Teorema Seno Coseno

Respuesta correcta: C) $\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C}$

• A) $\frac{\operatorname{sen} A}{a} = \frac{b}{\operatorname{sen} B}$Incorrecto. La relación debe mantener el mismo orden lado-seno en todas las razones.
• B) $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$Incorrecto. Esta es la ley del coseno, no la de los senos.
• C) $\frac{a}{\operatorname{sen} A} = \frac{b}{\operatorname{sen} B} = \frac{c}{\operatorname{sen} C}$Correcto. Cada lado es proporcional al seno de su ángulo opuesto.
• D) $\frac{a}{b} = \frac{A}{B}$Incorrecto. No se relacionan lados con ángulos directamente, sino con senos.

Respuesta correcta: C) $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

• A) $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab\cos C$Incorrecto. El signo del término con coseno es negativo.
• B) $c^2 = a^2 - b^2 - 2ab\cos C$Incorrecto. La suma de cuadrados es $a^2 + b^2$.
• C) $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$Correcto. El cuadrado del lado buscado es la suma de cuadrados menos el doble producto por el coseno del ángulo opuesto.
• D) $c = a + b - 2ab\cos C$Incorrecto. La ley involucra cuadrados de los lados.

Respuesta correcta: C) Cuando se conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo opuesto.

• A) Solo cuando el triángulo es rectángulo.Incorrecto. Para triángulos rectángulos basta la trigonometría básica.
• B) Cuando se conocen los tres lados.Incorrecto. Con tres lados conviene la ley del coseno.
• C) Cuando se conocen dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo opuesto.Correcto. La ley de los senos relaciona ángulos con lados opuestos.
• D) Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido.Incorrecto. Ese caso (LAL) se resuelve con la ley del coseno.

Respuesta correcta: A) $10\sqrt{2} \approx 14.14$ cm

• A) $10\sqrt{2} \approx 14.14$ cmCorrecto. $b = \frac{a\operatorname{sen} B}{\operatorname{sen} A} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 10\sqrt{2}$.
• B) $5\sqrt{2} \approx 7.07$ cmIncorrecto. Dividiste en vez de multiplicar por el seno de $B$.
• C) $10$ cmIncorrecto. No aplicaste la proporción de los senos.
• D) $20\sqrt{2} \approx 28.28$ cmIncorrecto. Multiplicaste por un factor extra.

Respuesta correcta: D) $\sqrt{67} \approx 8.19$ cm

• A) $\sqrt{130} \approx 11.40$ cmIncorrecto. No restaste el término $2ab\cos C$.
• B) $\sqrt{60} \approx 7.75$ cmIncorrecto. Sumaste en vez de restar el término con coseno.
• C) $\sqrt{73} \approx 8.54$ cmIncorrecto. Aplicaste mal el producto de los lados.
• D) $\sqrt{67} \approx 8.19$ cmCorrecto. $c^2 = 49 + 81 - 2(7)(9)\cos 60^\circ = 130 - 63 = 67$.

Respuesta correcta: B) $\frac{12\operatorname{sen} 50^\circ}{\operatorname{sen} 70^\circ} \approx 9.78$ cm

• A) $\frac{12\operatorname{sen} 60^\circ}{\operatorname{sen} 70^\circ} \approx 11.06$ cmIncorrecto. Usaste el ángulo $B$ en vez de $A$.
• B) $\frac{12\operatorname{sen} 50^\circ}{\operatorname{sen} 70^\circ} \approx 9.78$ cmCorrecto. $C = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ$ y $a = \frac{c\operatorname{sen} A}{\operatorname{sen} C}$.
• C) $\frac{12\operatorname{sen} 50^\circ}{\operatorname{sen} 60^\circ} \approx 10.61$ cmIncorrecto. En el denominador va $\operatorname{sen} C = \operatorname{sen} 70^\circ$.
• D) $12\operatorname{sen} 50^\circ \approx 9.19$ cmIncorrecto. No dividiste entre el seno del ángulo opuesto a $c$.

Respuesta correcta: A) Dos triángulos (caso ambiguo).

