Ecuaciones Trigonometricas

Respuesta correcta: A) $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$

• A) $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$Correcto. El seno vale $\frac{1}{2}$ en el primer y segundo cuadrante.
• B) $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \frac{2\pi}{3}$Incorrecto. En esos ángulos el seno vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• C) $x = \frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{3\pi}{4}$Incorrecto. En esos ángulos el seno vale $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• D) $x = 0$ y $x = \pi$Incorrecto. En esos ángulos el seno vale $0$.

Respuesta correcta: A) $x = \frac{\pi}{2}$ y $x = \frac{3\pi}{2}$

• A) $x = \frac{\pi}{2}$ y $x = \frac{3\pi}{2}$Correcto. El coseno se anula en el punto más alto y más bajo del círculo unitario.
• B) $x = 0$ y $x = \pi$Incorrecto. En esos puntos el coseno vale $1$ y $-1$, respectivamente.
• C) $x = \frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{5\pi}{4}$Incorrecto. En esos ángulos el coseno vale $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• D) $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \frac{2\pi}{3}$Incorrecto. El coseno no se anula en esos ángulos.

Respuesta correcta: C) $x = \frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{5\pi}{4}$

• A) $x = \frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{3\pi}{4}$Incorrecto. En $\frac{3\pi}{4}$ la tangente vale $-1$.
• B) $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$Incorrecto. En esos ángulos la tangente vale $\frac{\sqrt{3}}{3}$ y $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
• C) $x = \frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{5\pi}{4}$Correcto. La tangente vale $1$ en el primer y tercer cuadrante.
• D) Solo $x = \frac{\pi}{4}$Incorrecto. La tangente tiene periodo $\pi$, por lo que hay otra solución en el intervalo.

Respuesta correcta: D) $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \frac{5\pi}{3}$

• A) $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{11\pi}{6}$Incorrecto. Ahí el coseno vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$, no $\frac{1}{2}$.
• B) $x = \frac{\pi}{2}$ y $x = \frac{3\pi}{2}$Incorrecto. Ahí el coseno vale $0$.
• C) $x = 0$ y $x = 2\pi$Incorrecto. Ahí el coseno vale $1$, no $\frac{1}{2}$.
• D) $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \frac{5\pi}{3}$Correcto. $\cos x = \frac{1}{2}$, cuyas soluciones son $\frac{\pi}{3}$ y $\frac{5\pi}{3}$.

Respuesta correcta: A) $x = \frac{5\pi}{6}$ y $x = \frac{11\pi}{6}$

• A) $x = \frac{5\pi}{6}$ y $x = \frac{11\pi}{6}$Correcto. $\tan x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, negativa en cuadrantes II y IV.
• B) $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{7\pi}{6}$Incorrecto. Ahí la tangente vale $\frac{\sqrt{3}}{3}$, positiva.
• C) $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \frac{4\pi}{3}$Incorrecto. Ahí la tangente vale $\sqrt{3}$, positiva.
• D) $x = \frac{\pi}{2}$ y $x = \frac{3\pi}{2}$Incorrecto. Ahí la tangente no está definida.

Respuesta correcta: A) $4$ soluciones

• A) $4$ solucionesCorrecto. $2x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}$ dan $x = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}$.
• B) $2$ solucionesIncorrecto. Olvidaste que $2x$ recorre dos vueltas en el intervalo.
• C) $1$ soluciónIncorrecto. Subestimaste el número de soluciones.
• D) $6$ solucionesIncorrecto. Contaste de más al incluir valores fuera del rango.

Respuesta correcta: C) $x = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$ y $x = \frac{4\pi}{3}$

• A) $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \frac{5\pi}{3}$Incorrecto. Ahí $\cos x = \frac{1}{2}$, que no anula la ecuación.
• B) $x = 0$ y $x = \pi$Incorrecto. Faltan las soluciones de $\cos x = -\frac{1}{2}$.
• C) $x = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$ y $x = \frac{4\pi}{3}$Correcto. Factoriza: $(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$, luego $\cos x = 1$ o $\cos x = -\frac{1}{2}$.
• D) $x = \frac{\pi}{2}$ y $x = \frac{3\pi}{2}$Incorrecto. $\cos x = 0$ no es raíz de la cuadrática.

Respuesta correcta: D) $3$ soluciones

• A) $2$ solucionesIncorrecto. Omitiste alguna solución de la factorización.
• B) $4$ solucionesIncorrecto. Contaste de más.
• C) $1$ soluciónIncorrecto. La ecuación no es trivial.
• D) $3$ solucionesCorrecto. Con $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$, queda $(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$, con soluciones $x = 0, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.

Respuesta correcta: C) $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{7\pi}{6}$ y $x = \frac{11\pi}{6}$

• A) $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{5\pi}{6}$Incorrecto. Ahí $\operatorname{sen} x = \frac{1}{2}$, que no es raíz.
• B) $x = 0$ y $x = \pi$Incorrecto. $\operatorname{sen} x = 0$ no anula la ecuación.
• C) $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{7\pi}{6}$ y $x = \frac{11\pi}{6}$Correcto. $(2\operatorname{sen} x + 1)(\operatorname{sen} x - 1) = 0$, luego $\operatorname{sen} x = 1$ o $\operatorname{sen} x = -\frac{1}{2}$.
• D) $x = \frac{\pi}{2}$ y $x = \frac{3\pi}{2}$Incorrecto. Faltan las soluciones de $\operatorname{sen} x = -\frac{1}{2}$.

Respuesta correcta: A) $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$

• A) $x = 0$ y $x = \frac{\pi}{2}$Correcto. Elevando al cuadrado: $1 + \operatorname{sen}(2x) = 1$, luego $2x = 0$ o $2x = \pi$, y se descartan las raíces extrañas $x = \pi$ y $x = \frac{3\pi}{2}$.
• B) $x = \pi$ y $x = \frac{3\pi}{2}$Incorrecto. Son raíces extrañas que aparecen al elevar al cuadrado y no cumplen la ecuación original.
• C) $x = \frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{5\pi}{4}$Incorrecto. Ahí la suma vale $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$, no $1$.
• D) Solo $x = 0$Incorrecto. $x = \frac{\pi}{2}$ también cumple la ecuación.

Respuesta correcta: A) $4$ soluciones

• A) $4$ solucionesCorrecto. $\operatorname{sen} x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$, cada uno con dos soluciones en el intervalo.
• B) $2$ solucionesIncorrecto. Olvidaste el signo negativo al sacar raíz.
• C) $1$ soluciónIncorrecto. Subestimaste las soluciones.
• D) $3$ solucionesIncorrecto. Hay un número par de soluciones por la simetría del seno.

Respuesta correcta: B) $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$, $x = \frac{7\pi}{6}$ y $x = \frac{11\pi}{6}$

• A) $x = \frac{\pi}{6}$ y $x = \frac{7\pi}{6}$Incorrecto. Solo consideraste la tangente positiva.
• B) $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$, $x = \frac{7\pi}{6}$ y $x = \frac{11\pi}{6}$Correcto. $\tan x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, con dos soluciones por cada signo.
• C) $x = \frac{\pi}{3}$ y $x = \frac{4\pi}{3}$Incorrecto. Ahí $\tan x = \sqrt{3}$, no $\frac{1}{\sqrt{3}}$.
• D) $x = \frac{\pi}{4}$ y $x = \frac{5\pi}{4}$Incorrecto. Ahí $\tan x = 1$.