Sistemas Ecuaciones — Matematicas Grado 11, Chile

Bloom: Remember

Martina estudia los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales en Santiago.

¿Cuál de los siguientes NO es un método estándar para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) Método de Factorización de Primos.

A) Método de Sustitución.Este es un método fundamental que despeja una variable.
B) Método de Igualación.Es un método válido que iguala expresiones de la misma variable.
C) Método de Reducción (o eliminación).Es un método común que busca eliminar una variable sumando ecuaciones.
D) Método de Factorización de Primos.Este método se usa para números enteros, no para sistemas de ecuaciones lineales.

💡 Explicación

Los métodos clásicos para resolver sistemas de ecuaciones de

2 \times 2

son sustitución, igualación, reducción y el método gráfico. La factorización de primos es una técnica de teoría de números ajena a la resolución de sistemas lineales.

Bloom: Remember

Un estudiante analiza la interpretación gráfica de un sistema en Antofagasta.

Gráficamente, ¿qué representa la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas?

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Respuesta correcta: C) El punto de intersección de las dos rectas.

A) El área sombreada entre las dos rectas.Eso correspondería a un sistema de inecuaciones.
B) La suma de las pendientes de ambas rectas.La suma de pendientes no define la solución del sistema.
C) El punto de intersección de las dos rectas.Correcto. Si las rectas se cruzan, ese punto satisface ambas ecuaciones.
D) El intercepto con el eje Y de la primera recta.Eso solo describe una característica de una de las ecuaciones, no la solución conjunta.

💡 Explicación

En un sistema de ecuaciones lineales, cada ecuación representa una recta en el plano. El par ordenado

(x, y)

que soluciona el sistema es el punto donde ambas rectas se cortan (si es que existe dicho punto).

Bloom: Understand

Se presenta un sistema simple para resolver por inspección o método rápido.

Resuelva el sistema:

x + y = 10

x - y = 4

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $x=7, y=3$

A) $x=7, y=3$ $7+3=10$ y $7-3=4$ . Ambos valores cumplen las ecuaciones.
B) $x=5, y=5$ La resta $5-5$ da 0, no 4.
C) $x=6, y=4$ La resta $6-4$ da 2, no 4.
D) $x=8, y=2$ La resta $8-2$ da 6, no 4.

💡 Explicación

Usando el método de reducción: sumamos ambas ecuaciones para eliminar

y

.

(x+y) + (x-y) = 10 + 4 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7

. Sustituyendo en la primera:

7 + y = 10 \Rightarrow y = 3

.

Bloom: Understand

Camila analiza un sistema cuyas rectas son paralelas.

¿Cuántas soluciones tiene un sistema si, al graficarlo, resultan dos rectas paralelas distintas?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) No tiene solución.

A) Tiene una única solución.Esto solo ocurre si las rectas tienen distinta pendiente y se cortan.
B) Tiene infinitas soluciones.Esto ocurre si las rectas son coincidentes (la misma recta).
C) No tiene solución.Las rectas paralelas no se cortan nunca, por lo que no hay punto común.
D) Tiene dos soluciones.Un sistema lineal de $2 \times 2$ nunca tiene exactamente dos soluciones.

💡 Explicación

Si las rectas son paralelas y no coinciden, no existe ningún punto que pertenezca a ambas simultáneamente. Por lo tanto, el sistema es incompatible o inconsistente y no tiene solución.

Bloom: Understand

En una frutería en Valparaíso, 2 kg de manzanas y 3 kg de peras cuestan \$5.500.

Si representamos el precio de las manzanas como

x

y el de las peras como

y

, ¿qué ecuación representa esta situación?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $2x + 3y = 5.500$

A) $x + y = 5.500$ Falta considerar las cantidades de cada fruta.
B) $3x + 2y = 5.500$ Invertiste las variables de manzanas y peras.
C) $2x + 3y = 5.500$ El costo total es la suma de los productos de cantidad por precio.
D) $5(x + y) = 5.500$ Esto supondría que ambas frutas tienen el mismo precio.

💡 Explicación

El costo total se obtiene multiplicando la cantidad de kilos por el precio por kilo de cada producto. Para 2 kg de manzanas (

x

) y 3 kg de peras (

y

), la expresión correcta es

2x + 3y = 5.500

.

Bloom: Understand

Se aplica el método de sustitución paso a paso.

Dado el sistema:

y = 2x - 1

3x + y = 14

¿Qué ecuación resulta al sustituir la primera en la segunda?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $3x + (2x - 1) = 14$

A) $3x + 2x = 14$ Olvidaste el término $-1$ de la expresión de $y$ .
B) $3x - (2x - 1) = 14$ El signo de la variable $y$ en la segunda ecuación es positivo.
C) $3x + (2x - 1) = 14$ Se reemplaza la variable $y$ por su expresión equivalente.
D) $5x - 1 = 14$ Aunque es el resultado simplificado, no es la sustitución directa solicitada.

