Funciones — Matemáticas Grado 11, Colombia

Bloom: Remember

En un colegio de Medellín se registran parejas (código del estudiante, número de su salón) para organizar la jornada.

Cada relación está escrita como pares (entrada, salida). ¿Cuál de ellas representa una función de la entrada?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $(1,4),\ (2,4),\ (3,5)$

A) $(1,4),\ (1,5),\ (2,6)$ Incorrecto. La entrada 1 tiene dos salidas distintas (4 y 5); una función asigna exactamente una salida a cada entrada.
B) $(1,4),\ (2,4),\ (3,5)$ Correcto. Cada entrada (1, 2 y 3) aparece una sola vez; que dos entradas compartan la salida 4 está permitido en una función.
C) $(0,1),\ (3,2),\ (0,7)$ Incorrecto. La entrada 0 se repite con salidas 1 y 7, así que esa entrada no tiene una imagen única.
D) $(5,1),\ (6,2),\ (5,3)$ Incorrecto. La entrada 5 se asocia con 1 y con 3; repetir una entrada con salidas distintas rompe la definición de función.

💡 Explicación

Una relación es función cuando cada elemento de la entrada tiene una y solo una salida. Se revisa si alguna primera coordenada se repite con segundas coordenadas diferentes: en A se repite 1, en C se repite 0 y en D se repite 5. En B las entradas 1, 2 y 3 son distintas; que 1 y 2 vayan ambas a 4 no viola la definición (eso solo impide que sea inyectiva).

Bloom: Understand

Un operador de telefonía en Bogotá cobra $C(g) = 15\,000 + 4\,000g$ pesos al mes, donde $g$ son las gigas adicionales consumidas.

Un usuario consumió 3,5 gigas adicionales en el mes. ¿Cuánto paga, es decir, cuánto vale

C(3{,}5)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 29 000 COP

A) 19 000 COPIncorrecto. Se tomó una sola giga: $15\,000 + 4\,000 = 19\,000$ ; hay que multiplicar 4 000 por 3,5.
B) 66 500 COPIncorrecto. Se multiplicó todo el cargo por 3,5: $(15\,000 + 4\,000)(3{,}5)$ ; el cargo fijo de 15 000 no depende de las gigas.
C) 29 000 COPCorrecto. $C(3{,}5) = 15\,000 + 4\,000(3{,}5) = 15\,000 + 14\,000 = 29\,000$ pesos.
D) 14 000 COPIncorrecto. Ese es solo el cobro variable $4\,000(3{,}5)$ ; se olvidó sumar el cargo fijo de 15 000 COP.

💡 Explicación

Evaluar una función es reemplazar la variable por el valor dado y respetar el orden de operaciones. Aquí

C(3{,}5) = 15\,000 + 4\,000 \cdot 3{,}5

. Primero el producto:

4\,000 \cdot 3{,}5 = 14\,000

; luego la suma con el cargo fijo:

15\,000 + 14\,000 = 29\,000

COP.

Bloom: Understand

Un ingeniero en Barranquilla usa $f(x) = \dfrac{\sqrt{x-4}}{x-9}$ para modelar la presión en una tubería, y necesita saber qué valores de $x$ puede usar.

¿Cuál es el dominio de

f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{x-9}

en los números reales?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $[4, 9) \cup (9, \infty)$

A) $[4, \infty)$ Incorrecto. Se tuvo en cuenta la raíz, pero se olvidó que el denominador se anula en $x = 9$ , donde $f$ no está definida.
B) $\mathbb{R} - \{9\}$ Incorrecto. Se excluyó solo el cero del denominador; los valores $x < 4$ dan raíz de un número negativo, que no es real.
C) $(4, 9) \cup (9, \infty)$ Incorrecto. Se excluyó $x = 4$ sin razón: $\sqrt{4-4} = 0$ es válido y $f(4) = 0/(-5) = 0$ existe.
D) $[4, 9) \cup (9, \infty)$ Correcto. La raíz exige $x - 4 \ge 0$ , es decir $x \ge 4$ , y el denominador exige $x \neq 9$ .

💡 Explicación

El dominio reúne dos condiciones. Raíz cuadrada:

x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4

. Denominador distinto de cero:

x - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 9

. La intersección es

[4, 9) \cup (9, \infty)

. El extremo 4 se incluye porque

f(4) = 0

está definido.

