Distancia Punto Medio Plano — Matemáticas Grado 10, Colombia

Bloom: Remember

En Bogotá, en clase de geometría analítica se estudia la distancia entre dos puntos del plano.

¿Cuál es la fórmula de la distancia entre los puntos

P_1(x_1, y_1)

y

P_2(x_2, y_2)

?

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Respuesta correcta: D) $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

A) $d = (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$ Incorrecto. La distancia no es una suma lineal de diferencias.
B) $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 - (y_2 - y_1)^2}$ Incorrecto. Ambas diferencias se elevan al cuadrado y se suman.
C) $d = \frac{(x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)}{2}$ Incorrecto. Esa expresión se relaciona con el punto medio, no con la distancia.
D) $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ Correcto. Es la aplicación del teorema de Pitágoras a la diferencia de coordenadas.

💡 Explicación

La distancia entre dos puntos es

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

, consecuencia directa del teorema de Pitágoras.

Bloom: Remember

En Medellín, se calcula el punto medio de un segmento cuyos extremos son $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ .

¿Cuál es la fórmula del punto medio

M

del segmento

AB

?

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Respuesta correcta: C) $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$

A) $M = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ Incorrecto. Falta dividir cada suma entre $2$ .
B) $M = \left( \frac{x_2 - x_1}{2}, \frac{y_2 - y_1}{2} \right)$ Incorrecto. Se promedian las coordenadas, no se restan.
C) $M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ Correcto. El punto medio promedia las coordenadas de los extremos.
D) $M = \left( \sqrt{x_1^2 + y_1^2}, \sqrt{x_2^2 + y_2^2} \right)$ Incorrecto. Esa expresión no corresponde al punto medio.

💡 Explicación

El punto medio es

M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

, el promedio aritmético de las coordenadas de los extremos.

Bloom: Understand

En Cali, se calcula la distancia entre el origen $(0, 0)$ y el punto $(3, 4)$ .

¿Cuál es la distancia entre el origen y el punto

(3, 4)

?

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Respuesta correcta: B) $5$ unidades

A) $7$ unidadesIncorrecto. Sumaste las coordenadas en vez de aplicar Pitágoras.
B) $5$ unidadesCorrecto. $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ . Es una terna pitagórica.
C) $12$ unidadesIncorrecto. Multiplicaste las coordenadas.
D) $\sqrt{7}$ unidadesIncorrecto. Elevaste mal los cuadrados.

💡 Explicación

d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

unidades.

Bloom: Apply

En Barranquilla, se calcula la distancia entre los puntos $A(1, 2)$ y $B(4, 6)$ .

¿Cuál es la distancia entre

A

y

B

?

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Respuesta correcta: B) $5$ unidades

A) $7$ unidadesIncorrecto. Sumaste las diferencias sin elevar al cuadrado.
B) $5$ unidadesCorrecto. $d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ .
C) $\sqrt{34}$ unidadesIncorrecto. Confundiste las diferencias de coordenadas.
D) $25$ unidadesIncorrecto. Obtuviste el cuadrado de la distancia.

💡 Explicación

d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

unidades.

Bloom: Apply

En Bucaramanga, se calcula el punto medio del segmento con extremos $C(2, -3)$ y $D(8, 5)$ .

¿Cuál es el punto medio del segmento

CD

?

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Respuesta correcta: C) $(5, 1)$

A) $(6, 2)$ Incorrecto. Confundiste el promedio de las coordenadas.
B) $(10, 2)$ Incorrecto. No dividiste entre $2$ .
C) $(5, 1)$ Correcto. $M = \left( \frac{2+8}{2}, \frac{-3+5}{2} \right) = (5, 1)$ .
D) $(3, 4)$ Incorrecto. Sumaste de forma incorrecta las coordenadas.

💡 Explicación

M = \left( \frac{2+8}{2}, \frac{-3+5}{2} \right) = \left( \frac{10}{2}, \frac{2}{2} \right) = (5, 1)

.

Bloom: Apply

En Pereira, un punto $P$ está en el eje $x$ y es equidistante de $A(2, 3)$ y $B(6, 3)$ .

¿Cuál es la abscisa del punto

P

?

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Respuesta correcta: A) $4$

A) $4$ Correcto. La bisectriz vertical equidistante está en $x = \frac{2+6}{2} = 4$ .
B) $2$ Incorrecto. Ese es un extremo del segmento.
C) $6$ Incorrecto. Ese es el otro extremo del segmento.
D) $3$ Incorrecto. Ese es el valor de la ordenada de ambos puntos.

💡 Explicación

Los puntos tienen la misma ordenada, así que el punto equidistante del eje

x

se halla promediando las abscisas:

x = \frac{2+6}{2} = 4

.

Bloom: Analyze

En Manizales, se verifica si el triángulo con vértices $A(0, 0)$ , $B(6, 0)$ y $C(3, 4)$ es isósceles.

¿Qué tipo de triángulo forman los puntos?

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Respuesta correcta: C) Triángulo isósceles.

