Limites — Matemáticas Grado 11, Colombia

Bloom: Understand

Un sensor de una estación meteorológica en Medellín reporta valores de $f(x)$ cerca de $x = 2$ : $f(1{,}9) = 4{,}61$ ; $f(1{,}99) = 4{,}9601$ ; $f(2{,}01) = 5{,}0401$ ; $f(2{,}1) = 5{,}41$ .

Según la tabla, ¿cuál es el valor más razonable para

\lim_{x \to 2} f(x)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 5

A) 4,9601Incorrecto. Ese es solo el valor en $x = 1{,}99$ ; el límite es el número al que se acercan los valores por ambos lados, no un dato de la tabla.
B) 5Correcto. Por la izquierda (4,61; 4,9601) y por la derecha (5,41; 5,0401) los valores se acercan a 5.
C) No existe, porque la tabla no muestra $f(2)$ .Incorrecto. El límite no depende del valor en $x = 2$ ; depende del comportamiento de $f$ cerca de 2, que la tabla sí muestra.
D) 5,0401Incorrecto. Es el valor en $x = 2{,}01$ ; tomarlo ignora que los valores de la izquierda también convergen y que ambos lados apuntan a 5.

💡 Explicación

Para estimar un límite con una tabla se observa la tendencia por ambos lados. Por la izquierda: 4,61 y 4,9601 crecen hacia 5. Por la derecha: 5,41 y 5,0401 decrecen hacia 5. Como ambos lados coinciden,

\lim_{x \to 2} f(x) = 5

. Los datos son de

f(x) = x^2 + 1

, y

2^2 + 1 = 5

.

Bloom: Remember

En una clase de cálculo de un colegio de Cúcuta se modela el costo de producción con un polinomio y se pide su límite cuando $x$ tiende a 3.

¿Cuál es el valor de

\lim_{x \to 3} (2x^2 - x + 4)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 19

A) 19Correcto. En un polinomio basta sustituir: $2(9) - 3 + 4 = 18 - 3 + 4 = 19$ .
B) 25Incorrecto. Se sumó $x$ en lugar de restarlo: $18 + 3 + 4 = 25$ ; el término es $-x = -3$ .
C) 13Incorrecto. Se calculó $2x^2$ como $2 \cdot 3 \cdot 2 = 12$ ; elevar al cuadrado es $3^2 = 9$ y luego multiplicar por 2 da 18.
D) 37Incorrecto. Se elevó al cuadrado el producto, $(2 \cdot 3)^2 = 36$ ; en $2x^2$ el exponente afecta solo a $x$ .

💡 Explicación

Los polinomios son continuos, así que su límite en un punto es su valor en ese punto:

\lim_{x \to 3}(2x^2 - x + 4) = 2 \cdot 3^2 - 3 + 4

. Primero la potencia,

3^2 = 9

; luego

2 \cdot 9 = 18

; finalmente

18 - 3 + 4 = 19

.

Bloom: Understand

En un taller de preparación Saber 11 en Bogotá se discute qué significa escribir $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .

¿Cuál interpretación es correcta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) Los valores de $f(x)$ se acercan a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$ por ambos lados, sin importar qué pase en $x = a$ .

A) Significa que necesariamente $f(a) = L$ .Incorrecto. El límite puede existir aunque $f(a)$ no esté definida o sea distinto de $L$ ; la igualdad $f(a) = L$ es la condición de continuidad.
B) Significa que $f(x)$ llega a valer exactamente $L$ para algún $x$ cercano a $a$ .Incorrecto. El límite describe una tendencia: $f(x)$ se acerca a $L$ ; no exige que algún valor sea igual a $L$ .
C) Los valores de $f(x)$ se acercan a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$ por ambos lados, sin importar qué pase en $x = a$ .Correcto. Esa es la idea del límite: tendencia de $f(x)$ cerca de $a$ , por izquierda y derecha, independiente de $f(a)$ .
D) Significa que $f(x)$ se acerca a $L$ solo cuando $x$ se acerca a $a$ por la derecha.Incorrecto. Eso define el límite lateral derecho; el límite bilateral exige que ambos laterales existan y sean iguales.

💡 Explicación

\lim_{x \to a} f(x) = L

quiere decir que podemos hacer

f(x)

tan cercano a

L

como queramos tomando

x

suficientemente cerca de

a

(por ambos lados, con

x \neq a

). Por ejemplo,

\frac{x^2 - 1}{x - 1}

no está definida en 1, pero su límite en 1 es 2.

