Inecuaciones — Matemáticas Grado 11, Colombia

Bloom: Remember

Una estudiante de Tunja ahorra para un curso y plantea $3x - 7 > 8$ , donde $x$ son las semanas de ahorro necesarias.

¿Cuál es el conjunto solución de

3x - 7 > 8

?

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Respuesta correcta: D) $x > 5$

A) $x > \frac{1}{3}$ Incorrecto. Se restó 7 en lugar de sumarlo: $3x > 8 - 7 = 1$ ; el $-7$ pasa sumando y queda $3x > 15$ .
B) $x < 5$ Incorrecto. Se invirtió el signo sin motivo; al dividir entre 3, que es positivo, la desigualdad se conserva.
C) $x > 15$ Incorrecto. Se despejó $3x > 15$ pero faltó dividir entre 3; el resultado es $x > 5$ .
D) $x > 5$ Correcto. $3x - 7 > 8 \Rightarrow 3x > 15 \Rightarrow x > 5$ , dividiendo entre 3 positivo sin cambiar el sentido.

💡 Explicación

Se despeja como en una ecuación cuidando el sentido. Sumar 7 a ambos lados:

3x > 15

. Dividir entre 3 (positivo, el sentido no cambia):

x > 5

. Comprobación con

x = 6

:

18 - 7 = 11 > 8

; con

x = 5

:

15 - 7 = 8

, que no es mayor que 8, por eso 5 no se incluye.

Bloom: Understand

En un ejercicio de un colegio de Santa Marta, el saldo de una cuenta escolar cumple $-2x + 4 \le 10$ , con $x$ en miles de pesos.

¿Qué valores de

x

cumplen

-2x + 4 \le 10

?

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Respuesta correcta: B) $x \ge -3$

A) $x \le -3$ Incorrecto. Se dividió entre $-2$ sin invertir el sentido; al dividir por un negativo, $\le$ se convierte en $\ge$ .
B) $x \ge -3$ Correcto. $-2x \le 6$ y, al dividir entre $-2$ (negativo), el sentido se invierte: $x \ge -3$ .
C) $x \ge 3$ Incorrecto. Se perdió el signo del cociente: $6 / (-2) = -3$ , no 3.
D) $x \le -7$ Incorrecto. Se sumó 4 en lugar de restarlo: $-2x \le 14$ ; el 4 pasa restando y queda $-2x \le 6$ .

💡 Explicación

Restando 4:

-2x \le 6

. Al dividir ambos lados entre

-2

el sentido de la desigualdad se invierte:

x \ge -3

. Prueba con

x = 0

:

0 + 4 = 4 \le 10

, cumple; con

x = -4

:

8 + 4 = 12

, no cumple. Esto confirma

x \ge -3

.

Bloom: Understand

Un cuarto frío de flores en Rionegro (Antioquia) debe mantener la temperatura por encima de $-1$ °C y como máximo en 4 °C.

¿Cómo se escribe en notación de intervalo el conjunto de temperaturas permitidas?

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Respuesta correcta: A) $(-1, 4]$

A) $(-1, 4]$ Correcto. "Por encima de $-1$ " excluye $-1$ (paréntesis) y "como máximo 4" incluye 4 (corchete).
B) $[-1, 4)$ Incorrecto. Los extremos están invertidos: $-1$ no se permite porque debe estar por encima, y 4 sí se permite.
C) $(-1, 4)$ Incorrecto. "Como máximo 4" significa $T \le 4$ , así que 4 pertenece al conjunto y lleva corchete.
D) $[-1, 4]$ Incorrecto. "Por encima de $-1$ " es la desigualdad estricta $T > -1$ , que excluye el extremo $-1$ .

💡 Explicación

La condición es

-1 < T \le 4

. El extremo con desigualdad estricta se escribe con paréntesis y el que admite igualdad con corchete. Por eso el intervalo es

(-1, 4]

: contiene, por ejemplo,

-0{,}5

y 4, pero no

-1

.

Bloom: Understand

En un taller de un colegio de Popayán se pide comprobar soluciones de $|x - 3| < 2$ , que representa los puntos a menos de 2 unidades de 3 en la recta.

