Numeros Reales

Respuesta correcta: A) $\sqrt{2}$

• A) $\sqrt{2}$Correcto. $\sqrt{2}$ no se puede escribir como cociente de enteros: su expansión decimal $1.41421\ldots$ es infinita y no periódica.
• B) $\sqrt{16}$Incorrecto. $\sqrt{16} = 4$, que es un número natural; la raíz de un cuadrado perfecto es racional.
• C) $0.\overline{3}$Incorrecto. Un decimal periódico es racional: $0.\overline{3} = \frac{1}{3}$.
• D) $\frac{22}{7}$Incorrecto. $\frac{22}{7}$ es un cociente de enteros, luego es racional; solo es una aproximación de $\pi$, no es $\pi$.

Respuesta correcta: A) A $\mathbb{Z}$ y a $\mathbb{Q}$, pero no a $\mathbb{N}$

• A) A $\mathbb{Z}$ y a $\mathbb{Q}$, pero no a $\mathbb{N}$Correcto. $-\frac{12}{4} = -3$: es un entero negativo, todo entero es racional, y los naturales no incluyen negativos.
• B) Solo a $\mathbb{Q}$, porque está escrito como fracciónIncorrecto. La forma de escritura no decide el conjunto: la fracción se simplifica a $-3$, que también es entero.
• C) A $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$Incorrecto. $-3$ es negativo y $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\}$ no contiene números negativos.
• D) A $\mathbb{I}$, porque es negativoIncorrecto. Ser negativo no lo vuelve irracional; $-3 = \frac{-3}{1}$ es cociente de enteros.

Respuesta correcta: B) $\frac{5}{11}$

• A) $\frac{9}{20}$Incorrecto. $\frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0.45$ exacto; se ignoró que las cifras 45 se repiten indefinidamente.
• B) $\frac{5}{11}$Correcto. Si $x = 0.\overline{45}$, entonces $100x - x = 45$, así $x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$.
• C) $\frac{1}{2}$Incorrecto. Se usó $\frac{45}{90}$, pero un periodo de dos cifras se divide entre 99, no entre 90.
• D) $\frac{5}{111}$Incorrecto. $\frac{45}{999}$ corresponde a un periodo de tres cifras ($0.\overline{045}$), no a $0.\overline{45}$.

Respuesta correcta: D) $[18, 24)$

• A) $(18, 24]$Incorrecto. Invierte los extremos: excluye 18, que sí está permitido, e incluye 24, que no lo está.
• B) $(18, 24)$Incorrecto. Este intervalo abierto excluye 18 °C, pero el enunciado dice que 18 °C sí se permite.
• C) $[18, 24]$Incorrecto. Este intervalo cerrado incluye 24 °C, pero la temperatura debe ser menor que 24.
• D) $[18, 24)$Correcto. El corchete en 18 indica que se incluye y el paréntesis en 24 que se excluye: $18 \le T < 24$.

Respuesta correcta: B) $[1480, 1520]$

• A) $(1480, 1520)$Incorrecto. El símbolo $\le$ incluye los extremos; una bolsa de exactamente 1480 g sí se acepta.
• B) $[1480, 1520]$Correcto. $|m - 1500| \le 20$ equivale a $-20 \le m - 1500 \le 20$, es decir, $1480 \le m \le 1520$.
• C) $[1500, 1520]$Incorrecto. Solo se consideró el error por exceso; el valor absoluto también permite 20 g por debajo de 1500.
• D) $(-\infty, 1480] \cup [1520, \infty)$Incorrecto. Esa es la solución de $|m - 1500| \ge 20$; se invirtió el sentido de la desigualdad.

Respuesta correcta: D) $5 \times 10^{2}$ s

• A) $5 \times 10^{3}$ sIncorrecto. $\frac{1.5}{3} = 0.5$, no 5; al pasar a notación científica hay que bajar un exponente: $0.5 \times 10^3 = 5 \times 10^2$.
• B) $4.5 \times 10^{13}$ sIncorrecto. Se multiplicaron distancia y velocidad; el tiempo es distancia dividida entre velocidad.
• C) $2 \times 10^{-3}$ sIncorrecto. Se dividió velocidad entre distancia ($\frac{3 \times 10^5}{1.5 \times 10^8}$), que da el inverso del tiempo.
• D) $5 \times 10^{2}$ sCorrecto. $t = \frac{1.5 \times 10^{8}}{3 \times 10^{5}} = 0.5 \times 10^{3} = 5 \times 10^{2}$ s, unos 8.3 minutos.

