Tema W02 — Matematicas Grado 11, Chile

Bloom: Remember

En un taller de cocina en Talca, se mezclan harina y azúcar en una razón de 5:2.

Si la razón entre harina y azúcar es 5:2, ¿qué significa esto correctamente?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Por cada 5 unidades de harina, se deben usar 2 unidades de azúcar.

A) Por cada 5 gramos de mezcla, 2 son de azúcar.La razón 5:2 indica la relación entre los ingredientes, no con el total de la mezcla.
B) Hay 3 unidades más de harina que de azúcar en cualquier preparación.La razón indica una relación multiplicativa, no una diferencia constante.
C) La harina representa el 50% de la mezcla total.Si la razón es 5:2, la harina representa 5/7 del total, que es más del 70%.
D) Por cada 5 unidades de harina, se deben usar 2 unidades de azúcar.Correcto. La razón compara directamente las cantidades de los dos componentes.

💡 Explicación

Una razón es una comparación por cociente entre dos magnitudes. En este caso, la razón 5:2 entre harina y azúcar establece que por cada 5 partes de la primera magnitud, corresponden 2 partes de la segunda.

Bloom: Remember

Lucas analiza un mapa de Chile con una escala de 1:1.000.000.

¿A qué tipo de proporción corresponde la relación entre la distancia en el mapa y la distancia real?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Proporcionalidad directa.

A) Proporcionalidad directa.A mayor distancia en el mapa, mayor es la distancia real; la razón se mantiene constante.
B) Proporcionalidad inversa.En la proporción inversa, si una magnitud aumenta, la otra disminuye.
C) Proporcionalidad compuesta.Solo intervienen dos magnitudes (mapa y realidad).
D) No existe proporcionalidad.Las escalas son ejemplos fundamentales de proporcionalidad.

💡 Explicación

La relación entre las medidas de un mapa (o maqueta) y las reales es de proporcionalidad directa, ya que el cociente entre ambas medidas permanece constante (valor de la escala). Si duplicamos la medida en el mapa, la medida real también se duplica.

Bloom: Understand

Un auto consume 8 litros de bencina por cada 100 kilómetros recorridos en la Ruta 5 Sur.

¿Cuántos litros consumirá en un viaje de 250 kilómetros?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 20 litros

A) 16 litrosEso sería para 200 km. Falta el consumo de los 50 km restantes.
B) 20 litros $\frac{8}{100} = \frac{x}{250} \Rightarrow x = \frac{8 \cdot 250}{100} = 20$ .
C) 24 litrosHas calculado para 300 km en lugar de 250 km.
D) 18 litrosError en el cálculo de la proporción directa.

💡 Explicación

Es una proporción directa:

\frac{8}{100} = \frac{x}{250}

. Despejando

x

, multiplicamos cruzado:

100x = 8 \cdot 250 = 2.000

. Entonces,

x = 2.000 / 100 = 20

litros.

Bloom: Understand

Tres obreros demoran 12 horas en pintar una casa en Rancagua.

Si se contrata a un obrero más, trabajando al mismo ritmo, ¿cuánto tiempo demorarán los cuatro obreros en total?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 9 horas

A) 16 horasAplicaste proporción directa, pero a más trabajadores, menos tiempo (inversa).
B) 9 horas $3 \cdot 12 = 4 \cdot x \Rightarrow 36 = 4x \Rightarrow x = 9$ .
C) 4 horasError en el cálculo; la reducción de tiempo no es tan drástica.
D) 10 horasRevisa el cálculo de la proporción inversa.

💡 Explicación

A mayor cantidad de trabajadores, menor es el tiempo de ejecución (proporcionalidad inversa). En este caso, el producto entre trabajadores y horas debe ser constante:

3 \text{ trabajadores} \cdot 12 \text{ horas} = 36

. Para 4 trabajadores:

4 \cdot x = 36 \Rightarrow x = 9

horas.

Bloom: Understand

En una elección de centro de alumnos, la razón entre los votos del candidato A y el candidato B fue de 7:3.

Si el candidato B obtuvo 150 votos, ¿cuántos votos obtuvo el candidato A?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 350 votos

A) 350 votos $\frac{7}{3} = \frac{x}{150} \Rightarrow x = \frac{7 \cdot 150}{3} = 350$ .
B) 105 votosInvertiste la razón o calculaste mal el factor de escala.
C) 250 votosError en la multiplicación o división de la proporción.
D) 500 votosEse es el total de votos sumando ambos candidatos.

💡 Explicación

Establecemos la proporción

\frac{A}{B} = \frac{7}{3}

. Sustituimos

B = 150

:

\frac{A}{150} = \frac{7}{3}

. Multiplicamos cruzado:

3A = 150 \cdot 7 = 1.050

. Finalmente,

A = 1.050 / 3 = 350

.

