Un modelo de demanda de energía en Cali usa f(x) = 2x + 1 si x 1. ¿Qué condición de continuidad falla en x = 1?

A) La primera: f(1) no está definida.

C) La segunda: el límite en x = 1 no existe.

D) Ninguna: f es continua en x = 1.

Continuidad — Matemáticas Grado 11, Colombia

Bloom: Remember

En un curso de cálculo de la Universidad de Antioquia se repasa la definición formal de continuidad de una función $f$ en un punto $x = a$ .

¿Qué condiciones debe cumplir

f

para ser continua en

x = a

?

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Respuesta correcta: B) $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .

A) Basta con que $f(a)$ esté definida.Incorrecto. Una función puede estar definida en $a$ y tener un salto allí; también se necesita que el límite exista y coincida con $f(a)$ .
B) $f(a)$ está definida, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .Correcto. Son las tres condiciones de continuidad: valor definido, límite existente e igualdad entre ambos.
C) Los límites laterales en $a$ existen.Incorrecto. Los laterales pueden existir y ser distintos (discontinuidad de salto); además deben coincidir con $f(a)$ .
D) Que $f(a) = 0$ .Incorrecto. El valor de $f(a)$ puede ser cualquier número; lo que importa es que coincida con el límite en $a$ .

💡 Explicación

f

es continua en

a

si: (1)

f(a)

existe; (2)

\lim_{x \to a} f(x)

existe, es decir, los laterales coinciden; (3)

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

. Si falla cualquiera, hay discontinuidad. Por ejemplo,

\frac{x^2-1}{x-1}

falla la primera en

x = 1

.

Bloom: Understand

Un ingeniero de Ecopetrol en Barrancabermeja debe elegir un modelo de presión que no tenga saltos ni cortes para ningún valor real de $x$ .

¿Cuál de estas funciones es continua en todo

\mathbb{R}

?

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Respuesta correcta: A) $f(x) = x^3 - 2x + 5$

A) $f(x) = x^3 - 2x + 5$ Correcto. Es un polinomio, y los polinomios son continuos en todos los números reales.
B) $f(x) = \frac{1}{x - 1}$ Incorrecto. No está definida en $x = 1$ , donde el denominador se anula; allí tiene una discontinuidad infinita.
C) $f(x) = \sqrt{x}$ Incorrecto. Solo está definida para $x \ge 0$ ; en los negativos no hay valores reales, así que no es continua en todo $\mathbb{R}$ .
D) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ Incorrecto. En $x = 2$ el denominador es 0 y $f(2)$ no existe; tiene una discontinuidad (removible) en ese punto.

💡 Explicación

Los polinomios son continuos en todo

\mathbb{R}

porque se construyen con sumas y productos de funciones continuas. Las funciones racionales fallan donde se anula el denominador (B en 1, D en 2) y la raíz cuadrada solo existe para

x \ge 0

. Por eso solo A es continua en todos los reales.

Bloom: Understand

Un estudiante de Santa Marta grafica $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ y observa un "hueco" en la recta que aparece.

¿Qué tipo de discontinuidad tiene

f

en

x = 3

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) Removible

A) RemovibleCorrecto. $f(x) = x + 3$ para $x \neq 3$ , el límite existe y vale 6, pero $f(3)$ no está definida.
B) De saltoIncorrecto. En un salto los laterales son distintos; aquí ambos laterales valen 6.
C) InfinitaIncorrecto. Sería infinita si $f$ creciera sin límite cerca de 3; el factor $x - 3$ se cancela y el límite es 6.
D) Ninguna, $f$ es continua en $x = 3$ .Incorrecto. En $x = 3$ el denominador es 0, así que $f(3)$ no existe y falla la primera condición.

💡 Explicación

Factorizando,

f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3

para

x \neq 3

, de modo que

\lim_{x \to 3} f(x) = 6

. Como

f(3)

no está definida, la discontinuidad es removible: se elimina definiendo

f(3) = 6

. La gráfica es la recta

y = x + 3

con un hueco en

(3, 6)

.

Bloom: Understand

Un parqueadero de Bogotá cobra 4 000 pesos por cada hora o fracción: hasta 1 h paga 4 000, de más de 1 h hasta 2 h paga 8 000, de más de 2 h hasta 3 h paga 12 000, y así sucesivamente.

¿Qué ocurre con la función costo en

t = 2

horas?

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Respuesta correcta: D) Tiene una discontinuidad de salto.