¿Cuál de estos valores es solución de

|x - 3| < 2

?

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Respuesta correcta: C) $x = 4$

A) $x = 1$ Incorrecto. $|1 - 3| = 2$ , y 2 no es menor que 2; el 1 está justo en el borde, excluido por la desigualdad estricta.
B) $x = 5$ Incorrecto. $|5 - 3| = 2$ , que tampoco es menor que 2; 5 es el otro extremo excluido.
C) $x = 4$ Correcto. $|4 - 3| = 1 < 2$ : 4 está a una unidad de 3.
D) $x = -1$ Incorrecto. $|-1 - 3| = |-4| = 4$ , que es mayor que 2; está a 4 unidades de 3.

💡 Explicación

|x - 3| < 2

significa que la distancia de

x

a 3 es menor que 2, es decir

-2 < x - 3 < 2

, o sea

1 < x < 5

. De las opciones solo 4 está estrictamente entre 1 y 5; 1 y 5 son extremos que la desigualdad estricta deja por fuera.

Bloom: Apply

Un colegio de Popayán tiene 850 000 pesos para una salida: el bus cuesta 250 000 fijos y la entrada al museo 18 000 por estudiante.

¿Cuál es el máximo número de estudiantes que pueden ir sin pasarse del presupuesto?

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Respuesta correcta: B) 33

A) 34Incorrecto. Se redondeó hacia arriba $33{,}3$ ; con 34 el costo es $250\,000 + 612\,000 = 862\,000 > 850\,000$ .
B) 33Correcto. $250\,000 + 18\,000n \le 850\,000 \Rightarrow n \le 33{,}3$ , y el mayor entero es 33 (costo 844 000).
C) 47Incorrecto. Se dividió $850\,000/18\,000 \approx 47{,}2$ sin descontar los 250 000 del bus.
D) 61Incorrecto. Se sumó el costo del bus al presupuesto, $(850\,000 + 250\,000)/18\,000$ ; el bus consume parte del dinero y debe restarse.

💡 Explicación

La inecuación es

250\,000 + 18\,000n \le 850\,000

. Restando:

18\,000n \le 600\,000

, así

n \le 33{,}\overline{3}

. Como

n

es entero, el máximo es 33: cuesta

250\,000 + 594\,000 = 844\,000

COP; con 34 se excede.

Bloom: Apply

Un sensor de una planta de tratamiento en Bucaramanga opera bien cuando la lectura $2x + 1$ está entre $-5$ (incluido) y 9 (excluido).

Resuelva

-5 \le 2x + 1 < 9

.

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Respuesta correcta: C) $-3 \le x < 4$

A) $-2 \le x < 5$ Incorrecto. Se sumó 1 en lugar de restarlo: $(-5+1)/2 = -2$ y $(9+1)/2 = 5$ .
B) $-3 < x \le 4$ Incorrecto. Los valores son correctos pero se intercambiaron los tipos de desigualdad; $-3$ va incluido y 4 excluido.
C) $-3 \le x < 4$ Correcto. Restar 1 en las tres partes: $-6 \le 2x < 8$ ; dividir entre 2: $-3 \le x < 4$ .
D) $-6 \le x < 8$ Incorrecto. Se restó 1 pero faltó dividir entre 2 las tres partes de la desigualdad.

💡 Explicación

En una inecuación compuesta se opera en las tres partes a la vez. Restando 1:

-6 \le 2x < 8

. Dividiendo entre 2 (positivo):

-3 \le x < 4

. Se conserva que el extremo izquierdo es cerrado y el derecho abierto, como en la desigualdad original.

Bloom: Apply

En control de calidad de una panadería de Cúcuta se descartan productos cuya medida cumple $|2x - 5| \ge 3$ .

¿Cuál es el conjunto solución de

|2x - 5| \ge 3

?

