Identidades Trigonometricas

Respuesta correcta: C) $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$

• A) $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x = 1$Incorrecto. La resta de los cuadrados no es $1$; equivale a $-\cos(2x)$.
• B) $\operatorname{sen} x + \cos x = 1$Incorrecto. Solo se cumple para valores particulares de $x$, no para todos.
• C) $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$Correcto. Es la identidad pitagórica fundamental, válida para todo ángulo $x$.
• D) $\operatorname{sen}^2 x \cdot \cos^2 x = 1$Incorrecto. El producto de los cuadrados no es constante igual a $1$.

Respuesta correcta: D) $0.8$

• A) $0.4$Incorrecto. Restaste $0.6$ de $1$ sin tomar raíz cuadrada.
• B) $0.6$Incorrecto. Confundiste el valor de $\cos \theta$ con el de $\operatorname{sen} \theta$.
• C) $0.9$Incorrecto. No aplicaste correctamente la relación pitagórica.
• D) $0.8$Correcto. $\operatorname{sen}^2 \theta = 1 - 0.36 = 0.64$, por lo que $\operatorname{sen} \theta = 0.8$.

Respuesta correcta: D) $\operatorname{sen} x$

• A) $\cos x$Incorrecto. No se cancela el coseno del numerador con el factor.
• B) $1$Incorrecto. $1$ resulta solo si multiplicaras por $\sec x$.
• C) $\tan x$Incorrecto. No simplificaste el producto.
• D) $\operatorname{sen} x$Correcto. $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$, luego $\tan x \cdot \cos x = \operatorname{sen} x$.

Respuesta correcta: B) $1$

• A) $\operatorname{sen} x$Incorrecto. Solo se cancelaría un factor de seno si el numerador fuera $\operatorname{sen} x$.
• B) $1$Correcto. Como $1 - \cos^2 x = \operatorname{sen}^2 x$, la fracción es $\frac{\operatorname{sen}^2 x}{\operatorname{sen}^2 x} = 1$.
• C) $\cos x$Incorrecto. El denominador no es $\cos^2 x$ sino $1 - \cos^2 x$.
• D) $\tan x$Incorrecto. No queda un cociente entre seno y coseno.

Respuesta correcta: B) $2$

• A) $1$Incorrecto. Cada producto vale $1$, pero hay dos productos.
• B) $2$Correcto. $\operatorname{sen} x \cdot \csc x = 1$ y $\cos x \cdot \sec x = 1$; la suma es $2$.
• C) $0$Incorrecto. Las funciones recíprocas no se anulan.
• D) $\operatorname{sen} x + \cos x$Incorrecto. No aplicaste las identidades recíprocas.

Respuesta correcta: C) $\cot^2 x$

• A) $\tan^2 x$Incorrecto. Sería $\frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos^2 x}$, la relación inversa.
• B) $1$Incorrecto. Solo sería $1$ si ambas funciones coincidieran.
• C) $\cot^2 x$Correcto. $1 - \operatorname{sen}^2 x = \cos^2 x$ y $\csc^2 x = \frac{1}{\operatorname{sen}^2 x}$, luego $\frac{\cos^2 x}{\operatorname{sen}^2 x} = \cot^2 x$.
• D) $\sec^2 x$Incorrecto. Confundiste la relación recíproca.

Respuesta correcta: B) $\operatorname{sen} x$

• A) $\cos x$Incorrecto. La cancelación deja un seno, no un coseno.
• B) $\operatorname{sen} x$Correcto. $\sec x - \cos x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos x} = \frac{\operatorname{sen}^2 x}{\cos x}$; al dividir por $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$ queda $\operatorname{sen} x$.
• C) $1$Incorrecto. El resultado depende del ángulo y no es constante.
• D) $\tan x$Incorrecto. No simplificaste la diferencia y el cociente.

Respuesta correcta: C) $\frac{3}{4}$

• A) $\frac{4}{3}$Incorrecto. Invertiste la razón; ese sería el valor de $\cot \theta$.
• B) $\frac{3}{5}$Incorrecto. Ese es el valor del seno, no de la tangente.
• C) $\frac{3}{4}$Correcto. $\cos \theta = \frac{4}{5}$ por Pitágoras; $\tan \theta = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$.
• D) $\frac{5}{3}$Incorrecto. Ese es el recíproco del seno.

Respuesta correcta: B) $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x$

• A) $1$Incorrecto. La suma de cuadrados vale $1$, pero la diferencia no.
• B) $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x$Correcto. Se factoriza como $(\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x)(\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x)$ y el segundo factor vale $1$.
• C) $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x$Incorrecto. La factorización conserva la resta, no la suma.
• D) $\cos(2x)$Incorrecto. $\cos(2x) = \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x$, el negativo de la expresión.

Respuesta correcta: D) $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$

• A) $\operatorname{sen}(2x) = 2\operatorname{sen} x$Incorrecto. Solo es cierta para ángulos particulares, no para todos.
• B) $\operatorname{sen}^2 x - \cos^2 x = 1$Incorrecto. Eso equivale a $-\cos(2x)$, no a $1$.
• C) $\operatorname{sen} x = 1 - \cos x$Incorrecto. No se cumple de forma general.
• D) $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$Correcto. Al dividir $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$ entre $\cos^2 x$ se obtiene esta identidad.

Respuesta correcta: D) $0.44$

• A) $0.6$Incorrecto. No elevaste la suma al cuadrado correctamente.
• B) $0.2$Incorrecto. Restaste mal el $1$.
• C) $1.44$Incorrecto. $1.44$ es la suma al cuadrado, no el valor de $\operatorname{sen}(2x)$.
• D) $0.44$Correcto. $(\operatorname{sen} x + \cos x)^2 = 1 + \operatorname{sen}(2x) = 1.44$, luego $\operatorname{sen}(2x) = 0.44$.

Respuesta correcta: A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

• A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$Correcto. $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$, luego $1 + \cos \theta = 1.5$ implica $\cos \theta = 0.5$, $\theta = 60^\circ$ y $\operatorname{sen} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• B) $\frac{\sqrt{2}}{2}$Incorrecto. Corresponde a un ángulo de $45^\circ$.
• C) $1$Incorrecto. El seno es $1$ solo para $\theta = 90^\circ$, que no es agudo aquí.
• D) $\frac{1}{2}$Incorrecto. $\frac{1}{2}$ es el coseno de $60^\circ$, no su seno.