Bloom: Understand

En un laboratorio de la Universidad del Valle en Cali, la energía de un sistema se modela con $E(x) = x^2 + 3$ julios, con $x$ real.

¿Cuál es el rango de

E(x) = x^2 + 3

cuando

x

recorre todos los números reales?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $[3, \infty)$

A) $[3, \infty)$ Correcto. Como $x^2 \ge 0$ , se tiene $x^2 + 3 \ge 3$ , y el valor 3 se alcanza en $x = 0$ .
B) $\mathbb{R}$ Incorrecto. Ese es el dominio; la salida nunca es menor que 3 porque $x^2$ no puede ser negativo.
C) $[0, \infty)$ Incorrecto. Ese es el rango de $x^2$ ; al sumar 3 toda la gráfica sube 3 unidades, así que el mínimo es 3.
D) $(3, \infty)$ Incorrecto. El 3 sí pertenece al rango porque $E(0) = 0 + 3 = 3$ ; el intervalo debe ser cerrado en 3.

💡 Explicación

El rango es el conjunto de salidas. Para todo real,

x^2 \ge 0

; sumando 3 queda

E(x) \ge 3

. El mínimo 3 se alcanza en

x = 0

, y para cualquier

y \ge 3

existe

x = \sqrt{y - 3}

con

E(x) = y

. Por eso el rango es

[3, \infty)

.

Bloom: Apply

En un almacén de Cali aplican primero un descuento $D(p) = p - 20\,000$ y luego el IVA $I(p) = 1{,}19p$ sobre un artículo de $p = 120\,000$ pesos.

El precio final es

(I \circ D)(120\,000) = I(D(120\,000))

. ¿Cuál es ese precio?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 119 000 COP

A) 119 000 COPCorrecto. $D(120\,000) = 100\,000$ y luego $I(100\,000) = 1{,}19 \cdot 100\,000 = 119\,000$ .
B) 122 800 COPIncorrecto. Se aplicó el IVA primero y el descuento después: $1{,}19 \cdot 120\,000 - 20\,000$ , que es $D(I(p))$ y no $I(D(p))$ .
C) 142 800 COPIncorrecto. Solo se aplicó el IVA, $1{,}19 \cdot 120\,000$ ; se omitió la función interna $D$ .
D) 100 000 COPIncorrecto. Solo se calculó $D(120\,000)$ ; faltó aplicar la función externa $I$ a ese resultado.

💡 Explicación

En

(I \circ D)(p)

se aplica primero la función de adentro,

D

, y luego

I

. Paso 1:

D(120\,000) = 120\,000 - 20\,000 = 100\,000

. Paso 2:

I(100\,000) = 1{,}19 \cdot 100\,000 = 119\,000

COP. El orden importa:

D(I(120\,000)) = 122\,800

, otro valor.

Bloom: Apply

Una agencia de turismo en Bogotá convierte temperaturas con $F = 1{,}8C + 32$ y quiere la fórmula inversa para pasar de grados Fahrenheit a Celsius.

¿Cuál expresión da

C

en función de

F

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $C = \dfrac{F - 32}{1{,}8}$

A) $C = 1{,}8F - 32$ Incorrecto. Se cambiaron las letras sin despejar; la inversa deshace las operaciones en orden contrario: restar 32 y luego dividir entre 1,8.
B) $C = \dfrac{F}{1{,}8} - 32$ Incorrecto. Se dividió antes de restar 32; como el 32 se sumó al final, debe quitarse primero: $(F - 32)/1{,}8$ .
C) $C = \dfrac{F - 32}{1{,}8}$ Correcto. De $F = 1{,}8C + 32$ se resta 32 y se divide entre 1,8: $C = (F-32)/1{,}8$ .
D) $C = \dfrac{F + 32}{1{,}8}$ Incorrecto. Al pasar el 32 al otro lado se conservó el signo; debe restarse porque en la fórmula original se suma.

💡 Explicación

Para hallar la inversa se despeja la variable original.

F = 1{,}8C + 32 \Rightarrow F - 32 = 1{,}8C \Rightarrow C = \frac{F-32}{1{,}8}

. Comprobación: si

C = 20

,

F = 68

, y

\frac{68 - 32}{1{,}8} = 20

.

Bloom: Apply

El acueducto de un municipio antioqueño cobra 3 000 pesos por m³ en los primeros 13 m³ (consumo básico) y 4 500 pesos por cada m³ que exceda los 13.