A) Tiene una discontinuidad removible.Incorrecto. Removible exige que los laterales coincidan; aquí por la izquierda el costo es 8 000 y por la derecha 12 000.
B) Tiene una discontinuidad infinita.Incorrecto. El costo no crece sin límite cerca de 2 h; solo cambia de 8 000 a 12 000.
C) Es continua porque el costo está definido en $t = 2$ .Incorrecto. Estar definida es solo la primera condición; el límite en 2 no existe porque los laterales difieren.
D) Tiene una discontinuidad de salto.Correcto. El límite por la izquierda es 8 000 y por la derecha 12 000: un salto de 4 000 pesos.

💡 Explicación

Cobro por hora o fracción:

C(t) = 8\,000

para

1 < t \le 2

y

C(t) = 12\,000

para

2 < t \le 3

. En

t = 2

:

\lim_{t \to 2^-} C = 8\,000

y

\lim_{t \to 2^+} C = 12\,000

. Los laterales existen pero son distintos, lo que define una discontinuidad de salto de 4 000 pesos.

Bloom: Apply

Un modelo de demanda de energía en Cali usa $f(x) = 2x + 1$ si $x < 1$ , $f(1) = 4$ y $f(x) = x^2 + 2$ si $x > 1$ .

¿Qué condición de continuidad falla en

x = 1

?

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Respuesta correcta: B) La tercera: el límite vale 3 pero $f(1) = 4$ .

A) La primera: $f(1)$ no está definida.Incorrecto. $f(1) = 4$ está dado explícitamente, así que esa condición se cumple.
B) La tercera: el límite vale 3 pero $f(1) = 4$ .Correcto. Laterales: $2(1) + 1 = 3$ y $1^2 + 2 = 3$ ; el límite existe y es 3, distinto de $f(1)$ .
C) La segunda: el límite en $x = 1$ no existe.Incorrecto. Ambos laterales valen 3, así que el límite existe.
D) Ninguna: $f$ es continua en $x = 1$ .Incorrecto. Para ser continua se requiere $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$ , y $3 \neq 4$ .

💡 Explicación

Se revisan las tres condiciones. (1)

f(1) = 4

, definida. (2)

\lim_{x \to 1^-}(2x + 1) = 3

y

\lim_{x \to 1^+}(x^2 + 2) = 3

, el límite existe y vale 3. (3)

3 \neq 4

, falla. Es una discontinuidad removible: bastaría redefinir

f(1) = 3

.

Bloom: Apply

Una empresa de Medellín modela el desgaste de una pieza con $f(x) = kx + 3$ si $x < 2$ y $f(x) = x^2 + 5$ si $x \ge 2$ , y necesita que el modelo no tenga saltos.

¿Qué valor de

k

hace que

f

sea continua en

x = 2

?

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Respuesta correcta: C) $k = 3$

A) $k = 6$ Incorrecto. Se pasó el 3 sumando: $2k = 9 + 3$ ; al despejar $2k + 3 = 9$ el 3 se resta.
B) $k = \frac{9}{2}$ Incorrecto. Se igualó $2k = 9$ olvidando el término $+3$ del primer trozo.
C) $k = 3$ Correcto. Se igualan los valores en 2: $2k + 3 = 2^2 + 5 = 9$ , luego $2k = 6$ y $k = 3$ .
D) $k = -3$ Incorrecto. Se restó al revés: $2k = 3 - 9 = -6$ ; lo correcto es $2k = 9 - 3 = 6$ .

💡 Explicación

Para continuidad en 2 el límite por la izquierda debe igualar

f(2)

. Izquierda:

\lim_{x \to 2^-}(kx + 3) = 2k + 3

. Valor y límite derecho:

f(2) = 4 + 5 = 9

. Se resuelve

2k + 3 = 9 \Rightarrow k = 3

. Comprobación:

3(2) + 3 = 9

.

Bloom: Apply

Una empresa de energía en Cali cobra 700 pesos por kWh hasta el consumo de subsistencia de 173 kWh y 900 pesos por cada kWh adicional: $C(x) = 700x$ si $0 \le x \le 173$ y $C(x) = 121\,100 + 900(x - 173)$ si $x > 173$ .

¿Qué se puede afirmar sobre

C

en

x = 173

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: B) Es continua, y la factura en 173 kWh es 121 100 pesos.