Respuesta correcta: D) 7.07 m

• A) 10.00 mIncorrecto. Se aplicó $\sqrt{25 + 25} = \sqrt{25} + \sqrt{25} = 10$, pero la raíz no se distribuye sobre la suma.
• B) 25.00 mIncorrecto. Se calculó $50 \div 2$; el lado de un cuadrado de área $A$ es $\sqrt{A}$, no $\frac{A}{2}$.
• C) 7.08 mIncorrecto. Se redondeó hacia arriba sin mirar la cifra siguiente: en $7.0710\ldots$ la milésima es 1, por eso no se sube.
• D) 7.07 mCorrecto. $\sqrt{50} = 7.0710\ldots$; la cifra de las milésimas es 1 < 5, así que se conserva 7.07.

Respuesta correcta: A) $\frac{5}{8}$

• A) $\frac{5}{8}$Correcto. $\frac{3}{5} = 0.6 < \frac{5}{8} = 0.625 < \frac{2}{3} \approx 0.667$.
• B) $\frac{5}{15}$Incorrecto. Se sumaron los numeradores ($3 + 2$) y se multiplicaron los denominadores ($5 \cdot 3$); además $\frac{5}{15} = \frac{1}{3} \approx 0.33$ es menor que $\frac{3}{5}$.
• C) $\frac{7}{10}$Incorrecto. $\frac{7}{10} = 0.7$ es mayor que $\frac{2}{3} \approx 0.667$, así que queda fuera del intervalo.
• D) $\frac{11}{15}$Incorrecto. $\frac{11}{15} \approx 0.733$ supera a $\frac{2}{3} = \frac{10}{15}$; queda por encima del límite.

Respuesta correcta: A) $-\frac{7}{4} < -\sqrt{3} < -1.7$

• A) $-\frac{7}{4} < -\sqrt{3} < -1.7$Correcto. $-\frac{7}{4} = -1.75$, $-\sqrt{3} \approx -1.732$ y $-1.7$; entre negativos, el de mayor valor absoluto es el menor.
• B) $-1.7 < -\sqrt{3} < -\frac{7}{4}$Incorrecto. Se ordenaron por valor absoluto ($1.7 < 1.732 < 1.75$), pero en los negativos ese orden se invierte.
• C) $-\sqrt{3} < -\frac{7}{4} < -1.7$Incorrecto. $-\sqrt{3} \approx -1.732$ es mayor que $-1.75$; se tomó $\sqrt{3}$ como si fuera mayor que 1.75.
• D) $-\sqrt{3} < -1.7 < -\frac{7}{4}$Incorrecto. $-1.75$ es el número más pequeño de los tres, no el mayor.

Respuesta correcta: D) La propiedad asociativa de la multiplicación

• A) La propiedad distributivaIncorrecto. La distributiva relaciona producto y suma, $a(b + c) = ab + ac$; en ese paso no aparece ninguna suma.
• B) La propiedad conmutativa de la multiplicaciónIncorrecto. La conmutativa cambia el orden de los factores ($ab = ba$); en el paso los factores siguen en el mismo orden 25, 4, 12.
• C) La existencia del elemento neutroIncorrecto. El neutro multiplicativo es 1 ($a \cdot 1 = a$); en el paso no se multiplica por 1.
• D) La propiedad asociativa de la multiplicaciónCorrecto. La asociativa permite cambiar la agrupación de los factores: $a(bc) = (ab)c$, que es justo el cambio de paréntesis.

Respuesta correcta: B) $(-\infty, -1) \cup (4, \infty)$

• A) $(-1, 4)$Incorrecto. Ese intervalo es la solución de $|2x - 3| < 5$; con "mayor que" la solución queda fuera, no entre los valores críticos.
• B) $(-\infty, -1) \cup (4, \infty)$Correcto. $2x - 3 > 5$ da $x > 4$ y $2x - 3 < -5$ da $x < -1$; la alarma suena en la unión de ambos.
• C) $(-\infty, -4) \cup (1, \infty)$Incorrecto. Error de signo al despejar: de $2x - 3 > 5$ sale $2x > 8$, $x > 4$, no $x > 1$.
• D) $(4, \infty)$Incorrecto. Solo se resolvió el caso positivo; olvidaste el caso $2x - 3 < -5$, que da $x < -1$.