Una familia consumió 20 m³ en el mes. ¿Cuánto paga por el consumo?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 70 500 COP

A) 70 500 COPCorrecto. $13 \cdot 3\,000 + (20 - 13) \cdot 4\,500 = 39\,000 + 31\,500 = 70\,500$ .
B) 90 000 COPIncorrecto. Se cobraron los 20 m³ a la tarifa alta, $20 \cdot 4\,500$ ; los primeros 13 m³ van a 3 000.
C) 60 000 COPIncorrecto. Se cobraron los 20 m³ a la tarifa básica, $20 \cdot 3\,000$ ; el exceso de 7 m³ se cobra a 4 500.
D) 129 000 COPIncorrecto. Se sumó $13 \cdot 3\,000 + 20 \cdot 4\,500$ , cobrando dos veces los primeros 13 m³; la tarifa alta solo aplica al exceso.

💡 Explicación

La tarifa es una función a trozos:

T(x) = 3\,000x

si

x \le 13

y

T(x) = 39\,000 + 4\,500(x - 13)

si

x > 13

. Como

20 > 13

, se usa el segundo trozo:

T(20) = 39\,000 + 4\,500 \cdot 7 = 39\,000 + 31\,500 = 70\,500

COP.

Bloom: Apply

En una finca de Boyacá se registra el agua de un tanque mientras se riega: a las 0 h hay 1 200 L, a las 2 h hay 1 050 L y a las 5 h hay 825 L.

Si el volumen

V

cambia de forma lineal con las horas

h

, ¿qué función lo describe?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $V(h) = 1\,200 - 75h$

A) $V(h) = 1\,200 - 150h$ Incorrecto. 150 L es lo que baja en 2 horas; la pendiente por hora es $-150/2 = -75$ L/h.
B) $V(h) = 1\,200 + 75h$ Incorrecto. El signo de la pendiente está mal: el volumen disminuye, así que la razón de cambio es negativa.
C) $V(h) = 1\,050 - 75h$ Incorrecto. 1 050 es el volumen a las 2 h; el valor inicial (en $h = 0$ ) es 1 200 L.
D) $V(h) = 1\,200 - 75h$ Correcto. Pendiente $(1\,050 - 1\,200)/(2 - 0) = -75$ , intercepto 1 200; además $V(5) = 1\,200 - 375 = 825$ .

💡 Explicación

Una función lineal es

V(h) = mh + b

. La pendiente es

m = \frac{1\,050 - 1\,200}{2 - 0} = -75

L/h y

b = V(0) = 1\,200

. Se comprueba con el tercer dato:

V(5) = 1\,200 - 75 \cdot 5 = 825

L, que coincide con la tabla.

Bloom: Apply

Un vendedor de jugos en Cartagena estima su ganancia diaria con $G(x) = -2x^2 + 120x - 1\,000$ , en miles de pesos, donde $x$ es el precio del vaso en miles de pesos.

¿Cuál es la ganancia diaria máxima que puede obtener?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 800 mil pesos

A) 30 mil pesosIncorrecto. 30 es el precio que maximiza, $x = -120/(2 \cdot (-2))$ ; la pregunta pide la ganancia $G(30)$ .
B) $-1\,000$ mil pesosIncorrecto. Se usó $x = 60$ al calcular el vértice sin el factor 2 ( $-120/(-2)$ ); $G(60) = -1\,000$ no es el máximo.
C) 800 mil pesosCorrecto. Vértice en $x = 30$ y $G(30) = -2(900) + 3\,600 - 1\,000 = 800$ .
D) 4 400 mil pesosIncorrecto. Se tomó $-2 \cdot 30^2$ como $+1\,800$ ; el término cuadrático resta: $-1\,800 + 3\,600 - 1\,000 = 800$ .

💡 Explicación

Como

a = -2 < 0

, la parábola abre hacia abajo y el máximo está en el vértice:

x = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2(-2)} = 30

. Entonces

G(30) = -2(30)^2 + 120(30) - 1\,000 = -1\,800 + 3\,600 - 1\,000 = 800

mil pesos.

Bloom: Apply

Una cooperativa del Huila tiene 500 m de malla para cercar un corral rectangular junto a un río; el lado del río no se cerca y $x$ es el ancho perpendicular al río.