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Respuesta correcta: B) $(-\infty, 1] \cup [4, \infty)$

A) $[1, 4]$ Incorrecto. Ese es el conjunto de $|2x - 5| \le 3$ ; con "mayor o igual" la solución está fuera de ese intervalo.
B) $(-\infty, 1] \cup [4, \infty)$ Correcto. $2x - 5 \ge 3 \Rightarrow x \ge 4$ , o $2x - 5 \le -3 \Rightarrow x \le 1$ .
C) $(-\infty, -1] \cup [4, \infty)$ Incorrecto. En la rama negativa se cometió un error de signo: $2x \le -3 + 5 = 2$ da $x \le 1$ , no $x \le -1$ .
D) $[4, \infty)$ Incorrecto. Solo se resolvió $2x - 5 \ge 3$ ; falta la rama $2x - 5 \le -3$ , porque el valor absoluto también es grande con argumento negativo.

💡 Explicación

|u| \ge 3

equivale a

u \ge 3

o

u \le -3

. Con

u = 2x - 5

: primera rama

2x \ge 8

,

x \ge 4

; segunda rama

2x \le 2

,

x \le 1

. La unión es

(-\infty, 1] \cup [4, \infty)

. Por ejemplo

x = 0

da

|-5| = 5 \ge 3

y

x = 2

da

|-1| = 1

, que no cumple.

Bloom: Apply

El rendimiento de un cultivo en el Tolima se modela de forma que la pérdida es positiva cuando $x^2 - x - 6$ es negativo; interesa saber cuándo $x^2 - x - 6 < 0$ .

¿Cuál es el conjunto solución de

x^2 - x - 6 < 0

?

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Respuesta correcta: A) $(-2, 3)$

A) $(-2, 3)$ Correcto. $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ es negativo entre sus raíces $-2$ y 3.
B) $(-\infty, -2) \cup (3, \infty)$ Incorrecto. Ahí el producto es positivo; ese es el conjunto de $x^2 - x - 6 > 0$ .
C) $(-3, 2)$ Incorrecto. Se tomaron mal los signos de las raíces; de $(x-3)(x+2) = 0$ salen $x = 3$ y $x = -2$ .
D) $(-\infty, 3)$ Incorrecto. Solo se usó el factor $x - 3 < 0$ ; para $x < -2$ ambos factores son negativos y el producto es positivo.

💡 Explicación

Se factoriza:

x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)

, con raíces

-2

y 3. Análisis de signos: para

x < -2

el producto es positivo; para

-2 < x < 3

es negativo (con

x = 0

:

-6

); para

x > 3

es positivo. La solución de

< 0

es

(-2, 3)

.

Bloom: Apply

Una ladrillera de Sogamoso fabrica ladrillos de 20 cm de largo y acepta una tolerancia de 0,3 cm: el largo $L$ debe cumplir $|L - 20| \le 0{,}3$ .

¿Qué intervalo describe los largos aceptados?

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Respuesta correcta: D) $[19{,}7;\ 20{,}3]$

A) $(19{,}7;\ 20{,}3)$ Incorrecto. La desigualdad es " $\le$ ", así que los extremos 19,7 y 20,3 cm sí se aceptan y llevan corchetes.
B) $L \le 20{,}3$ Incorrecto. Solo se usó la cota superior; un ladrillo de 15 cm cumple $L \le 20{,}3$ pero se aleja 5 cm del valor nominal.
C) $[20;\ 20{,}3]$ Incorrecto. La tolerancia es hacia ambos lados de 20; un ladrillo de 19,8 cm, a 0,2 cm de 20, también se acepta.
D) $[19{,}7;\ 20{,}3]$ Correcto. $|L - 20| \le 0{,}3 \Leftrightarrow -0{,}3 \le L - 20 \le 0{,}3 \Leftrightarrow 19{,}7 \le L \le 20{,}3$ .

💡 Explicación

Una tolerancia se expresa con valor absoluto: la distancia entre

L

y 20 no supera 0,3. Se desdobla:

-0{,}3 \le L - 20 \le 0{,}3

y, sumando 20,

19{,}7 \le L \le 20{,}3

. Los extremos se incluyen por la igualdad del símbolo

\le

.

Bloom: Apply

En un colegio de Ibagué la nota final es el promedio de cuatro evaluaciones (escala de 1 a 5); Daniela tiene 3,2; 4,0 y 3,5 y necesita promedio de al menos 3,6.