Bloom: Understand

Una empresa de mensajería de Pereira usa una función $f$ definida por $f(x) = x + 1$ si $x < 2$ , $f(2) = 5$ y $f(x) = 3x - 3$ si $x > 2$ .

¿Cuál es

\lim_{x \to 2} f(x)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 3

A) 5Incorrecto. 5 es el valor $f(2)$ , que no interviene en el límite; los dos trozos se acercan a 3.
B) No existe, porque $f(2)$ es distinto de los límites laterales.Incorrecto. Esa diferencia impide la continuidad, no la existencia del límite; los laterales valen 3 y 3.
C) 3Correcto. Por la izquierda $2 + 1 = 3$ y por la derecha $3(2) - 3 = 3$ ; los laterales coinciden.
D) No existe, porque la función cambia de fórmula en $x = 2$ .Incorrecto. Cambiar de fórmula no basta para que el límite falte; lo que importa es si los laterales coinciden, y aquí ambos valen 3.

💡 Explicación

Se calculan los laterales con el trozo correspondiente. Izquierda:

\lim_{x \to 2^-}(x + 1) = 3

. Derecha:

\lim_{x \to 2^+}(3x - 3) = 3

. Como coinciden,

\lim_{x \to 2} f(x) = 3

. El valor

f(2) = 5

no altera el límite; solo muestra que

f

no es continua en 2.

Bloom: Apply

Un analista de datos en Barranquilla encuentra la expresión $\frac{x^2 - 16}{x - 4}$ al calcular una razón de cambio y quiere su límite cuando $x \to 4$ .

¿Cuál es

\lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 - 16}{x - 4}

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 8

A) 0Incorrecto. Al sustituir se obtiene $\frac{0}{0}$ , que es una indeterminación, no el número 0.
B) No existe, porque se divide entre cero.Incorrecto. $\frac{0}{0}$ indica que hay que simplificar; tras factorizar el límite existe.
C) 4Incorrecto. Se simplificó $\frac{x^2 - 16}{x - 4}$ como $x$ , cancelando términos sueltos; lo correcto es factorizar $(x-4)(x+4)$ .
D) 8Correcto. $\frac{(x - 4)(x + 4)}{x - 4} = x + 4$ para $x \neq 4$ , y su límite es $4 + 4 = 8$ .

💡 Explicación

La sustitución directa da

\frac{16 - 16}{4 - 4} = \frac{0}{0}

. Se factoriza la diferencia de cuadrados:

x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)

. Para

x \neq 4

se cancela

x - 4

y queda

x + 4

, así

\lim_{x \to 4} (x + 4) = 8

.

Bloom: Apply

En una práctica de la Universidad Industrial de Santander se analiza $\frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$ cerca de $x = 9$ .

¿Cuál es

\lim_{x \to 9} \dfrac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $\frac{1}{6}$

A) $\frac{1}{6}$ Correcto. Multiplicando por el conjugado, queda $\frac{1}{\sqrt{x} + 3}$ , que en 9 vale $\frac{1}{3 + 3}$ .
B) 0Incorrecto. El numerador tiende a 0, pero el denominador también; $\frac{0}{0}$ es indeterminado y no equivale a 0.
C) 6Incorrecto. Se invirtió la fracción: tras racionalizar, el $\sqrt{x} + 3$ queda en el denominador, no en el numerador.
D) No existe.Incorrecto. La forma $\frac{0}{0}$ se resuelve racionalizando, y el límite resultante es el número $\frac{1}{6}$ .

💡 Explicación

Al sustituir se obtiene

\frac{0}{0}

. Se multiplica por el conjugado

\sqrt{x} + 3

:

\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}{(x-9)(\sqrt{x}+3)} = \frac{x - 9}{(x-9)(\sqrt{x}+3)} = \frac{1}{\sqrt{x}+3}

. Entonces el límite es

\frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{6}

.

Bloom: Apply

Una fábrica de cuadernos en Itagüí tiene costos fijos de 4 000 000 de pesos y un costo de 2 500 pesos por cuaderno; el costo promedio es $C(x) = \frac{2\,500x + 4\,000\,000}{x}$ .

¿A qué valor se acerca el costo promedio por cuaderno cuando la producción

x

crece sin límite?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 2 500 pesos

A) 0 pesosIncorrecto. Solo la parte fija $\frac{4\,000\,000}{x}$ tiende a 0; el costo de 2 500 por unidad se mantiene.
B) Crece sin límite.Incorrecto. El costo total crece, pero se divide entre $x$ ; el promedio disminuye hacia un valor fijo.
C) 2 500 pesosCorrecto. $C(x) = 2\,500 + \frac{4\,000\,000}{x}$ y el segundo término tiende a 0 cuando $x \to \infty$ .
D) 4 000 000 pesosIncorrecto. Ese es el costo fijo total; repartido entre muchos cuadernos su aporte por unidad se vuelve despreciable.