A) Tiene un salto de 200 pesos.Incorrecto. 200 pesos es la diferencia de precio por kWh (la pendiente), no un salto en el valor de la factura; ambos trozos dan 121 100 en 173.
B) Es continua, y la factura en 173 kWh es 121 100 pesos.Correcto. $700 \cdot 173 = 121\,100$ y el segundo trozo tiende a $121\,100 + 0$ ; límite y valor coinciden.
C) No es continua, porque la fórmula cambia en 173.Incorrecto. Un cambio de fórmula no implica discontinuidad; lo que importa es que los valores coincidan en el punto, y coinciden.
D) Tiene una discontinuidad removible.Incorrecto. Removible exige que $C(173)$ falte o difiera del límite, y aquí $C(173) = 121\,100$ es igual al límite.

💡 Explicación

Por la izquierda:

\lim_{x \to 173^-} 700x = 121\,100

. Por la derecha:

\lim_{x \to 173^+} [121\,100 + 900(x - 173)] = 121\,100

. Además

C(173) = 121\,100

. Las tres condiciones se cumplen, así que

C

es continua: lo que cambia en 173 es la pendiente (de 700 a 900), no el valor.

Bloom: Apply

En un laboratorio de física de Pasto se analiza la función $f(x) = \frac{x + 2}{x^2 - 4}$ , que describe la respuesta de un circuito.

¿Cómo se clasifican las discontinuidades de

f

?

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Respuesta correcta: D) En $x = -2$ es removible y en $x = 2$ es infinita.

A) En $x = 2$ y $x = -2$ son ambas infinitas.Incorrecto. En $x = -2$ el factor $x + 2$ se cancela y el límite es $-\frac{1}{4}$ , finito; esa es removible.
B) En $x = 2$ es removible y en $x = -2$ es infinita.Incorrecto. Los tipos están intercambiados: el factor que se cancela es $x + 2$ , así que la removible está en $-2$ .
C) Solo hay discontinuidad en $x = 2$ .Incorrecto. En $x = -2$ el denominador también es 0, así que $f(-2)$ no existe y hay discontinuidad.
D) En $x = -2$ es removible y en $x = 2$ es infinita.Correcto. $f(x) = \frac{1}{x - 2}$ para $x \neq -2$ : límite $-\frac{1}{4}$ en $-2$ y crecimiento sin límite en 2.

💡 Explicación

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

, así que

f

no está definida en

\pm 2

. Para

x \neq -2

,

f(x) = \frac{1}{x - 2}

. En

x = -2

:

\lim f = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}

, discontinuidad removible. En

x = 2

:

\frac{1}{x - 2} \to \pm\infty

, discontinuidad infinita (asíntota vertical).

Bloom: Apply

Un programador en Bogotá necesita que su función $g(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3}$ no tenga huecos, y para ello debe asignar un valor a $g(3)$ .

¿Qué valor debe tener

g(3)

para que

g

sea continua en

x = 3

?

Ver respuesta

Respuesta correcta: C) 1

A) 0Incorrecto. 0 es el valor del numerador en 3 ( $9 - 15 + 6$ ); el valor que se necesita es el límite del cociente simplificado.
B) 3Incorrecto. Se tomó el valor de $x$ ; tras simplificar, $g(x) = x - 2$ y en 3 vale 1.
C) 1Correcto. $\frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 3} = x - 2 \to 1$ , y definiendo $g(3) = 1$ se cumplen las tres condiciones.
D) Ninguno, porque en $x = 3$ hay una asíntota vertical.Incorrecto. El factor $x - 3$ se cancela; hay un hueco, no una asíntota, y se repara con $g(3) = 1$ .

💡 Explicación

Se factoriza:

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

. Para

x \neq 3

,

g(x) = x - 2

, así que

\lim_{x \to 3} g(x) = 1

. La discontinuidad es removible y se elimina definiendo

g(3) = 1

, igual al límite.

Bloom: Apply

Un grupo de investigación en Tunja busca una raíz de $f(x) = x^3 - x - 1$ y quiere un intervalo donde el teorema del valor intermedio garantice que existe.

¿En cuál intervalo se garantiza una raíz de

f

?