¿Cuál es la nota mínima que debe sacar en la cuarta evaluación?

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Respuesta correcta: A) 3,7

A) 3,7Correcto. $\frac{3{,}2 + 4{,}0 + 3{,}5 + x}{4} \ge 3{,}6 \Rightarrow 10{,}7 + x \ge 14{,}4 \Rightarrow x \ge 3{,}7$ .
B) 3,6Incorrecto. Sacar 3,6 da promedio $(10{,}7 + 3{,}6)/4 = 3{,}575 < 3{,}6$ ; la nota que falta debe compensar el 3,2.
C) 3,9Incorrecto. Se sumaron mal las notas como 10,5; la suma real es $3{,}2 + 4{,}0 + 3{,}5 = 10{,}7$ y $14{,}4 - 10{,}7 = 3{,}7$ .
D) 0,1Incorrecto. Se dividió entre 3 en vez de 4: $10{,}7 + x \ge 10{,}8$ ; el promedio incluye las cuatro notas.

💡 Explicación

Se plantea

\frac{10{,}7 + x}{4} \ge 3{,}6

. Multiplicando por 4:

10{,}7 + x \ge 14{,}4

, de donde

x \ge 3{,}7

. Comprobación:

(10{,}7 + 3{,}7)/4 = 14{,}4/4 = 3{,}6

, justo el mínimo exigido.

Bloom: Analyze

Un economista en Bogotá estudia el índice $\frac{x - 1}{x + 3}$ y necesita saber cuándo no es negativo.

¿Cuál es el conjunto solución de

\dfrac{x - 1}{x + 3} \ge 0

?

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Respuesta correcta: D) $(-\infty, -3) \cup [1, \infty)$

A) $(-\infty, -3] \cup [1, \infty)$ Incorrecto. Se incluyó $x = -3$ , pero ahí el denominador es 0 y la expresión no está definida.
B) $(-3, 1]$ Incorrecto. En ese intervalo numerador y denominador tienen signos opuestos (con $x = 0$ vale $-\frac{1}{3}$ ), así que el cociente es negativo.
C) $[1, \infty)$ Incorrecto. Se multiplicó por $x + 3$ suponiendo que es positivo; para $x < -3$ ambos factores son negativos y el cociente es positivo.
D) $(-\infty, -3) \cup [1, \infty)$ Correcto. El cociente es positivo cuando ambos factores tienen igual signo y vale 0 en $x = 1$ ; $x = -3$ se excluye.

💡 Explicación

Puntos críticos: numerador 0 en

x = 1

, denominador 0 en

x = -3

. Signos: con

x = -4

,

\frac{-5}{-1} = 5 > 0

; con

x = 0

,

-\frac{1}{3} < 0

; con

x = 2

,

\frac{1}{5} > 0

. Se incluye

x = 1

(el cociente vale 0) y se excluye

x = -3

. Solución:

(-\infty, -3) \cup [1, \infty)

.

Bloom: Analyze

En una clase en Villavicencio, Pedro resolvió $5 - 2x > 11$ así: Paso 1: $-2x > 6$ ; Paso 2: $x > -3$ .

¿Qué evaluación del trabajo de Pedro es correcta?

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Respuesta correcta: C) El error está en el paso 2: al dividir entre $-2$ se invierte el sentido y queda $x < -3$ .

A) El error está en el paso 1: debe quedar $-2x > 16$ .Incorrecto. Al restar 5 a ambos lados queda $-2x > 11 - 5 = 6$ ; el paso 1 está bien.
B) No hay error: la solución es $x > -3$ .Incorrecto. Con $x = 0$ , que cumple $x > -3$ , se obtiene $5 > 11$ , falso; la solución propuesta no sirve.
C) El error está en el paso 2: al dividir entre $-2$ se invierte el sentido y queda $x < -3$ .Correcto. Dividir por un negativo invierte la desigualdad; con $x = -4$ : $5 + 8 = 13 > 11$ .
D) El error está en el paso 2: la solución es $x > 3$ .Incorrecto. Se cambió el signo del número y no el sentido; $x = 4$ da $5 - 8 = -3$ , que no es mayor que 11.

