Rectas Paralelas Perpendiculares — Matemáticas Grado 10, Colombia

Bloom: Remember

En Bogotá, en clase de geometría analítica se estudian las relaciones entre pendientes de rectas paralelas.

¿Qué relación tienen las pendientes de dos rectas paralelas?

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Respuesta correcta: C) Son iguales.

A) Su producto es $-1$ .Incorrecto. Esa es la condición de rectas perpendiculares.
B) Son opuestas.Incorrecto. Pendientes opuestas indican inclinaciones simétricas, no paralelismo.
C) Son iguales.Correcto. Las rectas paralelas tienen la misma inclinación y por tanto la misma pendiente.
D) Son recíprocas.Incorrecto. Las pendientes recíprocas no describen el paralelismo.

💡 Explicación

Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen pendientes iguales:

m_1 = m_2

.

Bloom: Remember

En Medellín, se repasa la condición de perpendicularidad entre rectas.

¿Qué relación cumplen las pendientes

m_1

y

m_2

de dos rectas perpendiculares (no verticales)?

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Respuesta correcta: C) $m_1 \cdot m_2 = -1$

A) $m_1 = m_2$ Incorrecto. Eso corresponde a rectas paralelas.
B) $m_1 + m_2 = 0$ Incorrecto. Solo indica pendientes opuestas, no perpendicularidad.
C) $m_1 \cdot m_2 = -1$ Correcto. Las pendientes son recíprocas y de signo opuesto.
D) $m_1 \cdot m_2 = 1$ Incorrecto. Eso corresponde a pendientes recíprocas sin cambio de signo.

💡 Explicación

Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es

-1

, es decir, una es la recíproca negativa de la otra.

Bloom: Understand

En Cali, se comparan las rectas $y = 2x + 1$ y $y = 2x - 5$ .

¿Cuál es la relación entre las dos rectas?

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Respuesta correcta: C) Son paralelas.

A) Son perpendiculares.Incorrecto. Para ser perpendiculares el producto de pendientes sería $-1$ .
B) Son coincidentes.Incorrecto. Tienen distintos interceptos, no son la misma recta.
C) Son paralelas.Correcto. Ambas tienen pendiente $2$ , por lo que son paralelas.
D) Se cortan en un solo punto.Incorrecto. Al ser paralelas no se cortan.

💡 Explicación

Ambas rectas tienen pendiente

m = 2

e interceptos distintos, así que son paralelas.

Bloom: Apply

En Barranquilla, se busca la ecuación de la recta paralela a $y = 3x - 2$ que pasa por el punto $(1, 4)$ .

¿Cuál es la ecuación de la recta paralela?

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Respuesta correcta: A) $y = 3x + 1$

A) $y = 3x + 1$ Correcto. La pendiente es $3$ ; $4 = 3(1) + b$ da $b = 1$ .
B) $y = 3x + 4$ Incorrecto. No despejaste el intercepto con el punto dado.
C) $y = -\frac{1}{3}x + \frac{13}{3}$ Incorrecto. Esa es la recta perpendicular, no la paralela.
D) $y = 3x - 1$ Incorrecto. El intercepto es $+1$ , no $-1$ .

💡 Explicación

La paralela conserva la pendiente

3

. Como pasa por

(1, 4)

:

4 = 3(1) + b

, luego

b = 1

y la recta es

y = 3x + 1

.

Bloom: Apply

En Bucaramanga, se busca la pendiente de la recta perpendicular a $y = 4x - 3$ .

¿Cuál es la pendiente de la recta perpendicular?

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Respuesta correcta: A) $-\frac{1}{4}$

A) $-\frac{1}{4}$ Correcto. La pendiente perpendicular es la recíproca negativa: $-\frac{1}{4}$ .
B) $\frac{1}{4}$ Incorrecto. Falta el signo negativo.
C) $-4$ Incorrecto. Es el negativo de la pendiente original, no su recíproca negativa.
D) $4$ Incorrecto. Esa es la pendiente de la recta dada.

💡 Explicación

Si

m_1 = 4

, entonces

m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{4}

, pues

4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) = -1

.

Bloom: Apply

En Pereira, se escribe la ecuación de la recta perpendicular a $y = 2x + 3$ que pasa por el punto $(0, 5)$ .

¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular?

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Respuesta correcta: D) $y = -\frac{1}{2}x + 5$

A) $y = -\frac{1}{2}x + 3$ Incorrecto. El intercepto debe ser $5$ , no $3$ .
B) $y = 2x + 5$ Incorrecto. Esa es paralela, no perpendicular.
C) $y = \frac{1}{2}x + 5$ Incorrecto. La pendiente perpendicular lleva signo negativo.
D) $y = -\frac{1}{2}x + 5$ Correcto. Pendiente $-\frac{1}{2}$ e intercepto $5$ (pasa por $(0, 5)$ ).

💡 Explicación

La pendiente perpendicular a

2

es

-\frac{1}{2}

. Como pasa por

(0, 5)

, el intercepto es

5

:

y = -\frac{1}{2}x + 5

.

Bloom: Analyze

En Manizales, se clasifican las rectas $3x - 2y = 8$ y $2x + 3y = 5$ .

¿Cuál es la relación entre las dos rectas?

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Respuesta correcta: C) Son perpendiculares.

A) Son paralelas.Incorrecto. Las pendientes no son iguales.
B) Son coincidentes.Incorrecto. No representan la misma recta.
C) Son perpendiculares.Correcto. Sus pendientes son $\frac{3}{2}$ y $-\frac{2}{3}$ ; el producto es $-1$ .
D) Son secantes no perpendiculares.Incorrecto. El producto de las pendientes es exactamente $-1$ .

