Pendiente Ecuacion Recta — Matemáticas Grado 10, Colombia

Bloom: Remember

En Bogotá, en clase de geometría analítica se define la pendiente de una recta que pasa por dos puntos.

¿Cuál es la fórmula de la pendiente de la recta que pasa por

(x_1, y_1)

y

(x_2, y_2)

?

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Respuesta correcta: B) $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

A) $m = \frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ Incorrecto. Invertiste el orden de las diferencias.
B) $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ Correcto. La pendiente es el cociente entre el cambio vertical y el cambio horizontal.
C) $m = (y_2 - y_1)(x_2 - x_1)$ Incorrecto. La pendiente es un cociente, no un producto.
D) $m = \frac{y_2 + y_1}{x_2 + x_1}$ Incorrecto. Se restan las coordenadas, no se suman.

💡 Explicación

La pendiente

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

mide la inclinación de la recta como la razón entre el cambio en

y

y el cambio en

x

.

Bloom: Understand

En Medellín, se analiza la pendiente de una recta horizontal.

¿Cuál es la pendiente de una recta horizontal?

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Respuesta correcta: D) $0$

A) $1$ Incorrecto. Pendiente $1$ corresponde a una recta a $45^\circ$ .
B) IndefinidaIncorrecto. La pendiente indefinida corresponde a una recta vertical.
C) NegativaIncorrecto. La pendiente negativa indica que la recta desciende.
D) $0$ Correcto. No hay cambio vertical, por lo que el numerador es cero.

💡 Explicación

En una recta horizontal,

y_2 = y_1

, así que

m = \frac{0}{x_2 - x_1} = 0

.

Bloom: Understand

En Cali, se estudia la pendiente de una recta vertical.

¿Cuál es la pendiente de una recta vertical?

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Respuesta correcta: B) Indefinida

A) $0$ Incorrecto. $0$ es la pendiente de una recta horizontal.
B) IndefinidaCorrecto. No hay cambio horizontal, por lo que el denominador es cero.
C) $1$ Incorrecto. No corresponde a una recta vertical.
D) Infinita pero positivaIncorrecto. La pendiente no se define como un número para la vertical.

💡 Explicación

En una recta vertical,

x_2 = x_1

, por lo que el denominador es cero y la pendiente es indefinida.

Bloom: Apply

En Barranquilla, se calcula la pendiente de la recta que pasa por $P(1, 2)$ y $Q(4, 8)$ .

¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por esos puntos?

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Respuesta correcta: C) $2$

A) $\frac{1}{2}$ Incorrecto. Invertiste la fracción de las diferencias.
B) $3$ Incorrecto. Usaste las coordenadas en vez de las diferencias.
C) $2$ Correcto. $m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ .
D) $6$ Incorrecto. Ese es el cambio vertical sin dividir entre el horizontal.

💡 Explicación

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

.

Bloom: Apply

En Bucaramanga, se escribe la ecuación de la recta con pendiente $m = 3$ que pasa por el punto $(2, 5)$ .

Usando la forma punto-pendiente, ¿cuál es la ecuación de la recta?

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Respuesta correcta: C) $y - 5 = 3(x - 2)$

A) $y + 5 = 3(x + 2)$ Incorrecto. Los signos del punto deben restarse.
B) $y - 5 = 3(x + 2)$ Incorrecto. Se resta la abscisa del punto.
C) $y - 5 = 3(x - 2)$ Correcto. La forma punto-pendiente es $y - y_1 = m(x - x_1)$ .
D) $y = 3x + 5$ Incorrecto. El punto $(2, 5)$ no pertenece a esa recta.

💡 Explicación

Sustituyendo en

y - y_1 = m(x - x_1)

:

y - 5 = 3(x - 2)

.

Bloom: Apply

En Pereira, se halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $(0, -1)$ y $(3, 5)$ .

¿Cuál es la ecuación de la recta en forma pendiente-intercepto?

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Respuesta correcta: A) $y = 2x - 1$

A) $y = 2x - 1$ Correcto. $m = \frac{5 - (-1)}{3 - 0} = 2$ y el intercepto es $-1$ .
B) $y = 2x + 1$ Incorrecto. El intercepto con el eje $y$ es $-1$ , no $1$ .
C) $y = 3x - 1$ Incorrecto. La pendiente es $2$ , no $3$ .
D) $y = \frac{1}{2}x - 1$ Incorrecto. La pendiente calculada es $2$ .

💡 Explicación

La pendiente es

m = \frac{5 - (-1)}{3 - 0} = 2

. Como pasa por

(0, -1)

, el intercepto es

b = -1

:

y = 2x - 1

.

Bloom: Analyze

En Manizales, se analiza la recta $3x - 2y = 6$ .

¿Cuáles son los interceptos con los ejes de la recta?

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Respuesta correcta: A) Intercepto en $x = 2$ e intercepto en $y = -3$ .

A) Intercepto en $x = 2$ e intercepto en $y = -3$ .Correcto. Con $y = 0$ : $3x = 6$ , $x = 2$ . Con $x = 0$ : $-2y = 6$ , $y = -3$ .
B) Intercepto en $x = 3$ e intercepto en $y = 2$ .Incorrecto. Invertiste los valores al despejar.
C) Intercepto en $x = -2$ e intercepto en $y = 3$ .Incorrecto. Los signos están invertidos.
D) Intercepto en $x = 6$ e intercepto en $y = 6$ .Incorrecto. No dividiste entre los coeficientes.