💡 Explicación

Sustituir significa reemplazar una variable por una expresión equivalente. Como

y = 2x - 1

, reemplazamos la "y" de la segunda ecuación por "(2x - 1)", obteniendo

3x + (2x - 1) = 14

.

Bloom: Apply

Benjamín tiene \$12.000 en billetes de \$1.000 y \$2.000. En total tiene 9 billetes.

¿Cuántos billetes de \$2.000 tiene Benjamín?

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Respuesta correcta: B) 3

A) 6 $6 \cdot 2.000 + 3 \cdot 1.000 = 15.000$ , excede el total.
B) 3 $3 \cdot 2.000 + 6 \cdot 1.000 = 12.000$ . Se cumple el total de 9 billetes ( $3+6$ ).
C) 4 $4 \cdot 2.000 + 5 \cdot 1.000 = 13.000$ , excede el total.
D) 5 $5 \cdot 2.000 + 4 \cdot 1.000 = 14.000$ , excede el total.

💡 Explicación

Sea

x

billetes de \$1.000 e

y

billetes de \$2.000. Sistema: (1)

x+y=9

; (2)

1.000x + 2.000y = 12.000

. De (1),

x = 9-y

. Sustituimos en (2):

1.000(9-y) + 2.000y = 12.000 \Rightarrow 9.000 - 1.000y + 2.000y = 12.000 \Rightarrow 1.000y = 3.000 \Rightarrow y=3

.

Bloom: Apply

Un granjero en Chillán cuenta 20 cabezas y 28 patas entre sus gansos y ovejas.

¿Cuál es la cantidad de ovejas que tiene el granjero?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 4

A) 88 ovejas tendrían 32 patas, ya excede el total.
B) 44 ovejas (16 patas) y 16 gansos (32 patas) suman 48 patas. Error, la respuesta correcta es 4.
C) 10Error masivo en el recuento de patas.
D) 66 ovejas y 14 gansos suman $(24 + 28) = 52$ patas.

💡 Explicación

Sea

G

gansos y

O

ovejas. Cabezas:

G+O=20

. Patas:

2G+4O=48

. De la primera:

G = 20-O

. Sustituimos:

2(20-O) + 4O = 48 \Rightarrow 40 - 2O + 4O = 48 \Rightarrow 2O = 8 \Rightarrow O=4

. Hay 4 ovejas.

Bloom: Apply

En un cine de La Serena, la entrada de adulto vale \$5.000 y la de niño \$3.000. Si asistieron 100 personas y se recaudaron \$420.000.

¿Cuántos adultos asistieron a la función?

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Respuesta correcta: B) 60

A) 50Recaudación sería $(50 \cdot 5.000 + 50 \cdot 3.000) = 400.000$ .
B) 60 $60 \cdot 5.000 + 40 \cdot 3.000 = 300.000 + 120.000 = 420.000$ .
C) 40Recaudación sería $(40 \cdot 5.000 + 60 \cdot 3.000) = 380.000$ .
D) 70Recaudación sería $(70 \cdot 5.000 + 30 \cdot 3.000) = 440.000$ .

💡 Explicación

Sea

a

adultos y

n

niños. (1)

a+n=100

; (2)

5.000a + 3.000n = 420.000

. Simplificamos (2) por 1.000:

5a + 3n = 420

. De (1),

n = 100-a

. Sustituimos:

5a + 3(100-a) = 420 \Rightarrow 5a + 300 - 3a = 420 \Rightarrow 2a = 120 \Rightarrow a=60

.

Bloom: Apply

Se analiza un sistema con infinitas soluciones.

¿Cuál de los siguientes sistemas tiene infinitas soluciones?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x+y=5; 2x+2y=10$

A) $x+y=5; x-y=5$ Rectas perpendiculares, una solución.
B) $x+y=5; x+y=10$ Rectas paralelas distintas, sin solución.
C) $x+y=5; 2x+2y=10$ La segunda es el doble de la primera, son la misma recta.
D) $x+y=5; 2x+y=10$ Rectas con distinta pendiente, una solución.

💡 Explicación

Un sistema tiene infinitas soluciones cuando las dos ecuaciones representan la misma recta (son dependientes). Al multiplicar la primera ecuación

x+y=5

por 2, obtenemos exactamente la segunda

2x+2y=10

, lo que confirma la dependencia.

Bloom: Apply

La suma de dos números es 45 y su diferencia es 11.

¿Cuáles son los números?

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Respuesta correcta: A) 28 y 17

A) 28 y 17 $28+17=45$ y $28-17=11$ .
B) 30 y 15La diferencia es 15, no 11.
C) 26 y 19La diferencia es 7, no 11.
D) 29 y 16La suma es 45, pero la diferencia es 13.