💡 Explicación

De

3x - 2y = 8

:

m_1 = \frac{3}{2}

. De

2x + 3y = 5

:

m_2 = -\frac{2}{3}

. Como

m_1 \cdot m_2 = -1

, son perpendiculares.

Bloom: Analyze

En Cartagena, se busca el valor de $k$ para que las rectas $y = kx + 2$ y $y = 3x - 1$ sean paralelas.

¿Cuál debe ser el valor de

k

?

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Respuesta correcta: D) $k = 3$

A) $k = -\frac{1}{3}$ Incorrecto. Ese valor las haría perpendiculares.
B) $k = -3$ Incorrecto. Eso las haría con pendientes opuestas.
C) $k = 2$ Incorrecto. Ese es el intercepto de la primera recta.
D) $k = 3$ Correcto. Para que sean paralelas, las pendientes deben ser iguales: $k = 3$ .

💡 Explicación

Dos rectas en forma

y = mx + b

son paralelas si tienen la misma pendiente. La segunda tiene

m = 3

, por lo que

k = 3

.

Bloom: Analyze

En Cúcuta, se verifica si el triángulo con vértices $A(0, 0)$ , $B(3, 1)$ y $C(1, 4)$ es rectángulo.

Usando pendientes, ¿qué se concluye?

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Respuesta correcta: C) No es rectángulo, porque ningún par de lados tiene pendientes cuyo producto sea $-1$ .

A) Es rectángulo en $A$ , pues los lados $AB$ y $AC$ son perpendiculares.Incorrecto. $m_{AB} \cdot m_{AC} = \frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3} \neq -1$ .
B) Es equilátero.Incorrecto. Las longitudes de los lados son $\sqrt{10}$ , $\sqrt{17}$ y $\sqrt{13}$ , distintas.
C) No es rectángulo, porque ningún par de lados tiene pendientes cuyo producto sea $-1$ .Correcto. $m_{AB} = \frac{1}{3}$ , $m_{AC} = 4$ y $m_{BC} = -\frac{3}{2}$ ; ningún producto da $-1$ .
D) Es isósceles.Incorrecto. No hay dos lados de igual longitud.

💡 Explicación

Las pendientes son

m_{AB} = \frac{1}{3}

,

m_{AC} = 4

y

m_{BC} = -\frac{3}{2}

. Los productos son

\frac{4}{3}

,

-\frac{1}{2}

y

-6

; ninguno es

-1

, así que el triángulo no es rectángulo.

Bloom: Evaluate

En Pasto, se busca la recta paralela a $4x - 2y = 10$ que pasa por el punto $(3, 1)$ .

¿Cuál es la ecuación de la recta paralela?

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Respuesta correcta: B) $y = 2x - 5$

A) $y = 2x + 1$ Incorrecto. El intercepto calculado con el punto es $-5$ .
B) $y = 2x - 5$ Correcto. La pendiente de la recta dada es $2$ ; con el punto $(3, 1)$ : $b = 1 - 2(3) = -5$ .
C) $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$ Incorrecto. Esa sería la recta perpendicular.
D) $y = -2x + 7$ Incorrecto. La pendiente de la paralela es $2$ , no $-2$ .

💡 Explicación

De

4x - 2y = 10

:

y = 2x - 5

, pendiente

2

. La paralela por

(3, 1)

es

y = 2x + b

con

b = 1 - 6 = -5

:

y = 2x - 5

.

Bloom: Evaluate

En Ibagué, se busca el valor de $k$ para que las rectas $kx + 3y = 6$ y $2x - y = 4$ sean perpendiculares.

¿Cuál debe ser el valor de

k

?

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Respuesta correcta: A) $k = \frac{3}{2}$

A) $k = \frac{3}{2}$ Correcto. Las pendientes son $-\frac{k}{3}$ y $2$ ; $-\frac{k}{3} \cdot 2 = -1$ implica $k = \frac{3}{2}$ .
B) $k = -\frac{3}{2}$ Incorrecto. Ese valor las haría paralelas.
C) $k = 6$ Incorrecto. Confundiste la pendiente con un término de la ecuación.
D) $k = \frac{2}{3}$ Incorrecto. Invertiste la fracción al despejar.

💡 Explicación

De

kx + 3y = 6

,

m_1 = -\frac{k}{3}

. De

2x - y = 4

,

m_2 = 2

. Para perpendicularidad:

-\frac{k}{3} \cdot 2 = -1

, luego

k = \frac{3}{2}

.

Bloom: Evaluate

En Villavicencio, se construye un jardín rectangular. Dos lados consecutivos siguen las rectas $L_1$ (que pasa por $(0, 2)$ y $(2, 6)$ ) y $L_2$ (que pasa por $(1, 1)$ con pendiente $-\frac{1}{2}$ ).

¿Qué relación hay entre las rectas

L_1

y

L_2

?

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Respuesta correcta: A) Son perpendiculares, pues $m_1 \cdot m_2 = -1$ .

A) Son perpendiculares, pues $m_1 \cdot m_2 = -1$ .Correcto. $m_1 = \frac{6-2}{2-0} = 2$ y $m_2 = -\frac{1}{2}$ ; el producto es $-1$ .
B) Son paralelas, pues tienen pendientes iguales.Incorrecto. Las pendientes son $2$ y $-\frac{1}{2}$ , distintas.
C) Son coincidentes.Incorrecto. No pasan por los mismos puntos.
D) Son secantes pero no perpendiculares.Incorrecto. El producto de las pendientes es exactamente $-1$ .

💡 Explicación

m_1 = \frac{6 - 2}{2 - 0} = 2

y

m_2 = -\frac{1}{2}

. Como

2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1

, las rectas son perpendiculares.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

¿Listo para practicar?