💡 Explicación

Se separa la fracción:

C(x) = \frac{2\,500x}{x} + \frac{4\,000\,000}{x} = 2\,500 + \frac{4\,000\,000}{x}

. Cuando

x \to \infty

,

\frac{4\,000\,000}{x} \to 0

, así

\lim_{x \to \infty} C(x) = 2\,500

pesos. Por ejemplo, con un millón de cuadernos,

C = 2\,504

.

Bloom: Apply

En un club de matemáticas de Valledupar se propone calcular $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ , que aparece al estudiar el volumen de cajas.

¿Cuál es el valor del límite?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $\frac{3}{2}$

A) 1Incorrecto. Se cancelaron los "1" y las potencias como si $\frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} = \frac{x^3}{x^2}$ ; no se pueden simplificar términos de una resta.
B) No existe, porque da $\frac{0}{0}$ .Incorrecto. $\frac{0}{0}$ es una indeterminación; al factorizar el límite resulta un número.
C) $\frac{2}{3}$ Incorrecto. Se invirtió el cociente; tras simplificar queda $\frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ , con 3 arriba y 2 abajo.
D) $\frac{3}{2}$ Correcto. $\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} \to \frac{3}{2}$ .

💡 Explicación

Sustituir da

\frac{0}{0}

. Se factorizan:

x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

(diferencia de cubos) y

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

. Cancelando

x - 1

:

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}

.

Bloom: Apply

Un programa que controla la dirección de un dron en el Eje Cafetero usa $s(x) = \frac{|x|}{x}$ , que indica si una lectura es positiva o negativa.

¿Cuál es

\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|x|}{x}

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $-1$

A) 1Incorrecto. Ese es el límite por la derecha; para $x < 0$ , $|x| = -x$ y el cociente vale $-1$ .
B) $-1$ Correcto. Si $x < 0$ , $\frac{|x|}{x} = \frac{-x}{x} = -1$ , constante, así que el límite lateral izquierdo es $-1$ .
C) 0Incorrecto. El numerador y el denominador tienden a 0, pero su cociente es constante igual a $-1$ para todo $x < 0$ .
D) No existe.Incorrecto. El límite bilateral no existe, pero aquí se pide solo el lateral izquierdo, que sí existe y vale $-1$ .

💡 Explicación

Para

x < 0

se cumple

|x| = -x

, por lo que

\frac{|x|}{x} = -1

en todo el lado izquierdo; entonces

\lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = -1

. Por la derecha el cociente es 1. Como los laterales difieren, el límite bilateral no existe, pero cada lateral sí.

Bloom: Apply

Un entrenador de atletismo en Cali estudia la expresión $\frac{(3 + h)^2 - 9}{h}$ , que da la rapidez media de crecimiento del área de un cuadrado de lado 3 m cuando el lado aumenta $h$ metros.

¿Cuál es

\lim_{h \to 0} \dfrac{(3 + h)^2 - 9}{h}

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) 6

A) 0Incorrecto. Se desarrolló $(3 + h)^2$ como $9 + h^2$ , olvidando el término $6h$ ; así quedaría $h \to 0$ .
B) 6Correcto. $(3+h)^2 - 9 = 6h + h^2$ , al dividir entre $h$ queda $6 + h \to 6$ .
C) 3Incorrecto. Se tomó el doble producto como $3h$ en lugar de $2 \cdot 3 \cdot h = 6h$ .
D) No existe.Incorrecto. La forma $\frac{0}{0}$ desaparece al expandir y simplificar; el resultado es el número 6.

💡 Explicación

Al sustituir

h = 0

queda

\frac{0}{0}

. Se expande:

(3 + h)^2 = 9 + 6h + h^2

, así el numerador es

6h + h^2 = h(6 + h)

. Para

h \neq 0

, el cociente es

6 + h

y su límite es 6 m²/m: el área crece 6 veces más rápido que el lado en ese instante.

Bloom: Analyze

En un análisis de señales en un laboratorio de Bucaramanga aparece $g(x) = \frac{x^2 - 4}{|x - 2|}$ cerca de $x = 2$ .