El área es

A(x) = x(500 - 2x)

. ¿Cuál es el dominio que tiene sentido en esta situación?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $(0, 250)$

A) $(0, 500)$ Incorrecto. Si $x > 250$ , el largo $500 - 2x$ es negativo; con dos anchos de $x$ la malla se agota en $x = 250$ .
B) $[0, \infty)$ Incorrecto. Solo hay 500 m de malla, así que $x$ no puede crecer sin límite, y con $x = 0$ no hay corral.
C) $(0, 250)$ Correcto. Se necesita $x > 0$ y largo $500 - 2x > 0$ , es decir $x < 250$ .
D) $(0, 125]$ Incorrecto. 125 es el ancho que maximiza el área, no el límite del dominio; anchos entre 125 y 250 también forman corrales válidos.

💡 Explicación

Las medidas del corral deben ser positivas: ancho

x > 0

y largo

500 - 2x > 0 \Rightarrow x < 250

. Por eso el dominio contextual es

(0, 250)

, aunque la expresión algebraica

x(500-2x)

esté definida para todo real. El valor

x = 125

da el área máxima, pero no limita el dominio.

Bloom: Analyze

Un estudiante de Pereira resume en una tabla la función $f$ : para $x = -2, -1, 0, 1, 2$ obtiene $f(x) = 3, 0, -1, 0, 3$ .

Con base en la tabla, ¿cuál afirmación es correcta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $f$ no es inyectiva porque $f(-1) = f(1) = 0$ ; por eso no tiene inversa en ese dominio.

A) $f$ no es inyectiva porque $f(-1) = f(1) = 0$ ; por eso no tiene inversa en ese dominio.Correcto. Dos entradas distintas comparten la salida 0, así que la inversa no podría asignar a 0 una única entrada.
B) $f$ tiene inversa porque cada $x$ tiene una sola imagen.Incorrecto. Eso solo prueba que $f$ es función; para tener inversa además debe ser inyectiva, y $f(-2) = f(2) = 3$ lo impide.
C) $f$ no es función porque la salida 0 aparece dos veces.Incorrecto. Repetir salidas está permitido; lo prohibido es que una entrada tenga dos salidas, y aquí cada $x$ tiene una.
D) $f$ es creciente en todo su dominio.Incorrecto. De $x = -2$ a $x = 0$ los valores bajan de 3 a $-1$ , así que $f$ decrece en esa parte.

💡 Explicación

Ser función significa que cada entrada tiene una salida; ser inyectiva significa que salidas iguales vienen de entradas iguales. La tabla cumple lo primero, pero

f(-1) = f(1) = 0

y

f(-2) = f(2) = 3

muestran que no es inyectiva. Sin inyectividad no existe la inversa en ese dominio, porque

f^{-1}(0)

tendría dos valores.

Bloom: Analyze

En una fábrica de Itagüí, la máquina $g$ resta 3 cm a una pieza, $g(x) = x - 3$ , y la máquina $f$ calcula el área de un cuadrado de lado $x$ , $f(x) = x^2$ .

Si la pieza pasa primero por

g

y luego por

f

, el resultado es

(f \circ g)(x)

. ¿Cuál es su expresión?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $x^2 - 6x + 9$

A) $x^2 - 3$ Incorrecto. Esa es $(g \circ f)(x) = g(x^2)$ : se aplicó primero $f$ ; en $f \circ g$ primero actúa $g$ .
B) $x^2 - 9$ Incorrecto. Se elevó cada término por separado, $(x-3)^2 \neq x^2 - 9$ ; falta el término doble $-6x$ y el signo de 9 es positivo.
C) $x^3 - 3x^2$ Incorrecto. Ese es el producto $f(x) \cdot g(x) = x^2(x-3)$ , no la composición.
D) $x^2 - 6x + 9$ Correcto. $f(g(x)) = (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ por el cuadrado de un binomio.

💡 Explicación

En la composición

f \circ g

se reemplaza la

x

de

f

por

g(x)

:

f(g(x)) = (x - 3)^2

. Al desarrollar el binomio,

(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot 3x + 9 = x^2 - 6x + 9

. Como

(g \circ f)(x) = x^2 - 3

es diferente, la composición no es conmutativa.

Bloom: Analyze

Un emprendimiento de artesanías en Pasto registra sus seguidores (en cientos) al final de cada mes $t$ : $t = 0, 1, 2, 3$ da $y = 5, 8, 13, 20$ .