💡 Explicación

Planteamos

x+y=45

y

x-y=11

. Sumamos las ecuaciones:

2x = 56 \Rightarrow x = 28

. Restamos

x

de la primera para hallar

y

:

28+y=45 \Rightarrow y = 17

. Los números son 28 y 17.

Bloom: Apply

Un estudiante en Temuco resuelve un sistema usando el método de reducción con factores multiplicativos.

Resuelva:

2x + 3y = 8

3x - 2y = -1

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $x=1, y=2$

A) $x=2, y=1$ $2(2)+3(1)=7 \neq 8$ .
B) $x=1, y=1$ $2(1)+3(1)=5 \neq 8$ .
C) $x=1, y=2$ $2(1)+3(2)=2+6=8$ ; $3(1)-2(2)=3-4=-1$ .
D) $x=2, y=2$ $2(2)+3(2)=10 \neq 8$ .

💡 Explicación

Multiplicamos la primera por 2 y la segunda por 3 para eliminar

y

:

4x + 6y = 16

9x - 6y = -3

Sumamos:

13x = 13 \Rightarrow x = 1

. Sustituimos en la primera:

2(1) + 3y = 8 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2

.

Bloom: Analyze

Se analiza el resultado de mezclar dos tipos de café. El café A vale \$8.000/kg y el B \$5.000/kg.

Se quiere obtener 10 kg de mezcla a \$6.800/kg. ¿Cuántos kg de café tipo A se necesitan?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 6 kg

A) 4 kg $(4 \cdot 8.000 + 6 \cdot 5.000) / 10 = 62.000 / 10 = 6.200$ .
B) 5 kgEl promedio simple sería 6.500.
C) 7 kg $(7 \cdot 8.000 + 3 \cdot 5.000) / 10 = 71.000 / 10 = 7.100$ .
D) 6 kg $(6 \cdot 8.000 + 4 \cdot 5.000) / 10 = 68.000 / 10 = 6.800$ .

💡 Explicación

(1)

A+B=10

; (2)

8.000A + 5.000B = 6.800 \cdot 10 = 68.000

. De (1),

B = 10-A

. Sustituimos en (2):

8.000A + 5.000(10-A) = 68.000 \Rightarrow 8.000A + 50.000 - 5.000A = 68.000 \Rightarrow 3.000A = 18.000 \Rightarrow A=6

.

Bloom: Analyze

Un grupo de estudio en Concepción discute sobre las condiciones para que un sistema tenga solución única.

En el sistema

ax + by = c

y

dx + ey = f

, ¿qué condición garantiza que NO haya una única solución?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $ae - bd = 0$

A) $a/d \neq b/e$ Esta condición garantiza justamente que haya solución única.
B) $ae - bd = 0$ Esto significa que las pendientes son iguales, indicando rectas paralelas o coincidentes.
C) $c = f$ Las constantes pueden ser iguales y tener solución única.
D) $a + b = d + e$ Esta suma no determina la naturaleza de las soluciones.

💡 Explicación

Para que un sistema lineal tenga solución única, el determinante de la matriz de coeficientes debe ser distinto de cero (

ae - bd \neq 0

). Si es igual a cero, las rectas son paralelas o coincidentes, por lo que no hay solución única.

Bloom: Analyze

Se pide identificar el gráfico que corresponde a un sistema determinado.

¿Cuál sistema representa a dos rectas que se cortan en el eje X en el punto (3,0)?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $y = x - 3; y = 3 - x$

A) $y = x - 3; y = 2x - 3$ Se cortan en el eje Y en (0, -3).
B) $y = x - 3; y = 3 - x$ Ambas valen 0 cuando $x=3$ .
C) $x + y = 3; x + y = 6$ Son rectas paralelas, no se cortan.
D) $x = 3; y = 3$ Se cortan en el punto (3,3), no en el eje X.

💡 Explicación

Para que el punto de corte sea (3,0), al sustituir

x=3

en ambas ecuaciones,

y

debe resultar 0. En B:

y = 3-3=0

y

y = 3-3=0

. El punto (3,0) satisface ambas ecuaciones y está sobre el eje X.

Bloom: Analyze

Hace 5 años la edad de Pedro era el triple de la de su hijo, y en 7 años más será el doble.