💡 Explicación

Con

y = 0

,

3x = 6

, luego

x = 2

. Con

x = 0

,

-2y = 6

, luego

y = -3

.

Bloom: Analyze

En Cartagena, se estudia la recta $-4x + 2y = 8$ .

¿Cuál es la pendiente de la recta?

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Respuesta correcta: C) $2$

A) $-2$ Incorrecto. Al despejar, el signo del coeficiente de $x$ cambia.
B) $\frac{1}{2}$ Incorrecto. No dividiste correctamente.
C) $2$ Correcto. Despejando: $2y = 4x + 8$ , luego $y = 2x + 4$ ; la pendiente es $2$ .
D) $4$ Incorrecto. Ese es el intercepto, no la pendiente.

💡 Explicación

Despejando

y

:

2y = 4x + 8

, es decir

y = 2x + 4

. La pendiente es

m = 2

.

Bloom: Analyze

En Cúcuta, se verifica si los puntos $A(1, 1)$ , $B(3, 5)$ y $C(5, 9)$ son colineales.

¿Cuál es la conclusión correcta?

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Respuesta correcta: B) Sí son colineales, pues la pendiente entre $A$ y $B$ es igual a la de $B$ y $C$ .

A) No son colineales.Incorrecto. Las pendientes calculadas son iguales.
B) Sí son colineales, pues la pendiente entre $A$ y $B$ es igual a la de $B$ y $C$ .Correcto. $m_{AB} = \frac{5-1}{3-1} = 2$ y $m_{BC} = \frac{9-5}{5-3} = 2$ ; pendientes iguales.
C) Forman un triángulo rectángulo.Incorrecto. Los tres puntos están sobre una misma recta.
D) Forman un triángulo isósceles.Incorrecto. No forman triángulo.

💡 Explicación

m_{AB} = \frac{5-1}{3-1} = 2

y

m_{BC} = \frac{9-5}{5-3} = 2

. Al tener la misma pendiente, los tres puntos son colineales.

Bloom: Evaluate

En Pasto, se busca la ecuación de la recta que pasa por $(1, 2)$ y $(4, 11)$ .

¿Cuál es la ecuación de la recta en forma general

Ax + By + C = 0

?

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Respuesta correcta: A) $3x - y - 1 = 0$

A) $3x - y - 1 = 0$ Correcto. $m = \frac{11-2}{4-1} = 3$ ; con punto-pendiente: $y - 2 = 3(x - 1)$ , es decir $3x - y - 1 = 0$ .
B) $3x + y - 1 = 0$ Incorrecto. El signo del término en $y$ es negativo.
C) $x - 3y - 1 = 0$ Incorrecto. La pendiente es $3$ , no $\frac{1}{3}$ .
D) $3x - y + 1 = 0$ Incorrecto. El término independiente es $-1$ .

💡 Explicación

m = 3

. De

y - 2 = 3(x - 1)

se obtiene

y = 3x - 1

, y llevando a forma general:

3x - y - 1 = 0

.

Bloom: Evaluate

En Ibagué, se calcula el ángulo de inclinación de una recta con pendiente $m = \sqrt{3}$ .

¿Cuál es el ángulo de inclinación de la recta respecto al eje

x

positivo?

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Respuesta correcta: B) $60^\circ$

A) $30^\circ$ Incorrecto. $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ , no $\sqrt{3}$ .
B) $60^\circ$ Correcto. $\tan \theta = \sqrt{3}$ , por lo que $\theta = 60^\circ$ .
C) $45^\circ$ Incorrecto. $\tan 45^\circ = 1$ .
D) $90^\circ$ Incorrecto. Ese ángulo corresponde a una recta vertical con pendiente indefinida.

💡 Explicación

El ángulo de inclinación cumple

\tan \theta = m

. Como

\tan 60^\circ = \sqrt{3}

, entonces

\theta = 60^\circ

.

Bloom: Evaluate

En Villavicencio, un tanque de agua se llena a ritmo constante. A los $2$ minutos hay $20$ litros y a los $6$ minutos hay $60$ litros.

Modelando con una recta, ¿cuántos litros habrá a los

10

minutos?

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Respuesta correcta: C) $100$ litros

A) $80$ litrosIncorrecto. Subestimaste el ritmo de llenado.
B) $90$ litrosIncorrecto. La pendiente es $10$ litros por minuto, no $9$ .
C) $100$ litrosCorrecto. La recta es $V = 10t$ (pendiente $\frac{60-20}{6-2} = 10$ ); a $t = 10$ , $V = 100$ .
D) $120$ litrosIncorrecto. Sobrestimaste el ritmo de llenado.

💡 Explicación

La pendiente es

\frac{60 - 20}{6 - 2} = 10

L/min. La recta pasa por

(2, 20)

:

V - 20 = 10(t - 2)

, es decir

V = 10t

. A los

10

minutos,

V = 100

litros.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

¿Listo para practicar?