¿Qué se puede concluir sobre

\lim_{x \to 2} g(x)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) No existe, porque los límites laterales son 4 y $-4$ .

A) Vale 4.Incorrecto. 4 es solo el límite por la derecha; por la izquierda $|x - 2| = -(x - 2)$ y el límite es $-4$ .
B) Vale 0.Incorrecto. Que numerador y denominador tiendan a 0 no da 0; al simplificar cada lado se obtiene $\pm(x + 2)$ .
C) No existe, porque los límites laterales son 4 y $-4$ .Correcto. Por la derecha $g(x) = x + 2 \to 4$ y por la izquierda $g(x) = -(x + 2) \to -4$ .
D) No existe, porque $g(2)$ no está definida.Incorrecto. La conclusión es correcta pero la razón no: un límite puede existir aunque $g(2)$ no esté definida; aquí falla porque los laterales difieren.

💡 Explicación

Si

x > 2

:

|x - 2| = x - 2

y

g(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2 \to 4

. Si

x < 2

:

|x - 2| = -(x - 2)

y

g(x) = -(x + 2) \to -4

. Como

4 \neq -4

, el límite bilateral no existe. La causa es la diferencia de laterales, no la falta de

g(2)

.

Bloom: Analyze

Biólogos del lago de Tota (Boyacá) modelan la proporción de truchas marcadas con $R(x) = \frac{5x^3 - 2x}{2x^3 + 7x^2}$ , donde $x$ son meses de seguimiento.

¿Cuál es

\lim_{x \to \infty} R(x)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $\frac{5}{2}$

A) 0Incorrecto. El límite es 0 cuando el grado del numerador es menor; aquí ambos son de grado 3.
B) $\frac{5}{2}$ Correcto. Al dividir todo entre $x^3$ : $\frac{5 - 2/x^2}{2 + 7/x} \to \frac{5}{2}$ .
C) $-\frac{2}{7}$ Incorrecto. Se dividieron los coeficientes de los términos de menor grado; al infinito dominan los de mayor grado, $5x^3$ y $2x^3$ .
D) $\infty$ Incorrecto. Crecería sin límite si el numerador tuviera mayor grado que el denominador; con grados iguales el límite es finito.

💡 Explicación

Se divide numerador y denominador entre la mayor potencia,

x^3

:

R(x) = \frac{5 - \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{7}{x}}

. Cuando

x \to \infty

,

\frac{2}{x^2} \to 0

y

\frac{7}{x} \to 0

, de modo que

R(x) \to \frac{5}{2}

, el cociente de los coeficientes principales.

Bloom: Analyze

Un ingeniero eléctrico en Bogotá estudia la corriente $I(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ cuando la resistencia $x$ se acerca a 2 desde valores menores.

¿Cuál es

\lim_{x \to 2^-} \dfrac{x + 1}{x - 2}

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $-\infty$

A) $-\infty$ Correcto. El numerador tiende a 3 (positivo) y el denominador tiende a 0 con valores negativos, así que el cociente decrece sin límite.
B) $+\infty$ Incorrecto. Ese es el límite por la derecha; con $x < 2$ el denominador $x - 2$ es negativo y el signo del cociente es negativo.
C) 0Incorrecto. Un denominador que tiende a 0 con numerador distinto de 0 hace crecer el cociente en valor absoluto, no lo anula.
D) 3Incorrecto. 3 es el límite del numerador; se ignoró que el denominador se acerca a 0.

💡 Explicación

Con

x = 1{,}9

:

\frac{2{,}9}{-0{,}1} = -29

; con

x = 1{,}99

:

\frac{2{,}99}{-0{,}01} = -299

. El numerador tiende a 3 y el denominador a

0^-

, por lo que

\frac{x+1}{x-2} \to -\infty

. Hay una asíntota vertical en

x = 2

.

Bloom: Analyze

En una tarea, Camila (estudiante de Manizales) escribe: "al reemplazar $x = 0$ en $\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ obtengo $\frac{0}{0}$ ; por lo tanto, $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x}$ no existe".

¿Qué evaluación del razonamiento de Camila es correcta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Es incorrecto: $\frac{0}{0}$ es una indeterminación; al racionalizar el límite vale $\frac{1}{4}$ .