Respuesta correcta: B) La suma de un número racional y uno irracional siempre es irracional

• A) El producto de dos irracionales siempre es irracionalIncorrecto. Contraejemplo: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, que es racional.
• B) La suma de un número racional y uno irracional siempre es irracionalCorrecto. Si $r + i = q$ con $r, q$ racionales, entonces $i = q - r$ sería racional, contradicción.
• C) La suma de dos irracionales siempre es irracionalIncorrecto. Contraejemplo: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$, que es racional.
• D) El cociente de dos irracionales nunca es racionalIncorrecto. Contraejemplo: $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4} = 2$, que es racional.

Respuesta correcta: C) Son iguales: si $x = 0.\overline{9}$, entonces $10x - x = 9$, así que $9x = 9$ y $x = 1$

• A) $0.\overline{9}$ es menor que 1 porque siempre le falta una cantidad infinitamente pequeñaIncorrecto. En los reales no existe un número positivo "infinitamente pequeño": si $1 - 0.\overline{9}$ fuera positivo, sería menor que $10^{-n}$ para todo $n$, y el único real así es 0.
• B) Son iguales solo si se redondea a una cifra decimalIncorrecto. No se trata de redondear: la igualdad es exacta, como lo muestra $10x - x = 9$.
• C) Son iguales: si $x = 0.\overline{9}$, entonces $10x - x = 9$, así que $9x = 9$ y $x = 1$Correcto. El método algebraico para decimales periódicos muestra que $0.\overline{9} = \frac{9}{9} = 1$.
• D) $0.\overline{9}$ es irracional porque tiene infinitas cifras decimalesIncorrecto. Tener infinitas cifras no implica irracionalidad; los periódicos son racionales y $0.\overline{9} = \frac{9}{9}$.

Respuesta correcta: D) La regla $\sqrt{a^2} = a$ solo vale si $a \ge 0$; en general $\sqrt{a^2} = |a|$, así que $\sqrt{(-5)^2} = 5$

• A) En calcular $(-5)^2$, que vale $-25$, por lo que la raíz no existeIncorrecto. $(-5)^2 = (-5)(-5) = 25$; el cuadrado de un real nunca es negativo.
• B) La raíz de 25 tiene dos valores, 5 y $-5$, y ambos son resultados válidos de $\sqrt{25}$Incorrecto. La ecuación $x^2 = 25$ tiene dos soluciones, pero el símbolo $\sqrt{25}$ denota solo la raíz principal, que es 5.
• C) No hay error, porque la raíz y el cuadrado siempre se cancelanIncorrecto. Se cancelan solo para $a \ge 0$; con $a = -5$ la cancelación produce un negativo, imposible para una raíz principal.
• D) La regla $\sqrt{a^2} = a$ solo vale si $a \ge 0$; en general $\sqrt{a^2} = |a|$, así que $\sqrt{(-5)^2} = 5$Correcto. $(-5)^2 = 25$ y $\sqrt{25} = 5$, porque la raíz cuadrada principal nunca es negativa.

Respuesta correcta: C) 25 veces

• A) 0.25 vecesIncorrecto. Se restaron los exponentes al revés: $-7 - (-6) = -1$; en un cociente se resta el exponente del denominador al del numerador.
• B) 250 vecesIncorrecto. El exponente resultante es $-6 + 7 = 1$, no 2; $2.5 \times 10^1 = 25$.
• C) 25 vecesCorrecto. $\frac{2.5 \times 10^{-6}}{1 \times 10^{-7}} = 2.5 \times 10^{-6 - (-7)} = 2.5 \times 10^{1} = 25$.
• D) $2.5 \times 10^{-13}$ vecesIncorrecto. Se sumaron los exponentes $-6 + (-7)$ como en una multiplicación, pero comparar tamaños exige dividir.

Respuesta correcta: A) $(1, 5)$

• A) $(1, 5)$Correcto. La intersección toma el mayor extremo izquierdo, 1 (abierto en B), y el menor derecho, 5 (abierto en A).
• B) $[-2, 8]$Incorrecto. Esa es la unión de los dos intervalos; la intersección solo conserva los valores comunes a ambos intervalos.
• C) $[1, 5]$Incorrecto. 1 no pertenece a $(1, 8]$ y 5 no pertenece a $[-2, 5)$, así que ninguno de los dos extremos está en la intersección.
• D) $(1, 5]$Incorrecto. 5 está excluido del sensor A por el paréntesis en $[-2, 5)$; no puede estar en la intersección.

