .
D) $\sqrt{6}$ El denominador no desaparece sin dejar rastro.

💡 Explicación

Para racionalizar, multiplicamos numerador y denominador por

\sqrt{6}

:

\frac{2 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6}

. Finalmente, simplificamos la fracción dividiendo por 2:

\frac{\sqrt{6}}{3}

.

Bloom: Analyze

Se pide ordenar de menor a mayor tres números reales: $x = \sqrt{5}$ , $y = 2,2$ y $z = 9/4$ .

¿Cuál es el orden correcto de menor a mayor?

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Respuesta correcta: B) $y < x < z$

A) $x < y < z$ $\sqrt{5} \approx 2,236$ , que es mayor que $2,2$ .
B) $y < x < z$ $y = 2,20$ ; $x \approx 2,236$ ; $z = 2,25$ .
C) $z < x < y$ $z = 2,25$ es el mayor de los tres.
D) $y < z < x$ $x$ es menor que $z$ .

💡 Explicación

Convertimos todos a decimales para comparar:

y = 2,2

;

x = \sqrt{5} \approx 2,236

;

z = 9/4 = 2,25

. Comparando las milésimas:

2,200 < 2,236 < 2,250

. Por lo tanto,

y < x < z

.

Bloom: Analyze

En un estudio de mercado en Chillán, se observa que el precio de un producto sube un 10% y luego baja un 10%.

Si el precio inicial era \$10.000, ¿cuál es el precio final?

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Respuesta correcta: C) \$9.900

A) \$10.000Los porcentajes no se anulan así; se aplican sobre bases distintas.
B) \$10.100Calculaste un aumento neto, pero hay una disminución.
C) \$9.900 $10.000 \cdot 1,1 = 11.000$ ; luego $11.000 \cdot 0,9 = 9.900$ .
D) \$9.000Error al calcular los pasos sucesivos.

💡 Explicación

Primero el precio sube:

10.000 + 1.000 = 11.000

. Luego, baja el 10% de ese nuevo valor:

11.000 \cdot 0,1 = 1.100

. Restamos:

11.000 - 1.100 = 9.900

. Siempre que se sube y baja el mismo porcentaje, el valor final es menor al inicial.

Bloom: Evaluate

Un estudiante plantea una duda sobre la existencia de números entre dos racionales muy cercanos.

Considere los números

A = 0,33

y

B = 1/3

. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

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Respuesta correcta: D) $B > A$

A) $A$ y $B$ representan el mismo número real.Falso. $1/3$ es $0,333$ ... (infinito), mientras $0,33$ es finito.
B) No existen números reales entre $A$ y $B$ .Entre dos números reales siempre existen infinitos números.
C) $A$ es un número irracional. $0,33$ es racional porque se puede escribir como $33/100$ .
D) $B > A$ $1/3 \approx 0,3333$ , lo cual es mayor que $0,3300$ .

💡 Explicación

B = 1/3

es un número decimal periódico

0,333

.... Al comparar con

A = 0,33

(que es

0,330

), vemos que a partir de la milésima,

B

tiene un 3 y

A

tiene un 0. Por lo tanto,

B

es mayor que

A

.

Bloom: Evaluate

Se define una operación nueva en el conjunto de los números reales: $x \star y = x^y + y^x$ .

¿Cuál es el valor de

2 \star 3

?

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Respuesta correcta: C) 17

A) 12Error en el cálculo de las potencias.
B) 13Calculaste mal una de las potencias.
C) 17 $2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17$ .
D) 31Error aritmético mayor.

💡 Explicación

Aplicamos la definición de la operación: sustituimos

x=2

e

y=3

. Entonces

2 \star 3 = 2^3 + 3^2

. Calculamos cada potencia:

2^3 = 8

y

3^2 = 9

. Sumamos los resultados:

8 + 9 = 17

.

Bloom: Evaluate

Diego intenta resolver una ecuación que involucra raíces enésimas.

¿Cuál es el valor de

x

si

\sqrt[3]{x} = -2

?

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Respuesta correcta: C) -8

A) -4Multiplicaste por 2 en lugar de elevar al cubo.
B) No existe en los reales.Las raíces cúbicas de números negativos sí existen en $\mathbb{R}$ .
C) -8 $(-2)^3 = -8$ .
D) 8Olvidaste mantener el signo al elevar a una potencia impar.

💡 Explicación

Para despejar

x

, elevamos ambos lados de la ecuación al cubo:

(\sqrt[3]{x})^3 = (-2)^3

. Esto nos da

x = -2 \cdot -2 \cdot -2 = -8

. Las raíces de índice impar conservan el signo de la base.

Bloom: Evaluate

En un examen de nivel avanzado en Puerto Montt, se pregunta por la naturaleza de la suma de raíces.

¿Cuál de las siguientes expresiones representa un número racional?

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Respuesta correcta: A) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$

A) $(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ Es una suma por su diferencia: $3 - 2 = 1$ , que es racional.
B) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ La suma de estas raíces no exactas es irracional.
C) $\pi / 2$ Un irracional dividido por un racional no nulo es irracional.
D) $\sqrt{8} / 2$ $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ , al dividir por 2 queda $\sqrt{2}$ , que es irracional.

💡 Explicación

La expresión

(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})

es un producto notable (suma por su diferencia), cuya fórmula es

(a+b)(a-b) = a^2 - b^2

. Aplicándola:

(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1

. Dado que 1 es un número entero, también es un número racional.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?