💡 Explicación

Paso 1 correcto:

5 - 2x > 11 \Rightarrow -2x > 6

. En el paso 2 se divide entre

-2

; multiplicar o dividir por un número negativo invierte el sentido:

x < -3

. Verificación:

x = -5

da

5 + 10 = 15 > 11

, y

x = 0

da

5 > 11

, falso.

Bloom: Analyze

En un problema de física de un colegio de Armenia aparece la ecuación $x^2 + kx + 9 = 0$ , y solo tiene sentido si hay dos tiempos distintos de solución.

¿Para qué valores de

k

la ecuación tiene dos raíces reales distintas?

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Respuesta correcta: C) $k < -6$ o $k > 6$

A) $k > 6$ Incorrecto. $k^2 > 36$ también se cumple con $k$ negativos; por ejemplo $k = -7$ da $49 - 36 = 13 > 0$ .
B) $-6 < k < 6$ Incorrecto. Ahí el discriminante es negativo (con $k = 0$ , $-36$ ) y no hay raíces reales.
C) $k < -6$ o $k > 6$ Correcto. El discriminante $k^2 - 36 > 0$ equivale a $|k| > 6$ .
D) $k \le -6$ o $k \ge 6$ Incorrecto. Con $k = \pm 6$ el discriminante es 0 y hay una raíz doble, no dos raíces distintas.

💡 Explicación

Dos raíces reales distintas exigen discriminante positivo:

\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 > 0

. Factorizando,

(k - 6)(k + 6) > 0

, que se cumple fuera de las raíces:

k < -6

o

k > 6

. Si

k = 6

,

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2

tiene solo la raíz

-3

.

Bloom: Analyze

Una panadería de Pereira estima su utilidad diaria en $U(x) = -x^2 + 60x - 500$ miles de pesos, donde $x$ son cientos de buñuelos vendidos.

¿Para qué producción la panadería obtiene utilidad positiva?

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Respuesta correcta: A) Para $10 < x < 50$

A) Para $10 < x < 50$ Correcto. $-x^2 + 60x - 500 > 0 \Leftrightarrow x^2 - 60x + 500 < 0 \Leftrightarrow (x - 10)(x - 50) < 0$ .
B) Para $x > 10$ Incorrecto. Si $x = 60$ , $U = -3\,600 + 3\,600 - 500 = -500$ ; vender demasiado vuelve a dar pérdida.
C) Para $x < 10$ o $x > 50$ Incorrecto. Ahí la utilidad es negativa; con $x = 0$ se pierden los 500 mil del costo fijo.
D) Para $0 < x < 30$ Incorrecto. 30 es el vértice, donde la utilidad es máxima (400 mil); entre 30 y 50 sigue siendo positiva.

💡 Explicación

Se pide

U(x) > 0

. Multiplicando por

-1

(se invierte el sentido):

x^2 - 60x + 500 < 0

. Las raíces son 10 y 50 porque

10 \cdot 50 = 500

y

10 + 50 = 60

. La parábola

x^2 - 60x + 500

es negativa entre las raíces, así que la utilidad es positiva para

10 < x < 50

.

Bloom: Analyze

En la calibración de un instrumento de una universidad de Tunja se exige que $\frac{3}{x - 2} < 1$ .

¿Cuál es el conjunto solución de

\dfrac{3}{x - 2} < 1

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$

A) $(5, \infty)$ Incorrecto. Se multiplicó por $x - 2$ suponiéndolo positivo; para $x < 2$ el cociente es negativo y también es menor que 1.
B) $(-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ Correcto. $\frac{3}{x-2} - 1 = \frac{5 - x}{x - 2} < 0$ , que se cumple para $x < 2$ o $x > 5$ .
C) $(2, 5)$ Incorrecto. En ese intervalo el cociente es mayor que 1; con $x = 3$ , $\frac{3}{1} = 3$ .
D) $(-\infty, 5)$ Incorrecto. Incluye valores entre 2 y 5 donde $\frac{3}{x-2} > 1$ , y además $x = 2$ anula el denominador.