Bloom: Understand

Se desea repartir \$60.000 entre dos hermanos en la razón 2:3.

¿Cuánto dinero le corresponde al hermano que recibe la parte mayor?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) \$36.000

A) \$20.000Ese es el valor de una "parte", pero la mayor recibe 3 partes.
B) \$24.000Esa es la parte del hermano que recibe menos (2 partes).
C) \$36.000El total son 5 partes. $60.000/5 = 12.000$ . La mayor es $12.000 \cdot 3 = 36.000$ .
D) \$40.000Dividiste el total en 3 partes en lugar de 5.

💡 Explicación

Sumamos los términos de la razón:

2 + 3 = 5

partes iguales. Dividimos el total por el número de partes: $\$60.000 / 5 = \

12.000

por parte. El hermano con la parte mayor recibe 3 partes: $3 \cdot \$12.000 = \

36.000

.

Bloom: Apply

Un depósito de agua se llena con 4 llaves iguales en 6 horas.

¿Cuántas llaves del mismo tipo se necesitarían para llenar el depósito en solo 3 horas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 8 llaves

A) 2 llavesMenos llaves tardarían más tiempo. Es proporción inversa.
B) 6 llavesError en el cálculo de la constante de proporcionalidad.
C) 12 llavesMultiplicaste por el factor equivocado.
D) 8 llavesEl tiempo se reduce a la mitad, por lo que las llaves se duplican. $4 \cdot 6 = 24$ ; $24 / 3 = 8$ .

💡 Explicación

Es una relación de proporcionalidad inversa: a más llaves, menos tiempo. La constante es

4 \text{ llaves} \cdot 6 \text{ horas} = 24

. Para un tiempo de 3 horas:

x \cdot 3 = 24 \Rightarrow x = 24 / 3 = 8

llaves.

Bloom: Apply

Una empresa en Santiago imprime 500 folletos en 40 minutos usando 2 máquinas.

¿Cuánto tiempo tardarán en imprimir los mismos 500 folletos si usan 5 máquinas trabajando al mismo ritmo?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 16 minutos

A) 16 minutos $40 \cdot 2 = x \cdot 5 \Rightarrow 80 = 5x \Rightarrow x = 16$ .
B) 100 minutosAplicaste proporción directa, pero a más máquinas, menos tiempo.
C) 20 minutosError en el cálculo aritmético.
D) 8 minutosHas dividido por un factor extra de 2.

💡 Explicación

Como la cantidad de folletos es constante, la relación entre máquinas y tiempo es inversamente proporcional. Multiplicamos los valores iniciales:

40 \text{ min} \cdot 2 \text{ máquinas} = 80

. Con 5 máquinas:

x \cdot 5 = 80 \Rightarrow x = 16

minutos.

Bloom: Apply

El perímetro de un rectángulo es de $40 \text{ cm}$ y la razón entre su largo y su ancho es de 3:2.

¿Cuál es el área del rectángulo en

\text{cm}^2

?

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Respuesta correcta: B) 96

A) 84Error en la determinación de los lados.
B) 96Semi-perímetro = 20. Partes: 3+2=5. $20/5 = 4$ . Largo=12, Ancho=8. Área = $12 \cdot 8 = 96$ .
C) 24Has calculado mal las dimensiones a partir de la razón.
D) 150Has excedido las dimensiones posibles según el perímetro dado.

💡 Explicación

El semiperímetro (

largo + ancho

) es

20 \text{ cm}

. La razón

3:2

suma 5 partes. Cada parte mide

20/5 = 4 \text{ cm}

. Entonces,

largo = 3 \cdot 4 = 12 \text{ cm}

y

ancho = 2 \cdot 4 = 8 \text{ cm}

. El área es

12 \cdot 8 = 96 \text{ cm}^2

.

Bloom: Apply

Dos variables $x$ e $y$ son inversamente proporcionales. Cuando $x = 10$ , $y = 4$ .

¿Cuál es el valor de

y

cuando

x = 5

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 8

A) 2Eso sería si la proporción fuera directa.
B) 20Multiplicaste por un factor incorrecto.
C) 8En proporción inversa, si $x$ se reduce a la mitad, $y$ se duplica. $10 \cdot 4 = 5 \cdot y \Rightarrow 40 = 5y \Rightarrow y=8$ .
D) 10La constante de producto es 40, no 50.

💡 Explicación

En la proporcionalidad inversa, el producto de las variables es constante (

x \cdot y = k

). Aquí,

k = 10 \cdot 4 = 40

. Si

x = 5

, entonces

5 \cdot y = 40

, despejando

y = 40 / 5 = 8

.

Bloom: Apply

Proporcionalidad compuesta: 5 operarios construyen 100 metros de muro en 4 días.