¿Qué modelo describe exactamente los cuatro datos?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $y = t^2 + 2t + 5$

A) $y = 3t + 5$ Incorrecto. Sirve para $t = 0$ y $t = 1$ , pero $y(2) = 11 \neq 13$ ; las diferencias 3, 5, 7 no son constantes, así que no es lineal.
B) $y = t^2 + 2t + 5$ Correcto. Da 5, 8, 13 y 20; las segundas diferencias son constantes (2), señal de un modelo cuadrático.
C) $y = 5(1{,}6)^t$ Incorrecto. Coincide en $t = 1$ , pero $5(1{,}6)^2 = 12{,}8 \neq 13$ ; los cocientes $8/5$ y $13/8$ no son iguales.
D) $y = t^2 + 5$ Incorrecto. Para $t = 1$ da $6 \neq 8$ ; le falta el término lineal $2t$ .

💡 Explicación

Las primeras diferencias son

8-5 = 3

,

13-8 = 5

,

20-13 = 7

y las segundas son

2, 2

: un modelo cuadrático

y = at^2 + bt + c

con

2a = 2

, así

a = 1

. Con

c = y(0) = 5

y

y(1) = 1 + b + 5 = 8

se obtiene

b = 2

. Verificación:

y(3) = 9 + 6 + 5 = 20

.

Bloom: Analyze

Un parqueadero de Bucaramanga cobra $P(t) = 3\,000$ si $0 < t \le 1$ y $P(t) = 3\,000 + 2\,000(t - 1)$ si $1 < t \le 8$ , con $t$ en horas y $P$ en pesos.

Un conductor pagó 9 000 pesos. ¿Cuánto tiempo estuvo parqueado?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 4 h

A) 4 hCorrecto. $3\,000 + 2\,000(t - 1) = 9\,000 \Rightarrow t - 1 = 3 \Rightarrow t = 4$ .
B) 3 hIncorrecto. Se planteó $3\,000 + 2\,000t = 9\,000$ olvidando el $-1$ ; con $t = 3$ el parqueadero cobra $3\,000 + 4\,000 = 7\,000$ .
C) 4,5 hIncorrecto. Se dividió $9\,000/2\,000$ ignorando la primera hora de 3 000; $P(4{,}5) = 10\,000$ .
D) 5,5 hIncorrecto. Se resolvió $2\,000(t - 1) = 9\,000$ sin restar el cargo inicial de 3 000; $P(5{,}5) = 12\,000$ .

💡 Explicación

Como 9 000 es mayor que 3 000, el tiempo está en el segundo trozo. Se resuelve

3\,000 + 2\,000(t-1) = 9\,000

:

2\,000(t-1) = 6\,000

,

t - 1 = 3

,

t = 4

h. Comprobación:

P(4) = 3\,000 + 2\,000 \cdot 3 = 9\,000

.

Bloom: Analyze

En Manizales se diseña una rampa con perfil $f(x) = (x - 2)^2 + 1$ para $x \ge 2$ , y se necesita la función inversa para calcular la posición a partir de la altura.

¿Cuál es

f^{-1}(x)

, con

x \ge 1

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 1}$

A) $f^{-1}(x) = 2 - \sqrt{x - 1}$ Incorrecto. Esa rama da valores menores o iguales a 2; como el dominio de $f$ es $x \ge 2$ , la inversa debe tomar la raíz positiva.
B) $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x - 1}$ Correcto. De $y = (x-2)^2 + 1$ : $x - 2 = \sqrt{y - 1}$ (positivo porque $x \ge 2$ ), luego $x = 2 + \sqrt{y-1}$ .
C) $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1} - 2$ Incorrecto. Al despejar se restó 2 en lugar de sumarlo: de $x - 2 = \sqrt{y-1}$ sale $x = \sqrt{y-1} + 2$ .
D) $f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x + 1}$ Incorrecto. El 1 se pasó con el signo equivocado: de $y = (x-2)^2 + 1$ queda $(x-2)^2 = y - 1$ .

💡 Explicación

Se escribe

y = (x-2)^2 + 1

y se despeja:

(x-2)^2 = y - 1

,

x - 2 = \pm\sqrt{y-1}

. Como

x \ge 2

, se toma el signo positivo:

x = 2 + \sqrt{y-1}

. Intercambiando variables,

f^{-1}(x) = 2 + \sqrt{x-1}

con

x \ge 1

. Prueba:

f^{-1}(f(5)) = f^{-1}(10) = 2 + 3 = 5

.