¿Cuál es la edad actual de Pedro?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 41 años

A) 35 añosSi Pedro tuviera 35 años, hace 5 años tendría 30 y su hijo 10, y $30 = 3 \times 10$ sí se cumple. Pero en 7 años Pedro tendría 42 y su hijo 22, y $42 \neq 2 \times 22$ : falla la condición del doble.
B) 45 añosCon Pedro de 45 años, hace 5 años tendría 40, así que su hijo tendría $40 \div 3$ , que no es una edad exacta. La relación del triple de hace 5 años ya no se cumple.
C) 41 añosSean $P=41, H=17$ . Hace 5: $36 = 3 \cdot 12$ . En 7: $48 = 2 \cdot 24$ . Cumple ambas.
D) 38 añosSi Pedro tuviera 38 años, hace 5 años tendría 33 y su hijo 11, y $33 = 3 \times 11$ sí se cumple. Pero en 7 años tendría 45 y su hijo 18, y $45 \neq 2 \times 18 = 36$ : falla la condición del doble.

💡 Explicación

(1)

P-5 = 3(H-5) \Rightarrow P - 3H = -10

; (2)

P+7 = 2(H+7) \Rightarrow P - 2H = 7

. Restamos (1) de (2):

(P-2H) - (P-3H) = 7 - (-10) \Rightarrow H = 17

. Sustituimos en (2):

P - 2(17) = 7 \Rightarrow P = 34 + 7 = 41

.

Bloom: Evaluate

Un estudiante analiza un sistema con un parámetro $k$ .

¿Para qué valor de

k

el sistema

2x - 5y = 10

y

4x + ky = 20

tiene infinitas soluciones?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $k = -10$

A) $k = 10$ Las pendientes no coincidirían.
B) $k = -10$ Así la segunda ecuación es exactamente el doble de la primera.
C) $k = 5$ Resultaría en rectas con diferente inclinación.
D) $k = -5$ No se mantiene la proporcionalidad en los coeficientes.

💡 Explicación

Para que haya infinitas soluciones, los coeficientes deben ser proporcionales.

4/2 = 2

. Entonces, el coeficiente de

y

debe ser

2 \cdot (-5) = -10

. Efectivamente, si

k=-10

, la segunda ecuación es

2 \cdot (2x-5y=10)

.

Bloom: Evaluate

Se pide resolver un sistema donde las variables están en el denominador.

Resuelva:

1/x + 1/y = 5/6

1/x - 1/y = 1/6

¿Cuál es el valor de

x

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 2

A) 3Este es el valor de $y$ .
B) 6Error en el manejo de las fracciones inversas.
C) 2 $1/x + 1/y = 5/6$ ; $1/x - 1/y = 1/6 \Rightarrow 2/x = 1 \Rightarrow x=2$ .
D) 4Error aritmético en el despeje final de $x$ .

💡 Explicación

Sumamos las ecuaciones:

(1/x + 1/y) + (1/x - 1/y) = 5/6 + 1/6 \Rightarrow 2/x = 6/6 = 1

. De

2/x = 1

obtenemos

x = 2

. Luego

1/2 + 1/y = 5/6 \Rightarrow 1/y = 5/6 - 3/6 = 2/6 = 1/3 \Rightarrow y = 3

.

Bloom: Evaluate

Un problema de física involucra dos proyectiles que se lanzan con velocidades constantes.

Las posiciones de dos móviles son

x_1 = 20 + 5t

y

x_2 = 100 - 3t

. ¿En qué tiempo

t

se encuentran?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $t = 10$

A) $t = 8$ $x_1 = 60, x_2 = 76$ . No coinciden.
B) $t = 12$ $x_1 = 80, x_2 = 64$ . No coinciden.
C) $t = 10$ $20 + 5(10) = 70$ ; $100 - 3(10) = 70$ . Coinciden.
D) $t = 15$ Error en el planteamiento de la igualdad de posición.

💡 Explicación

El encuentro ocurre cuando

x_1 = x_2

. Igualamos las expresiones:

20 + 5t = 100 - 3t

. Agrupamos las "t":

5t + 3t = 100 - 20 \Rightarrow 8t = 80

. Al dividir, resulta

t = 10

.

Bloom: Evaluate

Un profesor en Puerto Montt pregunta sobre la naturaleza de un sistema de $3 \times 3$ reducido.

Si en un sistema de

2 \times 2

obtenemos

0 = 7

durante el proceso de resolución, ¿cuál es la interpretación correcta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) El sistema no tiene solución (rectas paralelas).

A) El sistema no tiene solución (rectas paralelas).La contradicción indica que ningún punto satisface ambas ecuaciones a la vez.
B) El sistema tiene una solución única donde $x=0$ .El resultado $0=7$ es una contradicción, no un valor de variable.
C) El sistema tiene infinitas soluciones.Eso ocurriría si obtuviéramos una identidad como $0=0$ .
D) Los datos del problema son insuficientes.El resultado $0=7$ es una respuesta matemática definitiva sobre la inexistencia de soluciones.

💡 Explicación

Cuando el proceso algebraico de resolución de un sistema lineal conduce a una falsedad matemática (como

0=7

), significa que el conjunto solución es vacío. Geométricamente, las rectas son paralelas y no tienen puntos en común.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?