A) Triángulo equilátero.Incorrecto. $AB = 6$ , pero los otros lados miden $5$ .
B) Triángulo rectángulo.Incorrecto. $6^2 \neq 5^2 + 5^2$ .
C) Triángulo isósceles.Correcto. $AB = 6$ , $AC = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ y $BC = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ ; dos lados iguales.
D) Triángulo escaleno.Incorrecto. Hay dos lados de igual longitud.

💡 Explicación

AB = 6

,

AC = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = 5

y

BC = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = 5

. Como

AC = BC

, el triángulo es isósceles.

Bloom: Analyze

En Cartagena, un cuadrilátero tiene vértices $A(1, 1)$ , $B(5, 1)$ , $C(5, 4)$ y $D(1, 4)$ .

¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero?

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Respuesta correcta: B) $14$ unidades

A) $12$ unidadesIncorrecto. Sumaste mal los lados.
B) $14$ unidadesCorrecto. $AB = 4$ , $BC = 3$ , $CD = 4$ y $DA = 3$ ; el perímetro es $4+3+4+3 = 14$ .
C) $16$ unidadesIncorrecto. Contaste un lado de más.
D) $10$ unidadesIncorrecto. Es la mitad del perímetro real.

💡 Explicación

Es un rectángulo de base

4

y altura

3

: perímetro

= 2(4+3) = 14

unidades.

Bloom: Analyze

En Cúcuta, se sabe que el punto medio del segmento entre $A(-2, 5)$ y $B$ es $M(3, 1)$ .

¿Cuáles son las coordenadas del punto

B

?

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Respuesta correcta: A) $(8, -3)$

A) $(8, -3)$ Correcto. $\frac{-2 + x}{2} = 3$ da $x = 8$ ; $\frac{5 + y}{2} = 1$ da $y = -3$ .
B) $(8, 3)$ Incorrecto. El signo de la ordenada es negativo.
C) $(4, -4)$ Incorrecto. Resolviste mal las ecuaciones del punto medio.
D) $(1, 6)$ Incorrecto. Sumaste en vez de despejar.

💡 Explicación

De

\frac{-2 + x}{2} = 3

se obtiene

x = 8

, y de

\frac{5 + y}{2} = 1

se obtiene

y = -3

. Por lo tanto

B(8, -3)

.

Bloom: Evaluate

En Pasto, se busca el valor de $k$ para que el punto $P(3, k)$ esté a distancia $5$ del punto $Q(6, 1)$ .

¿Cuál es el valor de

k

?

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Respuesta correcta: D) $k = -3$ o $k = 5$

A) $k = 3$ o $k = -5$ Incorrecto. Invertiste los signos al despejar.
B) Solo $k = 5$ Incorrecto. La ecuación cuadrática tiene dos soluciones.
C) Solo $k = -3$ Incorrecto. Al despejar $(k-1)^2 = 16$ se obtienen $k-1 = 4$ y $k-1 = -4$ , es decir $k = 5$ y $k = -3$ .
D) $k = -3$ o $k = 5$ Correcto. $25 = 9 + (k-1)^2$ , luego $(k-1)^2 = 16$ , $k = 5$ o $k = -3$ .

💡 Explicación

5 = \sqrt{(6-3)^2 + (1-k)^2}

implica

25 = 9 + (k-1)^2

, es decir

(k-1)^2 = 16

, con soluciones

k = 5

y

k = -3

.

Bloom: Evaluate

En Ibagué, se verifica si los puntos $A(1, 2)$ , $B(4, 6)$ y $C(7, 10)$ son colineales.

¿Cuál es la conclusión correcta?

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Respuesta correcta: C) Sí son colineales, pues $AB + BC = AC$ .

A) No son colineales.Incorrecto. Las distancias satisfacen la igualdad $AB + BC = AC$ .
B) Forman un triángulo rectángulo.Incorrecto. Al ser colineales no forman un triángulo.
C) Sí son colineales, pues $AB + BC = AC$ .Correcto. $AB = 5$ , $BC = 5$ y $AC = 10$ ; la suma de los primeros es igual a la distancia total.
D) Forman un triángulo isósceles.Incorrecto. No forman triángulo alguno.

💡 Explicación

AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

,

BC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5

y

AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10

. Como

AB + BC = AC

, los tres puntos son colineales.

Bloom: Evaluate

En Villavicencio, se analiza el triángulo con vértices $A(2, 3)$ , $B(8, 3)$ y $C(5, 7)$ .

¿Cuál es la longitud de la mediana trazada desde el vértice

C

hasta el lado

AB

?

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Respuesta correcta: C) $4$ unidades

A) $5$ unidadesIncorrecto. Ese es el valor de los lados $CA$ y $CB$ , no de la mediana.
B) $3$ unidadesIncorrecto. Subestimaste la longitud.
C) $4$ unidadesCorrecto. El punto medio de $AB$ es $(5, 3)$ y la distancia de $C(5, 7)$ a ese punto es $\sqrt{(5-5)^2 + (7-3)^2} = 4$ .
D) $6$ unidadesIncorrecto. Sobrestimaste la longitud.

💡 Explicación

El punto medio de

AB

es

M = \left( \frac{2+8}{2}, \frac{3+3}{2} \right) = (5, 3)

. La mediana es la distancia de

C(5, 7)

a

M(5, 3)

:

\sqrt{(5-5)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{0 + 16} = 4

unidades.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

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