Bloom: Analyze

En una tarea de un colegio de Tunja, Julián halló el dominio de $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ así: Paso 1: $9 - x^2 \ge 0$ ; Paso 2: $x^2 \le 9$ ; Paso 3: $x \le 3$ ; conclusión: dominio $(-\infty, 3]$ .

¿Qué evaluación del procedimiento de Julián es correcta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) El error está en el paso 3: de $x^2 \le 9$ se sigue $-3 \le x \le 3$ , y el dominio es $[-3, 3]$ .

A) Es correcto: el dominio es $(-\infty, 3]$ .Incorrecto. Con $x = -4$ , $9 - 16 = -7 < 0$ y la raíz no es real; el dominio no puede incluir valores menores que $-3$ .
B) El error está en el paso 1: debe ser $9 - x^2 > 0$ , con dominio $(-3, 3)$ .Incorrecto. La raíz cuadrada de 0 existe, así que la desigualdad es $\ge 0$ y los extremos $\pm 3$ se incluyen.
C) El error está en el paso 1: debe ser $9 - x^2 \le 0$ .Incorrecto. La raíz cuadrada exige radicando no negativo, $9 - x^2 \ge 0$ ; el paso 1 está bien.
D) El error está en el paso 3: de $x^2 \le 9$ se sigue $-3 \le x \le 3$ , y el dominio es $[-3, 3]$ .Correcto. $x^2 \le 9$ equivale a $|x| \le 3$ ; Julián olvidó la cota inferior $-3$ .

💡 Explicación

La condición

9 - x^2 \ge 0

y su forma

x^2 \le 9

son correctas. El error es al sacar raíz:

\sqrt{x^2} = |x|

, así que

x^2 \le 9 \Leftrightarrow |x| \le 3 \Leftrightarrow -3 \le x \le 3

. El dominio correcto es

[-3, 3]

; por ejemplo

x = -5

daría

\sqrt{-16}

, que no es real.

Bloom: Evaluate

En Bogotá dos plataformas de transporte cobran por viaje de $k$ kilómetros: la empresa A, $4\,000 + 1\,500k$ pesos, y la empresa B, $7\,000 + 1\,200k$ pesos.

¿Para qué distancias es más barata la empresa B?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) Para más de 10 km.

A) Para menos de 10 km.Incorrecto. Con $k = 5$ , A cobra 11 500 y B cobra 13 000; para distancias cortas pesa más el cargo fijo mayor de B.
B) Nunca, porque B tiene el cargo fijo más alto.Incorrecto. El cargo fijo no decide solo: B cobra 300 pesos menos por km y, con $k = 20$ , cuesta 31 000 contra 34 000 de A.
C) Para más de 10 km.Correcto. $7\,000 + 1\,200k < 4\,000 + 1\,500k \Leftrightarrow 3\,000 < 300k \Leftrightarrow k > 10$ .
D) Para más de 2,5 km.Incorrecto. Se dividió $3\,000/1\,200$ ; la diferencia por km entre las tarifas es $1\,500 - 1\,200 = 300$ , así que el corte es $3\,000/300 = 10$ .

💡 Explicación

Se comparan las dos funciones lineales: B es menor cuando

7\,000 + 1\,200k < 4\,000 + 1\,500k

. Restando,

3\,000 < 300k

, es decir

k > 10

. En

k = 10

ambas cuestan 19 000 pesos; antes de ese punto conviene A y después conviene B.

Bloom: Evaluate

En un curso preuniversitario de Neiva se discute la función $f(x) = \dfrac{1}{x - 2}$ .

¿Cuál afirmación sobre

f

es verdadera?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $f$ es inyectiva y su inversa es $f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 2$ .

A) Su dominio es $\mathbb{R}$ .Incorrecto. En $x = 2$ el denominador es 0 y $f$ no está definida; el dominio es $\mathbb{R} - \{2\}$ .
B) Su rango es $\mathbb{R}$ .Incorrecto. Una fracción con numerador 1 nunca vale 0, así que el rango es $\mathbb{R} - \{0\}$ .
C) $f(0) = \frac{1}{2}$ .Incorrecto. $f(0) = \frac{1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}$ ; se perdió el signo del denominador.
D) $f$ es inyectiva y su inversa es $f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 2$ .Correcto. De $y = \frac{1}{x-2}$ : $x - 2 = \frac{1}{y}$ , así $x = \frac{1}{y} + 2$ , una única preimagen para cada $y \neq 0$ .