¿Cuántos días tardarán 10 operarios en construir 400 metros de muro?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 8 días

A) 4 díasError al no considerar el aumento significativo en los metros de muro.
B) 16 díasNo consideraste que al haber más operarios el tiempo se reduce.
C) 8 díasOperarios y días son inversos; Metros y días son directos. $\frac{4 \cdot 5}{100} = \frac{x \cdot 10}{400} \Rightarrow \frac{20}{100} = \frac{10x}{400} \Rightarrow 0,2 = \frac{x}{40} \Rightarrow x = 8$ .
D) 2 díasEl aumento de trabajo (metros) pesa más que el aumento de personal.

💡 Explicación

Usamos la regla de tres compuesta. La relación días-operarios es inversa (

\cdot

) y días-metros es directa (

/

). Planteamos:

\frac{4 \cdot 5}{100} = \frac{x \cdot 10}{400}

. Simplificamos:

0,2 = \frac{10x}{400} = \frac{x}{40}

. Entonces

x = 0,2 \cdot 40 = 8

días.

Bloom: Apply

En una mezcla asfáltica en Antofagasta, los componentes A, B y C están en la razón 1:2:5.

Si para una obra se utilizan

400 \text{ kg}

del componente C, ¿cuál es la masa total de la mezcla?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $640 \text{ kg}$

A) $640 \text{ kg}$ $5k = 400 \Rightarrow k = 80$ . Total = $(1+2+5) \cdot 80 = 8 \cdot 80 = 640$ .
B) $800 \text{ kg}$ Solo sumaste una parte de los componentes.
C) $1.000 \text{ kg}$ Calculaste el total basándote en una razón distinta.
D) $500 \text{ kg}$ Error al determinar el valor de la constante $k$ .

💡 Explicación

Definimos las cantidades como

1k

,

2k

y

5k

. Sabemos que

5k = 400 \text{ kg}

, por lo tanto

k = 400/5 = 80 \text{ kg}

. La suma total es

1k + 2k + 5k = 8k

. Sustituyendo

k

:

8 \cdot 80 = 640 \text{ kg}

.

Bloom: Analyze

Una escala de un mapa indica que $2 \text{ cm}$ representan $50 \text{ km}$ reales.

Si dos ciudades están separadas por

125 \text{ km}

, ¿cuántos centímetros de distancia habrá entre ellas en el mapa?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $5 \text{ cm}$

A) $4 \text{ cm}$ Eso representaría 100 km.
B) $6 \text{ cm}$ Error en el cálculo de la proporción directa.
C) $5 \text{ cm}$ $\frac{2}{50} = \frac{x}{125} \Rightarrow x = \frac{2 \cdot 125}{50} = \frac{250}{50} = 5$ .
D) $2,5 \text{ cm}$ Dividiste al revés.

💡 Explicación

La razón es

2 \text{ cm} / 50 \text{ km} = 0,04 \text{ cm/km}

. Multiplicamos la distancia real por esta razón para obtener la medida en el mapa:

125 \text{ km} \cdot 0,04 \text{ cm/km} = 5 \text{ cm}

.

Bloom: Analyze

Se comparan las áreas de dos cuadrados cuyas longitudes de lado están en la razón 3:4.

¿En qué razón se encuentran sus áreas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 9:16

A) 3:4La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de los lados.
B) 9:16 $(3/4)^2 = 9/16$ .
C) $\sqrt{3}:\sqrt{4}$ Esa sería la relación inversa si conociéramos las áreas.
D) 6:8Solo multiplicaste por 2, no elevaste al cuadrado.

💡 Explicación

Si la razón entre los lados de dos figuras semejantes es

k

, entonces la razón entre sus áreas es

k^2

. En este caso,

k = 3/4

, por lo que la razón de las áreas es

(3/4)^2 = 9/16

.

Bloom: Analyze

Tres amigos deciden invertir en un negocio. La inversión de Pedro y Juan está en razón 4:5, y la de Juan y Diego en razón 3:2.

¿Cuál es la razón entre la inversión de Pedro y la de Diego?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 6:5

A) 6:5 $P/J = 4/5 = 12/15$ y $J/D = 3/2 = 15/10$ . Entonces $P:D = 12:10 = 6:5$ .
B) 4:2No puedes comparar directamente sin igualar el término común (Juan).
C) 2:1Error al encadenar las razones.
D) 12:5Error en la simplificación de la razón compuesta.

💡 Explicación

Para comparar Pedro (

P

) con Diego (

D

), usamos a Juan (

J

) como puente. Igualamos la parte de Juan en ambas razones buscando el mínimo común múltiple entre 5 y 3, que es 15.

P:J = 12:15

y

J:D = 15:10

. Así,

P:D = 12:10

, que simplificado por 2 es 6:5.

Bloom: Analyze

Una bomba extrae agua de un pozo a una tasa constante de 150 litros por minuto.