A) Es incorrecto: $\frac{0}{0}$ es una indeterminación; al racionalizar el límite vale $\frac{1}{4}$ .Correcto. $\frac{\sqrt{x+4} - 2}{x} = \frac{1}{\sqrt{x+4} + 2} \to \frac{1}{4}$ .
B) Es correcto: si se obtiene $\frac{0}{0}$ , el límite no existe.Incorrecto. $\frac{0}{0}$ solo indica que la sustitución no decide; muchos límites con esa forma existen, como este, que vale $\frac{1}{4}$ .
C) Es incorrecto: el límite vale 0 porque el numerador tiende a 0.Incorrecto. El denominador también tiende a 0; el cociente de dos cantidades pequeñas puede ser cualquier número, aquí $\frac{1}{4}$ .
D) Es incorrecto: el límite vale $\frac{1}{2}$ .Incorrecto. Tras racionalizar queda $\frac{1}{\sqrt{x+4} + 2}$ ; en 0 el denominador es $2 + 2 = 4$ , no 2.

💡 Explicación

Se multiplica por el conjugado:

\frac{(\sqrt{x+4} - 2)(\sqrt{x+4} + 2)}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{x + 4 - 4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x+4}+2}

. Su límite en 0 es

\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}

. El error de Camila fue confundir indeterminación con inexistencia.

Bloom: Analyze

En la olimpiada de matemáticas de Antioquia se pide el valor de $a$ para que exista $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + ax - 6}{x - 2}$ .

¿Qué valor de

a

hace que el límite exista y cuánto vale el límite?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) $a = 1$ y el límite vale 5

A) $a = -1$ y el límite vale 3Incorrecto. Con $a = -1$ el numerador en 2 es $4 - 2 - 6 = -4 \neq 0$ , así que el cociente crece sin límite.
B) $a = 3$ y el límite vale 0Incorrecto. Con $a = 3$ el numerador en 2 es $4 + 6 - 6 = 4$ , no 0; el límite tampoco existe.
C) $a = 1$ y el límite vale 5Correcto. $4 + 2a - 6 = 0 \Rightarrow a = 1$ , y $\frac{x^2 + x - 6}{x - 2} = x + 3 \to 5$ .
D) $a = 1$ y el límite no existeIncorrecto. El valor de $a$ es correcto, pero con él el numerador tiene el factor $x - 2$ y el límite existe: $x + 3 \to 5$ .

💡 Explicación

Como el denominador tiende a 0, el límite solo puede existir si el numerador también tiende a 0:

2^2 + 2a - 6 = 0 \Rightarrow a = 1

. Entonces

x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3)

y

\lim_{x \to 2} (x + 3) = 5

.

Bloom: Analyze

Un topógrafo en Neiva compara la distancia $\sqrt{x^2 + 6x}$ con $x$ para valores muy grandes de $x$ .

¿Cuál es

\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) 3

A) 0Incorrecto. " $\infty - \infty$ " no es 0; es una indeterminación y hay que transformar la expresión.
B) $\infty$ Incorrecto. Ambos términos crecen, pero su diferencia se estabiliza; con $x = 1\,000$ la diferencia es aproximadamente 2,99.
C) 6Incorrecto. Al racionalizar el denominador queda $\sqrt{x^2+6x} + x \approx 2x$ , no $x$ ; por eso se divide $6x$ entre $2x$ .
D) 3Correcto. $\frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \frac{6}{\sqrt{1 + 6/x} + 1} \to \frac{6}{2} = 3$ .

💡 Explicación

Se multiplica y divide por el conjugado:

\sqrt{x^2+6x} - x = \frac{x^2 + 6x - x^2}{\sqrt{x^2+6x} + x} = \frac{6x}{\sqrt{x^2+6x} + x}

. Dividiendo entre

x

:

\frac{6}{\sqrt{1 + 6/x} + 1} \to \frac{6}{1 + 1} = 3

.

Bloom: Evaluate

En un programa de restauración del páramo de Sumapaz, el número de frailejones plantados que sobreviven tras $t$ años se modela con $P(t) = \frac{8\,000t}{t + 4}$ .

¿Qué interpretación a largo plazo es correcta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) La población se acerca a 8 000 frailejones sin llegar a alcanzarlos.

A) La población crece sin límite porque $P(t)$ siempre aumenta.Incorrecto. Aumentar no implica crecer sin límite; $P(t) < 8\,000$ para todo $t$ porque $t < t + 4$ .
B) La población se estabiliza en 2 000 frailejones.Incorrecto. Se dividió $8\,000/4$ ; al infinito, $\frac{t}{t+4} \to 1$ , así que el valor límite es 8 000.
C) La población llega a 8 000 a los 4 años.Incorrecto. $P(4) = \frac{32\,000}{8} = 4\,000$ ; 8 000 no se alcanza en ningún tiempo finito.
D) La población se acerca a 8 000 frailejones sin llegar a alcanzarlos.Correcto. $\lim_{t \to \infty} \frac{8\,000t}{t+4} = 8\,000$ y $P(t) < 8\,000$ para todo $t \ge 0$ .