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Respuesta correcta: D) $[1, 2]$

A) $[-1, 0]$ Incorrecto. $f(-1) = -1$ y $f(0) = -1$ tienen el mismo signo; el teorema no garantiza ninguna raíz allí.
B) $[0, 1]$ Incorrecto. $f(0) = -1$ y $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ ; sin cambio de signo no hay garantía.
C) $[2, 3]$ Incorrecto. $f(2) = 5$ y $f(3) = 23$ son ambos positivos; no hay cambio de signo.
D) $[1, 2]$ Correcto. $f(1) = -1 < 0$ y $f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$ ; como $f$ es continua, se anula en algún punto de $(1, 2)$ .

💡 Explicación

El teorema del valor intermedio dice que si

f

es continua en

[a, b]

y

f(a)

,

f(b)

tienen signos opuestos, existe

c

en

(a, b)

con

f(c) = 0

.

f

es polinomio (continua). Valores:

f(-1) = -1

,

f(0) = -1

,

f(1) = -1

,

f(2) = 5

,

f(3) = 23

. El único cambio de signo está entre 1 y 2.

Bloom: Analyze

En un seminario de cálculo en Cartagena se sabe que $f$ es continua en $x = 2$ y que $g$ es discontinua en $x = 2$ .

¿Qué se puede concluir con certeza?

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Respuesta correcta: C) $f + g$ es discontinua en $x = 2$ .

A) $f + g$ es continua en $x = 2$ .Incorrecto. Si $f + g$ fuera continua, entonces $g = (f + g) - f$ sería resta de continuas y también continua, lo cual contradice el dato.
B) $f \cdot g$ es siempre discontinua en $x = 2$ .Incorrecto. Si $f(x) = 0$ para todo $x$ , el producto $f \cdot g = 0$ es continuo; el producto no tiene por qué ser discontinuo.
C) $f + g$ es discontinua en $x = 2$ .Correcto. Si fuera continua, $g = (f+g) - f$ sería continua en 2 por ser resta de funciones continuas, contradicción.
D) No se puede concluir nada sobre $f + g$ .Incorrecto. Sí se puede: el argumento por contradicción con $g = (f + g) - f$ muestra que $f + g$ es necesariamente discontinua.

💡 Explicación

La resta de funciones continuas en un punto es continua en ese punto. Supongamos que

f + g

es continua en 2; entonces

g = (f + g) - f

sería continua en 2, lo que contradice la hipótesis. Por tanto

f + g

es discontinua en 2. Para el producto no hay conclusión fija: con

f = 0

se obtiene

f \cdot g = 0

, continua.

Bloom: Analyze

En el aeropuerto El Dorado de Bogotá se registró 8 °C a las 6:00 a. m. y 19 °C a las 2:00 p. m. del mismo día.

Si la temperatura es una función continua del tiempo, ¿qué se puede afirmar con certeza?

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Respuesta correcta: D) En algún momento entre las 6:00 a. m. y las 2:00 p. m. la temperatura fue exactamente 15 °C.

A) A las 10:00 a. m. la temperatura era 13,5 °C.Incorrecto. 13,5 es el promedio de 8 y 19, pero la temperatura no tiene por qué subir de forma lineal.
B) La temperatura nunca superó 19 °C entre las 6:00 a. m. y las 2:00 p. m.Incorrecto. La continuidad no impide que la temperatura suba a 20 °C y luego baje a 19 °C antes de las 2:00 p. m.
C) La temperatura subió a ritmo constante.Incorrecto. La continuidad solo excluye saltos; no dice nada sobre la rapidez del cambio.
D) En algún momento entre las 6:00 a. m. y las 2:00 p. m. la temperatura fue exactamente 15 °C.Correcto. 15 está entre 8 y 19 y, por el teorema del valor intermedio, una función continua toma ese valor.

💡 Explicación

Sea

T(t)

la temperatura, continua en

[6, 14]

(horas), con

T(6) = 8

y

T(14) = 19

. El teorema del valor intermedio asegura que para cualquier valor

k

entre 8 y 19, como

k = 15

, existe

c

en

(6, 14)

con

T(c) = 15

. No informa en qué momento ni sobre el ritmo de cambio.

Bloom: Analyze

Un analista de una empresa de logística en Cúcuta usa $f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 4}$ y necesita saber en qué intervalos el modelo es continuo.

¿En qué conjunto es continua

f

?