💡 Explicación

No se multiplica por

x - 2

porque su signo es desconocido. Se pasa todo a un lado:

\frac{3}{x-2} - 1 = \frac{3 - (x-2)}{x-2} = \frac{5 - x}{x - 2} < 0

. Puntos críticos 2 y 5. Con

x = 0

:

\frac{5}{-2} < 0

cumple; con

x = 3

:

\frac{2}{1} > 0

no cumple; con

x = 6

:

\frac{-1}{4} < 0

cumple.

Bloom: Analyze

En un simulacro Saber 11 en Montería aparece la inecuación $|x + 1| < -2$ y varios estudiantes proponen respuestas distintas.

¿Cuál es el conjunto solución de

|x + 1| < -2

?

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Respuesta correcta: A) No tiene solución, porque un valor absoluto nunca es negativo.

A) No tiene solución, porque un valor absoluto nunca es negativo.Correcto. $|x + 1| \ge 0 > -2$ para todo real, así que ningún $x$ cumple la desigualdad.
B) $(-3, 1)$ Incorrecto. Se aplicó $-a < u < a$ con $a = -2$ intercambiando extremos; esa regla solo vale si $a > 0$ . Con $x = 0$ , $|1| = 1$ , que no es menor que $-2$ .
C) $x < -3$ Incorrecto. Con $x = -4$ , $|-3| = 3$ , que no es menor que $-2$ ; el valor absoluto siempre es al menos 0.
D) Todos los números reales.Incorrecto. Eso ocurriría con $|x + 1| > -2$ ; aquí se pide que el valor absoluto sea menor que un negativo.

💡 Explicación

El valor absoluto mide una distancia, así que

|x + 1| \ge 0

para todo

x

. Un número mayor o igual que 0 nunca es menor que

-2

, de modo que el conjunto solución es vacío. La regla

|u| < a \Leftrightarrow -a < u < a

solo se usa cuando

a > 0

.

Bloom: Evaluate

Una familia de Bogotá tiene 180 000 pesos semanales para proteína: el kilo de carne cuesta 32 000 y el de pollo 14 000; si compra $c$ kg de carne y $q$ kg de pollo, debe cumplir $32\,000c + 14\,000q \le 180\,000$ .

¿Cuál de estas compras respeta el presupuesto?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 3 kg de carne y 6 kg de pollo

A) 4 kg de carne y 4 kg de polloIncorrecto. $32\,000 \cdot 4 + 14\,000 \cdot 4 = 128\,000 + 56\,000 = 184\,000 > 180\,000$ .
B) 3 kg de carne y 6 kg de polloCorrecto. $96\,000 + 84\,000 = 180\,000$ , que cumple $\le 180\,000$ (gasta exactamente el presupuesto).
C) 5 kg de carne y 2 kg de polloIncorrecto. $160\,000 + 28\,000 = 188\,000$ ; se excede en 8 000 pesos.
D) 2 kg de carne y 9 kg de polloIncorrecto. $64\,000 + 126\,000 = 190\,000$ ; aunque compra menos carne, el pollo extra supera el límite.

💡 Explicación

Cada opción es un punto

(c, q)

y se reemplaza en

32\,000c + 14\,000q

. Resultados: A da 184 000, B da 180 000, C da 188 000 y D da 190 000. Solo B cumple la desigualdad

\le 180\,000

; la igualdad está permitida porque "no pasarse" incluye gastar exactamente el presupuesto.

Bloom: Evaluate

En un grupo de estudio de Cartagena, Sofía afirma: "como $x^2 > 9$ , entonces $x > 3$ ".

¿Cuál es la mejor evaluación de la afirmación de Sofía?

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Respuesta correcta: D) Es incorrecta; la solución es $x < -3$ o $x > 3$ .

A) Es correcta, porque sacar raíz cuadrada conserva la desigualdad.Incorrecto. La raíz de $x^2$ es $|x|$ , no $x$ ; con $x = -4$ se tiene $16 > 9$ y, sin embargo, $-4 > 3$ es falso.
B) Es incorrecta; la solución es $-3 < x < 3$ .Incorrecto. Ese intervalo resuelve $x^2 < 9$ ; con $x = 0$ , $0 > 9$ es falso.
C) Es correcta, porque la raíz de 9 es 3 y el sentido no cambia.Incorrecto. Olvida la raíz negativa $-3$ ; los valores menores que $-3$ también tienen cuadrado mayor que 9.
D) Es incorrecta; la solución es $x < -3$ o $x > 3$ .Correcto. $x^2 > 9 \Leftrightarrow |x| > 3$ ; por ejemplo $x = -5$ cumple $25 > 9$ .