Si el pozo tiene 45.000 litros, ¿cuántas horas tardará la bomba en vaciarlo completamente?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 5 horas

A) 300 horasOlvidaste convertir los minutos a horas.
B) 30 horasError en la división por 60.
C) 5 horas $45.000 / 150 = 300$ minutos. $300 / 60 = 5$ horas.
D) 7,5 horasError en el cálculo aritmético.

💡 Explicación

Primero calculamos el tiempo total en minutos:

45.000 \text{ litros} / 150 \text{ litros/min} = 300 \text{ minutos}

. Como el problema pide el tiempo en horas, dividimos por 60:

300 / 60 = 5

horas.

Bloom: Evaluate

Un granjero observa que sus 20 vacas consumen el pasto de un prado en 15 días.

Si vende 5 vacas, ¿cuántos días más (respecto a los 15 originales) durará el pasto del mismo prado?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 5 días

A) 20 díasEsos son los días totales que durará, no los días "más".
B) 5 días $20 \cdot 15 = 15 \cdot x \Rightarrow 300 = 15x \Rightarrow x = 20$ . Días adicionales: $20 - 15 = 5$ .
C) 3 díasCalculaste mal la proporción inversa.
D) 10 díasError en la interpretación de la pregunta "cuántos días más".

💡 Explicación

Es proporción inversa. La cantidad de alimento total es

20 \cdot 15 = 300

unidades. Si vende 5 vacas, le quedan 15 vacas. El tiempo que durará es

300 / 15 = 20

días. La pregunta pide cuántos días "más" durará:

20 - 15 = 5

días adicionales.

Bloom: Evaluate

El volumen de un gas ( $V$ ) es inversamente proporcional a la presión ( $P$ ) que soporta (Ley de Boyle).

Si a una presión de 2 atmósferas el volumen es de 12 litros, ¿cuál será el volumen si la presión aumenta a 6 atmósferas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 4 litros

A) 36 litrosProporción directa incorrecta; a más presión, menos volumen.
B) 6 litrosError en el cálculo de la constante.
C) 8 litrosDividiste por el factor equivocado.
D) 4 litros $2 \cdot 12 = 6 \cdot V \Rightarrow 24 = 6V \Rightarrow V = 4$ .

💡 Explicación

En proporción inversa,

P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2

. Sustituimos los valores conocidos:

2 \text{ atm} \cdot 12 \text{ l} = 6 \text{ atm} \cdot V_2

. Obtenemos

24 = 6V_2

, por lo tanto

V_2 = 24 / 6 = 4

litros.

Bloom: Evaluate

Una empresa de transporte en Valparaíso cobra una tarifa que es directamente proporcional a la distancia y al peso de la carga.

Si por llevar

100 \text{ kg}

a

50 \text{ km}

cobran \$10.000, ¿cuánto cobrarán por llevar

250 \text{ kg}

a

80 \text{ km}

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) \$40.000

A) \$20.000Solo consideraste el aumento de distancia.
B) \$25.000Solo consideraste el aumento de peso.
C) \$40.000 $\frac{10.000}{100 \cdot 50} = \frac{x}{250 \cdot 80} \Rightarrow \frac{10.000}{5.000} = \frac{x}{20.000} \Rightarrow 2 = \frac{x}{20.000} \Rightarrow x = 40.000$ .
D) \$50.000Error en el cálculo de la proporcionalidad compuesta.

💡 Explicación

Establecemos la relación:

\text{Tarifa} / (\text{Peso} \cdot \text{Distancia}) = \text{Constante}

.

\frac{10.000}{100 \cdot 50} = 2

. Para el nuevo caso:

\frac{x}{250 \cdot 80} = 2

. Entonces

x / 20.000 = 2

, lo que nos da $x = \

40.000

.

Bloom: Evaluate

Un mapa tiene una escala de 1:200.000. Una reserva natural se representa como un cuadrado de $3 \text{ cm}$ de lado.

¿Cuál es el área real de la reserva en kilómetros cuadrados (

\text{km}^2

)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $36 \text{ km}^2$

A) $6 \text{ km}^2$ Error al no elevar la escala al cuadrado para el área.
B) $36 \text{ km}^2$ Lado real = $3 \text{ cm} \cdot 200.000 = 600.000 \text{ cm} = 6 \text{ km}$ . Área = $6^2 = 36$ .
C) $12 \text{ km}^2$ Calculaste el perímetro real, no el área.
D) $144 \text{ km}^2$ Has multiplicado erróneamente por un factor de 4.

💡 Explicación

Primero calculamos el lado real:

3 \text{ cm} \cdot 200.000 = 600.000 \text{ cm}

. Convertimos a kilómetros:

600.000 / 100.000 = 6 \text{ km}

. El área de la reserva real es el cuadrado del lado real:

6 \text{ km} \cdot 6 \text{ km} = 36 \text{ km}^2

.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?