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Respuesta correcta: D) $[1, 4) \cup (4, \infty)$

A) $\mathbb{R} - \{4\}$ Incorrecto. Para $x < 1$ el radicando es negativo y $\sqrt{x - 1}$ no es real; $f$ ni siquiera está definida ahí.
B) $(1, \infty)$ Incorrecto. Incluye $x = 4$ , donde el denominador es 0, y excluye $x = 1$ , donde $f(1) = 0$ está definida.
C) $[1, \infty)$ Incorrecto. Olvida que en $x = 4$ el denominador se anula y $f$ no está definida.
D) $[1, 4) \cup (4, \infty)$ Correcto. La raíz exige $x \ge 1$ y el denominador $x \neq 4$ ; en ese dominio $f$ es cociente de funciones continuas.

💡 Explicación

Una función construida con raíces y cocientes de funciones continuas es continua en su dominio. Condiciones:

x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1

y

x - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 4

. Por tanto

f

es continua en

[1, 4) \cup (4, \infty)

; en

x = 1

es continua por la derecha con

f(1) = 0

.

Bloom: Analyze

Santiago, estudiante de Armenia, afirma: "para $f(x) = \frac{1}{x}$ se tiene $f(-1) = -1$ y $f(1) = 1$ ; por el teorema del valor intermedio existe $c$ en $(-1, 1)$ con $f(c) = 0$ ".

¿Qué evaluación del razonamiento es correcta?

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Respuesta correcta: B) Es incorrecto: $f$ no es continua en $[-1, 1]$ (falla en $x = 0$ ), y de hecho $\frac{1}{x} = 0$ no tiene solución.

A) Es correcto, porque $f(-1)$ y $f(1)$ tienen signos opuestos.Incorrecto. El cambio de signo no basta; el teorema exige continuidad en todo $[-1, 1]$ , y $\frac{1}{x}$ no está definida en 0.
B) Es incorrecto: $f$ no es continua en $[-1, 1]$ (falla en $x = 0$ ), y de hecho $\frac{1}{x} = 0$ no tiene solución.Correcto. Sin continuidad en todo el intervalo el teorema no aplica, y una fracción con numerador 1 nunca vale 0.
C) Es incorrecto: la raíz es $c = 0$ .Incorrecto. $f(0)$ no existe porque se dividiría entre 0; 0 no puede ser raíz.
D) Es incorrecto: el teorema exige que $f(-1) = f(1)$ .Incorrecto. El teorema pide continuidad en $[a, b]$ y un valor entre $f(a)$ y $f(b)$ ; no exige que los extremos sean iguales.

💡 Explicación

El teorema del valor intermedio tiene una hipótesis esencial: continuidad en todo

[a, b]

.

f(x) = \frac{1}{x}

tiene discontinuidad infinita en

x = 0

, dentro de

[-1, 1]

, por lo que el teorema no se puede usar. Además

\frac{1}{x} = 0

no tiene solución, lo que confirma que la conclusión de Santiago es falsa.

Bloom: Analyze

Una empresa de mensajería en Colombia cobra por peso $w$ (kg): 8 000 pesos si $0 < w \le 1$ , 12 000 si $1 < w \le 3$ y 15 000 si $3 < w \le 5$ .

¿Dónde es discontinua la tarifa y de cuánto es el salto en

w = 1

kg?

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Respuesta correcta: C) En 1 y en 3 kg; el salto en 1 kg es de 4 000 pesos.

A) Es continua en todo $(0, 5]$ , porque está definida para cada peso.Incorrecto. Estar definida no basta; en 1 y en 3 los laterales difieren y el límite no existe.
B) En 1 y en 3 kg; el salto en 1 kg es de 12 000 pesos.Incorrecto. 12 000 es la tarifa después del salto; el salto es la diferencia $12\,000 - 8\,000 = 4\,000$ .
C) En 1 y en 3 kg; el salto en 1 kg es de 4 000 pesos.Correcto. En 1 la tarifa pasa de 8 000 a 12 000 y en 3 de 12 000 a 15 000: dos discontinuidades de salto.
D) Solo en 3 kg, con salto de 3 000 pesos.Incorrecto. En 3 sí hay salto de 3 000, pero también en 1 kg, donde la tarifa pasa de 8 000 a 12 000.

💡 Explicación

En

w = 1

:

\lim_{w \to 1^-} T = 8\,000

y

\lim_{w \to 1^+} T = 12\,000

, salto de 4 000. En

w = 3

: de 12 000 a 15 000, salto de 3 000. Dentro de cada tramo la tarifa es constante, por lo tanto continua. Las únicas discontinuidades, ambas de salto, están en 1 y 3 kg.