💡 Explicación

Dividiendo entre

t

:

P(t) = \frac{8\,000}{1 + 4/t} \to 8\,000

cuando

t \to \infty

. Además

\frac{t}{t + 4} < 1

, así que

P(t)

nunca llega a 8 000: hay una asíntota horizontal en 8 000. Por ejemplo

P(4) = 4\,000

y

P(36) = 7\,200

.

Bloom: Evaluate

En una evaluación de cálculo en Tunja se analiza $f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}$ alrededor de $x = 2$ .

¿Cuál afirmación es correcta?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , aunque $f(2)$ no existe.

A) El límite en $x = 2$ no existe porque $f(2)$ no está definida.Incorrecto. El límite estudia valores cercanos a 2, no el valor en 2; al simplificar, $f(x) = x + 1 \to 3$ .
B) $\lim_{x \to 2} f(x) = 3$ , aunque $f(2)$ no existe.Correcto. $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ , así $f(x) = x + 1$ para $x \neq 2$ y el límite es 3.
C) $f(2) = 3$ .Incorrecto. En $x = 2$ el denominador es 0 y $f(2)$ no está definida; 3 es el límite, no el valor de la función.
D) Hay una asíntota vertical en $x = 2$ .Incorrecto. Para asíntota vertical el cociente debería crecer sin límite; aquí el factor $x - 2$ se cancela y hay solo un hueco en $(2, 3)$ .

💡 Explicación

Factorizando,

f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x + 1

para

x \neq 2

. Por tanto

\lim_{x \to 2} f(x) = 3

, pero

f(2)

no existe porque anula el denominador. La gráfica es la recta

y = x + 1

con un hueco en

(2, 3)

, no una asíntota.

Bloom: Evaluate

Una ciclista sube el Alto de Letras (Caldas) y su posición en metros es $s(t) = 0{,}5t^2 + 2t$ , con $t$ en segundos, durante un tramo de prueba.

La velocidad instantánea en

t = 4

es

\lim_{h \to 0} \frac{s(4 + h) - s(4)}{h}

. ¿Cuál es su valor?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) 6 m/s

A) 6 m/sCorrecto. $s(4+h) - s(4) = 6h + 0{,}5h^2$ ; dividido entre $h$ da $6 + 0{,}5h \to 6$ .
B) 4 m/sIncorrecto. Esa es la velocidad media entre 0 y 4 s, $\frac{s(4) - s(0)}{4} = \frac{16}{4}$ ; no es la instantánea.
C) 16 m/sIncorrecto. 16 m es la posición $s(4)$ , no una velocidad; falta el cociente de cambio.
D) 2 m/sIncorrecto. 2 es solo el coeficiente del término lineal; se omitió el aporte de $0{,}5t^2$ , que en $t = 4$ suma 4 m/s.

💡 Explicación

s(4) = 0{,}5(16) + 8 = 16

.

s(4 + h) = 0{,}5(16 + 8h + h^2) + 8 + 2h = 16 + 6h + 0{,}5h^2

. Entonces

\frac{s(4+h) - s(4)}{h} = 6 + 0{,}5h

, y su límite cuando

h \to 0

es 6 m/s.

Bloom: Evaluate

Un profesor de Villavicencio propone cuatro funciones y pide identificar la que tiene límite igual a 2 cuando $x \to 1$ .

¿Cuál de estas funciones cumple

\lim_{x \to 1} f(x) = 2

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: D) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

A) $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$ Incorrecto. El numerador tiende a 2 y el denominador a 0, así que el cociente crece sin límite; no hay factor común que se cancele.
B) $f(x) = \frac{|x - 1|}{x - 1}$ Incorrecto. Sus laterales en 1 son $-1$ y 1; el límite no existe.
C) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}$ Incorrecto. Al simplificar queda $x - 1$ , cuyo límite en 1 es 0, no 2.
D) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ Correcto. $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \to 2$ .

💡 Explicación

Se analiza cada opción. A:

\frac{2}{0}

, tiende a infinito. B: el cociente vale

-1

a la izquierda y 1 a la derecha, no hay límite. C:

\frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x - 1 \to 0

. D:

\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1 \to 2

. Solo D tiene límite 2.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

¿Listo para practicar?