💡 Explicación

x^2 > 9 \Leftrightarrow x^2 - 9 > 0 \Leftrightarrow (x - 3)(x + 3) > 0

, que es positivo fuera de las raíces:

x < -3

o

x > 3

. Sofía tomó solo la rama positiva. Un contraejemplo basta para refutarla:

x = -4

cumple la hipótesis pero no la conclusión.

Bloom: Evaluate

Un teatro de Cali estima que si la boleta cuesta $p$ miles de pesos asisten $400 - 10p$ personas, y necesita recaudar al menos 3 000 000 de pesos (3 000 miles) por función.

¿Qué precios cumplen la meta de recaudo?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $10 \le p \le 30$

A) $p \ge 30$ Incorrecto. Con $p = 35$ asisten 50 personas y el recaudo es $35 \cdot 50 = 1\,750$ miles; precios altos espantan público.
B) $p \le 10$ Incorrecto. Con $p = 5$ el recaudo es $5 \cdot 350 = 1\,750$ miles; precios bajos no alcanzan la meta.
C) $10 \le p \le 30$ Correcto. $p(400 - 10p) \ge 3\,000 \Leftrightarrow p^2 - 40p + 300 \le 0 \Leftrightarrow (p - 10)(p - 30) \le 0$ .
D) $p \le 20$ Incorrecto. 20 es el precio de máximo recaudo (4 000 miles), pero precios entre 20 y 30 también cumplen y los menores que 10 no.

💡 Explicación

Recaudo

R(p) = p(400 - 10p) = 400p - 10p^2

. Se exige

400p - 10p^2 \ge 3\,000

; dividiendo entre

-10

se invierte el sentido:

p^2 - 40p + 300 \le 0

, con raíces 10 y 30. La parábola es no positiva entre ellas, así que

10 \le p \le 30

; en ambos extremos

R = 3\,000

exactamente.

Bloom: Evaluate

Un parqueadero de Barranquilla cobra 2 500 pesos la primera hora y 1 800 por cada hora adicional completa; Laura tiene 15 000 pesos y $h \ge 1$ son las horas enteras que paga.

¿Qué inecuación modela la situación y cuál es el máximo de horas que puede pagar?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $2\,500 + 1\,800(h - 1) \le 15\,000$ ; máximo 7 h

A) $2\,500 + 1\,800h \le 15\,000$ ; máximo 6 hIncorrecto. Así se cobra la primera hora dos veces; solo las $h - 1$ horas adicionales cuestan 1 800, y con 7 h Laura paga 13 300.
B) $2\,500 + 1\,800(h - 1) \ge 15\,000$ ; mínimo 8 hIncorrecto. El sentido está invertido: el gasto no debe superar los 15 000 pesos, así que la desigualdad es $\le$ .
C) $2\,500 + 1\,800(h - 1) \le 15\,000$ ; máximo 8 hIncorrecto. La inecuación es correcta, pero $h \le 7{,}94$ se redondeó hacia arriba; 8 h cuestan $2\,500 + 12\,600 = 15\,100$ .
D) $2\,500 + 1\,800(h - 1) \le 15\,000$ ; máximo 7 hCorrecto. $1\,800(h - 1) \le 12\,500 \Rightarrow h \le 7{,}94$ , y el mayor entero es 7 (cuesta 13 300).

💡 Explicación

El costo de

h

horas es

2\,500 + 1\,800(h - 1)

y no puede exceder 15 000:

1\,800(h-1) \le 12\,500

,

h - 1 \le 6{,}94

,

h \le 7{,}94

. Como las horas son enteras, el máximo es 7. Comprobación: 7 h cuestan

2\,500 + 1\,800 \cdot 6 = 13\,300

y 8 h cuestan 15 100, que se pasa.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

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