• A) Dos triángulos (caso ambiguo).Correcto. Como $b\operatorname{sen} A < a < b$, existen dos soluciones para el ángulo $B$.
• B) Un solo triángulo.Incorrecto. Con $a < b$ y ángulo opuesto agudo, hay dos soluciones.
• C) Ningún triángulo.Incorrecto. Los datos sí permiten construir triángulos.
• D) Un número indeterminado.Incorrecto. El número de soluciones es determinable con las desigualdades del caso LLA.

Respuesta correcta: A) $200 \cdot \frac{\operatorname{sen} 45^\circ}{\operatorname{sen} 30^\circ} \approx 282.8$ m

• A) $200 \cdot \frac{\operatorname{sen} 45^\circ}{\operatorname{sen} 30^\circ} \approx 282.8$ mCorrecto. Aplicando ley de senos: el lado pedido es opuesto a $45^\circ$ y $200$ m es opuesto a $30^\circ$.
• B) $200 \cdot \frac{\operatorname{sen} 30^\circ}{\operatorname{sen} 45^\circ} \approx 141.4$ mIncorrecto. Invertiste la proporción de los senos.
• C) $200 \cdot \operatorname{sen} 105^\circ \approx 193.2$ mIncorrecto. No aplicaste correctamente la ley de los senos.
• D) $200 \cdot \cos 45^\circ \approx 141.4$ mIncorrecto. Este es un triángulo oblicuángulo, no rectángulo.

Respuesta correcta: C) Aproximadamente $103.1^\circ$

• A) Aproximadamente $76.9^\circ$Incorrecto. Ese sería el ángulo complementario; aquí el coseno es negativo.
• B) Aproximadamente $90^\circ$Incorrecto. No cumple Pitágoras: $15^2 \neq 8^2 + 11^2$.
• C) Aproximadamente $103.1^\circ$Correcto. $\cos C = \frac{64 + 121 - 225}{2(8)(11)} = -\frac{40}{176} \approx -0.227$, luego $C \approx 103.1^\circ$.
• D) Aproximadamente $120^\circ$Incorrecto. El coseno calculado no corresponde a $120^\circ$.

Respuesta correcta: B) $45\sqrt{3} \approx 77.94$ m²

• A) $90\sqrt{3} \approx 155.88$ m²Incorrecto. Olvidaste el factor $\frac{1}{2}$.
• B) $45\sqrt{3} \approx 77.94$ m²Correcto. Área $= \frac{1}{2}ab\operatorname{sen} C = \frac{1}{2}(12)(15)\operatorname{sen} 120^\circ = 90 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 45\sqrt{3}$.
• C) $45$ m²Incorrecto. No incluiste el seno del ángulo.
• D) $90$ m²Incorrecto. Aplicaste la fórmula sin el seno del ángulo comprendido.

Respuesta correcta: B) Aproximadamente $78.5^\circ$

• A) Aproximadamente $60^\circ$Incorrecto. El triángulo no es equilátero.
• B) Aproximadamente $78.5^\circ$Correcto. $\cos C = \frac{25 + 36 - 49}{2(5)(6)} = \frac{12}{60} = 0.2$, luego $C \approx 78.46^\circ$.
• C) Aproximadamente $90^\circ$Incorrecto. No cumple Pitágoras.
• D) Aproximadamente $101.5^\circ$Incorrecto. El coseno calculado es positivo, por lo que el ángulo es agudo.

Respuesta correcta: B) Existen dos terrenos posibles con esos datos (caso ambiguo).

• A) Solo existe un terreno posible.Incorrecto. Las condiciones generan el caso ambiguo con dos soluciones.
• B) Existen dos terrenos posibles con esos datos (caso ambiguo).Correcto. $b\operatorname{sen} A = 300\operatorname{sen} 40^\circ \approx 192.8 < 200 < 300$, por lo que hay dos triángulos.
• C) No existe ningún terreno con esos datos.Incorrecto. Los datos sí satisfacen las condiciones de existencia.
• D) El terreno es necesariamente rectángulo.Incorrecto. No hay ninguna condición de perpendicularidad.