Bloom: Analyze

En un curso de la Universidad Nacional en Bogotá se estudia la función $g(x) = \frac{|x - 2|}{x - 2}$ y se discute si puede "repararse" en $x = 2$ .

¿Cuál afirmación es verdadera?

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Respuesta correcta: C) Sus límites laterales en 2 son $-1$ y 1, así que ninguna redefinición de $g(2)$ la hace continua.

A) Se vuelve continua definiendo $g(2) = 0$ .Incorrecto. Redefinir un punto solo repara discontinuidades removibles; aquí el límite en 2 no existe porque los laterales son $-1$ y 1.
B) Tiene una asíntota vertical en $x = 2$ .Incorrecto. $g$ solo toma los valores $-1$ y 1; no crece sin límite cerca de 2.
C) Sus límites laterales en 2 son $-1$ y 1, así que ninguna redefinición de $g(2)$ la hace continua.Correcto. Es una discontinuidad de salto: el límite no existe, y la continuidad exige que exista.
D) Es continua en todos los reales.Incorrecto. $g(2)$ no está definida (denominador 0) y además los laterales no coinciden.

💡 Explicación

Para

x > 2

,

|x - 2| = x - 2

y

g(x) = 1

; para

x < 2

,

|x - 2| = -(x - 2)

y

g(x) = -1

. Como

\lim_{x \to 2^-} g = -1 \neq 1 = \lim_{x \to 2^+} g

, el límite no existe: la discontinuidad es de salto (de tamaño 2) y no se elimina asignando ningún valor a

g(2)

.

Bloom: Evaluate

Un equipo de la Universidad del Norte en Barranquilla aplica bisección a $f(x) = x^3 - 4x + 1$ en $[0, 1]$ : $f(0) = 1$ , $f(1) = -2$ y en el punto medio $f(0{,}5) = -0{,}875$ .

¿En qué intervalo debe continuar la búsqueda de la raíz?

Ver respuesta

Respuesta correcta: A) $[0;\ 0{,}5]$

A) $[0;\ 0{,}5]$ Correcto. $f(0) = 1 > 0$ y $f(0{,}5) = -0{,}875 < 0$ : el cambio de signo, y por continuidad la raíz, está en esa mitad.
B) $[0{,}5;\ 1]$ Incorrecto. $f(0{,}5) = -0{,}875$ y $f(1) = -2$ tienen el mismo signo; en esa mitad no se garantiza raíz.
C) No se puede concluir, porque $f(0{,}5)$ no es 0.Incorrecto. Que el punto medio no sea raíz es lo esperado; el signo de $f(0{,}5)$ indica en qué mitad hay cambio de signo.
D) La raíz es exactamente 0,5.Incorrecto. $f(0{,}5) = 0{,}125 - 2 + 1 = -0{,}875 \neq 0$ , así que 0,5 no es raíz.

💡 Explicación

La bisección se basa en el teorema del valor intermedio:

f

es continua (polinomio). Se evalúa el punto medio:

f(0{,}5) = 0{,}125 - 2 + 1 = -0{,}875

. Como

f(0) > 0

y

f(0{,}5) < 0

, hay raíz en

(0;\ 0{,}5)

. En efecto, la raíz está cerca de

x \approx 0{,}254

.

Bloom: Evaluate

Una plataforma de taxis en Medellín define la tarifa $T(d) = 5\,000$ si $0 < d \le 2$ ; $T(d) = 5\,000 + 1\,200(d - 2)$ si $2 < d \le 10$ ; y $T(d) = m + 1\,000(d - 10)$ si $d > 10$ , con $d$ en km.

¿Qué valor de

m

hace que la tarifa sea continua en

d = 10

km?

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Respuesta correcta: B) 14 600 pesos

A) 17 000 pesosIncorrecto. Se calculó $5\,000 + 1\,200 \cdot 10$ , cobrando los primeros 2 km dos veces; el tramo variable usa $d - 2 = 8$ .
B) 14 600 pesosCorrecto. Por la izquierda en 10: $5\,000 + 1\,200 \cdot 8 = 14\,600$ ; por la derecha el valor tiende a $m$ , así que $m = 14\,600$ .
C) 9 600 pesosIncorrecto. Solo se tomó el cobro por kilómetro $1\,200 \cdot 8$ ; faltó sumar los 5 000 del banderazo.
D) 6 200 pesosIncorrecto. Se usó $5\,000 + 1\,200$ , como si solo se hubiera recorrido un km adicional; hasta 10 km hay 8 km adicionales.