Respuesta correcta: C) $\frac{22}{7}$ es más cercana: su error es aproximadamente 0.0013, frente a 0.0016 de 3.14

• A) 3.14 es más cercana porque comparte más cifras decimales escritas con $\pi$Incorrecto. Coincidir en cifras no mide la cercanía; lo que importa es el valor absoluto de la diferencia, que es mayor para 3.14.
• B) Ambas dan el mismo error porque $\frac{22}{7} = 3.14$Incorrecto. $\frac{22}{7} = 3.142857\ldots$, no 3.14; son números racionales distintos.
• C) $\frac{22}{7}$ es más cercana: su error es aproximadamente 0.0013, frente a 0.0016 de 3.14Correcto. $\frac{22}{7} = 3.142857\ldots$, $|3.142857 - 3.141593| \approx 0.00126$ y $|3.14 - 3.141593| \approx 0.00159$.
• D) No se pueden comparar porque $\pi$ es irracionalIncorrecto. Que $\pi$ sea irracional no impide medir distancias: $|\pi - a|$ es un real que se puede calcular con la precisión que se quiera.

Respuesta correcta: C) Es verdadera: si $a < b$ son racionales, $\frac{a + b}{2}$ es racional y cumple $a < \frac{a + b}{2} < b$

• A) Es falsa: entre 0.1 y 0.2 no hay ningún racional porque son consecutivosIncorrecto. En $\mathbb{Q}$ no hay números consecutivos; por ejemplo $0.15$ está entre 0.1 y 0.2.
• B) Es verdadera solo cuando $a$ y $b$ son enterosIncorrecto. Funciona para cualquier par de racionales; entre $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{2}$ está $\frac{5}{12}$, que es su promedio.
• C) Es verdadera: si $a < b$ son racionales, $\frac{a + b}{2}$ es racional y cumple $a < \frac{a + b}{2} < b$Correcto. La suma y la división entre 2 de racionales dan un racional, y el promedio siempre queda estrictamente entre $a$ y $b$.
• D) Es falsa, porque entre dos racionales solo hay irracionalesIncorrecto. Entre dos racionales hay infinitos racionales e infinitos irracionales; el promedio es un racional que siempre está entre ellos.

Respuesta correcta: B) Laura obtiene 26 000 COP, el redondeo del total exacto 26 150 COP; Andrés obtiene 25 000 COP porque acumula los errores de cada redondeo

• A) Ambos obtienen 26 000 COP, porque redondear y sumar se pueden hacer en cualquier ordenIncorrecto. Redondear antes de sumar acumula errores: $-400 - 450 - 300 = -1\,150$ COP, y por eso Andrés llega a 25 000.
• B) Laura obtiene 26 000 COP, el redondeo del total exacto 26 150 COP; Andrés obtiene 25 000 COP porque acumula los errores de cada redondeoCorrecto. $12\,400 + 8\,450 + 5\,300 = 26\,150 \approx 26\,000$, mientras que $12\,000 + 8\,000 + 5\,000 = 25\,000$.
• C) Andrés obtiene el valor exacto, 25 000 COP, y Laura se equivocaIncorrecto. El valor exacto es 26 150 COP; 25 000 es una aproximación con 1 150 COP de error.
• D) Laura obtiene 27 000 COP, porque 26 150 se redondea hacia arribaIncorrecto. Para redondear al millar se mira la centena: en 26 150 es 1, menor que 5, así que se queda en 26 000.

Respuesta correcta: C) Es falsa: por diferencia de cuadrados el producto vale $3 - 1 = 2$, que es racional

• A) Es verdadera, porque el producto de dos irracionales siempre es irracionalIncorrecto. Esa regla general es falsa; aquí mismo el producto de dos irracionales da 2.
• B) Es falsa, porque el producto vale $(\sqrt{3})^2 + 1 = 4$Incorrecto. En la diferencia de cuadrados el término $1^2$ se resta: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, no $a^2 + b^2$.
• C) Es falsa: por diferencia de cuadrados el producto vale $3 - 1 = 2$, que es racionalCorrecto. $(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$.
• D) Es verdadera, porque el producto vale $2\sqrt{3}$Incorrecto. $2\sqrt{3}$ es la suma $(\sqrt{3} + 1) + (\sqrt{3} - 1)$, no el producto.