💡 Explicación

Se revisa cada afirmación. Dominio:

x \neq 2

. Rango:

\frac{1}{x-2} = 0

no tiene solución, luego el 0 queda excluido.

f(0) = -\frac{1}{2}

. Para la inversa:

y = \frac{1}{x-2} \Rightarrow x - 2 = \frac{1}{y} \Rightarrow x = \frac{1}{y} + 2

; como el despeje da un solo valor,

f

es inyectiva y

f^{-1}(x) = \frac{1}{x} + 2

.

Bloom: Evaluate

En el estadio Atanasio Girardot de Medellín se analiza un tiro libre cuya altura es $h(x) = -0{,}02x^2 + 0{,}8x$ metros, con $x$ la distancia horizontal; la barrera mide 2 m y está a 9 m, y el arco (travesaño a 2,44 m) está a 30 m.

¿Qué conclusión es correcta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Supera la barrera, pero pasa por encima del travesaño, porque $h(30) = 6$ m.

A) El balón no supera la barrera porque $h(9) < 2$ .Incorrecto. $h(9) = -0{,}02(81) + 0{,}8(9) = -1{,}62 + 7{,}2 = 5{,}58$ m, mucho más que 2 m.
B) Supera la barrera, pero pasa por encima del travesaño, porque $h(30) = 6$ m.Correcto. $h(9) = 5{,}58 > 2$ y $h(30) = -18 + 24 = 6 > 2{,}44$ , así que el balón va por encima del arco.
C) Entra al arco porque alcanza su altura máxima de 8 m a los 20 m y después baja.Incorrecto. El máximo sí es $h(20) = 8$ m, pero bajar no basta: a los 30 m la altura todavía es 6 m, mayor que 2,44 m.
D) Entra al arco porque $h(30) = 2$ m.Incorrecto. Se calculó mal $h(30)$ : $-0{,}02 \cdot 900 = -18$ y $0{,}8 \cdot 30 = 24$ , así que $h(30) = 6$ m.

💡 Explicación

Se evalúa el modelo en los puntos clave. Barrera:

h(9) = 5{,}58

m

> 2

m, la supera. Vértice:

x = -\frac{0{,}8}{2(-0{,}02)} = 20

,

h(20) = 8

m. Arco:

h(30) = -0{,}02(900) + 0{,}8(30) = 6

m

> 2{,}44

m. El balón pasa la barrera pero sale por encima del travesaño.

Bloom: Evaluate

Una distribuidora de Bucaramanga ofrece a sus vendedores dos planes según las ventas mensuales $s$ : Plan 1, $1\,200\,000 + 0{,}04s$ pesos; Plan 2, $0{,}10s$ pesos.

¿Cuál conclusión sobre los planes es válida?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) El plan 2 paga más solo si las ventas superan 20 000 000 COP.

A) El plan 2 siempre paga más porque su porcentaje es mayor.Incorrecto. Con ventas de 10 000 000, el plan 2 paga 1 000 000 y el plan 1 paga 1 600 000; el porcentaje mayor no compensa el salario fijo.
B) El plan 2 paga más solo si las ventas superan 20 000 000 COP.Correcto. $0{,}10s > 1\,200\,000 + 0{,}04s \Leftrightarrow 0{,}06s > 1\,200\,000 \Leftrightarrow s > 20\,000\,000$ .
C) Los planes pagan igual con ventas de 12 000 000 COP.Incorrecto. Se dividió $1\,200\,000/0{,}10$ sin restar el 4 % del plan 1; en 12 000 000 el plan 1 paga 1 680 000 y el plan 2 paga 1 200 000.
D) El plan 1 paga más cuando las ventas superan 20 000 000 COP.Incorrecto. El sentido está invertido: por encima de 20 000 000, la pendiente mayor (0,10) hace que el plan 2 supere al plan 1.

💡 Explicación

Los planes son funciones lineales con pendientes 0,04 y 0,10. Se igualan:

1\,200\,000 + 0{,}04s = 0{,}10s \Rightarrow 0{,}06s = 1\,200\,000 \Rightarrow s = 20\,000\,000

. Para

s > 20\,000\,000

gana el plan 2 porque crece más rápido; para ventas menores conviene el plan 1 por su parte fija.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?