💡 Explicación

Continuidad en 10 exige que el valor del segundo tramo en 10 coincida con el límite del tercero. Segundo tramo:

T(10) = 5\,000 + 1\,200(10 - 2) = 14\,600

. Tercer tramo:

\lim_{d \to 10^+} [m + 1\,000(d - 10)] = m

. Igualando,

m = 14\,600

pesos.

Bloom: Evaluate

Un sistema de riego en el Valle del Cauca mide la humedad $h(t)$ , continua en $[1, 5]$ horas, con $h(1) = -3$ y $h(5) = 4$ (desviación respecto al nivel ideal).

¿Cuál afirmación es necesariamente cierta?

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Respuesta correcta: A) Existe un $t$ en $(1, 5)$ con $h(t) = 2$ .

A) Existe un $t$ en $(1, 5)$ con $h(t) = 2$ .Correcto. 2 está entre $-3$ y 4, y el teorema del valor intermedio garantiza que la función continua toma ese valor.
B) $h$ tiene exactamente un cero en $(1, 5)$ .Incorrecto. El teorema garantiza al menos un cero, no exactamente uno; $h$ podría cruzar el 0 tres veces.
C) $h$ es creciente en $[1, 5]$ .Incorrecto. Que $h(5) > h(1)$ no implica crecimiento en todo el intervalo; $h$ podría bajar y luego subir.
D) $h(3) = 0{,}5$ .Incorrecto. 0,5 es el promedio de $-3$ y 4, pero la continuidad no fija el valor en el punto medio del intervalo.

💡 Explicación

El teorema del valor intermedio: si

h

es continua en

[1, 5]

, toma todo valor entre

h(1) = -3

y

h(5) = 4

. Como

-3 < 2 < 4

, existe

t

en

(1, 5)

con

h(t) = 2

. El teorema garantiza existencia, no unicidad, monotonía ni valores en puntos específicos.

Bloom: Evaluate

El acueducto de Neiva evalúa dos tarifas por consumo $x$ (m³): $T_1(x) = 2\,800x$ si $x \le 20$ y $T_1(x) = 3\,500x$ si $x > 20$ ; $T_2(x) = 2\,800x$ si $x \le 20$ y $T_2(x) = 56\,000 + 3\,500(x - 20)$ si $x > 20$ .

¿Cuál evaluación de las tarifas es correcta?

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Respuesta correcta: A) $T_2$ es continua; $T_1$ salta 14 000 pesos en 20 m³, de modo que pasar de 20 a 20,1 m³ encarece mucho la factura.

A) $T_2$ es continua; $T_1$ salta 14 000 pesos en 20 m³, de modo que pasar de 20 a 20,1 m³ encarece mucho la factura.Correcto. $T_1$ : izquierda 56 000 y derecha 70 000. $T_2$ : ambos lados dan 56 000 en 20 m³.
B) Ambas son continuas, porque cada tramo es lineal.Incorrecto. Tramos lineales no garantizan continuidad; en $T_1$ , $3\,500 \cdot 20 = 70\,000 \neq 56\,000$ .
C) $T_1$ es continua y $T_2$ tiene un salto en 20 m³.Incorrecto. Es al revés: el segundo tramo de $T_2$ empieza en $56\,000 = 2\,800 \cdot 20$ , mientras $T_1$ salta de 56 000 a 70 000.
D) Ambas tienen un salto de 700 pesos en 20 m³.Incorrecto. 700 es la diferencia de precio por m³; en $T_1$ el salto en el valor es $20 \cdot 700 = 14\,000$ y en $T_2$ no hay salto.

💡 Explicación

En

x = 20

:

T_1(20) = 56\,000

y

\lim_{x \to 20^+} 3\,500x = 70\,000

, salto de 14 000.

T_2(20) = 56\,000

y

\lim_{x \to 20^+} [56\,000 + 3\,500(x - 20)] = 56\,000

, continua. Una tarifa continua cobra el precio alto solo sobre el exceso, mientras

T_1

lo aplica a todo el consumo.

Pregunta 1

Pregunta 2

Pregunta 3

Pregunta 4

Pregunta 5

Pregunta 6

Pregunta 7

Pregunta 8

Pregunta 9

Pregunta 10

Pregunta 11

Pregunta 12

Pregunta 13

Pregunta 14

Pregunta 15

Pregunta 16

Pregunta 17

Pregunta 18

Pregunta 19

Pregunta 20

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